专题06 函数综合（5大考点）（广西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数综合应用，精选2026年广西各地二模试题，融合科技（巡检机器人）、社会热点（平陆运河）及文化元素（十二律），梯度覆盖平面直角坐标系等五大考点。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|平面直角坐标系、函数图像识别、反比例函数性质|结合十二律文化考反比例函数图像，心率监测题考查函数模型建立| |填空|2|反比例函数面积、几何图形与函数综合|平行四边形与反比例函数结合，考查面积计算| |解答|10|一次函数方案优化（机器人采购）、二次函数实际应用（天桥顶棚）|平陆运河货船运输考一次函数最值，喷泉轨迹题融合二次函数与几何变换|

专题06函数综合 5大考点概览 考点01平面直角坐标系及应用 考点02函数图像 考点03一次函数 考点04二次函数 考点05反比例函数 平面直角坐标系及应用 考点01 1．（2026·广西南宁·二模）如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图案盖住的点在第二象限，第二象限的点的符号特征为，进行判断即可． 【详解】解：∵图案盖住的点在第二象限，且第二象限的点的符号特征为， ∴“云形”图案盖住的点的坐标可能是． 2．（2026·广西贵港·二模）在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴点位于第二象限． 3．（2026·广西南宁·二模）点在平面直角坐标系中的（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征即可判断求解，掌握各象限点的坐标符号规律是解题关键． 【详解】解：平面直角坐标系中，四个象限内点的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． ∵点的横坐标为负，纵坐标也为负，符合第三象限点的坐标特征． ∴点位于第三象限． 函数图像 考点02 4．（2026·广西南宁·二模）小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离米与时间分钟之间关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据爷爷的运动过程，将行程分为三段：跑步去公园、打太极拳、漫步回家，分别分析离家距离随时间的变化情况及速度快慢对图象坡度的影响． 【详解】解：∵爷爷从家里跑步到公园， ∴离家距离随时间的增加而增加，且跑步速度较快，图象坡度较陡． ∵在公园打了一会太极拳， ∴离家距离保持不变，图象为平行于轴的线段． ∵沿原路漫步走到家， ∴离家距离随时间的增加而减小，直至为0，且漫步速度较慢，图象坡度较缓． 综上所述，图象应为先陡峭上升，再水平，最后平缓下降，观察选项，只有A选项符合． 5．（2026·广西南宁·二模）综合与实践 心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究． 【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系． 【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）． 小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）： 【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型． 小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型． 【解决问题】 (1)写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）； (2)《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）； (3)研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）． 【答案】(1)见解析 (2)47 (3)见解析 【分析】（1）根据数据是否有代表性解答； （2）将代入关系式求出答案即可； （3）将代入关系式求出答案，再比较即可． 【详解】（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理； （2）当时，即， 解得， 所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率； （3）解：当时，， 由于， 所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间． 一次函数 考点03 6．（2026·广西玉林·二模）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 7．（2026·广西南宁·二模）综合与探究    研究内容：“倍步点” 在平面直角坐标系中，我们定义：若点满足，则称点为“倍步点”．例如：点、都是“倍步点”．已知某抛物线的顶点是“倍步点”，且顶点的横坐标为，该抛物线与轴的交点为． (1)这条抛物线的顶点坐标为 ； (2)求这条抛物线的解析式，并求出抛物线上除顶点外另一个“倍步点”的坐标； (3)已知直线与轴、轴分别交于点、，将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，若新抛物线的顶点仍为“倍步点”，且顶点横坐标为，点是新抛物线上的动点，点是直线上的动点，求线段取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）把代入运算即可； （2）利用顶点式设，再把代入运算即可得到抛物线解析式，再联立直线解析式求交点即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分析出最小时的位置关系，通过联立函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：把代入可得： ， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴； 联立和可得： ， 整理得：， 解得：或， 把 代入可得： ， ∴另一个“倍步点”的坐标为：； （3）解：由题意可得：把代入可得： ， ∴新抛物线的顶点坐标为：， ∴新抛物线的解析式为：， 把直线向上平移，使其与抛物线只有唯一一个公共点，过点作于点Q，则此时的长度最短，如图所示： 设平移后的直线解析式为：， 联立和可得： ， 整理可得：， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴， ∴， 把代入可得：， ∴． 8．（2026·广西玉林·二模）近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划通过引进机器人提高快递物品分拣效率．我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题． 素材信息： 素材类别 具体内容 工作效率数据 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递； ②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000件快递． 采购价格信息 A，B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元． 请根据相关信息，解决下列问题： (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)物流公司计划采购A，B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于万件，如何采购才能使采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 【答案】(1)1台A型机器人每小时分拣1000件快递，1台B型机器人每小时分拣500件快递 (2)采购A型机器人15台，B型机器人20台时采购总费用最少，最少总费用是630万元 【分析】（1）设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递，再根据题意列方程组求解即可； （2）设采购A型机器人台，则B型为台，根据每小时总分拣量的要求求出自变量的取值范围，再列出总费用关于A型机器人数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最小费用和对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递， 由题意： 解得： 答：A、B两种机器人每小时各分拣件、件快递； （2）解：设采购A型机器人台，则B型为台， 由题意知： 解得， 设总费用为万元， ∴ ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 当时，W最小，此时A、B分别为15台和20台， ∴W的最小值为：（万元）， 答：采购A型15台，B型20台的费用最少，是630万元． 9．（2026·广西南宁·二模）平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 【答案】(1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围； （2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排． 解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值． 【详解】（1）解： 由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次， 为非负整数， 根据题意列不等式组： ， 解不等式 ， 因此，且为整数； （2）解：设总运量为吨， 根据题意得： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时（吨）， 乙型货船出航次数为 （次）， 答： 安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨． 10．（2026·广西南宁·二模）【问题情境】 在一节二次函数专题复习课上，老师带领同学们回顾了一个重要方法：求解二次函数图象平移问题时，通常先将二次函数解析式化为顶点式，再通过顶点坐标的变化，确定图象平移后的解析式．接着，老师给出了一个进阶挑战：如果图象不是沿坐标轴平移，而是沿任意一条直线的方向平移，又该如何分析？我们一起来探究吧！ 【初步感知】 (1)直接写出函数图象的顶点坐标； 【变换应用】 (2)将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度，得到新的函数图象，求平移后的函数图象与轴交点的纵坐标； 【延伸探究】 (3)将函数的图象沿着直线（是常数，）的方向平移，得到新的函数图象，在平移过程中，函数图象的顶点始终落在直线上．设平移后函数图象的顶点为，其横坐标为，该函数图象与轴交点的纵坐标为，且随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围； ②设直线与轴，轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同的值时，随的增大而怎样变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标为 (3)①；②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、函数图象的平移变换、二次函数与坐标轴的交点问题，以及利用二次函数的性质分析函数值的变化规律，熟练运用二次函数的顶点式、对称轴和增减性是解答本题的关键． （1）直接利用二次函数的顶点式，结合对称轴公式求出函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移的规律，先写出平移后的函数解析式，再令，求出对应的值，即平移后的函数图象与轴交点的纵坐标； （3）①先根据顶点在直线上，写出平移后函数的顶点式，再令，得到关于的二次函数表达式；将代入表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴和给定的的取值范围，求出的取值范围； ②根据直线与坐标轴的交点，确定的取值范围，再结合关于的二次函数的开口方向、对称轴位置，分和两种情况，分析随的变化规律． 【详解】（1）解：对称轴为， 当时，， 顶点坐标为； （2）解：将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度， 得， 当时，， 即平移后的函数图象与轴交点的纵坐标为； （3）解：①将图象沿着直线（是常数，）方向平移，顶点都在直线上． 顶点，平移后的函数为， 当时，， 时，， ，，开口向上， 时，时，， ； ②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 理由：依题意得， ， ，开口向上， 当时，，对称轴， 在对称轴右侧，随的增大而增大； 当时，，对称轴， 在对称轴左侧，随的增大而减小． 11．（2026·广西贵港·二模）【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 (1)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 (2)在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 (3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【答案】(1) (2)该点到支架的水平距离为米或米； (3)支架的最大长度为． 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【详解】（1）解：由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． （2）解：令，即， 解得， 答：该点到支架的水平距离为米或米； （3）解：由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 12．（2026·广西钦州·二模）综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？ 【答案】(1) (2)支架能承受的最大力约为 (3)在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是 【分析】（1）延长交于点D，则，即可解答； （2）根据题意得是关于的正比例函数，且随增大而增大，即可解答； （3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，则四边形是矩形， 然后在和中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：延长交于点D，则，   ， ． （2）解：，且为定值，   是关于的正比例函数，且随增大而增大， ∴当时，最大． 将、、代入，得：， ∴支架能承受的最大力约为． （3）解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则， ∴四边形是矩形，    ，， ， ， 中， ， ， ，    （）， ， （），     ， ，      ∴在中， ， ， 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 13．（2026·广西钦州·二模）为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本． (1)求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价； (2)某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 【答案】(1)该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元 (2)这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低 【分析】（1）设该校购买《西游记》的单价为元，根据“分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本”列分式方程求解即可； （2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，求出的函数解析式，进而求出的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设该校购买《西游记》的单价为元， ， 解得， 检验：时，， 是原分式方程的解， ， 答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元； （2）解：设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元， ， 根据题意得， 解得， 为正整数， 的最小值是4， 是关于的一次函数，且， 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低． 14．（2026·广西南宁·二模）综合与实践 【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，同学们进行了数据统计分析． 三个年级米接力成绩表 年级 方差 中位数（秒） 平均数（秒） 九年级 0.57 50.63 50.58 八年级 0.68 53.18 53.22 七年级 1.14 55.02 55.02 (1)【数据分析】比较三个年级米接力成绩，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） (2)【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和． 在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（），并且接力比赛用时满足：米接力成绩四人100米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①已知九（1）班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，求九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式． ②九（2）班选手的100米单项用时总和比九（3）班快1.4秒，但米接力成绩比九（3）班慢1.3秒，且两班的训练时间之和为13小时．求九（3）班的训练时长． 【答案】(1)见解析 (2)①（）；②九（3）班的训练时长为小时 【分析】（1）根据平均数、中位数和方差的意义进行解答即可； （2）根据题意构建函数模型，正确列出函数解析式，再利用方程求解即可． 【详解】（1）解：发现：九年级的米接力成绩平均数最小，方差也最小，说明九年级成绩最好且最稳定． 原因：九年级学生身体发育更成熟，体能更好（或训练时间更长，经验更丰富）． （2）解：①由题意得，九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为： （）． 答：九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为：（）． ②设九（3）班的训练时长为小时，则九（2）班的训练时长为小时；设九（3）班的100米单项用时总和为秒，则九（2）班的100米单项用时总和为秒， 根据题意可得，九（3）班的接力成绩为：， 九（2）班的接力成绩为：， ， ， 整理得，， 解得，． 答：九（3）班的训练时长为小时． 二次函数 考点04 15．（2026·广西贵港·二模）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断． 【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误； ②函数的对称轴是，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0， 则，故③正确； ④∵抛物线对称轴为，则， ∴，故④正确； ⑤抛物线的顶点为， ∴方程没有实数根时， ∴抛物线顶点在x轴下方, ∴， ∴，故⑤正确， ∴正确的选项有③④⑤共3个． 16．（2026·广西钦州·二模）二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 17．（2026·广西南宁·二模）【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定． 例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足． 【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系． (1)当，时，则，； (2)用含，的式子来表示，的长度，并求出的值； 【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，． (3)①求的值； ②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围． 【答案】(1)6，9 (2)，， (3)①；② 【分析】（1）当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，即可求出点A的坐标，得到的长，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点B的坐标，得到的长； （2）同（1）思路求解即可； （3）①由（2）可得，，则，，根据两次共跳了远，即可得到． ②根据两次跳跃的高度和均小于，得到，求出，由（2）可得，得到，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线， 令，则，解得，， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴顶点B的坐标为， ∴． （2）解：对于抛物线，     令，则，解得，， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴顶点B的坐标为， ∴． ∴． （3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用， ∴， ∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为， 由（2）可知，，， ∴，， ∵两次共跳了远，即， ∴． ②由①有， ∴， ∵两次跳跃的高度和均小于， ∴， ∴， ∵跳跃轨迹均可用， ∴由（2）可得， ∴， 解得． 18．（2026·广西玉林·二模）综合与实践 某数学实践小组利用四边形纸片开展动点探究活动．如图，在四边形中，，，，，过点作于点．动点，按如下规则运动，构造几何图形并研究其面积． 【动手操作】点从点出发沿向点运动，速度为1个单位长度/秒；点在点出发2秒后从点出发沿向点运动（出发前与重合），速度为2个单位长度/秒，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．过点作，过点作，和交于点，得到．设点的运动时间为秒，的面积为． 【初步感知】 (1)如图1，当时，求的值； 【探索发现】 (2)如图2，当时，连接，，是否存在点，使得四边形也是平行四边形？若存在，求此时的长和的值；若不存在，请说明理由； 【综合探究】 (3)如图3，当时，求关于的函数解析式，并求该函数的最大值． 【答案】(1) (2)存在；12；48 (3)．当时，S取最大值，． 【分析】（1）作于点，根据求解即可； （2）作于点，则，根据三角函数，平行四边形的性质求解即可； （3）根据题意，得，则，， ．结合当P到达C时，所用时间为秒；当E到达B时，所用时间为秒，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P与H重合， 此时，， 如图，作于点，，， 在中，， ， ∴平行四边形的面积：． （2）解：当时，存在点P使得四边形是平行四边形， ∴四边形是平行四边形，则有，且． 而在中，，且， ∴，即， 此时，， 同样作于点，则， ∴平行四边形的面积：． （3）解：当时，，则， ∴， ， ． ∵当P到达C时，所用时间为秒； 当E到达B时，所用时间为秒， ， ∴当时，S取最大值，此时：． 19．（2026·广西南宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作轴，交抛物线对称轴于点E，连接．若，求a的值． (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求a的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或0 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再配方成顶点式，进而可得出顶点坐标． （2）根据题意分别得出点A和点E的坐标，然后得出和，然后根据正切的定义得出关于a的一元二次方程，因式分解法解方程即可． （3）根据点A的坐标分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入， ， 解得：， ∴， ∴顶点B的坐标为． （2）解：∵点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． ∴， ∵轴，交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 解得或（舍去） （3）解：，，，， 分四种情况求解： 当时，，， ∴， 整理得：， 解得或（舍） 当时，，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，，， ∴， 整理得： 解得（舍）， 当时，，， ∴， 整理得：， 解得（舍），（舍） 综上所述：a的值为或0． 20．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； (3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）将代入抛物线解析式，通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得出顶点坐标． （2）根据平移规律得到平移后的抛物线解析式，令求出与轴的交点坐标，再计算两点间的距离． （3）先确定抛物线的对称轴与开口方向，再根据自变量的取值范围（），分析函数在该区间内的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为5列方程求解，最后结合的取值范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线为． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向上平移2个单位后为， 令，即， ， ， 解得或， ∴抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， ∴对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ，， ∴当时，取到最小值为， 当时，取到最大值，最大值为， 的最大值与最小值之差为5， ， 化简得：，即， ， ， ， ， ． 21．（2026·广西桂林·二模）【项目背景】广西“三月三”背篓绣球是特色民俗体育项目，抛绣球者需让绣球沿弧线落入同伴背篓．某科研团队在绣球上植入微型传感器，借助人工智能视觉追踪算法，实时生成绣球运动轨迹图象，辅助某校AI社团研究抛绣球最大高度与接球者移动距离的关系． 【项目实施】社团的小华负责抛球，小李负责接球．小华第一次抛出绣球，AI系统捕捉到绣球运动轨迹为抛物线．经实地测量，绣球抛出点与小李接球的最佳落点离地面高度均为1.5米，且A、B两点水平距离米． 【项目分析】如图，社团以点为坐标原点，A，B点所在直线为轴建立平面直角坐标系． 【深度研究】小华在同一抛出点处进行第二次抛绣球时，只改变抛射角度，此时小李需从原落点前后水平移动到新的最佳落点接球（前后抛物线均在同一平面内）．已知新抛物线的表达式为．设小李移动的距离为． (1)直接写出点的坐标； (2)若该抛物线解析式为，求该抛物线的最高点到地面的距离； (3)当米时，求小李移动的距离为多少米？ (4)请直接写出与移动的距离之间的数量关系． 【答案】(1) (2)米 (3)小李移动的距离为米； (4)点在点右侧时，，点在点左侧时，． 【分析】（1）根据点为坐标原点，A，B点所在直线为轴，米，即可解答； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可解答； （3）先求出新抛物线的表达式为，令，求解方程即可解答； （4）将代入得，求出，根据抛物线的性质得到，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵点为坐标原点，A，B点所在直线为轴，米， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 则（米） ∴该抛物线的最高点到地面的距离为米； （3）解：当米时，新抛物线的表达式为， 将代入得， 解得或（舍去）， ∴新抛物线的表达式为， 令，即， 解得或（舍去）， ∴（米）， 答：小李移动的距离为米； （4）解：将代入得，得，即， ∴， ∵新抛物线的图象关于直线对称，且， ∴， ∴， ∴， 当时，则，即点在点右侧，此时， 当时，则，即点在点左侧，此时， 综上，点在点右侧时，，点在点左侧时，． 22．（2026·广西南宁·二模）学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究． (1)当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）； (2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式； (3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式； (4)已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)能，理由见解析 【分析】（1）先设抛物线的顶点式为，再将点代入可得答案； （2）根据第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点可得答案； （3）将抛物线向上平移h米，经过点，可得，整理得出答案； （4）将代入关系式，求出解比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为， 将点代入，得， 解得， ∴水柱所在的抛物线的函数表达式为； （2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴抛物线的顶点式为； （3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得 ， 则； （4）解：能，理由如下： 当时，， 解得或（舍去） ∵，， 则， 所以绿化带能被水柱喷灌到． 23．（2025·河北秦皇岛·一模）琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线，内边缘为线段，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（）时，C点到对称轴的距离为（），A点与O点水平距离（），A到对称轴的距离为（）． (1)如图3，以O为原点，以直线为x轴，建立平面直角坐标系． ①求出对称轴上方抛物线的解析式； ②点E在抛物线上，且点E到对称轴的距离最大，求点E的坐标； (2)如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称．琪琪说：总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由； (3)琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值． 【答案】(1)①，② (2)琪琪的说法对，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键， （1）①用待定系数法求二次函数表达式即可；②求出二次函数顶点坐标即可； （2）先求出直线表达式为，进而利用二次函数性质求出在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度即可解决问题； （3）根据图象得出当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，求出此时直线表达式及点坐标，进而求出正方形对角线长度，再利用三角函数求出正方形边长； 【详解】（1）解：①抛物线过点， 设抛物线的解析式为， 由题意得：， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为； ②， 点坐标为； （2）解：琪琪的说法对，理由如下： 设直线表达式为， 直线过点， ， 解得， 直线表达式为， ， 在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是， 安装4条竖直的铁丝总长度小于，总长的铁丝一定够用， 所以琪琪的说法正确； （3）解：如下图所示，这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中时，所需正方形边长最小， 四边形为正方形， ， ， 设， 则， 设直线表达式为， 把代入，， 解得：， 直线表达式为， 由图可知当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小， 有两个相等的实数根， 化简方程，得：， ，即， 解得：， 直线表达式为， 当时，，即， 由（1）知，抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， 由对称性可知正方形的顶点， 则， 此时所需正方形边长， 这个正方形托盘边长的最小值是． 反比例函数 考点05 24．（2026·广西南宁·二模）中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即，根据反比例函数的图象即可得到答案． 【详解】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y， ∴， 即， 根据反比例函数的图象可知，只有选项D符合题意． 25．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 26．（2026·广西南宁·二模）如图，O是坐标原点，反比例函数（）与直线交于点A，点B在（）的图象上，直线与y轴交于点C，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出A点坐标，根据可以求出，再根据，，可求出与的关系，进而可求出B点坐标，问题得解． 【详解】解：联立：，且， 解得：，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数以及勾股定理等知识，灵活利用三角形的面积的不同表达方式得出A、B两个点的横坐标的数量关系是解答本题的关键． 27．（2026·广西桂林·二模）如图，平行四边形的对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在反比例函数和的图象上，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，E．若，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，判定出四边形为矩形，四边形为正方形，通过全等三角形的判定和性质得出，利用锐角三角函数得出，然后利用反比例函数的性质求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵轴，轴， ∴，且， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 解得（负值已舍）， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限，， ∴． 28．（2026·广西南宁·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接，．则四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．3 D．27 【答案】C 【分析】设点坐标为，根据反比例函数的几何意义得，表示出矩形及、的面积，利用面积和差关系求解． 【详解】解：设点坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 轴，轴， 四边形为矩形，，，，， ， ，， ，， ，， ． 29．（2026·广西玉林·二模）如图，点，是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则________． 【答案】9 【分析】先根据求出的值，确定反比例函数解析式，再求出点的横坐标，进而求出的长，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：轴，， ， 反比例函数图象在第一象限， ， ， 反比例函数的解析式为， ，， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数图象上， 当时，，即， ． 30．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 【答案】 【分析】过点、点作轴的垂线，垂足为，则，得出，设，则，根据反比例函数的解析式表示出， ，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∵是的中线， ∴， 设，则， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06函数综合平面直角坐标系及应用 考点01 1. B 2. B 3. C 函数图像 考点02 4. A 5. （1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理； （2）当时，即， 解得， 所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率； （3）解：当时，， 由于， 所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间． 一次函数 考点03 6. D 7. (1) (2)； (3) 8. (1)1台A型机器人每小时分拣1000件快递，1台B型机器人每小时分拣500件快递 (2)采购A型机器人15台，B型机器人20台时采购总费用最少，最少总费用是630万元 9. (1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 10. （1）解：对称轴为， 当时，， 顶点坐标为； （2）解：将函数的图象沿着轴方向向右平移个单位长度， 得， 当时，， 即平移后的函数图象与轴交点的纵坐标为； （3）解：①将图象沿着直线（是常数，）方向平移，顶点都在直线上． 顶点，平移后的函数为， 当时，， 时，， ，，开口向上， 时，时，， ； ②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 理由：依题意得， ， ，开口向上， 当时，，对称轴， 在对称轴右侧，随的增大而增大； 当时，，对称轴， 在对称轴左侧，随的增大而减小． 11. (1) (2)该点到支架的水平距离为米或米； (3)支架的最大长度为． 12. (1) (2)支架能承受的最大力约为 (3)在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是 13. (1)该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元 (2)这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低 14. （1）解：发现：九年级的米接力成绩平均数最小，方差也最小，说明九年级成绩最好且最稳定． 原因：九年级学生身体发育更成熟，体能更好（或训练时间更长，经验更丰富）． （2）解：①由题意得，九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为： （）． 答：九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为：（）． ②设九（3）班的训练时长为小时，则九（2）班的训练时长为小时；设九（3）班的100米单项用时总和为秒，则九（2）班的100米单项用时总和为秒， 根据题意可得，九（3）班的接力成绩为：， 九（2）班的接力成绩为：， ， ， 整理得，， 解得，． 答：九（3）班的训练时长为小时． 二次函数 考点04 15. B 16. A 17. (1)6，9 (2)，， (3)①；② 18. (1) (2)存在；12；48 (3)．当时，S取最大值，． 19. (1)；顶点坐标为 (2) (3)或0 20. (1) (2)4 (3) 21. (1) (2)米 (3)小李移动的距离为米； (4)点在点右侧时，，点在点左侧时，． 22. （1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为， 将点代入，得， 解得， ∴水柱所在的抛物线的函数表达式为； （2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴抛物线的顶点式为； （3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得 ， 则； （4）解：能，理由如下： 当时，， 解得或（舍去） ∵，， 则， 所以绿化带能被水柱喷灌到． 23. （1）解：①抛物线过点， 设抛物线的解析式为， 由题意得：， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为； ②， 点坐标为； （2）解：琪琪的说法对，理由如下： 设直线表达式为， 直线过点， ， 解得， 直线表达式为， ， 在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是， 安装4条竖直的铁丝总长度小于，总长的铁丝一定够用， 所以琪琪的说法正确； （3）解：如下图所示，这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中时，所需正方形边长最小， 四边形为正方形， ， ， 设， 则， 设直线表达式为， 把代入，， 解得：， 直线表达式为， 由图可知当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小， 有两个相等的实数根， 化简方程，得：， ，即， 解得：， 直线表达式为， 当时，，即， 由（1）知，抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， 由对称性可知正方形的顶点， 则， 此时所需正方形边长， 这个正方形托盘边长的最小值是． 反比例函数 考点05 24. D 25. B 26. A 27. C 28. C 29. 9 30. 12 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06函数综合 ☆5大考点概览 考点01平面直角坐标系及应用 考点02函数图像 考点03一次函数 考点04二次函数 考点05反比例函数 考点01 平面直角坐标系及应用 1.(2026广西南宁·二模)如图，“云形”盖住的点的坐标可能是() A.（2,2) B.(-2,2) C.(-2,-2) D.(2,-2) 2.(2026广西贵港·二模)在平面直角坐标系中，点P(-1,2)位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2026广西南宁·二模)点P(-5,-5在平面直角坐标系中的() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点02 函数图像 4.(2026广西南宁二模)小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然 后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图象是() B. D 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026广西南宁：二模)综合与实践 心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造 成危险，确保体育运动的有效性与安全性，体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素 影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究 【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系， 【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图 1). 小红跳绳过程中心姿动时间变化出线 学牛株绳过程中心遮随时间变化曲线 200 200 180 160 140 140 120 120 1 100 881 0 40 20 0 204060801001201401601803 04 20406080100120140160180x 图1 图2 小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10 秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2)： 【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳 过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提 醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型 小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率y随运动时间x(单位：秒)的变化而变化的函数模型 y=212-6+袋 7920 【解决问题】 ()写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）： (②)《义务教育体育与健康课程标准(2022年版)》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平 均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多 少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）； (3)研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小 明同学提出建议（写出一条建议即可）. 考点03 次函数 6.(2026广西玉林二模)若点A(0,y),B(2,y2),C(3,y3)在正比例函数y=2x的图象上，则y1, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y2,y3的大小关系为() A.y3<y2<y1B.y2<y1<y3C.y1<y3<y2D.y1<y2<y3 7.(2026广西南宁·二模)综合与探究研究内容：“倍步点” 在平面直角坐标系中，我们定义：若点P(x,y)满足y=2x十1，则称点P为倍步点”.例如：点(0,1)、 (一1，一1)都是“倍步点”.己知某抛物线的顶点是“倍步点”，且顶点的横坐标为1，该抛物线与y轴的交 点为(0,5). 5 3 2 -5-4-3-2-1Q 12345 -2 -3 -4 (1)这条抛物线的顶点坐标为_； (2)求这条抛物线的解析式，并求出抛物线上除顶点外另一个“倍步点”的坐标： (3)已知直线y=一x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,将(1)中的抛物线平移得到一条新抛物线，若新 抛物线的顶点C仍为“倍步点”，且顶点横坐标为3，点P是新抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，求 线段PQ取最小值时点P的坐标. 8.(2026广西玉林·二模)近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划通 过引进机器人提高快递物品分拣效率，我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题， 素材信息： 素材类别 具体内容 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递； 工作效率数 ②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000 据 件快递。 采购价格信 A,B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元. 息 请根据相关信息，解决下列问题： 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)物流公司计划采购A,B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于2.5万件，如何采购才能使 采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 9.(2026广西南宁·二模)平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部 湾港的货物吞吐量稳步增长.某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，己知甲型货船的单次运量为10吨， 乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元.受 航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次。 (1)设甲型货船的出航次数为m次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求m的取值范 围； (2)在(1)的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 10.(2026广西南宁，二模)【问题情境】 在一节二次函数专题复习课上，老师带领同学们回顾了一个重要方法：求解二次函数图象平移问题时，通 常先将二次函数解析式化为顶点式，再通过顶点坐标的变化，确定图象平移后的解析式.接着，老师给出 了一个进阶挑战：如果图象不是沿坐标轴平移，而是沿任意一条直线的方向平移，又该如何分析？我们一 起来探究吧！ 【初步感知】 (1)直接写出函数y=x2-1图象的顶点坐标； 【变换应用】 (2)将函数y=x2一1的图象沿着x轴方向向右平移3个单位长度，得到新的函数图象，求平移后的函数图象 与y轴交点的纵坐标； 【延伸探究】 (3)将函数y=x2-1的图象沿着直线y=kx一1(k是常数，k≠0)的方向平移，得到新的函数图象，在 平移过程中，函数图象的顶点始终落在直线y=kx一1上.设平移后函数图象的顶点为P,其横坐标为m, 该函数图象与y轴交点的纵坐标为n,且n随m的变化而变化 ①若k=2,当一4≤m≤0时，求n的取值范围； ②设直线y=kx-1与x轴，y轴的交点分别为A,B,点P在线段AB上.当k取不同的值时，n随m的增 大而怎样变化？请说明理由 11.(2026广西贵港·二模)【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为 行人遮风挡雨，又与城市景观融合，如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑， 以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱OD为y轴建立平面直角坐标系，点B,E,D,C在顶棚抛物线形骨 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离OD为3米，己知顶部骨架抛物线的最高点 到0D的水平距离为2米，离水平面的距离为3.5米。 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 (I)设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y(米)，该处离支架0D的水平距离为x(米)，求y与x之间的函 数关系式： 【实践探究】 (2)在顶棚骨架上找一点Q,使得该点到水平面的距离为受米，求该点到支架0D的水平距离： 【拓展应用】 (3)为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段AB,AC,EF组成，点F 在线段AB上，EF‖OD,为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架EF的最大长度. 12.(2026广西钦州二模)综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全，图2是小桌板展开后的左 视图，其中OA为支架，AB为桌面的宽，调节椅背OP不会改变OA与AB的位置，AB与地面保持平行且 ∠0AB=128°，当椅背垂直于地面时，0A与0P的夹角为6.(sin38°≈，cos38°≈青， tan38°≈，sin52°≈号，cos52°≈，tan52°≈号) 图1 图2 (1)求6的度数： (②)为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为24kg,F是支架的承受力，且F与6满足 mg F=,其中m是物体的质量，g=10N/kg·求支架承受力的最大值： 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板ABCD上的俯视图，底面圆心为点Q,点Q到AD的距离QH为5cm: 图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径QE=3cm,支架0A=40cm,当椅背0P向后调节30°至 OP'处时，在水杯不被碰倒的情况下，求EF的最大高度？ 图3 图4 13.(2026广西钦州·二模)为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花 费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》 的数量比《红楼梦》的数量多50本 (1)求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价： (②)某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个 班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 14.(2026广西南宁.二模)综合与实践 【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，同学们进行了数据统计分析. 三个年级4×100米接力成绩表 年级 方差 中位数（秒） 平均数（秒） 九年级 0.57 50.63 50.58 八年级 0.68 53.18 53.22 七年级 1.14 55.02 55.02 (1)【数据分析】比较三个年级4×100米接力成绩，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？ (写出一条即可) (2)【进阶分析】在4×100米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的 时间损耗.因此4×100米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和 在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t(单位：秒)与交接棒训练时长x(单位：小时) 满足一次函数关系t=0.1x+0.2(x≥0)，并且接力比赛用时满足：4×100米接力成绩=四人100米单 项时间总和一三次交接棒总节约时间 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①已知九(1)班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，求九(1)班4×100米接力成绩y(单位：秒) 与交接棒训练时长x(单位：小时)之间的函数表达式 ②九(2)班选手的100米单项用时总和比九(3)班快1.4秒，但4×100米接力成绩比九(3)班慢1.3秒， 且两班的训练时间之和为13小时.求九(3)班的训练时长. 考点04 二次函数 15.(2026广西贵港·二模)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点 (-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac<0;②当x<一1时，y随x增 大而减小；③a+b+c<0;④2a-b=0;⑤若方程ax2+bx+c=m没有实数根，则m>2.其中正 确结论的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 16.(2026广西钦州二模)二次函数y=(x-1)+2图象的对称轴是直线() A.X=1 B.x=-1 C.x=2 D.X=-2 17.(2026广西南宁·二模)【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人.为避免其与 障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为x轴 正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度y与跳跃水平距离x的关系，可用函数y=一是x2+qx描 述，式中v为起跳速度（单位：m/s),P,9是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定。 例如：以45°起跳时，则满足y=-x2+x;以60°起跳时，则满足y=-x2+V3x。 【模型研究】如图1，将机器人跳跃轨迹抽象成形如y=一x2+bx的二次函数图象(a,b均为常数， a>0,b>0),该函数图象与x轴交于点A,取抛物线顶点B,过B作BC⊥x轴于点C.机器人单次跳跃的 水平距离为线段OA的长，跳跃最大高度为线段BC的长，经研究发现OA与BC存在一定的比例关系， 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M N B D C 0 图1 图2 (1)当a=1,b=6时，则0A=,BC=; (②)用含a,b的式子来表示0A,BC的长度，并求出器的值： 【模型应用】图2是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同 的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用y-一兰x2+2x描述，两次共跳了3m远.在起跳点正上方1m处， 设置有一条平行于地面的观测线MN.若两次跳跃过程中，均未触碰到MN,设两次跳跃的最大高度分别 为DE,FG (3)①求DE+FG的值； ②设其第一次起跳的速度为V1(单位：m/s),求V的取值范围. 18.（2026广西玉林二模)综合与实践 某数学实践小组利用四边形纸片开展动点探究活动.如图，在四边形ABCD中，AD‖BC, AB=CD=10,AD=8,BC=20,过点A作AH⊥BC于点H.动点E,P按如下规则运动，构造几何 图形并研究其面积 H(P) 图1 图2 图3 【动手操作】点E从点A出发沿AB向点B运动，速度为1个单位长度/秒；点P在点E出发2秒后从点H出发 沿HC向点C运动(P出发前与H重合)，速度为2个单位长度/秒，当一动点到达终点时另一动点也停止运动. 过点E作EF‖BC,过点P作PF‖AB,EF和PF交于点F,得到口BEFP.设点E的运动时间为t秒， 口BEFP的面积为S. 【初步感知】 (1)如图1，当t=2时，求S的值； 【探索发现】 (2)如图2，当t>2时，连接AF,EP,是否存在点P,使得四边形AEPF也是平行四边形？若存在，求此 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 时BP的长和S的值；若不存在，请说明理由； 【综合探究】 (3)如图3，当t>2时，求S关于t的函数解析式，并求该函数S的最大值， 19.(2026广西南宁.二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于 M(-1,0),N3,0)两点，顶点为B.点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a. y个B ()求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标 (②)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作AE‖x轴，交抛物线对称轴于点E,连接AB.若 tan∠BAE=3,求a的值 (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A,M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3-7a,求a的 值。 20.(2026广西钦州二模)在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线为y=ax2-6ax+5a-2（a为常数， a>0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向上平移2个单位后与x轴交于A,B两点，求AB的长； (3)当t≤x≤t+3(0≤t≤1)时，y的最大值与最小值之差为5，求a的取值范围. 21.(2026广西桂林·二模)【项目背景】广西“三月三”背篓绣球是特色民俗体育项目，抛绣球者需让绣球沿 弧线落入同伴背篓.某科研团队在绣球上植入微型传感器，借助人工智能视觉追踪算法，实时生成绣球运 动轨迹图象，辅助某校AI社团研究抛绣球最大高度与接球者移动距离的关系. 【项目实施】社团的小华负责抛球，小李负责接球.小华第一次抛出绣球，AI系统捕捉到绣球运动轨迹为 抛物线.经实地测量，绣球抛出点A与小李接球的最佳落点B离地面高度均为1.5米，且A、B两点水平距 离AB=8米 【项目分析】如图，社团以点A为坐标原点，A,B点所在直线为x轴建立平面直角坐标系。 【深度研究】小华在同一抛出点A处进行第二次抛绣球时，只改变抛射角度，此时小李需从原落点B前后水 平移动到新的最佳落点C接球（前后抛物线均在同一平面内）.己知新抛物线的表达式为 y=-(x-h)2+k(hk>0).设小李移动的距离BC为d. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B Cx 地面 (1)直接写出点B的坐标： (2)若该抛物线解析式为y=一x(x-8),求该抛物线的最高点到地面的距离； (3)当k=号米时，求小李移动的距离d为多少米？ (4)请直接写出k与移动的距离d之间的数量关系. 22.(2026广西南宁，二模)学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头， 它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究， 25 00.75 2主 图1 图2 (①)当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上， 在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池 中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所 在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）； (2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式： (3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷 头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之 间的数量关系式： (4己知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通 过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理 由. 23.(2025·河北秦皇岛一模)琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题.她 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计)，它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的 平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段.如图2，两个“花瓣”公共顶点为O, 对称轴为直线MN,内边缘为线段OA,OB,淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1(OH=1dm) 时，C点到对称轴MN的距离为2dm(CH=2dm),A点与O点水平距离4dm(OQ=4dm),A到对称 轴MN的距离为2dm(AQ=2dm), 图1 图2 图3 (1)如图3，以O为原点，以直线MN为x轴，建立平面直角坐标系. ①求出对称轴MN上方抛物线C1的解析式： ②点E在抛物线C1上，且点E到对称轴MN的距离最大，求点E的坐标 (②)如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上， 且使得安装后的工艺品仍然关于直线MN对称.琪琪说：总长10d的铁丝一定够用（不考虑损耗）.你认 为琪琪的说法对吗？并说明理由； (3)琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？ 请直接写出这个最小值. 考点05 反比例函数 24.(2026广西南宁.二模)中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音， 称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x,频率为y,选取5组数对(8，y),在平面 直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是() 黄大太夹姑中蕤林夷南无应 钟吕簇钟洗吕宾钟则吕射钟 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. B.O C. D ● 0 25.(2026广西南宁二模)反比例函数y=(x>0)的图象如图所示，点A(x,y)是反比例函数图象上一 点，过点A作AB⊥y轴于点B,连接OA,则△AOB的面积是() y= 4 B A(x,y) x A.1 B.2 C.5 D.6 26.(2026广西南宁·二模)如图，O是坐标原点，反比例函数y=一是(x>0)与直线y=-4x交于点 A,点B在y=-是(x>0)的图象上，直线AB与y轴交于点C,连接0B,若AB=3AC,则0B的长 为() A.17 B.15 c.v1o D.97 3 27.(2026广西桂林·二模)如图，平行四边形ABC0的对角线0B在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和 第二象限的点C分别在反比例函数y=是和y=奈的图象上，过点A,C分别作x轴的垂线，垂足分别为点D ,E.若∠A0D=45°，且tan∠0CE=,则k的值是() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.-6 B.-45 C.-8 D.-45 28.(2026广西南宁二模)如图，点A在反比例函数y=是的图象上，AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C ,OD=专OB,OE=言0C,连接AE,AD.则四边形ODAE的面积为() E D B A.6 B.9 C.3 D.27 29.(2026广西玉林二模)如图，点A,B是反比例函数y=奈(x>0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C, BD⊥x轴于点D,连接0A,BC,若点C(2,0),CD=6,S△40c=12,则S△BcD= \A B D 30.(2026广西贵港·二模)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是 △OAB的中线，点B,C在反比例函数y=是(x>0)的图象上，则△OAB的面积等于 B 1/23