专题04 特殊的平行四边形（期末复习讲义，5知识9重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

专题04 特殊的平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 题型02 中点四边形（基础+中档，易错） 题型03 性质基础计算（选择、填空必考） 题型04 几何判定证明题型（大题高频） 题型05 折叠几何题型（期末重难点、易错题） 题型06 多结论判断题型（选择压轴高频） 题型07 面积相关计算与最值 题型08 动点存在性压轴题型（期末满分难点） 题型09 正方形综合题（全章最难，解答压轴） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 基础：掌握定义、性质、判定及边角、对角线计算公式； 能力：解决矩形折叠、角度边长计算、基础证明； 素养：结合勾股定理、全等完成综合基础题型 高频考查对角线、角度计算，折叠模型为固定考点； 易错点：直接用“对角线相等的四边形是矩形”（缺少平行四边形前提） 菱形 基础：熟记菱形专属性质、面积公式、判定方法； 能力：熟练完成对角线、边长、面积互算，掌握中档证明； 素养：结合勾股定理解决菱形几何综合计算题 核心考查对角线与面积、边长的换算，常结合直角三角形出题； 易错点：计算菱形面积遗漏1/2；混淆矩形、菱形对角线性质 正方形 基础：掌握正方形兼具矩形、菱形的全部性质与判定； 能力：独立完成正方形综合证明、几何探究题； 素养：运用分类讨论、数形结合思想，突破动点、旋转、坐标系压轴题 期末区分度核心，常结合全等、旋转、动点、折叠综合考查； 易错点：判定条件冗余或不足，忽略平行四边形基础前提 综合题型 综合素养：掌握特殊平行四边形递进判定逻辑，熟练解决图形转化、最值、存在性问题。 基础题考概念计算，中档题考规范证明，压轴题考正方形综合探究。 知识点01 矩形 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 核心性质 边：对边平行且相等，邻边互相垂直； 角：四个角均为90°，内角和360°； 对角线：互相平分且长度相等，数学表达式：，； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 3. 判定定理 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形； 角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 重要推论（必考）：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。数学表达式：Rt△中，若CD为斜边AB中线，则。（矩形性质衍生核心考点，选择、填空高频必考） 知识点02 菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 核心性质 边：对边平行，四条边长度全部相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 3. 判定定理 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 4. 面积公式：①常规公式：底×高；②专属公式：（为两条对角线长度）。 知识点03 正方形 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 核心性质（兼具矩形、菱形所有性质） 边：四条边相等，对边平行，邻边垂直； 角：四个角均为90°； 对角线：垂直、平分、相等，且平分一组对角，对角线与边夹角恒为； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴）。 3. 常用判定方法 矩形基础：有一组邻边相等的矩形是正方形； 菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； 平行四边形基础：邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形； 对角线法：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。 知识点04 特殊平行四边形核心要点 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 1. 四个角都是直角； 2. 对角线相等且互相平分； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形； 3. 三个角是直角的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调平行四边形前提；矩形不一定有对角线垂直的性质。 菱形 1. 四条边都相等； 2. 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 面积=对角线乘积÷2 1. 有一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形； 3. 四条边都相等的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调平行四边形前提；菱形不一定有对角线相等的性质。 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质（四条边相等、四个角为直角）； 2. 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（4条对称轴）； 4. 面积=边长²=对角线乘积÷2。 1. 有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线相等且垂直的平行四边形； 3. 有一组邻边相等的矩形（或有一个角是直角的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免遗漏条件；正方形是特殊的矩形和菱形。 知识点05 期末速记口诀（考前背诵） 1. 矩形：直角平行四边，对角相等线等，三角直角亦可判，斜边中线记一半； 2. 菱形：邻边相等平行四边，四边相等线垂，对角线平分对角，面积对线积一半； 3. 正方形：直角邻等平行四边，兼具矩菱所有性，垂直相等对角线，四边四角皆均等。 题型一 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 1. 判定辨析：牢记“从属关系”——平行四边形→矩形（加一个直角/对角线相等）、平行四边形→菱形（加一组邻边相等/对角线垂直）、矩形+菱形→正方形，明确三者的异同点； 2. 命题判断：举反例排除错误命题（如“对角线相等的四边形是矩形”，反例：等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； 3. 条件补充：结合判定方法，补充最简便的条件（如“平行四边形ABCD，补充______，使它成为菱形”，可补充“AB=AD”或“AC⊥BD”）。 【典例1-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻角互补的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角为直角的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 【典例1-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点E、D、F分别在、、上，，．下列四个判断中，正确的是（   ） A．如果，那么四边形是正方形 B．如果，那么四边形是正方形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【典例1-3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）经过一段时间的学习，小琦发现数学知识之间是有许多内在逻辑联系的，因此在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 题型二 中点四边形（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 中点四边形解题统一遵循“三步法”，适配期中证明题、计算题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏： 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线核心，必做！），标注对角线的特征（相等/垂直/既相等又垂直）； 第二步：根据三角形中位线定理，推导中点四边形的两组对边分别平行且等于对应对角线的一半，证明中点四边形是平行四边形； 第三步：结合原四边形对角线的特殊特征（相等/垂直），推导中点四边形的边或角的特殊关系，进而判定中点四边形的具体形状（矩形/菱形/正方形）。 【典例2-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【典例2-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【变式2-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）我们知道：一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，那么顺次连接某个筝形各边中点得到的图形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都有可能 【变式2-2】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 题型三 性质基础计算（选择、填空必考） 解｜题｜技｜巧 1.矩形：利用对角线相等构造等腰三角形，出现60°夹角可直接得等边三角形； 2.菱形：对角线垂直，结合勾股定理求边长、线段长度； 3.正方形：利用45°角、对角线与边长的固定比例快速计算。 【典例3-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【变式3-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 题型四 几何判定证明题型（大题高频） 答｜题｜模｜板 先证平行四边形（核心基础）→ 补充专属条件 → 判定特殊图形 1. 证矩形：平行四边形+一个直角/对角线相等；三个直角的四边形 2. 证菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直；四边相等的四边形 3. 证正方形：先证矩形+邻边相等；先证菱形+一个直角 【典例4-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 【典例4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．过F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)在八下，我们会学习菱形．菱形的判定定理有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．当时，利用以上判定定理证明四边形是菱形． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 题型五 折叠几何题型（期末重难点、易错题） 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称变换→对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线；通用方法：设未知数+勾股定理列方程求解。 【典例5-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【典例5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸片先沿折叠，点A，B分别落在点、处，将得到的图形再沿折叠，点、分别落在点、处．若，则的度数为__________． 【典例5-3】（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为______． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_________． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 题型六 多结论判断题型（选择压轴高频） 解｜题｜技｜巧 逐项推导验证，利用特殊图形性质、全等三角形、等腰三角形性质推理，用反例排除错误结论。 正方形中，对角线平分对角，常出现45°角、等腰直角三角形； 菱形中，对角线平分一组对角，可证角相等、三角形全等； 矩形中，对角线相等，多等腰三角形结构。 【典例6-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【典例6-2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例6-3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，边长为1的正方形中，点E、F分别在上，交于点M，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【变式6-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式6-2】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型七 面积相关计算与最值 解｜题｜技｜巧 菱形：牢记面积 = 对角线乘积的一半，也可用 “底 × 高”； 矩形 / 正方形：常规面积公式，常结合割补法、折叠求阴影面积； 最值：利用 “垂线段最短” 求线段最小长度，进而求面积最值。 【典例7-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 【典例7-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【变式7-1】（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，的面积记为；当时，的面积记为；．．．；以此类推，当时，的面积记为，则的值为_______． 【变式7-2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，则的最小值为______． 【变式7-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图一菱形的面积与矩形的面积之比为 (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 题型八 动点存在性压轴题型（期末满分难点） 解｜题｜技｜巧 ①用含t的代数式表示动点线段长度；②根据图形判定条件列等量关系；③解方程求解；④验证点的位置是否符合题意（分类讨论）。 核心判定条件： 平行四边形：对边相等； 矩形：对角线相等/有一个直角； 菱形：邻边相等/对角线垂直。 【典例8-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【典例8-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【典例8-3】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【变式8-2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【变式8-3】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 题型九 正方形综合题（全章最难，解答压轴） 【典例9-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 【典例9-2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 【典例9-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： (1)甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； (2)乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 【变式9-3】（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3） 如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 5．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 6．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 4．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，点和点关于直线对称，点和点关于直线对称，恰好点、、在一条线上，连接，则___________． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（   ） （友情提示：正方形四条边都相等，四个角都是直角．） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，边长为7的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M．若，则的长为__________________ ． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形中，E是上一点，连接，作交于F． (1)求证：； (2)若， ①探究与的数量关系； ②若，求四边形的面积． 6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上，且，连接、、，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图2，某工厂有一块四边形工业区，经测量，，，为了方便处理污水，该工厂在边上取点，上取点、（点在点的左侧，且、、三点均不与端点重合），使得，连接、并延长交于点，在点处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，求线段的长度； (3)如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊的平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 题型02 中点四边形（基础+中档，易错） 题型03 性质基础计算（选择、填空必考） 题型04 几何判定证明题型（大题高频） 题型05 折叠几何题型（期末重难点、易错题） 题型06 多结论判断题型（选择压轴高频） 题型07 面积相关计算与最值 题型08 动点存在性压轴题型（期末满分难点） 题型09 正方形综合题（全章最难，解答压轴） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 基础：掌握定义、性质、判定及边角、对角线计算公式； 能力：解决矩形折叠、角度边长计算、基础证明； 素养：结合勾股定理、全等完成综合基础题型 高频考查对角线、角度计算，折叠模型为固定考点； 易错点：直接用“对角线相等的四边形是矩形”（缺少平行四边形前提） 菱形 基础：熟记菱形专属性质、面积公式、判定方法； 能力：熟练完成对角线、边长、面积互算，掌握中档证明； 素养：结合勾股定理解决菱形几何综合计算题 核心考查对角线与面积、边长的换算，常结合直角三角形出题； 易错点：计算菱形面积遗漏1/2；混淆矩形、菱形对角线性质 正方形 基础：掌握正方形兼具矩形、菱形的全部性质与判定； 能力：独立完成正方形综合证明、几何探究题； 素养：运用分类讨论、数形结合思想，突破动点、旋转、坐标系压轴题 期末区分度核心，常结合全等、旋转、动点、折叠综合考查； 易错点：判定条件冗余或不足，忽略平行四边形基础前提 综合题型 综合素养：掌握特殊平行四边形递进判定逻辑，熟练解决图形转化、最值、存在性问题。 基础题考概念计算，中档题考规范证明，压轴题考正方形综合探究。 知识点01 矩形 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2. 核心性质 边：对边平行且相等，邻边互相垂直； 角：四个角均为90°，内角和360°； 对角线：互相平分且长度相等，数学表达式：，； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 3. 判定定理 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形； 角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形。 4. 重要推论（必考）：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。数学表达式：Rt△中，若CD为斜边AB中线，则。（矩形性质衍生核心考点，选择、填空高频必考） 知识点02 菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2. 核心性质 边：对边平行，四条边长度全部相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）。 3. 判定定理 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 4. 面积公式：①常规公式：底×高；②专属公式：（为两条对角线长度）。 知识点03 正方形 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 核心性质（兼具矩形、菱形所有性质） 边：四条边相等，对边平行，邻边垂直； 角：四个角均为90°； 对角线：垂直、平分、相等，且平分一组对角，对角线与边夹角恒为； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴）。 3. 常用判定方法 矩形基础：有一组邻边相等的矩形是正方形； 菱形基础：有一个角是直角的菱形是正方形； 平行四边形基础：邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形； 对角线法：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。 知识点04 特殊平行四边形核心要点 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 1. 四个角都是直角； 2. 对角线相等且互相平分； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形； 3. 三个角是直角的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调平行四边形前提；矩形不一定有对角线垂直的性质。 菱形 1. 四条边都相等； 2. 对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（2条对称轴）； 4. 面积=对角线乘积÷2 1. 有一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线互相垂直的平行四边形； 3. 四条边都相等的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调平行四边形前提；菱形不一定有对角线相等的性质。 正方形 1. 兼具矩形、菱形所有性质（四条边相等、四个角为直角）； 2. 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3. 轴对称图形（4条对称轴）； 4. 面积=边长²=对角线乘积÷2。 1. 有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； 2. 对角线相等且垂直的平行四边形； 3. 有一组邻边相等的矩形（或有一个角是直角的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免遗漏条件；正方形是特殊的矩形和菱形。 知识点05 期末速记口诀（考前背诵） 1. 矩形：直角平行四边，对角相等线等，三角直角亦可判，斜边中线记一半； 2. 菱形：邻边相等平行四边，四边相等线垂，对角线平分对角，面积对线积一半； 3. 正方形：直角邻等平行四边，兼具矩菱所有性，垂直相等对角线，四边四角皆均等。 题型一 特殊平行四边形判定辨析与条件补充（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 1. 判定辨析：牢记“从属关系”——平行四边形→矩形（加一个直角/对角线相等）、平行四边形→菱形（加一组邻边相等/对角线垂直）、矩形+菱形→正方形，明确三者的异同点； 2. 命题判断：举反例排除错误命题（如“对角线相等的四边形是矩形”，反例：等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； 3. 条件补充：结合判定方法，补充最简便的条件（如“平行四边形ABCD，补充______，使它成为菱形”，可补充“AB=AD”或“AC⊥BD”）。 【典例1-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻角互补的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角为直角的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A、四边形中相邻两角互补只能推出一组对边平行，但无法保证另一组对边平行，因此不一定是平行四边形（例如梯形），故选项A不正确； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B正确； C、有一个角为直角的平行四边形是矩形，故选项C正确； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项D正确； 故选：A． 【典例1-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点E、D、F分别在、、上，，．下列四个判断中，正确的是（   ） A．如果，那么四边形是正方形 B．如果，那么四边形是正方形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：∵，． 四边形是平行四边形， 如果，那么平行四边形是矩形，无法判定是正方形， 故选项A不正确，不符合题意；选项C正确，符合题意； 如果，那么平行四边形是菱形，无法判定是正方形，也无法判定是矩形， 故选项B，D均不正确，不符合题意． 故选：C． 【典例1-3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）经过一段时间的学习，小琦发现数学知识之间是有许多内在逻辑联系的，因此在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】C 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组邻边相等 【答案】C 【详解】解：依题意，对角线相等的平行四边形是矩形，或者有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：C 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 【变式1-4】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 题型二 中点四边形（基础+中档，易错） 解｜题｜技｜巧 中点四边形解题统一遵循“三步法”，适配期中证明题、计算题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏： 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线核心，必做！），标注对角线的特征（相等/垂直/既相等又垂直）； 第二步：根据三角形中位线定理，推导中点四边形的两组对边分别平行且等于对应对角线的一半，证明中点四边形是平行四边形； 第三步：结合原四边形对角线的特殊特征（相等/垂直），推导中点四边形的边或角的特殊关系，进而判定中点四边形的具体形状（矩形/菱形/正方形）。 【典例2-1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图： ∵、、、分别是、、、的中点， ∴分别为的中位线， ，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ， 平行四边形为菱形， 故选：A． 【典例2-2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【答案】B 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理和三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线定理证明，即可证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：∵分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：， ∴当时，， ∴四边形菱形， 故B符合题意，A、C、D均不符合题意， 故选：B． 【典例2-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【详解】解：如下图所示，连接、， 点，为，的中点， 是的中位线， ，， 点，为，的中点， ，， ，， 同理可证，， ， ， 四边形为菱形． 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·山东泰安·期末）我们知道：一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，那么顺次连接某个筝形各边中点得到的图形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都有可能 【答案】B 【详解】如图所示，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，； ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵，， ∴； ∵点E，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：B． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意；     C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵在四边形中，，，，依次是，，，的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则：， ∴四边形是菱形；故②正确； 当时，则：， ∴， ∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，， ∴四边形是正方形；故④正确； 故选D 题型三 性质基础计算（选择、填空必考） 解｜题｜技｜巧 1.矩形：利用对角线相等构造等腰三角形，出现60°夹角可直接得等边三角形； 2.菱形：对角线垂直，结合勾股定理求边长、线段长度； 3.正方形：利用45°角、对角线与边长的固定比例快速计算。 【典例3-1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【典例3-2】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故选：B． 【典例3-3】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 【变式3-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 该正方形的对角线长为． 题型四 几何判定证明题型（大题高频） 答｜题｜模｜板 先证平行四边形（核心基础）→ 补充专属条件 → 判定特殊图形 1. 证矩形：平行四边形+一个直角/对角线相等；三个直角的四边形 2. 证菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直；四边相等的四边形 3. 证正方形：先证矩形+邻边相等；先证菱形+一个直角 【典例4-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）四边形是矩形， 证明：设交于点，如图， 设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴正方形的面积是， 在中，，点D是的中点， ∴ ∴的面积为， ∵正方形与面积相等， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴四边形是矩形． 【典例4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ， 在与中 ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ∴四边形是菱形． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．过F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)在八下，我们会学习菱形．菱形的判定定理有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．当时，利用以上判定定理证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接，交于点O， 由（1）得，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ，即为等腰三角形， ， ，即， 四边形是菱形， 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 题型五 折叠几何题型（期末重难点、易错题） 解｜题｜技｜巧 折叠本质是轴对称变换→对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线；通用方法：设未知数+勾股定理列方程求解。 【典例5-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【典例5-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸片先沿折叠，点A，B分别落在点、处，将得到的图形再沿折叠，点、分别落在点、处．若，则的度数为__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由沿折叠可知：， ∴， 由沿折叠可知：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例5-3】（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． 如图，过点E作于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠得，， ∴， 又∵， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 题型六 多结论判断题型（选择压轴高频） 解｜题｜技｜巧 逐项推导验证，利用特殊图形性质、全等三角形、等腰三角形性质推理，用反例排除错误结论。 正方形中，对角线平分对角，常出现45°角、等腰直角三角形； 菱形中，对角线平分一组对角，可证角相等、三角形全等； 矩形中，对角线相等，多等腰三角形结构。 【典例6-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∵， 又∵ ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值1，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【典例6-2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 【典例6-3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，边长为1的正方形中，点E、F分别在上，交于点M，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【详解】解：过作， ∵在正方形中， ∴，， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ， 故，①正确； 连接交于， ∵在正方形中， ，， ， 由①得， ， ∵， ， 又∵， ， ， ，故③正确； 作交于，，， 则四边形和四边形皆为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∵, 皆为等腰直角三角形， ， 由勾股定理可得， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 延长至，使，连接， ， ，， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， 设， ∵正方形边长为1， ∴， 由勾股定理得 ， 即，故⑤正确； ∵， ， ， ， 即 ，故②正确． 综上①②③④⑤都正确， 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，③错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，②正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 【变式6-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵在和中， ， ∴．故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵过点P分别作，的垂线， ∴四边形是矩形， ∴． 在直角中，， ∴．故③正确； 过点作， 则， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵正方形， ∴，而， ∴是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，故④错误； ⑤∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 当P是的中点时，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选B． 题型七 面积相关计算与最值 解｜题｜技｜巧 菱形：牢记面积 = 对角线乘积的一半，也可用 “底 × 高”； 矩形 / 正方形：常规面积公式，常结合割补法、折叠求阴影面积； 最值：利用 “垂线段最短” 求线段最小长度，进而求面积最值。 【典例7-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 【典例7-2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：设矩形的面积为S， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为 ， 故答案为：． 【典例7-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 【变式7-1】（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，的面积记为；当时，的面积记为；．．．；以此类推，当时，的面积记为，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：连接， 正方形和正方形， ，， ， 和是同底等高的三角形， 即， 当时，， ． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图一菱形的面积与矩形的面积之比为 (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； 故答案为：； （2）解：先连接对角线， 以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧， 以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点， 连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F， 则四边形即为所求： （3）解：方法一：在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即，解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：由方法二可知，同理可得菱形边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 题型八 动点存在性压轴题型（期末满分难点） 解｜题｜技｜巧 ①用含t的代数式表示动点线段长度；②根据图形判定条件列等量关系；③解方程求解；④验证点的位置是否符合题意（分类讨论）。 核心判定条件： 平行四边形：对边相等； 矩形：对角线相等/有一个直角； 菱形：邻边相等/对角线垂直。 【典例8-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【详解】（1）． 理由：四边形ABCD为矩形， ，，． 当秒时，，则， ． 在和中， ， ， ． （2）①如图，过点M作于点P， 则． 四边形为矩形， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ， 秒，则， ． 在中，． ②由题意，得，． 四边形是矩形， ， 当时，则以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形． 当点M在上时，即时，， ，得，解得； 当点M在点C的右侧时，即时，， ，解得． 综上所述，t的值为1或3． 【典例8-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【典例8-3】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 【变式8-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【变式8-2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． (1)当时，求t的值； (2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 如图2，当点的对称点在线段上时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图3，当点的对称点在线段的延长线上时， ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的值是2或6． 【变式8-3】（23-24八年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． (1)如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； (2)如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． （2）①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 题型九 正方形综合题（全章最难，解答压轴） 【典例9-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 由勾股定理得； （2）证明：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，， 当时，的值最小，即的值最小， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴此时，， 即的最小值为． 【典例9-2】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵点E是的中点， ∴． 设，则． 如图，延长至，使，连接． ∵正方形， ∴． ∴． ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴． ∴，即． 又∵， ∴． ∴． 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为． （3）解：如图，过F作于H点，连接，设与交于O点． 由（1），又，， ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴在和中，，， ∴． ∴， ∴当、、共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【典例9-3】（25-26八年级上·福建福州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动： (1)甲同学的操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A的对应点M落在上，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． ①连接，证明：是等边三角形； ②设正方形边长为2，求的长； (2)乙同学的操作过程如下：P、G分别在、上，将正方形纸片沿折痕折叠，使点C的对称点H落在边上，点D的对称点为K，交于点T．连接交于点N，连接、．请按要求补全图形，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：①是等边三角形， 证明：如图，连接， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ②如图 ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∵， ∴， 由折叠及题意，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点C作于点E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ， 由翻折，得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【变式9-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（3）． 【详解】解：（1）正方形中， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，设， 则，， ∵，即， ∴， ∴， ∴当最小时，即最小时，面积最小， ∴当时，即最小，面积最小， 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴的面积存在最小值是． 【变式9-3】（23-24八年级下·山东济南·期末）【探索发现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来． ①请你猜想，，之间的数量关系是______． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【详解】（1）①猜想：，理由如下： 如图： ， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； ②证明：如图，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）设， 当点在线段上时，连接， ， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， ， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，为的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为的角平分线， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 【答案】24 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是 故答案为：24． 5．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ，， 在 中，由勾股定理得：． 6．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，，是对角线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，，求四边形的周长． 【详解】（1）解：如图，垂直平分线，点即为所作； （2）解：如图，与的交点为， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：， ∵， ∴菱形的周长为15． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，， 在中 设，则， ，即， 解得：， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______． 【答案】． 【详解】解：如图，交轴于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：． 4．（24-25八年级下·重庆巫山·期末）如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，点和点关于直线对称，点和点关于直线对称，恰好点、、在一条线上，连接，则___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， 矩形中，，，， ∵点和点关于直线对称， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期末）（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下：如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（   ） （友情提示：正方形四条边都相等，四个角都是直角．） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵点在的延长线上， ∴，故结论①正确； ②∵四边形是正方形，点在对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ③设， ∴， 在正方形中，， 在中，， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ④过点作于点，如图所示： ∴， ∴， 由结论②正确得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴．故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共个． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，边长为7的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M．若，则的长为__________________ ． 【答案】 【详解】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，正方形中，E是上一点，连接，作交于F． (1)求证：； (2)若， ①探究与的数量关系； ②若，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上，且，连接、、，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由； 【问题解决】 （2）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图2，某工厂有一块四边形工业区，经测量，，，为了方便处理污水，该工厂在边上取点，上取点、（点在点的左侧，且、、三点均不与端点重合），使得，连接、并延长交于点，在点处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由． 【详解】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下： 四边形为矩形， ，， ，，，点为的中点， ，， （SAS）， ，． ， ， ， 为等腰直角三角形． （2）与相等，理由如下： 如图3，过点作于点，连接，取的中点，连接、、， ，，， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形． ，，， ， ， ， ，． ， 为等腰直角三角形， ． 点、分别为、的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． ． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，求线段的长度； (3)如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图所示，作正方形交于M，则，连接，， ∵， ∴， 延长至H，使， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设, ∴, ∴在中，， 即， 解得， ∴， 又，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G， ∵四边形是长方形，， ∴，，，， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 连接， ∵于点，交其延长线于点G， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴，即． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $