第二十四章 数据的分析（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十四章“数据的分析”单元提升卷，以AI聊天机器人、校园活动等真实情境为载体，全面考查平均数、方差、中位数等核心知识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|加权平均数（第2题）、箱线图分析（第4题）|结合文具销售、体育测试等情境，考查数据直观解读能力| |填空题|6/12|方差变化（第13题）、中位数与百分位数（第15题）|设置开放性问题，如小兰舞台表现评分最小值，培养推理意识| |解答题|8/72|数据对比分析（第19题AI满意度）、发展趋势预测（第25题联赛成绩）|以分层抽样数据为背景，综合考查数据整理、推断及模型应用，体现数据观念与创新意识|

第二十四章 数据的分析（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知一样本数据3，4，5，5，6，m的平均数为5，则数m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占40%、胶套本占50%、活页本占10%．则该月笔记本的平均售价为（　　） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 3．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如图的统计图．则在本次调查的这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A．8，8 B．8，8.5 C．9，8.5 D．9，9 4．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 5．跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．为考查甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，15，，．则麦苗又高又整齐的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 10.67 3 第一组3人，第二组2人 12.50 4 第一组4人，第二组1人 14.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是4 B．该组数据的平均数是6 C．该组数据的方差是0.5 D．若该组数据加入数6，则这组新数据的方差变大 9．已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 10．“爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．这组数据的下四分位数与离差平方和分别为（　　） A．3，3 B．2，4 C．3，4 D．2，3 11．为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 12．某班级10名学生的数学成绩（单位：分）如下：65，72，58，80，75，68，85，90，62，78．将这些数据按从小到大的顺序排列后，按组内离差平方和最小的分法为（　　） A．{58，62，65，68}和{72，75，78，80，85，90} B．{58，62，65，68，72}和{75，78，80，85，90} C．{58，62，65，68，72，75}和{78，80，85，90} D．{58，62，65，68，72，75，78}和{80，85，90} 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．某天的体育课上，老师测量了某班同学的身高，恰巧小明这日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm，方差为a．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm，此时全班同学身高的方差为b，那么a与b的大小关系是a　 　 b．（填“＜”“＞”或“＝”） 14．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 90 k 88 85 小竹 92 86 90 89 若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为　 　 ． 15．已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则x＝　 　 ，y＝　 　 ． 16．一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，a，b．这组数据的箱线图如图所示．若数据中a＜b，则a的值等于　 　 ． 17．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差为 　 　 ． 18．某小组的五名同学的身高（单位：cm）分别为160，170，167，165，178．把这5个数据从小到大排列后进行了分组，前3个数据分成一组，后2个数据分成另一组，可求得组内离差平方和为　 　 ，组间离差平方和为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87.5 c 40% 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分，有240人对B款AI聊天机器人进行评分．估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人． 20．（8分）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n P （1）求统计表中m，n，p的值； （2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 21．（8分）《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣89分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．为了解学生的体质情况，某校从全校九年级学生中随机抽取10%的学生进行测试，并将测试成绩制成如图表： 成绩 频数 频率 不及格 4 0.08 及格 18 0.36 良好 a 0.24 优秀 16 b 请根据图表中信息解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是　 　 分； （3）求参加本次测试学生的平均成绩． 22．（8分）某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据（单位：个）： 73，96，120，130，138，145，149，152，154，157，165，168，169，171，172，177，180，184，186，188，191，194，200，208，239． （1）求这25名同学跳绳成绩的中位数； （2）为制定及格标准和优秀标准，以中位数（不包含该数）左右侧数据分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准； （3）在（2）的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数． 23．（10分）天宫一号飞行乘组曾经给全国中小学生上过一堂太空实验课，这次我们会与地面上的航天员王亚平一起客串“太空科普老师”，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共700名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级随机选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在80≤x＜90这一组的成绩是： 89、88、88、87、87、86、86、85、85、84、84、84、83、83、83、83、81、80． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求这个样本的中位数； （3）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 24．（10分）每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动．为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩（单位：分）进行了整理分析．部分信息如下： ■数据收集 所抽取的七年级学生的测试成绩： 72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88 ■数据整理 所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表（成绩用x表示）： 分组 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 4 m 3 4 所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如表： 众数 平均数 中位数 七年级 88 80 n 八年级 86 82 85 （1）请你写出：m＝　 　 ，n＝　 　 ； ■数据分析 请你依据以上信息，解决下列问题． （2）已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前50%”．据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由； （3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等级，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等级的学生人数． 25．（10分）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是，85；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 26．（12分）2024年初教育部体育卫生与艺术教育司将开展“义务教育阶段学生每天体育锻炼2小时试点”列入年度工作要点．为对比不同经济发展水平地区初中生体育锻炼时长差异，选取东部发达城市A市、中部地级市B市、西部县域C县作为样本地区．通过分层随机抽样各选取30名初二学生，记录其2024年9月第一周参加体育锻炼的有效时间（单位：时，剔除体育课强制锻炼时长），数据如下： A市数据：3，4，5，5，6，6，7，7，7，8，8，9，9，10，10，11，12，12，14，15，15，16，16，17，18，18，19，20，21，22． B市数据：2，3，4，4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，10，11，11，12，12，13，13，14，14，15，15，16，17，25，28． C县数据：1，2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，10，11，11，12，12，13，13，14，14，15，16，17，30． 请根据以上数据完成下列问题： （1）分别计算A市、B市、C县数据的中位数、第25百分位数和第75百分位数． （2）在同一个图中绘制A市、B市、C县30名初二学生参加体育锻炼有效时间的箱线图． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 数据的分析（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知一样本数据3，4，5，5，6，m的平均数为5，则数m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解答】解：m＝5×6﹣3﹣4﹣5﹣5﹣6＝7， 故选：D． 2．某文具店推出三种笔记本：“车缝本”（5元）、“胶套本”（6元）和“活页本”（7元）．根据某月销售统计，三种笔记本的销量占比分别为：车缝本占40%、胶套本占50%、活页本占10%．则该月笔记本的平均售价为（　　） A．5.6元 B．5.7元 C．5.8元 D．5.9元 【答案】B 【解答】解：∵平均售价为各单价乘对应销量占比的和， ∴平均售价＝5×40%+6×50%+7×10%＝5.7（元）． 故选：B． 3．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如图的统计图．则在本次调查的这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A．8，8 B．8，8.5 C．9，8.5 D．9，9 【答案】A 【解答】解：由图形知，众数为8， 由于一共有3+7+17+15+8＝50个数据，把它们从小到大排列，排在第25和第26个数分别是8、8，所以其中位数为8， 故选：A． 4．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【解答】解：A、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故错误； B、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故错误； C、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故正确； D、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故错误； 故选：C． 5．跳绳是体育中考选考科目之一．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 206 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙， 所以乙、丁两名同学的成绩好， 又因为乙跳绳成绩的方差小于丁， 所以乙同学成绩好且发挥稳定． 故选：B． 6．为考查甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，15，，．则麦苗又高又整齐的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：∵，， ∴， ∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高， ∵，， ∴， ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐， ∴麦苗又高又整齐的是丁． 故选：D． 7．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 18.75 2 第一组2人，第二组3人 10.67 3 第一组3人，第二组2人 12.50 4 第一组4人，第二组1人 14.75 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由题意可知，第2组的组内离差平方和最小，所以第2组的方差最小，即第2组同学的跳绳成绩最接近． 故选：B． 8．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是4 B．该组数据的平均数是6 C．该组数据的方差是0.5 D．若该组数据加入数6，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【解答】解：从方差算式中提取原数据，再根据定义逐项分析判断如下： ∵方差算式中共有4个平方项， ∴n＝4，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为7，6，5，6，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数6后，新数据为7，6，5，6，6，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 9．已知一组数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，方差是3，则另一组数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数和方差分别为（　　） A．11和12 B．8和12 C．11和3 D．8和3 【答案】A 【解答】解：∵当一组数据中的每一个数据发生什么样的变化其平均数就发生什么样的变化， ∴数据a1，a2，a3，a4的平均数为4，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的平均数为2×4+3＝11， ∵当一组数据同时加上一个常数不影响方差，乘以一个常数则其方差变为原来的常数的平方倍， ∴数据a1，a2，a3，a4的方差为3，那么数据2a1+3，2a2+3，2a3+3，2a4+3的方差为3×22＝12． 故选：A． 10．“爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．这组数据的下四分位数与离差平方和分别为（　　） A．3，3 B．2，4 C．3，4 D．2，3 【答案】B 【解答】解：∵2，2，3，3，3，4，4，共7个数， ∴下四分位数为2； ∵3， ∴离差平方和为：（2﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（4﹣3）2＝1+1+0+0+0+1+1＝4， 故选：B． 11．为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：B作品的平均分：， ∵A作品的平均分低于B作品，且8.6， ∴8.6， 解得x＞9， ∵x为整数，且满分10分， ∴x＝9或10， 当x＝9时，8.8，s0.16， 8.8＞8.6，0.16＜0.24，满足题意； 当x＝10时，9，s0.4， 9＞8.6，0.4＞0.24，不满足题意； ∴x＝9． 故选：C． 12．某班级10名学生的数学成绩（单位：分）如下：65，72，58，80，75，68，85，90，62，78．将这些数据按从小到大的顺序排列后，按组内离差平方和最小的分法为（　　） A．{58，62，65，68}和{72，75，78，80，85，90} B．{58，62，65，68，72}和{75，78，80，85，90} C．{58，62，65，68，72，75}和{78，80，85，90} D．{58，62，65，68，72，75，78}和{80，85，90} 【答案】B 【解答】解：A、对于{58，62，65，68}，平均数为63.25，离差平方和为54.75；对于{72，75，78，80，85，90}，平均数为80，离差平方和为218， ∴组内离差平方和为54.75+218＝272.75； B、对于{58，62，65，68，72}，平均数为65，离差平方和为116；对于{75，78，80，85，90}，平均数为81.6，离差平方和为141.2， ∴组内离差平方和为116+141.2＝257.2； C、对于{58，62，65，68，72，75}，平均数为66.67，离差平方和为199.3；对于{78，80，85，90}，平均数为83.25，离差平方和为86.75， ∴组内离差平方和为199.3+86.75＝286.08； D、对于{58，62，65，68，72，75，78}，平均数为68.29，离差平方和为309.42；对于{80，85，90}，平均数为85，离差平方和为50， ∴组内离差平方和为309.42+50＝359.42． 综上可得，按组内离差平方和最小的分法为{58，62，65，68，72}和{75，78，80，85，90}． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．某天的体育课上，老师测量了某班同学的身高，恰巧小明这日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm，方差为a．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm，此时全班同学身高的方差为b，那么a与b的大小关系是a　＞　 b．（填“＜”“＞”或“＝”） 【答案】＞． 【解答】解：∵当多一个人时，由于身高等于平均数， ∴方差公式中分子不变， ∵本班身高方差不是0，此时分母扩大， ∴方差将减小，即a＞b． 故答案为：＞． 14．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 90 k 88 85 小竹 92 86 90 89 若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为　93　 ． 【答案】93． 【解答】解：先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分可得： 计算小竹的最终得分： 92×30%+86×30%+90×20%+89×20%＝27.6+25.8+18+17.8＝89.2， 表示小兰的最终得分： 90×30%+k×30%+88×20%+85×20%＝27+0.3k+17.6+17＝0.3k+61.6， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：0.3k+61.6＞89.2， 移项得0.3k＞89.2﹣61.6， 化简得0.3k＞27.6， 系数化为1得k＞92， 因为k为整数， 所以k的最小值为93． 15．已知一组数据按从小到大排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26．经计算，该组数据的中位数是16，上四分位数是20，则x＝　15　 ，y＝　18　 ． 【答案】15；18． 【解答】解：∵该组数据的中位数是16， ∴16， x+17＝32， 解得x＝15， ∵该组数据上四分位数是20， ∴20， y+22＝40， 解得y＝18， 故答案为：15；18． 16．一组数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，a，b．这组数据的箱线图如图所示．若数据中a＜b，则a的值等于　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：把已知的数从小到大排列为5，5，6，7，7，8，9，10，11，13， 因为数据（都是整数）：5，5，7，8，9，7，11，13，10，6，a，b的中位数是7.5，下分四位数为6.5，a＜b， 所以a＝7，b＝8， 故答案为：7． 17．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差为 　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的平均数为21， 所以2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差为[（2x1+1﹣21）2+（2x2+1﹣21）2+（2x3+1﹣21）2+...+（2xn+1﹣21）2]＝4[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]， 因为数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3， 所以[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]＝3， 所以2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的方差＝4×3＝12． 故答案为：12． 18．某小组的五名同学的身高（单位：cm）分别为160，170，167，165，178．把这5个数据从小到大排列后进行了分组，前3个数据分成一组，后2个数据分成另一组，可求得组内离差平方和为　58　 ，组间离差平方和为　120　 ． 【答案】58，120． 【解答】解：把这5个数据从小到大排为160，165，167，170，178，第一组数据的平均数为：（160+165+167）÷3＝164， 第二组数据的平均数为：（170+178）÷2＝174， 所以组内离差平方和为：（160﹣164）2+（165﹣164）2+（167﹣164）2+（170﹣174）2+（178﹣174）2＝58，分组前平均数为：（160+165+167+170+1781）＝168， 所以组间离差平方和：3×（164﹣168）2+×（174﹣168）2＝120． 所以组间离差平方和为：58，120． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，分为4个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中满意的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B两款AI聊天机器人的评分统计表如下： 类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87.5 c 40% 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中a＝　15　 ，b＝　88.5　 ，c＝　98　 ． （2）在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分，有240人对B款AI聊天机器人进行评分．估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】（1）15，88.5，98； （2）66人． 【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%100%＝15%，即a＝15， 把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，89， 故中位数b88.5， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数c＝98； 故答案为：15，88.5，98； （2）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数可得： 300×10%+24066（名）， 答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有66人． 20．（8分）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n P （1）求统计表中m，n，p的值； （2）补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】（1）m＝86.5，n＝89，p＝91； （2），从而箱线图可得抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【解答】解：（1）七年级积分排序：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100， ∴中位数m86.5， 八年级积分排序：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96， ∴中位数n89，众数p＝91； （2）七年级上四分位数m75为93.5，下四分位数m25为70，中位数为86.5， 补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图如下： ∴从而箱线图可得抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 21．（8分）《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣89分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．为了解学生的体质情况，某校从全校九年级学生中随机抽取10%的学生进行测试，并将测试成绩制成如图表： 成绩 频数 频率 不及格 4 0.08 及格 18 0.36 良好 a 0.24 优秀 16 b 请根据图表中信息解答下列问题： （1）a＝　12　 ，b＝　0.32　 ； （2）已知“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是　82　 分； （3）求参加本次测试学生的平均成绩． 【答案】（1）12，0.32； （2）82； （3）78.4分． 【解答】解：（1）a（4+18+16）＝12， b＝1﹣（0.08+0.36+0.24）＝0.32． 故答案为：12，0.32； （2）将九年级学生测试成绩重新排列为80，81，81，83，83，84，85，85，85，86，87，88， 不及格和及格段的学生一共有4+18＝22（人），优秀的学生有16人， ∴所抽取的50名学生测试成绩的中间是81分和83分， ∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是（81+83）÷2＝82（分）． 故答案为：82； （3）（92×16+84×12+70×18+45×4）÷50＝78.4（分）， 答：参加本次测试学生的平均成绩为78.4分． 22．（8分）某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据（单位：个）： 73，96，120，130，138，145，149，152，154，157，165，168，169，171，172，177，180，184，186，188，191，194，200，208，239． （1）求这25名同学跳绳成绩的中位数； （2）为制定及格标准和优秀标准，以中位数（不包含该数）左右侧数据分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准； （3）在（2）的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数． 【答案】（1）这25名同学跳绳成绩的中位数为169； （2）及格标准为168；优秀标准为171； （3）估计达到优秀标准的学生人数为192名． 【解答】解：（1）由题意可知，25个数中的第13位数为169， ∴这25名同学跳绳成绩的中位数为169； （2）169左侧的数据为：73，96，120，130，138，145，149，152，154，157，165，168，最大数据为168， ∴及格标准为168； 169右侧的数据为：171，172，177，180，184，186，188，191，194，200，208，239，最小数据为171， ∴优秀标准为171； （3）400192（名）， 答：估计达到优秀标准的学生人数为192名． 23．（10分）天宫一号飞行乘组曾经给全国中小学生上过一堂太空实验课，这次我们会与地面上的航天员王亚平一起客串“太空科普老师”，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共700名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛，为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级随机选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在80≤x＜90这一组的成绩是： 89、88、88、87、87、86、86、85、85、84、84、84、83、83、83、83、81、80． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求这个样本的中位数； （3）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】（1）； （2）82分； （3）168人． 【解答】解：（1）由题意得，50﹣6﹣15﹣18﹣9＝2， 补全频数分布直方图如图所示： （2）将50名学生的成绩从小到大排序后，第25和第26分别是81分，83分， 所以中位数：（分）； （3）（人）， 答：估计七年级学生的获奖人数为168人． 24．（10分）每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动．为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩（单位：分）进行了整理分析．部分信息如下： ■数据收集 所抽取的七年级学生的测试成绩： 72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88 ■数据整理 所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表（成绩用x表示）： 分组 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 4 m 3 4 所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如表： 众数 平均数 中位数 七年级 88 80 n 八年级 86 82 85 （1）请你写出：m＝　4　 ，n＝　78　 ； ■数据分析 请你依据以上信息，解决下列问题． （2）已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前50%”．据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由； （3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等级，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等级的学生人数． 【答案】（1）：4，78； （2）小魏所在的年级是八年级， ∵所抽取的七年级学生成绩的中位数是78，八年级学生成绩的中位数是85， 又学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，在小唐的年级能妥妥地排进前50%， ∴小魏所在的年级是八年级； （3）120人． 【解答】解：（1）∵学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩， ∴m＝15﹣4﹣3﹣4＝4， 所抽取的七年级学生的测试成绩从小到大排序为：62，63，68，68，72，72，75，78，88，88，88，93，94，95，96， ∴n＝78； 故答案为：4，78； （2）小魏所在的年级是八年级， ∵所抽取的七年级学生成绩的中位数是78，八年级学生成绩的中位数是85， 又学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，在小唐的年级能妥妥地排进前50%， ∴小魏所在的年级是八年级； （3）被抽取的15个七年级学生中成绩不低于90分的同学有4个， 故七年级学生的优秀率是， ∵八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍， ∴八年级学生的优秀率为， ∴参加测试的300名八年级学生中，获优秀等级的学生人数为300×0.4＝120（人）． 25．（10分）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是，85；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】（1）a＝8.2，过程如下： ，即a＝8.2． ∵， ∴， ∴甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）甲，理由如下： 获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． （3）选甲更合适．理由如下： 在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【解答】解：（1）根据方差的计算方法，先求出乙的方差为： ，即a＝8.2． ∵， ∴， 故甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． （3）选甲更合适．理由：根据甲乙成绩的变化趋势分析可知： 在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 26．（12分）2024年初教育部体育卫生与艺术教育司将开展“义务教育阶段学生每天体育锻炼2小时试点”列入年度工作要点．为对比不同经济发展水平地区初中生体育锻炼时长差异，选取东部发达城市A市、中部地级市B市、西部县域C县作为样本地区．通过分层随机抽样各选取30名初二学生，记录其2024年9月第一周参加体育锻炼的有效时间（单位：时，剔除体育课强制锻炼时长），数据如下： A市数据：3，4，5，5，6，6，7，7，7，8，8，9，9，10，10，11，12，12，14，15，15，16，16，17，18，18，19，20，21，22． B市数据：2，3，4，4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，10，11，11，12，12，13，13，14，14，15，15，16，17，25，28． C县数据：1，2，3，3，4，4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，10，11，11，12，12，13，13，14，14，15，16，17，30． 请根据以上数据完成下列问题： （1）分别计算A市、B市、C县数据的中位数、第25百分位数和第75百分位数． （2）在同一个图中绘制A市、B市、C县30名初二学生参加体育锻炼有效时间的箱线图． 【答案】（1）A市：中位数是10.5，第25百分位数为7，第75百分位数为16； B市：中位数是10，第25百分位数为6，第75百分位数为14； C县：中位数为9，第25百分位数为5，第75百分位数为13； （2）． 【解答】解：（1）A市：把30个数据从小到大排列，第15和16个数据分别是10和11， 则中位数是（10+11）÷2＝10.5， 第8个数据是7，则第25百分位数为7， 第23个数据是16，则第75百分位数为16； B市：把30个数据从小到大排列，第15和16个数据都是10， 则中位数是（10+10）÷2＝10， 第8个数据是6，则第25百分位数为6， 第23个数据是14，则第75百分位数为14； C县：把30个数据从小到大排列，第15和 16个数据都是9， 则中位数为 （9+9）÷2＝9， 第8个数据是5，则第25百分位数为5， 第23个数据是13，则第75百分位数为13． （2）如图． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $