专题02 勾股定理（期末复习讲义，4知识8重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题02 勾股定理（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 勾股定理直接计算（基础+中档） 题型02 勾股定理的逆定理与勾股数（必考） 题型03 勾股定理与折叠问题（期末压轴高频） 题型04 立体图形最短路径问题（几何最值难点） 题型05 勾股定理实际应用（解答题重点） 题型06 面积与平方关系证明题（压轴题型） 题型07 网格中的勾股定理（数形结合高频题） 题型08 勾股定理中的数学思想方法（易漏解难点） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的基础概念与直接计算 能准确复述勾股定理，熟记经典证明方法逻辑主线；能利用勾股定理计算直角三角形的边长，正确区分斜边与直角边，解决基础的边长、面积计算问题。 基础必考点，期末考常出现在选择题、填空题，是所有几何计算的基础，几乎每套卷必考，难度低，失分点多为斜边直角边混淆、计算错误。 勾股定理的逆定理与勾股数 能准确表述勾股定理逆定理的内容，能利用逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形，能结合整数边条件识别常见勾股数，掌握勾股数的构造规律。 中档常考点，期末考多与三角形边长计算、几何证明结合考查，常出现在选择题、填空题，偶尔在解答题第一问出现，需注意勾股数的定义与逆定理的应用条件，易错点为忽略最大边为斜边的前提。 勾股定理与折叠问题综合 能在矩形、正方形等图形的折叠背景中，正确提取直角三角形，利用折叠的性质结合勾股定理，通过设未知数列方程求解边长、面积等问题。 期末高频考点，常出现在选择题、填空题的中档题，解答题的核心题型，是期末考的热门题型，常结合矩形、正方形的性质考查，需掌握折叠问题的核心建模思路。 勾股定理的最短路径问题 能利用勾股定理解决平面图形中的最短路径问题，掌握"两点之间线段最短"的转化思路，能在网格、立体图形展开图中正确构造直角三角形，计算最短路径长度。 期末常考点，多与网格、立体图形展开图结合考查，常出现在选择题、填空题，偶尔在解答题中出现，核心考查转化与化归思想，易错点为展开图的构造错误。 勾股定理与网格问题综合 能在网格背景中，利用格点构造直角三角形，熟练运用勾股定理计算线段长度、三角形面积，判断三角形的形状，解决与网格相关的几何计算与证明问题。 期末高频基础考点，常出现在选择题、填空题，是期末考的固定题型之一，难度低，失分点多为网格中线段长度的计算错误、直角三角形的构造失误。 勾股定理与特殊三角形综合 能结合等腰三角形、等边三角形、含30°、45°角的直角三角形的性质，利用勾股定理解决综合计算与证明问题，能在复杂图形中拆分出基础直角三角形模型。 期末中档常考点，多在解答题中结合三角形全等、特殊三角形性质考查，是几何综合题的核心基础，需掌握特殊三角形的边角关系与勾股定理的结合应用。 勾股定理的实际应用 能将实际生活中的测量、航海、建筑等场景问题，转化为直角三角形模型，利用勾股定理解决实际问题，经历建模-解模-验模的完整流程，强化数学建模能力。 期末常考点，多以解答题的形式出现，常结合实际情境考查，核心考查数学建模与应用能力，易错点为实际场景向数学模型的转化错误。 勾股定理中的数学思想方法 能熟练运用数形结合、方程思想、分类讨论、转化与化归等数学思想，解决勾股定理相关的综合问题，能通过一题多解、一题多变领悟数学思想的应用。 期末考的核心考查方向，贯穿所有勾股定理相关的题型，是拉开分差的关键，尤其在压轴题中重点考查，需掌握各类数学思想在勾股定理问题中的应用场景。 知识点01 勾股定理（性质定理：形→数） 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则 （a、b为直角边，c为斜边）。 3. 变形公式（高频计算用）：，，（边长为正） 4. 适用条件：仅直角三角形（锐角、钝角三角形不成立）。 5. 常见证明（面积法）： 赵爽弦图：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，化简得 。 总统证法：梯形面积=3个直角三角形面积和，化简得 。 知识点02 勾股定理的逆定理（判定定理：数→形） 1. 定义：若三角形三边长a、b、c满足 ，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 2. 判定步骤（易错必记）： ① 找最长边（必为c）； ② 计算 与 ； ③ 比较：相等→直角三角形；不等→非直角三角形。 3. 拓展（三角形按边分类）： 若 （c为最长边）→锐角三角形； 若 （c为最长边）→钝角三角形。 知识点03 勾股数（高频速算，必记） 1. 定义：满足 的正整数组，称为勾股数。 2. 基础勾股数（必考）： 3，4，5（及倍数：6，8，10；9，12，15……） 5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41 3. 性质：勾股数的正整数倍仍为勾股数。 知识点04 易错点警示（期末高频坑） 1. 勾股定理中c必为斜边（最长边），不可随意对应边。 2. 逆定理判定时，先找最长边，否则易误判（如2，3，4：，是钝角三角形）。 3. 勾股数必须是正整数，如2.5，6，6.5不是勾股数（仅为勾股数的倍数）。 4. 分类讨论：已知直角三角形两边长，未说明直角边/斜边时需分情况（如两边为3、4，第三边为5或 ）。 题型一 勾股定理直接计算（基础+中档） 解｜题｜技｜巧 先判定直角、找准斜边，杜绝边代错公式；优先使用常见勾股数倍数速算，不用每次都平方计算，大幅提升做题速度。 易｜错｜点｜拨 未说明直角三角形时，不能直接使用勾股定理。 【典例1-1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 【典例1-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 【典例1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【详解】（1）证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：由题知，， ， ， 米， 米， 米， 米． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点D在上，且，点E在的延长线上，且． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形，． ∵， ∴， 在中，， ∴． 同理可得：， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）解：过点作于点H．则， ∵，，， ∴，， ∴．， ∴，， ∴，， ∴ ∴的周长为． 题型二 勾股定理的逆定理与勾股数（必考） 解｜题｜技｜巧 万能步骤：排序（找出最长边）→ 算平方 → 验平方和，三步缺一不可。 判定口诀：小方和等于大方，即为直角三角形；小方和大于大方，为锐角三角形；小方和小于大方，为钝角三角形。 网格/坐标技巧：利用横纵差值求边长平方，无需开方，直接比较平方和即可判定直角。 【典例2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【答案】C 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 【典例2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：勾股数要求三个正整数且满足， 选项A：不是正整数，不符合； 选项B：中和不是整数，不符合； 选项C：均为正整数，且，，∴，符合； 选项D：均为正整数，但，，，不符合. ∴故选：C. 【典例2-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 【变式2-4】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 题型三 勾股定理与折叠问题（期末压轴高频） 答｜题｜模｜版 折叠题必出相等边 → 设未知数找等量 → 锁定直角三角形 → 勾股定理列方程求解。 折叠前后对应边相等、对应角相等、重叠部分边长相等，是解题关键突破口。 优先标注所有相等线段，将未知边统一用一个未知数表示，简化方程。 【典例3-1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【典例3-2】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【典例3-3】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 【详解】（1）解：即为所求 （2）解：∵纸四边形为长方形， ∴, ，， 连接， 根据折叠可知，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可知，， 即， 解得：， ∴， 故答案为． 【变式3-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 【答案】5 【详解】解：∵ ∴ ∴折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵ 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 故答案为：5. 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 题型四 立体图形最短路径问题（几何最值难点） 解｜题｜技｜巧 立体转平面，所有最短路径问题，本质都是“两点之间线段最短”+勾股定理。 圆柱技巧：侧面展开为长方形，高不变，底面圆弧拉直为水平直角边，再求斜边。 长方体技巧：存在三种展开方式，需分类计算对比，取最小值即为最短路径。 【典例4-1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 【典例4-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点A出发，经过长方体的表面爬到顶点B的最短路程为____________．    【答案】 【详解】解：①展开前面和上面，连接，如图，    由勾股定理得； ②展开前面和右面，连接，如图，    由勾股定理得； ③展开左面和上面，连接，如图，    由勾股定理得； ， 最短路径的长为， 故答案为：． 【典例4-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)，Ⅱ (2)， (3) 【详解】（1）解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； （2）解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【变式4-1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁A点正对，离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个“”型的零件，四边形和四边形均为长方形，在点处有一只蚂蚁（看作点），点到的距离为，，，则蚂蚁沿零件表面从点到点爬行的最短路程是___________． 【答案】 【详解】解：将其展开，连接，过点D作于点H，如图， 由题意得，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 题型五 勾股定理实际应用（解答题重点） 答｜题｜模｜版 画图建模 → 标注已知边长 → 设未知量 → 列勾股方程求解。 易｜错｜点｜拨 单位统一，结果贴合实际场景，边长不为负数。 【典例5-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【典例5-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 【典例5-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【典例5-4】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】(1)0.6千米 (2)4万元 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 【变式5-1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【变式5-2】（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 【变式5-3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 题型六 面积与平方关系证明题（压轴题型） 答｜题｜模｜版 图形面积 ↔ 线段平方，正方形、圆形面积均可转化为直角三角形三边平方关系。 直角三角形三边向外作同类图形，始终满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”。 解｜题｜技｜巧 无需复杂推导，直接结合勾股定理公式代换即可完成证明。 【典例6-1】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【典例6-2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【详解】解：（1）； ， ； （2） ，， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 【变式6-2】（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【详解】（1）证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即． （2）解：结论仍成立，证明如下： 过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 题型七 网格中的勾股定理（数形结合高频题） 解｜题｜技｜巧 网格线段平方=横向格数差平方+纵向格数差平方，优先算平方、不开方，简化计算。 算出三边平方，直接验证是否满足勾股定理逆定理，无需测量角度。 可结合割补法+勾股定理，快速求解网格图形面积。 【典例7-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意． 故选：C． 【典例7-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【详解】（1）解：， 即线段的长度为5． （2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 【变式7-1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为的正方形； (2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，． 【详解】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 又， 正方形的边是的矩形的对角线， 画图如下： （2）解：，， 画图如下： 【变式7-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每问的画线不能超过四条． (1)在图1中先画点D，连，使于C点，且；再在线段上点E，连，使； (2)在图2中，格点O为平面直角坐标系原点，先画的高，再在x轴上画点G，连，使． 【详解】（1）解：如图1，点D即为所求， 连接，取的中点O，连接并延长，交于点E， ∵，点O是的中点， ∴平分， ∴， 则点E即为所求； （2）解：如图2，取格点，连接交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则即为所求； 由勾股定理得，， 取格点D，使，连接，取的中点E，连接交x轴于点G， 此时为等腰三角形，为的中线， ∴平分， ∴， 则点G即为所求． 题型八 勾股定理中的数学思想方法（易漏解难点） 【典例8-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 【典例8-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【典例8-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 【答案】（1）　　（2）或 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： （2）①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． ∵， ∴四边形是长方形． ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 由折叠得， ∴． ∴，． ∴，． 设，则，． 在中，由勾股定理，得， ∴，解得． ∴． ∴． ②当在上时，作关于对称的． 过作，交延长线于点，过作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ∴，． 同理可证． ∴，． ∴． 设，则，． ∴． 在中，由勾股定理，得 ，即 解得 ∴． ∴． 综上所述，的面积为或． 【变式8-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点， ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：， ∴， 又， ∴， ， ； （2）解：若， ， ∴， ， 由勾股定理得：； 若， ， ∴ ∴根据解析（1）可得：， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，延长至点G使得， ， ， ， ， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【变式8-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，． (1)若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； (2)如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 【详解】（1）ⅰ）证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G， ，，， ，都是等边三角形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即线段的长为． （2）解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接， 作于P， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 中，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， 是线段的垂直平分线， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得，， 所以线段的长为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】解：选项：，该三角形不是直角三角形，符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意； 选项：，该三角形是直角三角形，不符合题意． 2．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（   ） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【答案】A 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 3．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 4．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期末）在中，，则的面积为_______． 【答案】 【详解】解：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，为直角， 则． 5．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：5，10，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，，，， 则， 是直角三角形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走__________m的路程． 【答案】 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接， ∴，则， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，平分，则_____． 【答案】 【详解】解：如图：作于点， ∵平分，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【答案】21 【详解】解：在中，， ∴， ∵是翻折而成， ∴， ∴， ∴的周长． 5．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则 的最小值是________． 【答案】 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， 如图，根据“垂线段最短”，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度， 在中，，，由勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴， 的最小值为． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 7．（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【详解】（1）解：由题可得， ， ， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得， ， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 作点关于的对称点， ∵，即， ∴是线段的垂直平分线， ， 连接，交于点，此时，根据“两点之间线段最短”，，这是的最小值． 在中，，， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 6．（25-26八年级上·吉林长春·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点、之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当轴时，、两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当轴时，、两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当、两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整．    解：过、分别向轴、轴作垂线，两条垂线交于点． ∵轴，轴， ∴（_________，_________）， ∴______________， ______________， 在中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若，，则_________． （2）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点的对应点是，点的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标． （3）已知点为轴上一点，则的最小值为_________． 【答案】推导过程补充：；；． （1） （2）或（3） 【详解】解：根据题意，可知，则，． 故推导过程补充：；；． （1）根据， 可知． ． （2）由题可知，到，横坐标变化为，纵坐标变化为， 由，则， 解得，， 当，可知点由点向左平移个单位，向上平移个单位，即的坐标为； 当，可知点由点向左平移个单位，向下平移个单位，即的坐标为； 故点的坐标为或． （3）点在轴上，则，令，， 根据题意，可知表示， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴与点，    根据对称的性质可知，， 则， 此时即为取得的最小值，， 故的最小值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）（1）如图1，折叠等边纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：为等边三角形． （2）如图2，等腰纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，求的长度． （3）如图3，折叠锐角纸片，使点落在的右方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，请写出线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）①解：等边三角形，点为的中点， ， 折叠等边纸片，使点与边中点重合， ∴， ， ； ②证明：， ， ， 为等边三角形； （2）解：， ， 折叠等腰三角形纸片， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． （3）． 证明：如图，作，，，分别交于，，． ∵点、点到的距离相等， ∴， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 勾股定理直接计算（基础+中档） 题型02 勾股定理的逆定理与勾股数（必考） 题型03 勾股定理与折叠问题（期末压轴高频） 题型04 立体图形最短路径问题（几何最值难点） 题型05 勾股定理实际应用（解答题重点） 题型06 面积与平方关系证明题（压轴题型） 题型07 网格中的勾股定理（数形结合高频题） 题型08 勾股定理中的数学思想方法（易漏解难点） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的基础概念与直接计算 能准确复述勾股定理，熟记经典证明方法逻辑主线；能利用勾股定理计算直角三角形的边长，正确区分斜边与直角边，解决基础的边长、面积计算问题。 基础必考点，期末考常出现在选择题、填空题，是所有几何计算的基础，几乎每套卷必考，难度低，失分点多为斜边直角边混淆、计算错误。 勾股定理的逆定理与勾股数 能准确表述勾股定理逆定理的内容，能利用逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形，能结合整数边条件识别常见勾股数，掌握勾股数的构造规律。 中档常考点，期末考多与三角形边长计算、几何证明结合考查，常出现在选择题、填空题，偶尔在解答题第一问出现，需注意勾股数的定义与逆定理的应用条件，易错点为忽略最大边为斜边的前提。 勾股定理与折叠问题综合 能在矩形、正方形等图形的折叠背景中，正确提取直角三角形，利用折叠的性质结合勾股定理，通过设未知数列方程求解边长、面积等问题。 期末高频考点，常出现在选择题、填空题的中档题，解答题的核心题型，是期末考的热门题型，常结合矩形、正方形的性质考查，需掌握折叠问题的核心建模思路。 勾股定理的最短路径问题 能利用勾股定理解决平面图形中的最短路径问题，掌握"两点之间线段最短"的转化思路，能在网格、立体图形展开图中正确构造直角三角形，计算最短路径长度。 期末常考点，多与网格、立体图形展开图结合考查，常出现在选择题、填空题，偶尔在解答题中出现，核心考查转化与化归思想，易错点为展开图的构造错误。 勾股定理与网格问题综合 能在网格背景中，利用格点构造直角三角形，熟练运用勾股定理计算线段长度、三角形面积，判断三角形的形状，解决与网格相关的几何计算与证明问题。 期末高频基础考点，常出现在选择题、填空题，是期末考的固定题型之一，难度低，失分点多为网格中线段长度的计算错误、直角三角形的构造失误。 勾股定理与特殊三角形综合 能结合等腰三角形、等边三角形、含30°、45°角的直角三角形的性质，利用勾股定理解决综合计算与证明问题，能在复杂图形中拆分出基础直角三角形模型。 期末中档常考点，多在解答题中结合三角形全等、特殊三角形性质考查，是几何综合题的核心基础，需掌握特殊三角形的边角关系与勾股定理的结合应用。 勾股定理的实际应用 能将实际生活中的测量、航海、建筑等场景问题，转化为直角三角形模型，利用勾股定理解决实际问题，经历建模-解模-验模的完整流程，强化数学建模能力。 期末常考点，多以解答题的形式出现，常结合实际情境考查，核心考查数学建模与应用能力，易错点为实际场景向数学模型的转化错误。 勾股定理中的数学思想方法 能熟练运用数形结合、方程思想、分类讨论、转化与化归等数学思想，解决勾股定理相关的综合问题，能通过一题多解、一题多变领悟数学思想的应用。 期末考的核心考查方向，贯穿所有勾股定理相关的题型，是拉开分差的关键，尤其在压轴题中重点考查，需掌握各类数学思想在勾股定理问题中的应用场景。 知识点01 勾股定理（性质定理：形→数） 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则 （a、b为直角边，c为斜边）。 3. 变形公式（高频计算用）：，，（边长为正） 4. 适用条件：仅直角三角形（锐角、钝角三角形不成立）。 5. 常见证明（面积法）： 赵爽弦图：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，化简得 。 总统证法：梯形面积=3个直角三角形面积和，化简得 。 知识点02 勾股定理的逆定理（判定定理：数→形） 1. 定义：若三角形三边长a、b、c满足 ，则该三角形为直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 2. 判定步骤（易错必记）： ① 找最长边（必为c）； ② 计算 与 ； ③ 比较：相等→直角三角形；不等→非直角三角形。 3. 拓展（三角形按边分类）： 若 （c为最长边）→锐角三角形； 若 （c为最长边）→钝角三角形。 知识点03 勾股数（高频速算，必记） 1. 定义：满足 的正整数组，称为勾股数。 2. 基础勾股数（必考）： 3，4，5（及倍数：6，8，10；9，12，15……） 5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41 3. 性质：勾股数的正整数倍仍为勾股数。 知识点04 易错点警示（期末高频坑） 1. 勾股定理中c必为斜边（最长边），不可随意对应边。 2. 逆定理判定时，先找最长边，否则易误判（如2，3，4：，是钝角三角形）。 3. 勾股数必须是正整数，如2.5，6，6.5不是勾股数（仅为勾股数的倍数）。 4. 分类讨论：已知直角三角形两边长，未说明直角边/斜边时需分情况（如两边为3、4，第三边为5或 ）。 题型一 勾股定理直接计算（基础+中档） 解｜题｜技｜巧 先判定直角、找准斜边，杜绝边代错公式；优先使用常见勾股数倍数速算，不用每次都平方计算，大幅提升做题速度。 易｜错｜点｜拨 未说明直角三角形时，不能直接使用勾股定理。 【典例1-1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【典例1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【变式1-1】（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【变式1-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-3】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______． 【变式1-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点D在上，且，点E在的延长线上，且． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 题型二 勾股定理的逆定理与勾股数（必考） 解｜题｜技｜巧 万能步骤：排序（找出最长边）→ 算平方 → 验平方和，三步缺一不可。 判定口诀：小方和等于大方，即为直角三角形；小方和大于大方，为锐角三角形；小方和小于大方，为钝角三角形。 网格/坐标技巧：利用横纵差值求边长平方，无需开方，直接比较平方和即可判定直角。 【典例2-1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【典例2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【变式2-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【变式2-3】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【变式2-4】（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 题型三 勾股定理与折叠问题（期末压轴高频） 答｜题｜模｜版 折叠题必出相等边 → 设未知数找等量 → 锁定直角三角形 → 勾股定理列方程求解。 折叠前后对应边相等、对应角相等、重叠部分边长相等，是解题关键突破口。 优先标注所有相等线段，将未知边统一用一个未知数表示，简化方程。 【典例3-1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【典例3-3】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，把长方形的边折叠，使得点C落在边上，折痕交边于点E， (1)请用尺规作图的方法画出折痕（保留作图痕迹，不写画法）； (2)在长方形中，若，，则_____． 【变式3-1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 题型四 立体图形最短路径问题（几何最值难点） 解｜题｜技｜巧 立体转平面，所有最短路径问题，本质都是“两点之间线段最短”+勾股定理。 圆柱技巧：侧面展开为长方形，高不变，底面圆弧拉直为水平直角边，再求斜边。 长方体技巧：存在三种展开方式，需分类计算对比，取最小值即为最短路径。 【典例4-1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【典例4-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点A出发，经过长方体的表面爬到顶点B的最短路程为____________．    【典例4-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【变式4-1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁A点正对，离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个“”型的零件，四边形和四边形均为长方形，在点处有一只蚂蚁（看作点），点到的距离为，，，则蚂蚁沿零件表面从点到点爬行的最短路程是___________． 【变式4-4】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型五 勾股定理实际应用（解答题重点） 答｜题｜模｜版 画图建模 → 标注已知边长 → 设未知量 → 列勾股方程求解。 易｜错｜点｜拨 单位统一，结果贴合实际场景，边长不为负数。 【典例5-1】（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【典例5-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【典例5-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【典例5-4】（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【变式5-1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【变式5-2】（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【变式5-3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 题型六 面积与平方关系证明题（压轴题型） 答｜题｜模｜版 图形面积 ↔ 线段平方，正方形、圆形面积均可转化为直角三角形三边平方关系。 直角三角形三边向外作同类图形，始终满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”。 解｜题｜技｜巧 无需复杂推导，直接结合勾股定理公式代换即可完成证明。 【典例6-1】（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【典例6-2】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【变式6-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【变式6-2】（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 题型七 网格中的勾股定理（数形结合高频题） 解｜题｜技｜巧 网格线段平方=横向格数差平方+纵向格数差平方，优先算平方、不开方，简化计算。 算出三边平方，直接验证是否满足勾股定理逆定理，无需测量角度。 可结合割补法+勾股定理，快速求解网格图形面积。 【典例7-1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ）    A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【变式7-1】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图所示的网格为正方形网格，则______． 【变式7-2】（25-26八年级上·江西吉安·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为的正方形； (2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，． 【变式7-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每问的画线不能超过四条． (1)在图1中先画点D，连，使于C点，且；再在线段上点E，连，使； (2)在图2中，格点O为平面直角坐标系原点，先画的高，再在x轴上画点G，连，使． 题型八 勾股定理中的数学思想方法（易漏解难点） 【典例8-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【典例8-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【典例8-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 【变式8-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点， ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 【变式8-3】（23-24八年级上·四川成都·期末）在和中，点D在边上，，． (1)若． ⅰ）如图1，当时，连接，证明：； ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长； (2) 如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（  ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（   ） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 3．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·期末）在中，，则的面积为_______． 5．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走__________m的路程． 3．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，平分，则_____． 4．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的周长为______． 5．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则 的最小值是________． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 7．（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 4．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 6．（25-26八年级上·吉林长春·期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点、之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当轴时，、两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当轴时，、两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得；当、两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整．    解：过、分别向轴、轴作垂线，两条垂线交于点． ∵轴，轴， ∴（_________，_________）， ∴______________， ______________， 在中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若，，则_________． （2）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点的对应点是，点的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标． （3）已知点为轴上一点，则的最小值为_________． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）（1）如图1，折叠等边纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：为等边三角形． （2）如图2，等腰纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，求的长度． （3）如图3，折叠锐角纸片，使点落在的右方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，请写出线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $