专题01 数与式、方程与不等式（6大考点）（广西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦数与式、方程与不等式核心考点，汇编2026年广西南宁、玉林等地二模真题，情境融合文旅数据、新能源汽车、晋剧文创等现实素材，注重数学建模与实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|16题|科学记数法、实数概念、整式运算等|结合广西文旅（如桂林12540000人次）考科学记数法，贴近地域实际| |填空题|5题|因式分解、幂差数定义等|创新定义“幂差数”（如5611），考查代数推理| |解答题|23题|方程应用、不等式组、函数与几何综合|晋剧文创采购（第38题）考不等式应用，物流机器人（第40题）结合方程组与函数最值，体现数学建模|

专题01 数与式、方程与不等式用科学记数法表示绝对值大于1的 考点01 1 2 3 4 C C A C 实数 考点02 5 6 A A 7. (1) (2) 8. (1)5 (2) 9. (1) (2) 10. (1)不会超过，计算过程见详解； (2)学校最多可购买件立体拼图． 【详解】（1）解：学校计划购买件立体拼图，则购买发热桌垫件， 总费用为（元）（元）， 答：总费用不会超过元的预算； （2）解：设购买件立体拼图，则购买件发热桌垫， 由题意可得，， 解得：， 答：学校最多可购买件立体拼图． 整式与因式分解 考点03 11． 12．C 13．B 14．C 15.5x 分式与二次根式 考点04 16． B 17． (1) (2) 18． (1) (2) 19． (1)0 (2) 20． (1)，2 (2)； (3)，，． 代数式的化简求值 考点05 21．D 22．A 23．D 24．B 25．A 26．B 27．C 28． (1) (2) 29． (1)5 (2) 30． (1) (2) 31． (1)1 (2)， 32． (1)300，500 (2)该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台 33． (1)见解析 (2)①（）；②九（3）班的训练时长为小时 【详解】（1）解：发现：九年级的米接力成绩平均数最小，方差也最小，说明九年级成绩最好且最稳定． 原因：九年级学生身体发育更成熟，体能更好（或训练时间更长，经验更丰富）． （2）解：①由题意得，九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为： （）． 答：九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为：（）． ②设九（3）班的训练时长为小时，则九（2）班的训练时长为小时；设九（3）班的100米单项用时总和为秒，则九（2）班的100米单项用时总和为秒， 根据题意可得，九（3）班的接力成绩为：， 九（2）班的接力成绩为：， ， ， 整理得，， 解得，． 答：九（3）班的训练时长为小时． 34． 1)；顶点坐标为 (2) (3)或0 35. (1)长为4米，宽为2米 (2)① ②能，见解析 【详解】（1）解：每一个矩形菜畦的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， 所以每一个矩形菜畦的长为4米，宽为2米； （2）解：①由（1）知，矩形菜畦的面积为（平方米）， ∵平行四边形菜畦的面积与矩形菜畦的面积相等， ∴平行四边形菜畦的面积为8平方米． 如图，过点作 于点， 由（1）知， ， 在 中， ， ∴， ∴， ∴（米）． ∵每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等，即 ， ∴ ， 解得， 所以平行四边形菜畦的另一边的长为米； ②设矩形菜畦有排，则平行四边形器材区有排， 由题意得，通道数量为：（条），每条宽米， ∴通道总宽（米）， 由（1）矩形菜畦每排高4米，平行四边形菜畦每排的竖起高度为米， ∴竖起方向总高度为：， 要想该方案在边长为米的正方形基地中实现，需满足：， 解得， ∵为正整数， ∴，即矩形菜畦有3排， ∴平行四边形菜畦有2排， 此时竖直高度为：，故竖直高度满足在边长为米的正方形基地中实现； 矩形菜畦每排可放（个），3排共能放（个）， 则平行四边形菜畦需要放（个），每排需放 （个）， ∵每个平行四边形菜畦水平方向占米， ∴6个总长度：，故水平长度满足在边长为米的正方形基地中实现； 综上，该方案能在边长为米的正方形基地中实现． 方程与不等式 考点06 36. 37. (1)5 (2) 38. (1)不会超过，计算过程见详解； (2)学校最多可购买件立体拼图． 【详解】（1）解：学校计划购买件立体拼图，则购买发热桌垫件， 总费用为（元）（元）， 答：总费用不会超过元的预算； （2）解：设购买件立体拼图，则购买件发热桌垫， 由题意可得，， 解得：， 答：学校最多可购买件立体拼图． 39. (1)，2 (2)； (3)，， 40. (1)1台A型机器人每小时分拣1000件快递，1台B型机器人每小时分拣500件快递 (2) 采购A型机器人15台，B型机器人20台时采购总费用最少，最少总费用是630万元 41. (1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 42. (1)该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元 (2)这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低 43. (1)见解析 (2)米或米 (3)50 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，四边形也是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）得， ∴， 假设，则， ∴， 解得或， ∴米或米； （3）解：∵米， ∴米， ∴①号区域的面积为（平方米）； 由勾股定理得米， ∵四边形是正方形， ∴米， ∵、、、分别为正方形四边的中点， ∴， 同（1）得， ∴②号区域的面积为（平方米）； ∴③号区域的面积为（平方米）； 假设甲种花卉每平方米的种植费用为元，根据题意得， ， 解得， ∴甲种花卉每平方米的种植费用不能超过50元． 44. (1)单枪充电桩单价为2000元/个，双枪充电桩单价为3200元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01数与式、方程与不等式 ☆6大考点概览 考点01用科学记数法表示绝对值大于1的数 考点02实数 考点03代数试与因式分解 考点04分式与二次根式 考点05方程 考点06方程与不等式 考点01 用科学记数法表示绝对值大于1的数 1.(2026广西南宁·二模)今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客139.04万人次.数据1390400用 科学记数法表示为() A.13.904×105B.1.3904×105C.1.3904×106 D.0.13904×107 2.(2026广西玉林·二模)中国汽车工业协会发布消息，2026年第一季度全国新能源汽车累计销量为296 万辆.数据2960000用科学记数法表示为() A.296×104B.29.6×105 C.2.96×106 D.0.296×107 3.(2026广西桂林·二模)2026年桂林市丙午马年春节文旅市场马力全开，实现旅游接待人次和旅游总收 入广西双第一，其中，接待游客总人数约12540000人次，将数据12540000用科学记数法表示为() A.1.254×107B.12.54×106C.1254×105 D.0.1254×108 4.(2026广西南宁.二模)南宁吴圩国际机场第二跑道正式投运，跑道长度为3800米，有力提升区域航空 保障能力，将3800米用科学记数法表示正确的是() A.38×102 B.3.8×102 C.3.8×103 D.0.38×104 考点02 实数 (2026广西南宁.二模)下面各数是负数的是() A.-2 B.0 C.1 D.青 6.(2026广西玉林·二模)下列各数中为负数的是() A.-1 B.0 c.5 D.2 7.(2026广西南宁，二模)计算及化简 (1)计算：(-5)×(-2)+32-5 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)化简：(x+1)(x-1)-x(x-2) 8.(2026广西钦州二模)计算与解不等式： ()计算：(-3)2+(-8)÷4-2 (2)解不等式：2(3x+1)>5 9. (2026广西贵港·二模)计算 (1)计算：-32+(1-3)×4： (x+2y=12① (2)解方程组： 3x-2y=4② 10. (2026广西南宁二模)晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱.近期，以晋 剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销.学校计划用不超过6000元的经费购买这 两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学.已知两种文创产品的价格如 图所示. 发热桌垫 立体拼图 38元/件 88元/件 (1)若学校计划购买30件立体拼图，请问总费用是否会超过6000元的预算？请通过计算说明： (2)请求出学校最多可购买多少件立体拼图， 考点03 整式与因式分解 11. (2026广西桂林.二模)对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数abcd(a,b,c,d均为大 于等于1且小于等于9的整数)，若满足a2-b=cā，则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为 |52-6引=11，所以5611是“幂差数”.若mn12(其中m>n>1)是“幂差数”，则这个四位数是 12.（2026广西南宁，二模)计算a·a3的结果是() A.2a4 B.2a3 C.a4 D.a3 13.(2026广西桂林·二模)下列计算中，正确的是() A.a4+a4=a8B.(a4)2=a8 C.(2a)4=8a4D.a4.a3=a12 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.（2026广西南宁，二模)下列运算正确的是() A.x+x2=x3B.(3x2)3=6x5C.2x3÷x2=2xD.2xy-3xy=-1 15. (2026广西南宁.二模)化简：x+4x= 考点04 分式与二次根式 16. (2026广西贵港二模)下列各式中，化简后能与√2合并的是() A.V24 B.⑧ c.眉 D.0.2 17.(2026广西南宁，二模)按要求完成下列计算： (1)计算：(-22×是-5： (2)化简：台÷ 18.(2026广西南宁二模)解答题 (0)计算：-1×4+V12+|-2: (2)化简：·4型 19.(2026广西南宁二模)计算： (0脖×(-2)2+(-1)2025 223+(2-5-4. 20.(2026广西南宁二模)已知三个正整数x,y,z满足0<x<y<z,且袁+吉+麦=1，求x,y, Z. 解：：0<x<y<z,袁>吉>克： 由喷>吉，是>是，可得袁+袁+袁>京+方+克=1， :是>1，解得x<3, 又：京<贵+吉+支=1，解得x>1, 综上，x的取值范围是①， :x为正整数，·x=②_ (1)直接填空：①_；②_ (2)类比上述探究方法，求出y的取值范围； 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)直接写出方程支+吉+是=1的正整数解. 考点05 方程 21. (2026广西桂林·二模)若Rt△ABC的两直角边长a,b分别为一元二次方程x2-5x+3=0的两个 实数根，则Rt△ABC的面积为() A.5 B.3 c. D. 22.(2026广西贵港二模)三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023 年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长 率为()》 A.106 B.11% C.12% D.21% 23.（2026广西玉林·二模)某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回 升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到288杯，设四、五这两个月每月销量的 平均增长率为x,那么x满足的方程为() A.200+200(1+x)=288 B.200+200(1+x)+2001+x)2=288 C.200+200x+200x2=288 D.200(1+x2=288 24.(2026广西南宁.二模)X1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-5=0两个根，则x1x2值为() A.5 B.-5 C.2 D.-2 25.（2026广西玉林·二模)老师在黑板上写出“若a=b,则 ”若用下列选项中的等式填空， 其中一定成立的是() A.a+3=b+3B.-4a=4b C.a-1=b+1D.昌=品 26.(2026广西桂林·二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把 一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间 比规定的时间少3天、已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为2婴=，则其中x表示〈） A.规定的时间 B.慢马需要的时间 C.快马需要的时间 D.慢马的速度 27.(2026广西玉林·二模)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠， 使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=3,EF=3V5,则AB的长为 () 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.4 B.号 C.6 D.210 28.(2026广西桂林.二模)计算和解方程， (1)计算：5+3×(-2)-π0 2x+y=5① (2)解二元一次方程组： (x-y=1② 29.（2026广西南宁.二模)计算、解方程： 0F+(-02026+1-2: (2)4x+1=2x-7. 30.(2026广西玉林二模)化简、解方程： (1)3a+2b-(5a+b); (2x22-=1. 31.(2026广西南宁，二模)计算与解方程： (1)计算：(-1)2×3+4÷(-2)： (2)解方程：x2+2x-3=0. 32.(2026广西南宁，二模)某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补 贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的15%给予补贴，每人每类可补贴1件， 但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除.已知某 店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000 元.设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台. ()按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴元，1台乙款手机可获得补贴元： (2)该店当天这两款商品各卖出多少台？ 33.(2026广西南宁.二模)综合与实践 【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，同学们进行了数据统计分析. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三个年级4×100米接力成绩表 年级 方差 中位数（秒） 平均数（秒） 九年级 0.57 50.63 50.58 八年级 0.68 53.18 53.22 七年级 1.14 55.02 55.02 (1)【数据分析】比较三个年级4×100米接力成绩，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？ (写出一条即可) (2)【进阶分析】在4×100米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的 时间损耗.因此4×100米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和 在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t(单位：秒)与交接棒训练时长x(单位：小时) 满足一次函数关系t=0,1x+0.2(x≥0)，并且接力比赛用时满足：4×100米接力成绩=四人100米 单项时间总和一三次交接棒总节约时间 ①已知九(1)班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，求九(1)班4×100米接力成绩y(单位：秒) 与交接棒训练时长x(单位：小时)之间的函数表达式： ②九(2)班选手的100米单项用时总和比九（3)班快1.4秒，但4×100米接力成绩比九(3)班慢1.3秒， 且两班的训练时间之和为13小时.求九(3)班的训练时长. 34.（2026广西南宁，二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于 M(-1,0),N(3,0)两点，顶点为B.点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a. y个B (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标. (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作AE‖x轴，交抛物线对称轴于点E,连接AB.若 tan∠BAE=3,求a的值 (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A,M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3一7a,求α的 值. 35.（2026广西南宁.二模)综合与实践 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”. H 20米 竖放的矩形菜畦 G不ARD 不 通道 M 20米 6米 C 横放的矩形菜畦 图1 图2 (1)如图1，矩形空地ABCD的宽度CD=6米，恰好能容纳4个竖放的矩形菜畦和2个横放的矩形菜畦，且每 个矩形菜哇的形状、大小完全相同.求每一个矩形菜哇的长和宽： (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为20米的正方形拓展基地，用于放置42个菜畦， 拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜哇和平行四边形菜哇的组合形式（如图2），其中平行四边形菜哇的 排数比矩形菜畦少1排，每排菜哇之间设置05米宽的通道，同时满足以下要求： (i)每一个矩形菜哇的长和宽与(1)中的矩形菜哇的长和宽完全相同； (ⅱ)每一个矩形菜哇的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； (ⅲ)每一个平行四边形菜哇的形状、大小都相同，且有一个内角为45°，其非水平方向的边长与矩形菜 畦的长边相等（即在平行四边形PQMN中，∠PQM=45°，PN=AE) ①求平行四边形菜畦的另一边PQ的长； ②请判断该方案能否在边长为20米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据： V2≈1.4) 考点06 方程与不等式 36. (2026广西南宁.二模)若a>b,则-4a -4b. 37. (2026广西饮州·二模)计算与解不等式： (1)计算：(-3)2+(-8)÷4-2 (2)解不等式：2(3x+1)>5 38.(2026广西南宁，二模)晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱.近期，以晋 剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销.学校计划用不超过6000元的经费购买这 两种文创产品共80件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学.已知两种文创产品的价格如 图所示 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 发热桌垫 立体拼图 38元/件 88元/件 (1)若学校计划购买30件立体拼图，请问总费用是否会超过6000元的预算？请通过计算说明： (2)请求出学校最多可购买多少件立体拼图， 39.(2026广西南宁.二模)已知三个正整数x,y,z满足0<x<y<z,且袁+吉+克=1，求x,y, Z. 解：：0<x<y<z,·走>是>： 由安>吉，京>，可得支+安+京>京+方+克=1， ·三>1，解得x<3, 又：袁<贵+吉+是=1，解得x>1, 综上，x的取值范围是①_， :x为正整数，x=②_ (1)直接填空：①；②_ (2)类比上述探究方法，求出y的取值范围； (3)直接写出方程支+吉+立=1的正整数解. 40.(2026广西玉林二模)近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划 通过引进机器人提高快递物品分拣效率，我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题， 素材信息： 素材类别 具体内容 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递； 工作效率数 ②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000 据 件快递， 采购价格信 A, B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元. 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 息 请根据相关信息，解决下列问题： (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)物流公司计划采购A,B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于2.5万件，如何采购才能使 采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 41.(2026广西南宁，二模)平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北 部湾港的货物吞吐量稳步增长.某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，己知甲型货船的单次运量为10 吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36 万元.受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次， (1)设甲型货船的出航次数为m次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求m的取值范 围； (2)在(1)的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 42.(2026广西钦州二模)为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花 费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》 的数量比《红楼梦》的数量多50本. (1)求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价： (2)某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个 班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 43.(2026广西桂林·二模)某中学为了美化校园环境，决定将边长为7米的正方形ABCD花圃按如下设计 方案分成9个区域并种植不同的花卉：如图所示，点E,F,G,H分别为正方形ABCD的四条边上的点， 四边形EFGH也是正方形，M、N、O、P分别为正方形EFGH四边的中点，其中所有①号区域种植甲种 花卉、所有②号区域种植乙种花卉，③号区域种植丙种花卉. E A D ① ② ① ② H ③ ② ① ② ① B G (I)求证：△EAF兰△FBG; 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若甲种花卉的种植面积为20平方米，求AE的长； (3)学校实际种植时，先取定AE=3米，再按设计方案种植.己知乙种花卉每平方米的种植费用为80元.丙 种花卉每平方米的种植费用为100元.若本次种植总费用不能超过3450元，则甲种花卉每平方米的种植费 用不能超过多少元？ 44.(2026广西贵港二模)项目式学习： 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在 小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源 充电桩，以满足业主的充电需求.本次采购 项目背景 需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同 时为后续小区绿色出行规划提供数据支 持. 核心素材 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩 的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个， 己知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了20%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了 10%,如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量. 1/23 专题01 数与式、方程与不等式 6大考点概览 考点01用科学记数法表示绝对值大于1的数 考点02实数 考点03代数式与因式分解 考点04分式与二次根式 考点05方程 考点06方程与不等式 用科学记数法表示绝对值大于1的数 考点01 1．（2026·广西南宁·二模）今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客万人次．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到答案，用到的知识点为科学记数法的形式为，满足，为整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 2．（2026·广西玉林·二模）中国汽车工业协会发布消息，年第一季度全国新能源汽车累计销量为万辆．数据用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．（2026·广西桂林·二模）2026年桂林市丙午马年春节文旅市场马力全开，实现旅游接待人次和旅游总收入广西双第一．其中，接待游客总人数约12540000人次，将数据12540000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 4．（2026·广西南宁·二模）南宁吴圩国际机场第二跑道正式投运，跑道长度为3800米，有力提升区域航空保障能力，将3800米用科学记数法表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，根据要求确定和即可得到结果． 【详解】解：． 实数 考点02 5．（2026·广西南宁·二模）下面各数是负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于0的数是负数”判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 负数的定义为小于0的数， 又∵ ，，，， ∴ 只有是负数． 6．（2026·广西玉林·二模）下列各数中为负数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“小于的数是负数”，判断各选项与的大小关系即可得到结果． 【详解】解：根据负数的定义：小于的数是负数， 、是负数，符合题意； 、既不是正数也不是负数，不符合题意； 、是正数，不符合题意； 、是正数，不符合题意． 7．（2026·广西南宁·二模）计算及化简 (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2026·广西钦州·二模）计算与解不等式： (1)计算： (2)解不等式： 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ． 9．（2026·广西贵港·二模）计算 (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数运算法则进行计算即可； （2）用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：得：， 解得， 将代入①，解得， ． 10．（2026·广西南宁·二模）晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过元的经费购买这两种文创产品共件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示． (1)若学校计划购买件立体拼图，请问总费用是否会超过元的预算？请通过计算说明； (2)请求出学校最多可购买多少件立体拼图． 【答案】(1)不会超过，计算过程见详解； (2)学校最多可购买件立体拼图． 【分析】（1）根据购买立体拼图的件数，求出对应的发热桌垫的件数，再根据“总价单价数量”计算总费用，与预算比较即可； （2）设购买件立体拼图，则购买件发热桌垫，根据总费用不超过元列出一元一次不等式，求解并结合实际意义确定的最大值． 【详解】（1）解：学校计划购买件立体拼图，则购买发热桌垫件， 总费用为（元）（元）， 答：总费用不会超过元的预算； （2）解：设购买件立体拼图，则购买件发热桌垫， 由题意可得，， 解得：， 答：学校最多可购买件立体拼图． 整式与因式分解 考点03 11．（2026·广西桂林·二模）对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足，则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为，所以5611是“幂差数”．若（其中）是“幂差数”，则这个四位数是_______． 【答案】 【分析】根据“幂差数”的定义得到，根据平方差公式得到，由题意可知，且和同奇偶，在12的正因数对中，只有2、6同奇偶，进而得到关于m、n的二元一次方程组，求解后可知这个四位数的值． 【详解】解：∵四位自然数是“幂差数”， ∴， ∴， ∵m，n都是的整数， ∴，且和同奇偶， ∵，只有2、6同奇偶， ∴， 解得：， ∴这个四位数是． 12．（2026·广西南宁·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：. 13．（2026·广西桂林·二模）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 14．（2026·广西南宁·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 15．（2026·广西南宁·二模）化简：______． 【答案】 【详解】解： ． 分式与二次根式 考点04 16．（2026·广西贵港·二模）下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，即化简为最简二次根式后被开方数为，将各选项化简后判断即可． 【详解】解：同类二次根式化简后被开方数相同才可合并 对各选项依次化简： 选项A，，被开方数为，不能与合并； 选项B，，被开方数为，能与合并； 选项C，，被开方数为，不能与合并； 选项D，，被开方数为，不能与合并； 17.（2026·广西南宁·二模）按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（2026·广西南宁·二模）解答题 (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 19.（2026·广西南宁·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（2026·广西南宁·二模）已知三个正整数，，满足，且，求，，． 解：，； 由，，可得， ，解得， 又，解得， 综上，的取值范围是① ， 为正整数，② ． (1)直接填空：① ；② ． (2)类比上述探究方法，求出的取值范围； (3)直接写出方程的正整数解． 【答案】(1)，2 (2)； (3)，，． 【分析】（1）根据题意填空即可； （2）类比上述探究方法，求得的取值范围是； （3）结合（1）（2）得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由，， 可得， ，解得， 又， 解得， 综上，的取值范围是， 为正整数， ； （2）解：已知，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， 解得， 结合， ∴的取值范围是； （3）解：由是正整数且，得， 代入，即， 解得， ∴方程的正整数解为，，． 方程 考点05 21．（2026·广西桂林·二模）若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 22．（2026·广西贵港·二模）三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出年平均增长率，根据两年增长后的总收入列方程求解即可． 【详解】解：设2023年到2025年的年平均增长率为， 2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元， 可列方程为， 两边同除以100得， 增长率为正数， ， 解得， 即年平均增长率为． 23．（2026·广西玉林·二模）某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据逐月增长的关系，从三月份到五月份经过两次匀速增长，结合初始销量和五月份最终销量列方程即可． 【详解】解∵三月份销量为杯，每月平均增长率为x， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 24．（2026·广西南宁·二模），是关于的一元二次方程两个根，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系，计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程两根为，则两根之积 ， ∵原方程为，可得， ∴ ． 25．（2026·广西玉林·二模）老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式性质逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A、，该选项一定成立； B、，该选项不成立； C、，该选项不成立； D、，该选项不成立． 26．（2026·广西桂林·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天、已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，则其中表示（   ） A．规定的时间 B．慢马需要的时间 C．快马需要的时间 D．慢马的速度 【答案】B 【详解】解：∵路程，速度公式为，且， 又∵慢马时间比规定时间多1天，快马时间比规定时间少3天， ∴，即， 对方程变形，可得， 正好符合的关系，其中是慢马速度，是快马速度， 因此表示慢马需要的时间． 27．（2026·广西玉林·二模）如图，正方形纸片中，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， 正方形， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ， ， 又， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， ， ， 在中， 解得或（不合题意舍去）， ． 28．（2026·广西桂林·二模）计算和解方程． (1)计算： (2)解二元一次方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 得，解得， 将代入得，解得， 则原方程组的解为． 29．（2026·广西南宁·二模）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得 30．（2026·广西玉林·二模）化简、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号法则去掉括号后，再合并同类项即可得到化简结果； （2）将分式方程转化为整式方程求解，最后检验分母不为零即可得到原方程的解． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： 解得， 将代入得，， ∴方程的解为． 31．（2026·广西南宁·二模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)1 (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解：（方法一）：， ， ， ， ，． （方法二）：， ， 或， ，． 32．（2026·广西南宁·二模）某年1月，商务部等5部门联合发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴》的实施方案：个人消费者购买这3类数码产品，按产品售价的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元（超过的按每件500元补贴），补贴会在支付金额里直接扣除．已知某店甲款平板每台售价2000元，乙款手机每台售价4000元，当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元．设该店当天卖出甲款平板x台，乙款手机y台． (1)按方案享受补贴后，1台甲款平板可获得补贴______元，1台乙款手机可获得补贴______元； (2)该店当天这两款商品各卖出多少台？ 【答案】(1)300，500 (2)该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台 【分析】（1）根据补贴规则，列式计算即可； （2）根据当天这两款商品共卖出12台，一共补贴了5000元，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：1台甲款平板可获得补贴元， ∵， ∴1台乙款手机可获得补贴500元． （2）解：依题意，得 ， 解得． 答：该店当天卖出甲款平板5台，乙款手机7台． 33．（2026·广西南宁·二模）综合与实践 【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，同学们进行了数据统计分析． 三个年级米接力成绩表 年级 方差 中位数（秒） 平均数（秒） 九年级 0.57 50.63 50.58 八年级 0.68 53.18 53.22 七年级 1.14 55.02 55.02 (1)【数据分析】比较三个年级米接力成绩，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） (2)【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和． 在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（），并且接力比赛用时满足：米接力成绩四人100米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①已知九（1）班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，求九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式． ②九（2）班选手的100米单项用时总和比九（3）班快1.4秒，但米接力成绩比九（3）班慢1.3秒，且两班的训练时间之和为13小时．求九（3）班的训练时长． 【答案】(1)见解析 (2)①（）；②九（3）班的训练时长为小时 【分析】（1）根据平均数、中位数和方差的意义进行解答即可； （2）根据题意构建函数模型，正确列出函数解析式，再利用方程求解即可． 【详解】（1）解：发现：九年级的米接力成绩平均数最小，方差也最小，说明九年级成绩最好且最稳定． 原因：九年级学生身体发育更成熟，体能更好（或训练时间更长，经验更丰富）． （2）解：①由题意得，九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为： （）． 答：九（1）班米接力成绩y与交接棒训练时长x之间的函数表达式为：（）． ②设九（3）班的训练时长为小时，则九（2）班的训练时长为小时；设九（3）班的100米单项用时总和为秒，则九（2）班的100米单项用时总和为秒， 根据题意可得，九（3）班的接力成绩为：， 九（2）班的接力成绩为：， ， ， 整理得，， 解得，． 答：九（3）班的训练时长为小时． 34．（2026·广西南宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作轴，交抛物线对称轴于点E，连接．若，求a的值． (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求a的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或0 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再配方成顶点式，进而可得出顶点坐标． （2）根据题意分别得出点A和点E的坐标，然后得出和，然后根据正切的定义得出关于a的一元二次方程，因式分解法解方程即可． （3）根据点A的坐标分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入， ， 解得：， ∴， ∴顶点B的坐标为． （2）解：∵点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． ∴， ∵轴，交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 解得或（舍去） （3）解：，，，， 分四种情况求解： 当时，，， ∴， 整理得：， 解得或（舍） 当时，，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，，， ∴， 整理得： 解得（舍）， 当时，，， ∴， 整理得：， 解得（舍），（舍） 综上所述：a的值为或0． 35．（2026·广西南宁·二模）综合与实践 某学校计划利用一块矩形空地打造“阳光劳动基地”． (1)如图，矩形空地的宽度米，恰好能容纳个竖放的矩形菜畦和个横放的矩形菜畦，且每个矩形菜畦的形状、大小完全相同．求每一个矩形菜畦的长和宽； (2)为响应国家“五育并举”的号召，学校计划新建一个边长为米的正方形拓展基地，用于放置个菜畦，拟定了组合布局方案：采用竖放矩形菜畦和平行四边形菜畦的组合形式（如图），其中平行四边形菜畦的排数比矩形菜畦少排，每排菜畦之间设置米宽的通道，同时满足以下要求： （ⅰ）每一个矩形菜畦的长和宽与（1）中的矩形菜畦的长和宽完全相同； （ⅱ）每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等； （ⅲ）每一个平行四边形菜畦的形状、大小都相同，且有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形菜畦的长边相等（即在平行四边形中，，） ①求平行四边形菜畦的另一边的长； ②请判断该方案能否在边长为米的正方形基地中实现，并说明理由（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】(1)长为4米，宽为2米 (2)① ②能，见解析 【分析】（1）设每一个矩形菜畦的长为米，宽为米，由图可知长方形的长等于2个宽，长方形的长和宽的和为6米得出方程组，求出解即可；（2）①由（1）知矩形菜畦的面积为8平方米，过点作 于点，根据勾股定理求出（米），再根据 ，求出答案；②设矩形菜畦有排，则平行四边形菜畦有排，得出通道数量为条，通道每条宽米，则可计算出通道总宽为米，再计算竖直方向总高度为，列出不等式，得出的值，最后得出竖直高度和水平长度都不大于米即可得出答案． 【详解】（1）解：每一个矩形菜畦的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， 所以每一个矩形菜畦的长为4米，宽为2米； （2）解：①由（1）知，矩形菜畦的面积为（平方米）， ∵平行四边形菜畦的面积与矩形菜畦的面积相等， ∴平行四边形菜畦的面积为8平方米． 如图，过点作 于点， 由（1）知， ， 在 中， ， ∴， ∴， ∴（米）． ∵每一个矩形菜畦的面积与每一个平行四边形菜畦的面积相等，即 ， ∴ ， 解得， 所以平行四边形菜畦的另一边的长为米； ②设矩形菜畦有排，则平行四边形器材区有排， 由题意得，通道数量为：（条），每条宽米， ∴通道总宽（米）， 由（1）矩形菜畦每排高4米，平行四边形菜畦每排的竖起高度为米， ∴竖起方向总高度为：， 要想该方案在边长为米的正方形基地中实现，需满足：， 解得， ∵为正整数， ∴，即矩形菜畦有3排， ∴平行四边形菜畦有2排， 此时竖直高度为：，故竖直高度满足在边长为米的正方形基地中实现； 矩形菜畦每排可放（个），3排共能放（个）， 则平行四边形菜畦需要放（个），每排需放 （个）， ∵每个平行四边形菜畦水平方向占米， ∴6个总长度：，故水平长度满足在边长为米的正方形基地中实现； 综上，该方案能在边长为米的正方形基地中实现． 方程与不等式 考点06 36．（2026·广西南宁·二模）若，则______． 【答案】 【分析】不等式的性质：①不等号的两边同时加上（减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等号的两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；③不等号的两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 37．（2026·广西钦州·二模）计算与解不等式： (1)计算： (2)解不等式： 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ． 38．（2026·广西南宁·二模）晋剧的文化魅力不仅体现在剧情上，演员的服饰也备受大家喜爱．近期，以晋剧戏盔“状元帽”为原型的文创产品发热桌垫、立体拼图十分畅销．学校计划用不超过元的经费购买这两种文创产品共件作为奖品，奖励在“晋剧进校园”活动中表现优秀的同学．已知两种文创产品的价格如图所示． (1)若学校计划购买件立体拼图，请问总费用是否会超过元的预算？请通过计算说明； (2)请求出学校最多可购买多少件立体拼图． 【答案】(1)不会超过，计算过程见详解； (2)学校最多可购买件立体拼图． 【分析】（1）根据购买立体拼图的件数，求出对应的发热桌垫的件数，再根据“总价单价数量”计算总费用，与预算比较即可； （2）设购买件立体拼图，则购买件发热桌垫，根据总费用不超过元列出一元一次不等式，求解并结合实际意义确定的最大值． 【详解】（1）解：学校计划购买件立体拼图，则购买发热桌垫件， 总费用为（元）（元）， 答：总费用不会超过元的预算； （2）解：设购买件立体拼图，则购买件发热桌垫， 由题意可得，， 解得：， 答：学校最多可购买件立体拼图． 39．（2026·广西南宁·二模）已知三个正整数，，满足，且，求，，． 解：，； 由，，可得， ，解得， 又，解得， 综上，的取值范围是① ， 为正整数，② ． (1)直接填空：① ；② ． (2)类比上述探究方法，求出的取值范围； (3)直接写出方程的正整数解． 【答案】(1)，2 (2)； (3)，，． 【分析】（1）根据题意填空即可； （2）类比上述探究方法，求得的取值范围是； （3）结合（1）（2）得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由，， 可得， ，解得， 又， 解得， 综上，的取值范围是， 为正整数， ； （2）解：已知，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， 解得， 结合， ∴的取值范围是； （3）解：由是正整数且，得， 代入，即， 解得， ∴方程的正整数解为，，． 40．（2026·广西玉林·二模）近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划通过引进机器人提高快递物品分拣效率．我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题． 素材信息： 素材类别 具体内容 工作效率数据 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递； ②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000件快递． 采购价格信息 A，B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元． 请根据相关信息，解决下列问题： (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2)物流公司计划采购A，B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于万件，如何采购才能使采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 【答案】(1)1台A型机器人每小时分拣1000件快递，1台B型机器人每小时分拣500件快递 (2)采购A型机器人15台，B型机器人20台时采购总费用最少，最少总费用是630万元 【分析】（1）设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递，再根据题意列方程组求解即可； （2）设采购A型机器人台，则B型为台，根据每小时总分拣量的要求求出自变量的取值范围，再列出总费用关于A型机器人数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最小费用和对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递， 由题意： 解得： 答：A、B两种机器人每小时各分拣件、件快递； （2）解：设采购A型机器人台，则B型为台， 由题意知： 解得， 设总费用为万元， ∴ ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 当时，W最小，此时A、B分别为15台和20台， ∴W的最小值为：（万元）， 答：采购A型15台，B型20台的费用最少，是630万元． 41．（2026·广西南宁·二模）平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 【答案】(1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围； （2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排． 解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值． 【详解】（1）解： 由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次， 为非负整数， 根据题意列不等式组： ， 解不等式 ， 因此，且为整数； （2）解：设总运量为吨， 根据题意得： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时（吨）， 乙型货船出航次数为 （次）， 答： 安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨． 42．（2026·广西钦州·二模）为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本． (1)求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价； (2)某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？ 【答案】(1)该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元 (2)这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低 【分析】（1）设该校购买《西游记》的单价为元，根据“分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本”列分式方程求解即可； （2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，求出的函数解析式，进而求出的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设该校购买《西游记》的单价为元， ， 解得， 检验：时，， 是原分式方程的解， ， 答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元； （2）解：设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元， ， 根据题意得， 解得， 为正整数， 的最小值是4， 是关于的一次函数，且， 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低． 43．（2026·广西桂林·二模）某中学为了美化校园环境，决定将边长为7米的正方形花圃按如下设计方案分成9个区域并种植不同的花卉：如图所示，点E，F，G，H分别为正方形的四条边上的点，四边形也是正方形，、、、分别为正方形四边的中点，其中所有①号区域种植甲种花卉、所有②号区域种植乙种花卉，③号区域种植丙种花卉． (1)求证：； (2)若甲种花卉的种植面积为20平方米，求的长； (3)学校实际种植时，先取定米，再按设计方案种植．已知乙种花卉每平方米的种植费用为80元．丙种花卉每平方米的种植费用为100元．若本次种植总费用不能超过3450元，则甲种花卉每平方米的种植费用不能超过多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)米或米 (3)50 【分析】（1）根据正方形的性质得出直角和相等的边，利用余角定理得出相等的角，利用证明全等三角形即可； （2）利用全等三角形的性质得出相等的线段，假设，则，根据面积列出方程求解； （3）根据全等三角形的性质以及勾股定理求出各区域的面积，假设甲种花卉每平方米的种植费用为元，列出不等式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，四边形也是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）得， ∴， 假设，则， ∴， 解得或， ∴米或米； （3）解：∵米， ∴米， ∴①号区域的面积为（平方米）； 由勾股定理得米， ∵四边形是正方形， ∴米， ∵、、、分别为正方形四边的中点， ∴， 同（1）得， ∴②号区域的面积为（平方米）； ∴③号区域的面积为（平方米）； 假设甲种花卉每平方米的种植费用为元，根据题意得， ， 解得， ∴甲种花卉每平方米的种植费用不能超过50元． 44．（2026·广西贵港·二模）项目式学习： 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 (1)项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1) 单枪充电桩单价为2000元/个，双枪充电桩单价为3200元/个 (2) 小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购支出不超过26880元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）， 答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购支出不超过26880元， ∴， 解得， ∵为整数， ∴a的最小值为4， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $