专题05 圆综合（4大考点）（广西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆综合四大核心考点，整合广西多地二模真题，情境融合非遗文化与生活实际，突出知识应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|5|垂径定理、圆周角、圆锥侧面积|以芒编草帽、五色糯米饭等非遗素材设题，考查几何直观| |填空|3|圆位置关系、圆锥圆心角|结合汽车右转危险区等生活场景，强化空间观念| |解答|9|切线证明、新定义“切接圆”、摩天轮路径计算|综合题如第6题融合切线证明与运动路径分析，第13题引入“切接圆”概念考查推理能力，贴合中考命题趋势|

专题05 圆综合 4大考点概览 考点01垂径定理 考点02圆周角 考点03点、直线、圆与圆位置关系 考点04弧长、扇形面积、圆锥计算 垂径定理 考点01 1．（2026·广西钦州·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设球的半径为，利用垂径定理得到，再根据勾股定理列出关于的方程，求解得到半径． 【详解】解：连接，设球的半径为，则， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴， 解得 圆周角 考点02 2．（2026·广西南宁·二模）如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先作点关于的对称点，连接，连接交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，连接交于点，此时有最小值，最小值为的长，如图所示： ∴， ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 3．（2026·广西桂林·二模）如图，菱形的三个顶点，，和点均在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质和圆的基本性质得是等边三角形，得，最后用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， , 又点，，和点均在上， , , 是等边三角形， ． 圆周角和圆心角所对的弧都是， 根据圆周角定理： ． 4．（2026·广西玉林·二模）如图，已知是的直径，点，是在上，，，交于点，的切线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，圆的性质，余角的性质，证明即可； （2）证明是等边三角形，．求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ． 是的切线， ∴， 故， 又在中，， ∴． （2）解：由题意和（1）知， ∴是等边三角形， ． 在中，，， ． 即． 5．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，弦与直径相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，得到，对顶角得到，即可得证； （2）圆周角定理得到，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的半径为． 6．（2026·广西南宁·二模）【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图．点为摩天轮圆形转轮的圆心，为水平支撑架，支撑塔架，与分别交于两点，已知． 【问题探究】 (1)如图2，设点是线段的中点，连接交于点．过点作，分别交，于点，求证：是的切线； 【问题解决】 (2)如图2，连接，经测量可得，，，，求摩天轮的半径的长； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，座舱（体积忽略不计）从点位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N．在这个过程中，当为锐角三角形时，求座舱的运动路径的长（记为）的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)摩天轮的半径的长为 (3)座舱运动路径的取值范围是 【分析】（1）根据等边对等角并结合题意可得，即可证明是的切线． （2）根据相似三角形的判定，可证，利用相似三角形的性质可得，代入数据即可求解． （3）延长分别交于点和点，连接和，根据直径所对的圆周角为，则当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形．当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形．先证明为等边三角形，可得，．利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即． ∵点是线段的中点， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：， ． 又∵， ． ． 即， 解得． 故摩天轮的半径的长为． （3）解：延长分别交于点和点，连接和． 和是的直径， ， ∴当点刚好运动到点处和点时，为直角三角形． ∴当点在两点间的劣弧上时，为锐角三角形． ， 为等边三角形． ， ． 当与重合时，， 当与重合时，， ∴座舱运动路径的取值范围是． 7．（2026·广西贵港·二模）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，根据为的直径，得到，证明即可得到结论； （2）设的半径为，则，求出，证明，根据相似三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 故是的切线； （2）解：设的半径为，则， 点B是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的半径为． 8．（2026·广西桂林·二模）如图，为的直径，的平分线交于点．过点作于．交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据等边对等角及角平分线的定义得，，进一步推出，继而得到，即可得证； （2）连接，利用直径所对的圆周角为直角，得，通过平角定义算出，再结合直角三角形两锐角互余，求出，利用角平分线性质得到．在中，用余弦函数求出直径，进而得到半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在中，，，， ∵， ∴． ∴． 解得． ∴的半径． 9．（2026·广西南宁·二模）如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线的性质得，进而得出，再结合已知条件可得，则此题可解； （2）先根据直径所对的圆周角得，再根据“同弧所对的圆周角相等”得，接下来说明，进而得出，然后化成乘积式可得答案； （3）先根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后说明，接下来根据同弧所对的圆周角相等，再根据圆周角定理得，即可根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：连接, ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接, 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴ ． 点、直线、圆与圆位置关系 考点03 10．（2026·广西南宁·二模）汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是_____． 【答案】 【分析】根据“右转危险区”的面积，求解即可． 【详解】解：延长和相交于点， ∵，与扇形分别相切于点，点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， “右转危险区”的面积 ． 11．（2026·广西南宁·二模）如图，在中， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规以为直径作，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作，垂足为，求证：是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，过作直线，直线与交于点O，以点O为圆心，为半径作，与相交于点D； （2）连接，根据“等边对等角”由，，可推出，再根据平行线的判定可得，最后由即可证得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）证明：如图，作，垂足为，连接， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， 又点D在上，是的半径， 是的切线． 12．（2026·广西钦州·二模）如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得， 再证明，从而得到， 进而得到，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ． ， ， ， ．   是半径， 为的切线． （2）解：在中，根据勾股定理，得：， 由（1）得， ． ， ．   在中，， ， ，即， ∴， ， 的半径为3． 13．（2026·广西南宁·二模）【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点A，并与点A的对边相切于点D，则该就叫做的切接圆，根据上述定义解决下列问题： (1)【理解应用】已知，中，，，． ①如图2，_________． ②如图2，若点D在边上，，以D为圆心，长为半径作圆，则__________（填“是”或“不是”）的“切接圆”，请证明． ③在图3中，若点D在的边上，以D为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径． (2)【思维拓展】如图4，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，， ①判断的形状，并求出的周长； ②试说明：以抛物线图像上任意一点P为圆心，长为半径作圆，一定是的“切接圆”； ③若点P在抛物线上，且是的“切接圆”，当的半径最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)①8， ②是，证明见详解， ③的半径为4或； (2)①是等腰三角形，∴的周长为16， ②见详解， ③点P的坐标为． 【分析】（1）①直接利用勾股定理求解即可， ②过点D作的垂线，构造相似三角形，进而得到线段的比例关系，即可得到圆的半径与 相同，进而证明， ③根据题意作出图形，进行分类讨论，分点D在上和点D在上两种情况，分别进行计算即可； （2）①利用两点间距离公式分别计算、、的长，进行相加即可， ②根据题意作出图形，设点P的坐标，从而计算出以及点P到的距离，再根据“切接圆”的定义可得出结论． ③在②小问的基础上判断当点P到的距离最小时，点P的坐标即可． 【详解】（1）解：①在中，由勾股定理可得： ， ②是的“切接圆”，理由如下： ∵，， ∴， ∴的半径为， 如解图①，过点D作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴是的“切接圆”， ③当点D在上时， ∵， ∴点A是切点，是的直径， ∴， 当点D在上时，如解图②，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“切接圆”的性质可设，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的半径为4或； （2）解：①是等腰三角形， ∵的顶点坐标为，，， ∴， ， ， ∴的周长为, ②如解图③，连接，过点P作，         设点P的坐标为， ∴， ∵点G在上，∴点G的纵坐标为， ∴， ∴， 根据“切接圆”的定义可知，以抛物线图象上任意一点P为圆心，长为半径作圆，是的“切接圆”； ③点P的坐标为． [解法]要使最小，∵，∴当时，取得最小值2，即此时的半径最小，∴点P的坐标为. 弧长、扇形面积、圆锥计算 考点04 14．（2026·广西玉林·二模）广西芒编技艺是传统特色非遗手工艺．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，其示意图如图所示），若这种圆锥形草帽的高为，底面圆的半径为，则该圆锥形草帽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，圆锥的高为，底面圆半径为， ∴， 该圆锥形草帽的侧面积为：． 15．（2026·广西桂林·二模）五色糯米饭是壮族非遗特色美食．将一个半径为的圆形容器分成五个扇形区域，若盛放黑色糯米饭的扇形区域的圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该扇形的面积为． 16．（2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 17．（2026·广西南宁·二模）如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②  2 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． 【详解】（1）解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； （2）①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与 专题05圆综合 考点01 垂径定理 1.B 考点02 圆周角 2.D 3.c 4. (1)证明：：在⊙0中，AF=BE, .∠1=∠2 :AD是⊙O的切线， 2 B .∠DAB=90°， 故∠1+∠CAD=90°， 又在Rt△DAB中，∠CDA+∠2=90°， ∴∠CAD=∠CDA (2)解：由题意和(1)知∠CAD=∠CDA=60°， ∴.△CAD是等边三角形， ·CD=AD 在Rt△DAB中，AB=2W5,∠2=90°-∠CDA=30°， ÷AD=AB tan∠2=25tan30°=25×5=2 即CD=25 3 5. (1)证明：“AC=AC 3/3 学更高效 命学科网 ∠B=∠D, 又：∠DEA=∠CEB, .△AEDM△CEB; (2)解：：CD为直径， ∠DAC=90°， :AC=5,AD=12, “CD=VAC2+AD2=13, :⊙0的半径为号 6. (1)证明：：AM=BN,OM=ON, .AM+OM=BN+ON,OA=0B. :点C是线段AB的中点， ÷0C⊥AB, :∠0CA=90°. :EF‖AB, ·∠0DE=∠0CA=90°， :OD⊥EF. :OD是⊙0的半径， :EF是⊙O的切线. (2)解：：OA=OB,OM=ON, 器=器 又：∠MON=∠A0B, :△MON∽△AOB. 器=器 v ww zxx k.com 让 2/3 致与学更高效 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即号=， 解得0M=18(m). 故摩天轮的半径0M的长为18m· (3)解：延长NO,MO分别交⊙O于点H和点G,连接MH和NG. H G O D :NH和MG是⊙O的直径， .∠HMN=90°，∠GNM=90°， :当点P刚好运动到点H处和点G时，△PMN为直角三角形. .当点P在H,G两点间的劣弧上时，△PMN为锐角三角形. OM=ON-MN-18m, ·△OMN为等边三角形. ÷∠M0N=60°， :∠H0M=180°-60°=120°. 当P与H重合时，1=228=12m, 180 当P与G重合时，1=T×18=18T, :.座舱P运动路径的取值范围是12π<1<18r 7. (1)证明：连接0C, :0A=0C, ·∠A=∠AC0, '∠BCD=∠A, ·∠BCD=∠ACO, :AB为⊙0的直径， ∠ACB=90°， ·∠AC0+∠BC0=90°， :∠BCD十∠BC0=90°， 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教 ·∠0CD=90o, :OC⊥CD, :0C是⊙0的半径， 故CD是⊙O的切线； (2)解：设⊙0的半径为r,则0C=OB=r, :点B是AD的中点， ·BD=AB=2r :OD=OB十BD=r十2r=3r, :BE⊥AD, ·∠EBD=90o, :∠0CD=90o, ·∠EBD=∠OCD, "∠D=∠D, ·△EBDM△OCD, …器=器， :CD=V0D2-0c2=2W2r, =路 解得r=42, 故⊙0的半径为42， 8. (1)证明：如图，连接0D, 2/3 与学更高效 命学科网 E OB=OD, .∠OBD=∠ODB, BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBE, ∠ODB=∠DBE, .OD IBE, ∠ODF=∠E, DE⊥BC, .∠ODF=∠E=90°， .OD⊥DE, “OD为⊙0的半径， DE是⊙O的切线： (2)解：连接AD· E :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90o. :DE⊥BC, ∠BED=90°. ∠ADF=30°， ·∠BDE=180·-∠ADB-∠ADF= ∠DBE=90°-∠BDE=30°. www.zxxk.com 让教与学更高效 180°-90°-30°=60°. 3/3 命学科网 www.zxxk.com 让教与 :BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBE=30°. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，BD=2V3, :cos∠ABD=器， 5 1c0s300=指 :9- 解得AB=4· ⊙0的半径r=号AB=2. 9. (1)证明：：BE是⊙0的切线， ∴BD⊥BE,即∠DBE=90°， ∴∠E+∠BFE=90o. :∠EBG=∠BFE, ∠E十∠EBG=90o, ∴∠EGB=90o, 即CG⊥AB; (2)证明：连接CD, D :BD是⊙O的直径， ∠BCD=90°. :∠BDC=∠BAC,∠BCD=∠AGC=90·, .△BCD△CGA, :器=器-器， AC.BC=BD·CG; 2/3 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让 (3)解：连接C0, G B 在Rt△BCG中，∠ABC=60°， .∠BCG=30°， .BC=2BG, 根据勾股定理，得CG=√BC2-BG=V5BG. 在Rt△ACG中，AG2+CG2=AC2, (58G)+(58G=(62, 解得BG=1(负值舍去)， :AG=CG=3,BC=2. ∴.∠CAG=∠ACG=45°， ∠BDC=∠BAC=45°， .∠BOC=2∠BDC=90°. 在Rt△B0C中，B02+C02=BC2, 即2B02=4, 解得B0=V2 (负值舍去)， ·S阴影=S扇形Boc-S△B0c= 90o回-x反x反=号-1， 360 考点03 点、直线、圆与圆位置关系 10.(108-27π) 11. (1)解：如图所示：⊙0即为所求， D 3/3 致与学更高效 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：如图，作DE⊥AC,垂足为B,连接OD, C AB=AC, ∠B=∠C, 在⊙0中，0B=OD, ∠ODB=∠B, ·∠ODB=∠C, ·OD‖AC, 又：DE⊥AC, ·∠ODE=∠DEC=90°， ·OD⊥DE, 又：点D在⊙0上，OD是⊙0的半径， :DE是⊙O的切线： 12 (1)解：连接0B, B :O是AC中点，B是CD中点， ·OB是△ACD的中位线， :OB AD, :.∠OBE=∠BED :BE⊥AD, ·∠BED=90o, ·∠0BE=90°， :OB⊥BE :OB是半径， :BE为⊙O的切线， 2/3 命学科网 www.zxxk.com (2)解：在Rt△ABE中，根据勾股定理，得：AB=VAE2+ 由(1)得∠0BE=90°， :∠OBA十∠ABE=90°. 0A=0B, ·∠OBA=∠OAB. 在Rt△ABC中，∠OAB+∠C=90°， ·∠C=∠ABE, ·sin∠C=sin∠ABE,即是=， 2y3 .AC=- AC=6, ·⊙0的半径为3. 13 (1)解：①在Rt△ABC中，由勾股定理可得： AC=VBC2-AB2=V102-62=8, ②⊙D是△ABC的“切接圆”，理由如下： :BC=10,CD=, :BD=10-9=9, :⊙D的半径为望， 如解图①，过点D作DE⊥AC于点E, 解图① ∴∠DEC=∠A=90o, :∠DCE=∠BCA, ∴△DCEM△BCA, 能=器，即票=罗， 3/3 让教与学更高效 BE2=2V5, 命学科网 www.zxxk.com 解得DE=华， BD=DE, ⊙D是△ABC的“切接圆”， ③当点D在AC上时， :AC⊥BA, 点A是切点，AC是⊙D的直径， r=9=4, 当点D在BC上时，如解图②，过点D作DF⊥BA于点F, B A 解图② ∠DFB=∠A=90°， :∠DBF=∠CBA, .△BDFM△BCA, 噩=贤， 根据“切接圆”的性质可设，DF=DC=r, .BD=10-r, 哈=言， 解得r=9， 综上所述，⊙D的半径为4或智； (2)解：①△ABC是等腰三角形， :△ABC的顶点坐标为A(-3,-2),B(3,-2),C0,2), AB=V(-3-3)2+[-2-(-2)]2=6, AC=V(-3-0)2+(-2-2)2=5, BC=V(3-0)2+(-2-2)2=5, :.△ABC的周长为AB+AC+BC=6+5+5=16, 2/3 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如解图③，连接PC,过点P作PG⊥AB, 解图③ 设点P的坐标为(m,吉m2), :Pc=V(m-0)2+(合m2-2)7=言m2+2, :点G在AB上，点G的纵坐标为-2， PG=言m2+2, PC=PG, 根据“切接圆”的定义可知，以抛物线y=言x2图象上任意一点P为圆心，PC长为半径作圆，⊙P是 △ABC的“切接圆”； ③点P的坐标为(0,0). [解法]要使PG最小，：言m2≥0，.当m=0时，PG取得最小值2，即此时⊙P的半径最小，：点P的坐 标为(0,0) 考点04 弧长、扇形面积、圆锥计算 14.C 15.D 16.180°/180度 17. (1)解：如下图， 米E B D 分别以A、B为圆心，以大于专AB的长度为半径画弧，两弧交于点E,连接0E,射线0E与AB交于点C, 点C即为所求； 3/3 学科网 (2)①设扇形OAB的半径为R, :CD=3, 0D=R-3, :C是AB的中点， :OC⊥AB, :∠A0B=120°， :∠A0D=∠A0B=60°， 在Rt△AOD中， c0s60°=器，即吃=发， 解得：R=6, 1如==4π， ②设圆锥底面半径为”， :2πr=4π， r=2, :圆锥的底面半径是2. www.zxxk.com 则0C=0A=0B=R, 2/3 致与学更高效可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆综合 ☆4大考点概览 考点01垂径定理 考点02圆周角 考点03点、直线、圆与圆位置关系 考点04弧长、扇形面积、圆锥计算 考点01 垂径定理 1. (2026广西钦州二模)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦AB的长为 221cm,最大深度CD=7cm,则球的半径为() A.4cm B.5cm C.46cm D.229cm 考点02 圆周角 2. (2026广西南宁二模)如图，⊙O的直径AB=8,C为AB中点，点D在BC上， BDCD,点P是 AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是() P A.8 B.12 C.4V2+4 D.4V3+4 3.(2026广西桂林·二模)如图，菱形OABC的三个项点A,B,C和点D均在⊙O上，则∠D的度数为 () 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.40° B.35 C.30 D.25° 4.(2026广西玉林·二模)如图，已知AB是⊙O的直径，点E,F是在⊙O上，AF=BE,AE,BF交 于点C,⊙O的切线AD与BF的延长线交于点D, D E B (I)求证：∠CAD=∠CDA: (2)若⊙O的半径为5，∠CAD=60°，求CD的长. 5.(2026广西南宁二模)如图，在⊙O中，弦AB与直径CD相交于点E,连接BC、AD D B A (I)求证：△AED~△CEB: (2)连接AC,若AC=5,AD=12,求⊙O的半径. 6.(2026广西南宁·二模)【问题情境】如图1是一种摩天轮的横截面示意图.点O为摩天轮圆形转轮的 圆心，AB为水平支撑架，支撑塔架OA,OB与⊙O分别交于M,N两点，已知AM=BN. M E D B A 图1 图2 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【问题探究】 (①)如图2，设点C是线段AB的中点，连接OC交OO于点D.过点D作EF‖AB,分别交OA,OB于点 E,F,求证：EF是⊙O的切线： 【问题解决】 (2)如图2，连接MN,经测量可得，MN=18m,AB=28m,AM=10m,求摩天轮的半径OM的长； 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，座舱P(体积忽略不计)从点M位置出发，沿摩天轮圆形转轮顺时针运动到点N. 在这个过程中，当△PMN为锐角三角形时，求座舱P的运动路径PM的长（记为l)的取值范围 7.(2026广西贵港·二模)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接 CD,∠BCD=∠A,过点B作BE⊥AD,交CD于点E. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若点B是AD的中点，且BE=4,求⊙O的半径. 8.(2026广西桂林.二模)如图，AB为⊙O的直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D.过点D作 DE⊥BC于E.交BA延长线于点F B (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若∠ADF=30°，BD=2/3,求⊙O半径的长. 9.(2026广西南宁.二模)如图，BD是△ABC的外接圆⊙O的直径，线段BE与⊙O相切于点B,连接 CE,交BD,AB于点F,G,∠EBG=∠BFE. 3/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 图2 (I)求证：CG⊥AB: (2)求证：AC·BC=BD·CG: (3)如图2，若AC=V6,AG=3BG,∠ABC=60,求阴影部分的面积. 考点03 点、直线、圆与圆位置关系 10. （2026广西南宁·二模)汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转 弯半径之差.如图1所示，为了安全，许多路口都设置如图2的“右转危险区”（阴影部分）示意图.AB, CD与扇形O1AD分别相切于点A,点D,与扇形O2BC分别相切于点B,点C,后内轮转弯半径 O1A=01D=12m,前内轮转弯半径O2B=02C=6m,∠D01A=∠CO2B=90°.则“右转危险 区”（阴影部分）的面积是 m2. 后内轮 前内轮 右后轮轨迹 、左前轮轨迹 个 右前轮轨迹 D 图1 图2 11.(2026广西南宁二模)如图，在△ABC中，AB=AC. B (①)请用无刻度的直尺和圆规以AB为直径作⊙O,交BC于点D.(保留作图痕迹，不写作法)： (2)作DE⊥AC,垂足为E,求证：DE是⊙O的切线， 12.(2026广西钦州二模)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，延长 CB至点D,使CB=BD.过点B作BE⊥AD,垂足为E 4/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0. D B (1)求证：BE为⊙O的切线： (2)若AE=2,BE=2V2,求⊙0的半径. 13.(2026广西南宁：二模)【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切 的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC,⊙O经过点A,并与点A的对边BC相切于点D,则该 ⊙O就叫做△ABC的切接圆，根据上述定义解决下列问题： A B B B D 图1 图2 图3 图4 (1)【理解应用】已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10 ①如图2，AC= ②如图2，若点D在边BC上，CD=5 ,以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D 4 (填“是” 或“不是”)△ABC的“切接圆”，请证明. ③在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接 圆”时，求⊙D的半径. (2)【思维拓展】如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(-3,-2,B(3,-2),C(0,2), ①判断△ABC的形状，并求出△ABC的周长： 1 ②试说明：以抛物线y=。x图像上任意一点P为圆心，PC长为半径作圆，⊙P一定是△ABC的“切接 8 圆”； ③者点P在抛物线y8X上，且⊙P是△ABC的“切接圆”，当⊙P的半径最小时，直接写出点P的 标 5/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04 弧长、扇形面积、圆锥计算 14. (2026广西玉林·二模)广西芒编技艺是传统特色非遗手工艺.某校九年级学生参加社会实践，学习 编织草帽（该草帽为圆锥形，其示意图如图所示），若这种圆锥形草帽的高为24C,底面圆的半径为 18cm,则该圆锥形草帽的侧面积为() 241 18 A.960πcm2B.720πcm2 c.540πcm2 D.480ncm2 15.(2026广西桂林·二模)五色糯米饭是壮族非遗特色美食.将一个半径为30的圆形容器分成五个扇 形区域，若盛放黑色糯米饭的扇形区域的圆心角为72°，则该扇形的面积为() A.100πcm2B.120πcm2 C.150πcm2 D.180πcm2 16.(2026广西南宁.二模)如图，圆锥的底面半径是1cm,母线长2cm,则它的侧面展开图的圆心角是 17.(2026广西南宁.二模)如图1，在扇形0AB中，∠AOB=120°. 0 图1 图2 (1)尺规作图：作AB的中点C(不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，连接AB,OC,并且AB,OC交于点D,若CD=3. ①求AB的长： ②如图2，将如图1中的扇形OAB围成圆锥，OA,OB恰好重合，求圆锥的底面半径. 6/23