高二数学下学期期末模拟卷（基础篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

**基本信息** 聚焦高二选择性必修核心内容，以现实教育情境（如错题重练调查）和生活问题（如招聘概率）为载体，通过梯度化设计（基础计算到综合应用）考查抽象能力、数据观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数计算、概率独立性检验|结合教育调查情境（如错题重练），考查基础概念应用| |多选|3/18|统计模型评价、事件独立性|通过辨析题考查推理意识，如残差图与模型拟合效果| |填空|3/15|二项式系数、切线方程、随机变量期望|注重数学语言表达，如黄球个数期望计算| |解答|5/77|回归分析、概率分布、导数应用|综合生活场景（如招聘奖励方案），考查数据分析与问题解决能力，体现数学思维的逻辑性|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】根据导数的定义可直接得解. 【解答过程】根据导数的定义，. 故选：D. 2．（5分）连续型随机变量，若，，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.4 【答案】B 【解题思路】由正态分布的对称性可得. 【解答过程】由正态分布的对称性可得， 所以. 故选：B. 3．（5分）某课题组为调查“错题重练”是否有助于学生提高数学成绩，随机抽取300名高中生分为两组，实验组在每天的学习中有计划地开展“错题重练”，对照组学习方法不变.一个月后，对统计数据运用列联表进行独立性检验，计算得，则下列结论正确的是（   ） 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．认为“错题重练”与提高数学成绩有关 B．认为“错题重练”与提高数学成绩无关 C．认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D．认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【解题思路】根据独立性检验的定义判断即可. 【解答过程】， 根据小概率值的独立性检验，可以推断“错题重练”与有助于提高数学成绩有关. 故选：C. 4．（5分）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】A 【解题思路】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【解答过程】易得展开式通项公式为， 令可得的系数为，令可得的系数为， 故原展开式中的系数为. 故选：A. 5．（5分）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【解题思路】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【解答过程】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C. 6．（5分）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（   ） x 2 4 6 8 y 6 m 3 2 A．变量之间呈现负相关关系 B．变量之间的相关系数 C．m的值等于5 D．由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】B 【解题思路】根据线性回归方程的概念，和经过样本中心的性质，计算出参数值，分别判断ACD三个选项的正误，根据相关系数公式，计算相关系数大小，判断B的正误. 【解答过程】由，可知，呈现负相关，所以A正确； 由题意可知，，样本中心点， 代入得，解得，所以C正确， 所以样本中心点为，所以D正确； 样本相关系数，所以B不正确. 故选：B. 7．（5分）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【解答过程】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故选：A． 8．（5分）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【解答过程】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的是（ ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BD 【解题思路】根据独立性检验的性质判断A；根据残差图的性质判断B；根据相关系数的性质判断C；根据决定系数的性质判断D. 【解答过程】对于A，利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，A错误； 对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好，B正确； 对于C，样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r的绝对值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱，C错误； 对于D，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D正确． 故选：BD. 10．（6分）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【解答过程】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上是减函数 B．的单调递增区间为和 C．恰有一个零点 D．的极大值大于极小值 【答案】BC 【解题思路】求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性判断A，B，再应用单调性及最值判断C，应用极值判断D. 【解答过程】由题意知的定义域为， ． 令，解得或． 所以当或时，，此时在和上单调递减， 当或时，，所以的单调递增区间为和，故A错误，B正确； 因为当时，，所以在上恰有一个零点， 当时，，所以在上无零点，综上，恰有一个零点，故C正确； 在处取得极大值为，在处取得极小值为，即的极小值大于极大值，即D错误， 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）在的展开式中，项的系数为__________． 【答案】15 【解题思路】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数即可. 【解答过程】二项展开式的通项公式为， 令，可得， 所以，项的系数为. 故答案为：15. 13．（5分）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解题思路】利用导数求出切线的斜率，写出直线的点斜式方程，再整理成一般式方程即可. 【解答过程】因为，所以当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 14．（5分）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则__________． 【答案】 【解题思路】先写出随机变量的概率分布，然后代入期望和方差公式即可求解. 【解答过程】随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为学生提供了“科技”和“艺术”两门选修课.为了解选择“科技”或“艺术”是否与性别有关，现随机抽取了100人. (1)补全下面列联表： 性别 科技 艺术 共计 男生 40 50 女生 共计 30 (2)是否有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析； (2)有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关. 【解题思路】（1）根据题意与表中数据即可完成列联表； （2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论. 【解答过程】（1）补全列联表如下， 性别 科技 艺术 共计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 共计 70 30 100 （2）根据列联表数据，得 ， 所以有的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关. 16．（15分）已知n满足，在的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项： (2)所有有理项的系数和． 【答案】(1) (2)2241 【解题思路】（1）解方程求出，根据可知展开式中二项式系数最大项为，即可得解； （2）由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的有理项即可得解． 【解答过程】（1）由可得， 解得或（舍去）， 所以展开式中，二项式系数最大的项为 . （2）二项式展开式的通项为， 且，当为整数时，或或， 所以，，， 故展开式所有有理项的系数和为. 17．（15分）已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【解答过程】（1）由题意得，. 因为， . 所以，. 故经验回归方程为. （2）由已知2026年对应的年份编号为7，令，则. 故预测该产品2026年的市场销售单价为元. 18．（17分）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)2 【解题思路】（1）利用切线的斜率是导数的值结合直线的方程求解即可， （2）单调递增转化为函数在这个区间内导函数大于或者等于零求解出范围即可， （3）利用导数结合极值点和最值点以及函数零点的存在定理求解即可. 【解答过程】（1）当时，，， 所以切点为（0，0） 所以，， 即切线的斜率为1，由点斜式直线方程得，所以切线方程为； （2）因为，由函数在上单调递增，则， 即在上恒成立. 令，，. 当时，，所以恒成立. 所以在上单调递增，所以 所以，a的取值范围； （3）由，则. 所以是的一个零点. 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点. ①当时，∵，∴，∴，无零点. ②当时，∵，设，， ∴在上递增，又∵，， ∴存在唯一零点，使得 当时，，在上递减； 当时，，在上递增，所以， 又，，， 所以，函数在上有且仅有1个零点. 综上，当时，函数有且仅有2个零点. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（基础篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 2．（5分）连续型随机变量，若，，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.4 3．（5分）某课题组为调查“错题重练”是否有助于学生提高数学成绩，随机抽取300名高中生分为两组，实验组在每天的学习中有计划地开展“错题重练”，对照组学习方法不变.一个月后，对统计数据运用列联表进行独立性检验，计算得，则下列结论正确的是（   ） 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．认为“错题重练”与提高数学成绩有关 B．认为“错题重练”与提高数学成绩无关 C．认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 D．认为“错题重练”与提高数学成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 4．（5分）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 5．（5分）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 6．（5分）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（   ） x 2 4 6 8 y 6 m 3 2 A．变量之间呈现负相关关系 B．变量之间的相关系数 C．m的值等于5 D．由表格数据知，该回归直线必过点 7．（5分）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的是（ ） A．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C．样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10．（6分）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上是减函数 B．的单调递增区间为和 C．恰有一个零点 D．的极大值大于极小值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）在的展开式中，项的系数为__________． 13．（5分）曲线在点处的切线方程为__________． 14．（5分）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球.设在此过程中，取到黄球的个数为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为学生提供了“科技”和“艺术”两门选修课.为了解选择“科技”或“艺术”是否与性别有关，现随机抽取了100人. (1)补全下面列联表： 性别 科技 艺术 共计 男生 40 50 女生 共计 30 (2)是否有95%的把握认为选择“科技”或“艺术”与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 16．（15分）已知n满足，在的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项： (2)所有有理项的系数和． 17．（15分）已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 18．（17分）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，讨论零点的个数. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $