湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

**基本信息** 湖北曾都一中2025-2026学年高二下5月月考数学试卷，以概率统计、导数、立体几何等核心知识为载体，通过溶液体积变化（第3题）、射击概率（第16题）等真实情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，体现知识应用与核心素养的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分布列、二项式系数、导数应用等|基础概念与简单应用结合，如第7题回归方程误差分析| |多选题|3/18|回归分析、函数性质、曲线方程|多角度辨析，如第9题综合考查统计命题真伪| |填空题|3/15|正态分布、抛物线与椭圆、切线方程|知识交汇，如第14题切线方程与最值结合| |解答题|5/67|立体几何（空间角与距离）、概率统计（期望方差）、导数（单调性）、数列（通项与求和）、复杂概率（摸球问题）|分层设计，如第19题从概率计算到分布列、递推关系，培养数据意识与模型观念|

湖北曾都一中2025至2026学年高二下5月月考数学试卷 时间120分 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知随机变量分布列如表所示，则（   ） 0 1 A. B. 0 C. D. 2．在的展开式中，的系数为（   ） A．120 B．80 C．40 D． 3. 已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（   ） A. B. C. D. 4．某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（   ） A． B． C． D． 5．现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（   ） A．84种 B．129种 C．156种 D．165种 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（ ） A. 2 B. 1.6 C. 7.4 D. 0.8 8. 设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题中，正确的命题有（   ） A. 利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心 B. 设随机变量，则 C. 天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为 D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是的极值点 B．时，有3个零点 C．时， D．时，过原点可作两条不同直线与图象相切 11．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（   ） A．过点可作两条直线与曲线相切 B．曲线是某个函数的图象 C．过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2 D．曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分 三、填空题（每题5分，共15分） 12 已知随机变量X服从正态分布且，则_______. 13．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 14．已知是函数的切线，则的最小值为______． 四、解答题 15、（本题13分）如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 16、（本题15分）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. （1）设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； （2）若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 17、（本题15分） 函数． （1）讨论的单调性； （2）若有最大值M，且，求a的值． 18、（本题17分）已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 19、（本题17分）一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 湖北曾都一中2025至2026学年高二下5月月考数学试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D B B D A C A ABD AC BCD 12 0.4 13. . 14． ln2+2 15．(1)(2) 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有所以，令，有，设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： 16、四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且，. 2、依题意有 ,又.所以在区间上单调递增， 17、【答案】（1）答案见解析；（2）1 【详解】解：（1）易知，，当时对任意的恒成立； 当时，若，得，若，得，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，， 则在上单调递增，在上单调递减， ，即， ，，即，令， ， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， ， ，. 18、【详解】（1）是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即,，，即,，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. （2）， （3）， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令，则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 19. 【小问1详解】 依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. 【小问2详解】 依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. 【小问3详解】 依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. 学科网（北京）股份有限公司 $