河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 高一年级数学月考试卷聚焦复数、三角函数、向量、解三角形核心知识，通过航天器轨道校准（科技情境）、正矢余矢数学史（文化传承）等设计，体现数学眼光观察现实、思维推理与语言表达，解答题梯度分明，综合考查核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数运算、三角函数性质、向量平移|第3题以航天器平移为背景，考查向量加法的实际应用| |选择题（多选）|3/18|复数性质、三角恒等变换、数学史定义|第11题引入正矢余矢历史定义，融合数学文化与创新应用| |填空题|3/15|三角化简、三角形面积、函数零点|第14题函数零点问题，考查数形结合思想| |解答题|5/77|向量共线、复数应用、三角函数综合、解三角形|第19题平面四边形面积最值，综合几何直观与逻辑推理|

高一数学月考试题答案 用的合议4生21山 1由i=31 2由oA=空可得A=名+2keZ或A=一君+2红keZ,由于Ae@0.则A-君，所以充分 性成立，反之，由A=名可得=汽所以必要性成立放速：A 2 3.因为点(0,0)沿飞=(a,1)平移后，坐标为(a,1),点(a,1)沿=(-1，a)平移后，坐标为(a-1,a+1): a+1=3 点(a-1,a+1)沿y=(2,1)平移后坐标为(a+1,a+2),因为三次平移后坐标为(3,4)，故 a+2=4:解得 a=2.故选：C. 4y=in(x-爱caex-)m2r-5）-y 31 21 34 ,故选D. [f(0)=Atano=1 5由肉0征石年得到a-2,又由陶 5. f94a四22*p7E0 由Atan 贝3元+p0,得到p=5+m7 6 又回行所以=L即m=汇 6 61 由4am-1,得Ax5=1,所以A=5 6 故选：B. 3 1 -cos a- 2 "2sin a+sin a=4 即 -cos a+sina= 4,所以sina+ 元）4 3 所以f到a+到i-+-mf+ a到周 故选：C 7,因为a证-Ac+0i-4c+号o=ac-8c-AC4c-)-4c+ 3 又0与丞共线.设40=证，则而-0+瓜， 同理C0与CD共线，设c0=cD,又而=D-4C-丽-c, 所以而=号西-uAc, 117 AO=AC+CO=AC+4AB-HAC=(1-)AC+4B 2 所以 1-4=3 ，3 422’解得{ 4 故0=1-四ac+分5写4C+， 12-3 45 所以A0.AC= 传4c+号西c-5ac+号西c 又AB.AC=4Ccos.∠BAC=4×2×cos60°=4×2× =4, 故404c=ac+号aC=x2+子×4-号 故选B 8.对于A:f(π+x)=sinm[cos(π+x)+cos[sin(π+x)]=sin(←cosx)+cos(←sinx)=-sin(cosx)+cos(sinx, f(π-x)=sin[cos(π-x)Hcos[sin(r-x】=sin(cos cos (sin于-sin (cos→cos6ir), 因此f(π+x)=f(π一x),即f(x)的图象关于直线x=π对称，故A正确： 对于B:f(x+2m)=sincos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)=sin(cosx)+cos(sinx)=f(x), 因此2π是f(x)的周期，故B正确； 对于C: 所以f >f(), 所以了y在区间(2网上不是单调递增函数，故c错误： 对于D:设u=cosx∈[-l,1],因y=sinu在[-1，]单调递增，则sin(cosx)最大值为sinl, 当且仅当cosx=1时取到，此时sinx=0,cos(sinx)=cos0=1,而cos(sinx)的最大值为l, 即当cosx=l,sin(cosx)和cos(sinx)同时取得各自的最大值， 因此f(x)最大值为sinl+1,故D正确 故选：D 9.对于选项A:i2026=i06+2=i=-1,故A错误； 对于选项B:设==a+bi,a,b∈R,则z=a-bi,所以zz=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=z,故B正确： 对于选项C:例如名=2,52=1+i,则=2，=√2，满足>，但z子=4，z兮=(1+i)=2i,两者 不能比较大小，故C错误： 对于选项D:设复数，2在复平面内对应的点分别为Z,A(2,0),若=OZ=1,可知点Z的轨迹是以坐标 217 原点O为圆心，半径为1的圆，则-2=AZ≥OA-1=1,所以5-2的最小值为1，故D正确 故 选：BD 10.答案：BC当=B=0时，B成立 对于A选项gn11-cl1-=1-o5到）=1+em号-1 3 3 2,故A正确： 对于B选项f(x)=1-cosx-Q-sinx)+1=sinx-cosx+1=2sin(x- 令x-牙机→x=子红e乙，放对称中心为红+平上Z,B迹项错误： 4 4 对Te这原上mm2 covers2x-versin 2x+1=1-sin 2x-(1-cos 2x)+1=cos2x-sin 2x+1 2cos-2 sin xcosx-a2t-故C选项正确 sin2x+cos2x 对于D选项，g(x)=(1-cosx)(1-sinx)-1=-(sinx+cosx)+sinx.cosx, 1=m+ax=胃e[返]，则0=+'-44c[返， 22 对称轴为1-1，所以当=-万时，取到最大值，北时&=5+号放D选项正确 故选：ACD. 三、填空题： 12.sina-cos(教材172) 13.3√2 (教材130) l4.f(w)=√3sind+cos定义域为R,因为f(-x)=V3sin-d+cos(-x=√3sinx|+|cosx=f(w),所以 函数为偶函数，对f(x)=√3 sin+|cos,当x≥0时， f(x)=3sinx+cosx|= 2m2r( 2n-xe2+5 2 作出函数图象，由图象知，y=m与y=f(x)在[-元，2π恰好有4个交点，则m∈2U1,3) 故答案为：{2}U[1,3 -π2πππO ππ2元 3π 2x 323 323 2 3 四、解答题： 15.(1)因为AB=2g-8e,CB=e+3e,CD=2e1-e2: 所以BD=CD-CB=(2,-e2+2}e1-电，， 所以AB=2BD,即AB/BD, 又AB与BD有公共点B, 所以A,B,D三点共线， (2)由(1)可知BD=e,-4e2,又BF=3e,-ke2, 因为BFUBD,设BF=BD(1eR), .3e,-ke2=e-4e2, 又e,e是两个不共线的向量， 2=3 所以 -k=-4'解得k=12. 16.(1),z1对应的点的坐标为(m2-4m+3,m-1), ∴.三=m2-4m+3+(-1)i,其中meR, ,复数为纯虚数， m2-4m+3=0 六m-1*0 解得=3， .m=3. (2),x2-2m+a2+1=0, .(x-a2=-1, 解得x-a=i, 即关于x的方程x2-2+a2+1=0的两根分别为a+i,a-i, :对应的点在第一象限，∴5=a+i,且a>0,=5, ∴=√㎡+P=5,解得a=√2或a=-√2，由a>0,则a=√2， 与=2+1，即共轭复数5=万-i1,三+i55(5-到2222 2v2+i 3 333 417 .仙f网=z+ma0x专m2x2s2x号n2: 由好+2≤2x子s2EZ,解得经-SseZ 4 8 8 又xc[0,可，所以f(x)的单调递减区间为π匹] 8’8 2)因为xe0?子N 所以-经s2x牙子.则-9max-乃1， 4 4-4 所以-s 2-2 sinc2x-s 4-2 所以y=f(x)的最大值为5，最小值为 2 声/a=,所以 6 2 所以s2a孕-号 ac(9a导引 3 所以m2a-m(2a-子+孕-m2a-孕cos平+os2u-7sm子 441 4 4 1V2.22V2_2+4 3232 6 2b-c,可得c0s4 18.(1)由cos4=c0sC」 cosC a sinA 2sinB-sinC 化简得2 sin BcosA-cosAsinC=sin AcosC, 2sin B cos A=cos Asin C+sin Acos C, 2sin B cos A=sin(A+C)=sin B, 解得cosA=行即A=号 (2)由AB.AC=3得AB.AC=AB AC cos A=3,即bC=6, 由a4名即6.7-间+-13. 2bc 所以(b+c)=b2+c2+2bc=13+2×6=25,解得b+c=5, 517 可知5.as=5.a+agcm44im+elin子， 2 由A=子可得4=5m生 2,sin. 22 所以5c-+号4，得5h=65,解得4如- 5 0<B<π /03 (3)△ABC为锐角三角形，A= 3,所以 ,即{ 3 2 o<c 解得二<C< 0<C<2 6 2 2W3 b= Rsin bsin A=asin B 3 由正弦定理可知 3i/ csinA=asinC’ 即 23 sinc C= 3 所以b+c= 停r小mc9oec小c+ 由c可相sc+则5mc+ 63 s1, 2 6 则b+c∈(W3,2],则△ABC的周长a+b+c的取值范围为(V5+1,3。 19.(1)设∠ABC=a,∠ADC=B,其中a,B∈(0，π)， 在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB2+BC2-2AB.BC cos=8-8c0Sa; 在△ACD中，由余弦定理可得AC=AD+CD-2AD.CDc0sB=17-8c0SB; 即8-8c0sa=l7-8c0sB,可得cosa-cosB=-9 8 (i)若A,B,C,D四点共圆M,则B=π-， 可得cosB=cos(π-a)=-cosa,sinB=sin(π-x)=sina, 由cosa-cosB=-2可 可得2cosa=-9 '即cosa=-9 16 则AC2=8-8cosx=)，即AC=5√2 2 D因为边形ABCD面积S=S+San子2X油a卧分教kmA, 1 即aatB8,且名 又因为(sina+sinB)+(cosa-cosB)'=2-2cos(a+B)≤4， 当且仅当a+B=π时，等号成立 617 即+81s4,解得3≤5 4 64 4 所以四边形ABCD面积，S的最大值为V7 4 (2)在△ABD中，由余弦定理可得BD=AB2+AD-2AB.ADc0s∠BAD=4+16-2×2×4×】=12, 2 即BD=2√5， 则AD2=AB2+BD2,即AB⊥BD, 因为∠BAD+∠BCD=元，可知4，B,C,D四点共圆，圆的半径r三4D2 B 则BC=4sin∠BAC=4sin 且∠ADB=∠ACB,可知∠AOD~∠COB, 若SA0=2S心，则C=40=25. √2 1m传小-2，可子号 又因为0c0<骨则0<雪0骨可得号0子解得0-吾 所以当0-0时，S40D=2S8aC, 717 2026年春期高一年级第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则z=( ) A. -2+2i B. -2-2i C. -2+i D. -2-i 2．在ΔABC中，“”是“”的 ( ) 条件 A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 3．在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是（0,0）的卫星进行三次平移（单位： km)：第一次沿向量）补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是（3,4）的同步轨道点，则实数a=( ) A. 4 B.3 C.2 D.1 4．已知函数，则该函数的周期与最小值为 ( ) A. B. π, C. D. 5．函数的部分图象如图所示，则A=( ) A.1 B. C.3 D. 6．已知，则（ ） A. B. C. D. 7．在ΔABC中，AB=2AC=4,，若,，AE,CD相交于点O，则( ) A. B. C. 3 D. 8．已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(sinx)，下列结论中错误的是 ( ) A. f(x)的图象关于直线x=π对称 B. f(x)的一个周期是2π C. f(x)在区间上单调递增 D. f(x)的最大值为sin1+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知i为虚数单位，z为复数，下列说法正确的是 ( ) A. B. C.若，则 D.若|z|=1，则|z-2|的最小值为1 10、 下列结论正确的是 ( ) B.存在α，β使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C D 11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cosθ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1-sinθ为角θ的余矢，记作coversθ，则有 ( ) A. B.函数f(x)=versinx-coversx+1的对称中心为 C.若，则 D.若g(x)=versinx·coversx-1，则g(x)的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知角α位于第二象限，化简： 13．如图，在ΔABC中， AB=AC=3,BC=2,∠B的平分线交过点A且与BC平行的直线于点D.则ΔABD的面积为 14．已知函数，若方程f(x)=m在［-π，2π］上恰好4个实数根，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分6解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分） 设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 16.(15分）设均为复数，在复平面内，已知z1对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限. （1）若复数z1为纯虚数，求实数m的值； （2）若，且是关于x的方程的一个复数根，求 17.(15分）已知函数 （1）求f(x)在[0,π]的单调递减区间； （2）当时，求y=f(x)的最大值和最小值； （3）若，求sin2α的值． 18.(17分）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 （1）求角A： （2）若,∠A的平分线交边BC于点T，求AT的长； （3）若a=1，且ΔABC为锐角三角形，求ΔABC的周长的取值范围. 19.(17分） 如图，在平面四边形ABCD中， AB=2, AD=4。 （1）若BC=2CD=2 （i）若A,B,C,D四点共圆M，求AC； （ii）求四边形ABCD面积S的最大值。 （2）若，AC与BD交于点O.记∠CAD=θ，求当θ为何值时， 学科网（北京）股份有限公司 $