专题06三角形全等应用--测距离与模型突破专项训练(11大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题06三角形全等应用--测距离与模型突破 题型01.全等判定综合模型 题型02.截长补短模型 题型03.倍长中线模型 题型04.全等综合应用模型 题型05.手拉手旋转模型 题型06.垂线模型 题型07.一线三等角模型 题型08.平移模型 题型09.角平分线模型 题型10.其他全等模型 题型11.含半角模型 知识点01.核心原理 依托全等三角形对应边相等的性质，将实际中不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，核心思想为转化思想；构造核心是利用几何通用模型凑齐全等判定条件（SAS/ASA/AAS），本节课两大核心模型均为初中几何经典通用模型。 . 知识点02.必备全等判定定理 本节课高频用 3 个基础判定，为模型构造的核心依据，无需复杂推导： SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 知识点03几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点04.通用解题步骤（通配所有题型） 1.定边：明确实际问题对应的待测线段（核心求解目标）； 2.选模：根据测距场景选择对应几何通用模型（两点间测距选倍长线段法，点到直线测距选一线三等角模型）； 3.构造：按模型特征作辅助线（倍长截取、作等角 / 直角），保证构造的边 / 角可实际测量； 4.证全等：结合模型构造条件，用 SAS/ASA/AAS 严格证明两三角形全等； 5.转化测：测量构造出的对应边长度，即为待测距离。 1.倍长线段法：必须保证线段严格等长，对顶角为 SAS 的 “夹角”，不可替换为其他角； 2.一线三等角模型（直角型）：“一线” 为公共边所在直线，三等角需包含直角，公共边为 ASA 的 “夹边”，是判定的关键； 3.两大模型均优先利用天然相等条件（对顶角、公共边、直角），简化构造和证明步骤； 4.构造的等线段、等角需贴合实际操作（卷尺、量角器可实现），保证几何模型与实际场景一致。. 易错点避雷（3 个高频坑，一眼避开） 1.构造全等时条件不完整：如漏证角相等 / 边相等，直接判定全等（必须满足全等 4 大判定之一）； 2.混淆对应边：构造后未明确哪条边与待测边对应，测错线段； 3.实际操作中角度 / 边长画不准：需用工具（直尺、量角器）保证构造的角、边严格相等。 题型01.全等判定综合模型 1．在与中，，添加下列哪组条件一定能说明与全等（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，，结合不能利用证明与全等，故A不符合题意； 添加条件，，结合不能利用证明与全等，故B不符合题意； 添加条件，，结合能利用证明与全等，故C符合题意； 添加条件，，结合不能利用证明与全等，故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要使，需要增加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用全等三角形的判定定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、当时，不能判定，故A不符合题意； B、当时，∵， ∴， ∴能判定，故B符合题意； C、当时，不能判定，故C不符合题意； D、当时，不能判定，故D不符合题意； 3．如图，要判定，根据给定的条件和指明的依据，添加条件 ①若，，_________， ②若，，_________， ③若，，_________， 【答案】 或 或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的性质． ①证明，结合与判定方法可得结论． ②证明，结合与判定方法可得结论． ③证明，结合与判定方法可得结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， 补充， ∴， ∴ 补充， ∴， ∴ 故答案为：或 （2）∵， ∴， ∵， 补充或， ∴ 故答案为：或 （3）∵， ∴， ∵， 添加， ∴， 故答案为：． 4．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A、补充，不能推出，故此选项符合题意； B、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，，，______，求证：． (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)（或），证明见解析 (2)4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握或． （1）由平行线的性质推出，由，，得到，判定；或者平行线的性质推出，由得，得，可判定； （2）由（1）知，即可求出 【详解】（1）解 ：选择，理由如下： ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 或选择，理由如下： ， ， ∵，， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或） （2）解：由（1）知， ， 题型02.截长补短模型 6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． 　　 (1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 【答案】(1)AC＝EF+FC，证明见解析 (2)补全图形见解析， AC＝EF-CF，证明见解析 (3)AC＝CF-EF 【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论； （2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论． （3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得结论． 【详解】（1）结论：AC＝EF+FC， 理由如下：过D作DH⊥CB于H， ∴∠DHC＝∠DHB＝ 90° ∵EF⊥CF， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△FEC和△HDC中， ， ∴△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH＝FC，DH＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC=BC， ∴∠B＝45°， ∵∠DHB＝90°， ∴∠B＝∠HDB＝45° ∴DH＝HB＝EF， ∵BC＝CB+HB ∴AC＝FC+EF； （2）依题意补全图形，结论：AC＝EF-CF， 理由如下： 过D作DH⊥CB交BC的延长线于H， ∵EF⊥CF， ∴∠EFC＝∠DHC＝90°， 在△FEC和△HDC中， ， ∴△FEC≌△HDC（AAS）， ∴CH＝FC，DH＝EF， ∵∠DHB＝90°， ∴∠B＝∠HDB＝45° ∴DH＝HB＝EF， ∵BC=HB-CH ∴AC＝EF-CF． （3） AC=CF-EF． 如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H， 同理可证△FEC≌△HDC（AAS），. ∴CH=FC，DH=EF， ∵∠DHB=90°， ∴∠B=∠HDB=45°， ∴DH=HB=EF， ∵BC=CH-BH， ∴AC=CF-EF． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 7．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可； （2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可． 【详解】证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ； （2）成立， 理由如下：∵  ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，   ∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD  ＝ 180°， ∠BAC ＝ ∠BDA， ∴∠ABD ＝ ∠EAC ， 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 8．（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．    【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里 【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算． 【详解】解：（1）如图1，， 理由如下：在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即． 理由：延长到点．使．连接，    在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长、相交于点，   ，， ， ，， 符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）． 此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型03.倍长中线模型 9．如图，中，，点D为的中点，则的取值范围_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至点E，使，连接，证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B 11．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 12．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 13．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型04.全等综合应用模型 14．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 15．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 16．如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 17．某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 【详解】解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 18．（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∵， ∴； （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 题型05.手拉手旋转模型 19．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 20．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 21．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 22．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 23．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ，. ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型06.垂线模型 24．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 25．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 26．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 27．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 题型07.一线三等角模型 28．如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是________________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 29．如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为 ； 故选B． 30．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ，. ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 31．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 题型08.平移模型 32．如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，则可以添加角的另一个边从而利用来判定其全等，或添加另一个角从而利用或来判定其全等． 【详解】解：添加或， 当添加时， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当添加时，∴， 当添加时，∴ 故答案为：或或． 33．如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有_______个（填个数）． ①    ②   ③    ④ 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故①符合题意； 当时，则，由可得，故②符合题意； 当时，则，由可得，故③符合题意； 当时，不能得出，故④不符合题意； ∴符合要求的条件有3个． 故答案为：3 34．如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件可以得到，，然后添加选项中的条件，写出能判断三角形全等的依据即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴添加时，无法证明，故选项A符合题意； 添加时，可得，故选项B不符合题意； 添加时，可得，故选项C不符合题意； 添加时，可得，故选项D不符合题意， 故选：A． 35．已知：如图所示，，． (1)请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，说明． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)说明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：添加条件（答案不唯一）； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 题型09.角平分线模型 36．如图，已知，添加一个条件__________，使得． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 37．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由． 解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （ ） 所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（ ） 所以∠AED＝∠AFD （ ） 因为AD是△ABC的角平分线 （ ） 所以∠DAE＝∠DAF （ ） 在△ADE与△ADF中 ∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（ ），AD=AD， 所以△ADE≌△ADF （ ）． 【答案】已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS 【分析】求出∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF，根据AAS推出两三角形全等即可． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴∠AED＝90°，∠AFD＝90°（垂直定义）， ∴∠AED＝∠AFD（等量代换）， ∵AD是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠DAE＝∠DAF（角平分线定义）， 在△ADE和△ADF中 ∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF（已证），AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， 故答案为：已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线定义，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 38．如图，ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是____． 【答案】6 【分析】证明△BQA≌△BQE，得到BA=BE，同理证明△CAP≌△CDP，得到AC=CD，根据三角形的周长公式出去BE+CD，求出DE， 【详解】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE， 在△BQA和△BQE中， ， ∴△BQA≌△BQE， ∴BA=BE， 同理可证△CAP≌△CDP，得到AC=CD， ∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16， ∴DE=BE+CD-BC=6， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角的判定和性质是解题的关键． 39．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型10.其他全等模型 40．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 41．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 题型11.含半角模型 42．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确， ∵若． ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 43．如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则_______． 【答案】10 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质，根据已知求得，截取，证明，有和，过点A作于点K，作交的延长线于点H，即可证明，有，在的延长线上截取，连接，则，有和，进一步证明，则，那么即可． 【详解】解：∵， ∴， 截取，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点K，作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：10． 44．问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）对于图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；对于图3：在上截取，使，连接，同图2法进行求解即可； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06三角形全等应用--测距离与模型突破 题型01.全等判定综合模型 题型02.截长补短模型 题型03.倍长中线模型 题型04.全等综合应用模型 题型05.手拉手旋转模型 题型06.垂线模型 题型07.一线三等角模型 题型08.平移模型 题型09.角平分线模型 题型10.其他全等模型 题型11.含半角模型 知识点01.核心原理 依托全等三角形对应边相等的性质，将实际中不可直接测量的距离转化为可直接测量的线段长度，核心思想为转化思想；构造核心是利用几何通用模型凑齐全等判定条件（SAS/ASA/AAS），本节课两大核心模型均为初中几何经典通用模型。 . 知识点02.必备全等判定定理 本节课高频用 3 个基础判定，为模型构造的核心依据，无需复杂推导： SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； AAS（角角边）：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 知识点03几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点04.通用解题步骤（通配所有题型） 1.定边：明确实际问题对应的待测线段（核心求解目标）； 2.选模：根据测距场景选择对应几何通用模型（两点间测距选倍长线段法，点到直线测距选一线三等角模型）； 3.构造：按模型特征作辅助线（倍长截取、作等角 / 直角），保证构造的边 / 角可实际测量； 4.证全等：结合模型构造条件，用 SAS/ASA/AAS 严格证明两三角形全等； 5.转化测：测量构造出的对应边长度，即为待测距离。 1.倍长线段法：必须保证线段严格等长，对顶角为 SAS 的 “夹角”，不可替换为其他角； 2.一线三等角模型（直角型）：“一线” 为公共边所在直线，三等角需包含直角，公共边为 ASA 的 “夹边”，是判定的关键； 3.两大模型均优先利用天然相等条件（对顶角、公共边、直角），简化构造和证明步骤； 4.构造的等线段、等角需贴合实际操作（卷尺、量角器可实现），保证几何模型与实际场景一致。. 易错点避雷（3 个高频坑，一眼避开） 1.构造全等时条件不完整：如漏证角相等 / 边相等，直接判定全等（必须满足全等 4 大判定之一）； 2.混淆对应边：构造后未明确哪条边与待测边对应，测错线段； 3.实际操作中角度 / 边长画不准：需用工具（直尺、量角器）保证构造的角、边严格相等。 题型01.全等判定综合模型 1．在与中，，添加下列哪组条件一定能说明与全等（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要使，需要增加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，要判定，根据给定的条件和指明的依据，添加条件 ①若，，_________， ②若，，_________， ③若，，_________， 4．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，______，求证：． (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． 题型02.截长补短模型 6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． 　　 (1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 7．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 8．（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．    题型03.倍长中线模型 9．如图，中，，点D为的中点，则的取值范围_______． 10．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 12．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 13．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 题型04.全等综合应用模型 14．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 16．如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 17．某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 18．（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 题型05.手拉手旋转模型 19．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 20．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 21．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 22．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 23．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 题型06.垂线模型 24．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   25．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 26．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 27．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 题型07.一线三等角模型 28．如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是________________． 29．如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 30．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 31．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 题型08.平移模型 32．如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 33．如图，在和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有_______个（填个数）． ①    ②   ③    ④ 34．如图，已知，，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 35．已知：如图所示，，． (1)请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，说明． 题型09.角平分线模型 36．如图，已知，添加一个条件__________，使得． 37．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由． 解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （ ） 所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（ ） 所以∠AED＝∠AFD （ ） 因为AD是△ABC的角平分线 （ ） 所以∠DAE＝∠DAF （ ） 在△ADE与△ADF中 ∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（ ），AD=AD， 所以△ADE≌△ADF （ ）． 38．如图，ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是____． 39．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 题型10.其他全等模型 40．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 41．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    题型11.含半角模型 42．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是______． 43．如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则_______． 44．问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $