19.1多边形的外角和及正多边形课时2（课件）2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦多边形外角和定理、正多边形概念及性质、四边形不稳定性，通过复习三角形内角和与外角定义导入，以探究1至4逐步推导从三角形到n边形的外角和，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解外角和与边数无关的规律。 其亮点是以问题链驱动探究，从特殊到一般推导外角和公式，培养数学思维中的推理能力。结合正多边形内角外角公式应用及小华行走路径等实例，发展数学语言的模型意识。学生能提升逻辑推理和应用能力，教师可借助结构化流程与丰富例题提高教学效率。

第19章 四边形 19.1 课时2 多边形的外角和及正多边形 01 探索并掌握多边形的外角和公式. 02 理解正多边形的概念并掌握其性质. 03 了解四边形具有不稳定性. 1.三角形的内角和是多少？n边形的内角和公式又是什么？ 三角形的内角和是180°. 把三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个 三角形的一个外角. 它的外角和等于360°. 2.三角形的外角是怎么定义的？ 它的外角和是多少？ n边形的内角和等于(n－2)·180° 探究新知 3 2 三角形的外角和是多少度? 你是怎样探究出来的？ A B C 探究 1 1 整体思路： 1.先求3个外角+3个内角的和 2.再减去三角形的内角和 ∴ 三角形的外角和是： 又∵ 三角形的内角和是： 证明： ∴ 3个外角与3个内角的和是： ∵ 三角形的每个外角与它相邻的内角互补 3×180°-180° 180° 3×180° =360° 探究新知 2 1 在多边形的 叫做 . 每个顶点处 取多边形的一个外角， 它们的和 C A B D 3 4 如： ∠1+∠2+∠3+∠4 四边形ABCD的外角和是 思考：多边形的外角和又有怎样的规律呢？ 上面研究了多边形的内角和. 多边形的外角和 在顶点处一边与邻边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的一个外角. 在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，把它们的和叫作多边形的外角和. 如图，∠EDF、 ∠CDG 是五边形 ABCDE 的外角，它们是对顶角. 内角 ？ ¿ G 我们已经知道三角形的外角和为 360°，那么四边形的外角和为多少度呢？ 互补 问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 1 2 3 4 问题2：四边形的四个平角和与内角和、外角和有什么关系？ 因为∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°， ∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°， ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°， 故∠1 +∠2 +∠3 +∠4= 4×180° - 360° =360°，因此四边形的外角和为 360°. 探究 2 按照同样的方法分析,五边形的外角和等于 . 五边形 1 2 3 4 5 5个外角与跟它相邻的内角之和合计为__________. 5×180° 五边形的内角和为____________. (5-2)×180° 五边形的外角和为 ___________________________. 5×180°-(5-2)×180°= 360° 360° 思考：n边形(n为不小于3.的整数)的外角和等于多少度？ 图形 边数 多边形的外角和 三角形 3 四边形 4 五边形 5 六边形 6 … … n边形 n 3×180°-(3-2)×180°= 360° 4×180°-(4-2)×180°= 360° 5×180°-(5-2)×180°= 360° 6×180°-(6-2)×180°= 360° n·180°-(n-2)·180°= 360° 探究新知 那么你能研究出四边形的外角和吗？ 探究 3 整体思路： 1.先求4个外角+4个内角的和 2.再减去四边形的内角和 ∴ 四边形的外角和是： 又∵ 四边形的内角和是： 证明： ∴ 4个外角与4个内角的和是： ∵ 四边形形的每个外角与它相邻的内角互补 4×180° (4-2)×180° 4×180° =360° 2 1 C A B D 3 4 -(4-2)×180° 探究新知 A1 A3 A2 An A4 A5 探究 4 2 1 3 4 5 整体思路： 1.先求n个外角+n个内角的和 2.再减去n边形的内角和 你能求出n边形的外角和是多少度吗？ ∴ n边形的外角和是： 又∵ n边形的内角和是： 证明： ∴ n个外角与n个内角的和是： ∵ n边形的每个外角与它相邻的内角互补 n×180° (n-2)×180° n×180° =360° -(n-2)×180° 通过观察和测量下面多边形的每条边和每个内角，你有什么发现？ 它们的各条边相等、各个内角也相等. 三角形 正方形 五边形 正六边形 如果各条边都相等、各个内角都相等，这样的的多边形叫作正多边形. 正多边形的概念: 正五边形 如果一个多边形由 n 条线段组成，各个内角都相等，各条边都相等，那么这个多边形叫作正n边形. 例如： 多边形中,如果各条边都相等,各个内角都相等,这样的多边形叫作正多边形. 如图，分别是正三角形、正方形、正五边形和正六边形. 例1 求正六边形每个内角的度数. 解:正六边形的内角和为 (6-2)×180°=720° 所以每个内角的度数为 720°÷6=120° 思考：正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 归纳总结 一个外角相加而得到的， (n为不小于3的整数) 多边形的外角和定理： n边形的外角和等于 360° 注意： ② 多边形的外角和 都等于360°， ① 多边形的外角和是 而不是所有外角相加的和. 取每一个顶点处的 与边数无关， 是一个定值. 观察思考 认真观察下面一组图形，它们有什么共同特点？ 特点： 它们的各个内角都相等 它们的各条边都相等 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 这样的多边形叫做 . 正多边形 各个内角都相等， 多边形中， 如果各条边都相等， 思考：正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 例2 求正六边形每个内角的度数. 解:正六边形的内角和为 (6-2)×180°=720° 所以每个内角的度数为 720°÷6=120° 你能借助多边形的外角和解决这个问题吗？ 正六边形每个外角的度数为360°÷6=60°， 则每个内角的度数为180°－60°=120°. 三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性（即各边长确定后，图形形状不能确定），如图，在日常生活中，四边形显不稳定性，但也叫为广泛的应用，如图中的活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以他可以拉开，也可以拉拢，你能举出用四边形的不稳定性的其他例子吗？ 对应练习 1、求正十二边形的每个内角和每个外角的度数？ 解： 正十二边形的每个内角的度数为 (12-2)×180° =150° 每个外角的度数为 360° 12 =30° 12 对应练习 2、一个多边形，每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形，它的内角和是多少？ 解： ∵ 多边形的外角和是360°， 360°÷45° ∴ 多边形的边数为 =8 ∴ 这个多边形的内角和为 (8-2)×180° =1080° 且每一个外角都等于45° 规律总结： 正多边形的边数= 360° ÷ 一个外角的度数 3.如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是________米． 150 4. 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数． 解：由题意得 AB = AE， 所以∠AEB = ( 180°- ∠A ) = 36°， 所以∠BED = ∠AED - ∠AEB = 108°- 36°= 72°. 多边形的外角和及正多边形 多边形外角和定理： n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于 360°. 正n多边形（n为不小于3的整数）每个外角的度数是 ． $