专题02 认识概率（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题02 认识概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断随机事件和确定事件 题型02 事件的可能性大小 题型03 概率的意义 题型04 计算时间的概率 题型05 已知概率求小球的数量 题型06 计算几何图形中的概率 题型07 游戏的公平性 题型08 用频率估计概率 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 区分确定事件和随机事件 1.理解数学中的必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 2.会区分什么是必然事件、不可能事件、随机事件 基础必考点，常出现在小题 判断事件发生的可能性的大小 1.理解随机事件发生的可能性有大有小； 2.会计算时间的概率； 基础必考点，常出现在小题和解答题中 用频率估计概率 1.理解随机事件随实验次数的增加而逐渐趋稳； 2.会用频率估计概率； 基础必考点，常出现在小题和解答题中 知识点01 确定事件与随机事件 1.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； ①不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； ②必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； 2.随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 知识点02 可能性的大小 1.可能性的大小 ①　必然发生的事件可能性最大； ②　不可能发生的事情发生的可能性最小； ③　随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 2.如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 注意：一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 3.公式：概率= 知识点03 概率与频率 ①频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 ②用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 题型一 判断随机事件和确定事件 解｜题｜技｜巧 · 确定事件：结果唯一确定，分必然、不可能两种 · 随机事件：结果无法提前确定，有多种可能 【典例1】（2026春•赣榆区期中）下列事件中属于必然事件的是（　　） A．检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B．三条线段组成一个三角形 C．a是实数，则|a|＞0 D．367个人中至少有2个人生日相同 【变式1】（2026春•无锡期中）下列谚语描述的事件，属于随机事件的是（　　） A．小暑热得透，大暑凉飕飕 B．日出东方 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【变式2】（2026•海门区二模）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 题型二 事件的可能性大小 解｜题｜技｜巧 1. 同场景直接对比 总数不变时，符合条件的数量越多，发生可能性越大 2. 计算概率再比较 概率= 算出数值后，数字大则可能性大 【典例2】（2026春•东台市期中）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【变式1】（2026春•丹阳市期中）某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮25秒，绿灯亮15秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（　　） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 【变式2】（2025秋•高邮市期中）从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（　　） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 【变式3】（2025春•南京期末）一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（　　） A．朝上一面的数字是2 B．朝上一面的数字是偶数 C．朝上一面的数字是3的倍数 D．朝上一面的数字不小于5 【典例3】（2026春•江都区期中）·【易】估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【变式】（2026春•仪征市期中）有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列　 　 ． 题型三 概率的意义 解｜题｜技｜巧 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 【典例4】（2025•连云港校级开学）商店开展促销活动，购物满100元，就获得一次抽奖机会，中奖的可能性是，也就是说抽奖（　　） A．一定中奖 B．有可能中奖 C．10个人中有9个人中奖 D．抽10次有9次中奖 【变式1】若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（　　） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【变式2】（2026春•京口区期中）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖（　　） A．100个人抽奖必有85个人中奖 B．抽100次必有85次中奖 C．一定中奖 D．有可能中奖 【变式3】（2024春•泗洪县期中）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（　　） A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若小明比赛10局，他一定会赢8局 题型四 计算事件的概率 解｜题｜技｜巧 概率= 【典例5】（2026•灌南县模拟）不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、3个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　 ． 【变式1】（2026•南京模拟）某疾病由X病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测X病毒的仪器的准确率为90%（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器90%概率输出阳性，10%概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器90%概率输出阴性，10%概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（　　） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D．90% 【变式3】（2025秋•建湖县期末）一只不透明的袋子中有3个红球、4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． （1）　　 （填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：　　 ； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 题型五 已知概率求小球的数量 解｜题｜技｜巧 设：总球数：n，目标颜色球个数：m，摸到目标球的概率：P ①　①求目标球数量： ②　②求总球数： ③　 ③求其他球数量：其他球的数量= 【典例6】（2026春•徐州期中）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2025春•海州区校级月考）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 　　 ． 【变式2】（2025秋•泗阳县期末）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 题型六 计算几何图形中的概率 解｜题｜技｜巧 概率= 【典例7】（2025秋•苏州期末）如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026•高新区二模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　　 ． 【变式2】（2025秋•工业园区期末）如图，▱ABCD中，点E，F是对角线AC的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在▱ABCD内且落在▱ABCD内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为　　 ． 【变式3】（2026春•秦淮区期中）如图，质地均匀的转盘中八个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在某个区域内（若指针落在区域分界线上，则重新转动，直到落在某个区域内为止）． （1）下列事件，是随机事件的是A ； A、指针落在标有9的区域内 B．指针落在标数字的区域内 C．指针落在标有1的区域内 （2）某商场举行抽奖活动，规定转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在标有偶数的区域内获得三等奖．要使获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率，请帮助该商场设计一个获得二等奖的方案．（注意：二等奖与一等奖、三等奖不可兼得哦!） 题型七 游戏的公平性 解｜题｜技｜巧 ①分别算出游戏各方的获胜概率 ②比较概率大小 ③结论：概率相等则公平，概率不等则不公平 【典例8】（2024秋•徐州期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 【变式1】（2025•镇江模拟）如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于120°，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的交线时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 【变式2】（2024•宿城区模拟）小明有2枚黑棋子，小亮有2枚白棋子，两人随机将4枚棋子放在如下的格子中（每格只放一枚）．若4枚棋子黑白相间排列，就算小明赢，否则就算小亮赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 格子1 格子2 格子3 格子4 题型八 用频率估计概率 易｜错｜点｜拨 1.实验需在同一条件下进行； 2.少量试验：频率≠概率； 3.大量重复试验：频率稳定值≈概率； （实验次数越多，频率一定越来越靠近概率这句话是错的，应该是是整体趋势稳定在概率附近，单次、小范围波动仍会存在，不是单调逼近。） 4.概率只能预估结果次数，不能精准确定实际次数。 【典例9】（2026春•宿迁期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 25 51 75 101 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.6 【变式1】（2026春•锡山区期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（　　） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【变式2】（2026春•兴化市月考）行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．如图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【变式3】（2026春•无锡期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在图形ABC以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内（含圆周上）的次数m 14 43 96 153 … 石子落在阴影内（含外边界）的次数n 23 91 186 300 … m：n 0.61 0.47 0.52 0.51 … 请根据以上信息，解答以下问题： （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近　　 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数（m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在　　 附近（结果用分数表示）； （3）根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）． 题型九 根据频率求小球的个数 解｜题｜技｜巧 大量重复试验下，频率稳定近似等于概率 公式：① ②目标球数 注意：计算结果取正整数 【典例10】（2026•鼓楼区校级一模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（　　） A．10 B．0.3 C．3 D．7 【变式1】（2026•海门区校级模拟）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（　　） A．16 B．12 C．6 D．4 【变式2】（2025春•宿城区期末）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2026春•徐州期中）法国数学家拉普拉斯说：生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．下列民间谚语中事件发生的概率最大的是（　　） A．竹篮打水 B．瑞雪兆丰年 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．滴水穿石 2. （2024秋•泰兴市期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（　　） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 3. （2026春•阜宁县期中）一个不透明的盒子中有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在0.2左右，则盒中红球的个数约有（　　） A．40个 B．60个 C．75个 D．90个 4. （2025•泉山区校级一模）中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为（　　） A． B． C． D． 5. （2026春•沭阳县校级月考）某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（　　） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 6. （2025秋•射阳县校级期中）每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 7. （2025春•江阴市期中）下列说法正确的是（　　） A．为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此调查中，样本容量为50名学生的视力 B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖 C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式 D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件 8. （2025秋•南京期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（　　） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 9. （2026春•宿豫区期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和a个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则a的最小值为　　 ． 10. （2026•泰兴市模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为　　 ． 11. （2026春•东海县期中）有一只蚂蚁在如图所示的圆形纸片上爬来爬去，两圆半径分别为1和2，则蚂蚁最终停留在白色区域的可能性　　 停留在灰色区域的可能性．（填“＞”“＜”或“＝”） 12. （2023春•吴江区校级月考）小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 13. （2026春•铜山区期中）某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1﹣9（如图①），背面是对应的奖品（如图②），若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题： （1）翻动翻奖牌一次，抽中“球拍”属于　　 事件；（填“不可能”、“随机”或者“必然”） （2）翻动翻奖牌一次，中奖的概率是　 　 ； （3）得到以下奖品的可能性最小的是 ； A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶 （4）在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性大于抽到“球拍”的可能性大于抽到“手机”的可能性． 期末综合拓展练（测试时间：10分钟） 14. （2026•海陵区一模）下列说法正确的是（　　） A．命题“若，则a＞b”是真命题 B．“甲、乙、丙三人围圆桌，甲、乙正好相邻”是随机事件 C．调查“长征十二号”火箭各部分零件是否合格适合采用普查的方式 D．“把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形”是必然事件 15. （2025•灌南县一模）集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1﹣20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球．摸前交1元钱且在1﹣20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元． （1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由． （2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 16. （2024春•建邺区校级期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近 　　 ；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）＝　　 ； （3）如何通过增加或减少这个不透明盒子内球的具体数量，使得在这个盒子里每次摸到白球的概率为0.5？ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 认识概率（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断随机事件和确定事件 题型02 事件的可能性大小 题型03 概率的意义 题型04 计算时间的概率 题型05 已知概率求小球的数量 题型06 计算几何图形中的概率 题型07 游戏的公平性 题型08 用频率估计概率 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 区分确定事件和随机事件 1.理解数学中的必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 2.会区分什么是必然事件、不可能事件、随机事件 基础必考点，常出现在小题 判断事件发生的可能性的大小 1.理解随机事件发生的可能性有大有小； 2.会计算时间的概率； 基础必考点，常出现在小题和解答题中 用频率估计概率 1.理解随机事件随实验次数的增加而逐渐趋稳； 2.会用频率估计概率； 基础必考点，常出现在小题和解答题中 知识点01 确定事件与随机事件 1.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； ①不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； ②必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； 2.随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 知识点02 可能性的大小 1.可能性的大小 ①　必然发生的事件可能性最大； ②　不可能发生的事情发生的可能性最小； ③　随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 2.如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 注意：一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 3.公式：概率= 知识点03 概率与频率 ①频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 ②用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 题型一 判断随机事件和确定事件 解｜题｜技｜巧 · 确定事件：结果唯一确定，分必然、不可能两种 · 随机事件：结果无法提前确定，有多种可能 【典例1】（2026春•赣榆区期中）下列事件中属于必然事件的是（　　） A．检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B．三条线段组成一个三角形 C．a是实数，则|a|＞0 D．367个人中至少有2个人生日相同 【分析】根据随机事件的定义，绝对值的性质及非负数的性质逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、检查生产流水线上的产品可能不合格，不一定是合格品，因此不是必然事件，不符合题意； B、三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不一定能组成三角形，因此不是必然事件，不符合题意； C、a为实数时，当a＝0，有|a|＝0，不满足|a|＞0，因此不是必然事件，不符合题意； D、一年最多有366天，367人中若前366人生日均不重复，第367人的生日一定与其中1人重复，因此367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【变式1】（2026春•无锡期中）下列谚语描述的事件，属于随机事件的是（　　） A．小暑热得透，大暑凉飕飕 B．日出东方 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【分析】根据随机事件的定义解答即可． 【解答】解：A、小暑热得透，大暑凉飕飕，是随机事件，符合题意； B、日出东方是必然发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； C、水中捞月不可能实现，属于不可能事件，不符合题意； D、种瓜得瓜，种豆得豆是必然发生的结果，属于必然事件，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2026•海门区二模）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意； B、画饼充饥，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、竹篮打水，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 题型二 事件的可能性大小 解｜题｜技｜巧 1. 同场景直接对比 总数不变时，符合条件的数量越多，发生可能性越大 2. 计算概率再比较 概率= 算出数值后，数字大则可能性大 【典例2】（2026春•东台市期中）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【分析】根据成语描述的事件是否为必然事件或随机事件，判断可能性大小，必然事件的可能性大于随机事件的可能性，得出答案即可． 【解答】解：A、水涨船高：水位上升，船随之升高，属于必然事件，可能性为100%； B、瓜熟蒂落：瓜成熟后瓜蒂自然脱落，属于必然事件，可能性为100%； C、守株待兔：偶然捡到撞树的兔子，属于极小概率的随机事件，可能性为50%； D、旭日东升：太阳每天从东方升起，属于必然事件，可能性为100%， ∵50%＜100%， ∴C符合题意． 故选：C． 【变式1】（2026春•丹阳市期中）某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮25秒，绿灯亮15秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，看到哪种灯的可能性最大（　　） A．绿灯 B．黄灯 C．红灯 D．可能性相等 【分析】根据概率公式即可得到结论． 【解答】解：∵某路口的交通信号灯设置每分钟红灯亮25秒，绿灯亮15秒，黄灯亮3秒， ∴看到红灯的可能性最大， 故选：C． 【变式2】（2025秋•高邮市期中）从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（　　） A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球 【分析】找到个数最少的球即可确定正确的选项． 【解答】解：∵所有的球中黑球最少， ∴摸出黑球的可能性最小． 故选：D． 【变式3】（2025春•南京期末）一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（　　） A．朝上一面的数字是2 B．朝上一面的数字是偶数 C．朝上一面的数字是3的倍数 D．朝上一面的数字不小于5 【分析】根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【解答】解：朝上的面的数字是2的概率是； 朝上的面的数字是偶数的概率是； 朝上的面的数字是3的倍数的概率是； 朝上的面的数字不小于5的概率是． 故选：B． 【典例3】（2026春•江都区期中）·【易】估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【分析】根据其发生的概率即可比较出事件发生的可能性的大小． 【解答】解：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球的可能性为0； ②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数的概率为； ③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的概率为； ④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育的概率较大，接近1； ⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下的概率为1， 故大小排列为：⑤④②③①， 故选：C． 【变式】（2026春•仪征市期中）有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列　①，②　 ． 【分析】根据随机事件和必然事件来进行判断． 【解答】解：①明天会下雨，是个随机事件， ②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，是必然事件， 所以①，②， 故答案为：①，②． 题型三 概率的意义 解｜题｜技｜巧 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 【典例4】（2025•连云港校级开学）商店开展促销活动，购物满100元，就获得一次抽奖机会，中奖的可能性是，也就是说抽奖（　　） A．一定中奖 B．有可能中奖 C．10个人中有9个人中奖 D．抽10次有9次中奖 【分析】根据中奖率是得出抽中的可能性是抽奖次数的，只是说中奖的可能性较大，据此选择即可． 【解答】解：购物满100元，就获得一次抽奖机会，抽中的可能性是抽奖次数的，只是说中奖的可能性较大，有可能中奖． 故选：B． 【变式1】若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（　　） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可． 【解答】解：明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大，但也可能下雨，也可能不下雨， 因此选项A符合题意， 故选：A． 【变式2】（2026春•京口区期中）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖（　　） A．100个人抽奖必有85个人中奖 B．抽100次必有85次中奖 C．一定中奖 D．有可能中奖 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%，也就是说抽奖有可能中奖， 故选：D． 【变式3】（2024春•泗洪县期中）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（　　） A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若小明比赛10局，他一定会赢8局 【分析】根据概率的意义分别对各选项进行判断即可． 【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是80%，结合概率的意义， A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意； B、小明夺冠的可能性较大，故本选项不符合题意； C、小明夺冠的可能性较大，故本选项不符合题意； D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型四 计算事件的概率 解｜题｜技｜巧 概率= 【典例5】（2026•灌南县模拟）不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、3个黄球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　　 ． 【分析】由题意知，共有10种等可能的结果，其中它是绿球的结果有5种，结合概率公式可得答案． 【解答】解：由题意知，共有10种等可能的结果，其中它是绿球的结果有5种， ∴它是绿球的概率为． 故答案为：． 【变式1】（2026•南京模拟）某疾病由X病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测X病毒的仪器的准确率为90%（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器90%概率输出阳性，10%概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器90%概率输出阴性，10%概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（　　） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D．90% 【分析】根据题意即可得到结论． 【解答】解：甲确实患这种疾病的概率大约为90%， 故选：D． 【变式3】（2025秋•建湖县期末）一只不透明的袋子中有3个红球、4个黄球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． （1）　不能　 （填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：　白球　 ； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 【分析】（1）由随机事件的意义可求得答案； （2）那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大； （3）使得各颜色的球的数量相同即可得到概率相同． 【解答】解：（1）不能事先确定摸到的这个球的颜色； 故答案为：不能； （2）袋子中白球的数量最多，所以摸到白球的可能性最大； 故答案为：白球； （3）将袋子中的红球、黄球与白球的个数设计一样多，则摸到这三种颜色的球的概率相同，所以拿出1个黄球和2个白球即可． 题型五 已知概率求小球的数量 解｜题｜技｜巧 设：总球数：n，目标颜色球个数：m，摸到目标球的概率：P ①　①求目标球数量： ②　②求总球数： ③　 ③求其他球数量：其他球的数量= 【典例6】（2026春•徐州期中）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设红球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可． 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：． 解得：x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为4个， 故选：B． 【变式1】（2025春•海州区校级月考）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 　9　 ． 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【解答】解：∵在6个红球和n个白球（仅有颜色不同），从中任意摸出一个球是红球的概率为， ∴， 解得n＝9， 经检验n＝9是所列分式方程的根， ∴n＝9， 故答案为：9． 【变式2】（2025秋•泗阳县期末）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 【分析】（1）直接利用简单的概率公式求解即可； （2）依题意列出方程，求解检验即可． 【解答】解：（1）因为箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球， 所以从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是； （2）由题意得：， 解得：n＝5， 经检验，n＝5是原方程的解， ∴n的值为5． 题型六 计算几何图形中的概率 解｜题｜技｜巧 概率= 【典例7】（2025秋•苏州期末）如图，在3×3的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用阴影区域的块数除以总数即可求得答案． 【解答】解：由题意可知，阴影部分的面积为4，总面积为9， ∴任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率， 故选：C． 【变式1】（2026•高新区二模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　　 ． 【分析】击中黑色区域的概率等于阴影区域面积与正方形总面积之比． 【解答】解：设小正方形的面积为a， ∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板由大小相等的面积为9a，阴影区域的面积为3a， ∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为：． 故答案为：． 【变式2】（2025秋•工业园区期末）如图，▱ABCD中，点E，F是对角线AC的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在▱ABCD内且落在▱ABCD内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为　　 ． 【分析】所求概率等于阴影部分面积与平行四边形ABCD面积之比． 【解答】解：设AC＝a， ∵点E，F是对角线AC的黄金分割点， ∴AF＝EC， ∴EF＝AF+EC﹣AC＝（1）a﹣a＝（2）a， ∵阴影区域的面积与EF的长度成正比，整个图形的面积与AC的长度成正比， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【变式3】（2026春•秦淮区期中）如图，质地均匀的转盘中八个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在某个区域内（若指针落在区域分界线上，则重新转动，直到落在某个区域内为止）． （1）下列事件，是随机事件的是A ； A、指针落在标有9的区域内 B．指针落在标数字的区域内 C．指针落在标有1的区域内 （2）某商场举行抽奖活动，规定转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在标有偶数的区域内获得三等奖．要使获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率，请帮助该商场设计一个获得二等奖的方案．（注意：二等奖与一等奖、三等奖不可兼得哦!） 【分析】（1）根据随机事件，必然事件、不可能事件的定义进行判断即可； （2）根据获奖的概率结合数字的特征进行解答即可． 【解答】解：（1）A、指针落在标有9的区域内，是不可能事件， B．指针落在标数字的区域内，是必然事件， C．指针落在标有1的区域内，是随机事件， 故答案为：A； （2）设计的方案为：转动转盘一次，指针落在标有1的区域内获得一等奖，落在合数的区域内获得二等奖，落在质数区域内或三等奖． 由于1、2、3、4、5、6、7、8中，“1”只有1个，因此获得一等奖的概率为， 由于1、2、3、4、5、6、7、8中，是合数的有4、6、8共3个，因此获得二等奖的概率为， 由于1、2、3、4、5、6、7、8中，是质数的有2、3、5、7共4个，因此获得三等奖的概率为， 因为， 所以获得二等奖的概率大于获得一等奖的概率，而且小于获得三等奖的概率． 题型七 游戏的公平性 解｜题｜技｜巧 ①分别算出游戏各方的获胜概率 ②比较概率大小 ③结论：概率相等则公平，概率不等则不公平 【典例8】（2024秋•徐州期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 【变式1】（2025•镇江模拟）如图，甲转盘中两个扇形的面积不相等，其中小扇形的圆心角等于120°，大小扇形内分别标有数字1，2；乙转盘中四个扇形的面积相等，四个扇形内分别标有数字1，2，3，4．转动甲、乙转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所指扇形中的两个数字相加（当指针指向扇形的交线时，重新转动转盘）．若规定两个数字的和为5时小明赢，两个数字的和为4时小丽赢，则这个规定对小明、小丽两人是否公平？ 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到和为4和5的结果数，再利用概率公式得到小明获胜的概率、小丽获胜的概率，从而可判断该游戏对两位同学不公平． 【解答】解：这个规定对小明、小丽两人公平， 列表如下： 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 5 4 5 6 6 由表知，共有12种等可能结果，其中和为5的有3种结果，和为4的有3种结果， 所以小明赢的概率＝小丽赢的概率， ∴这个规定对小明、小丽两人公平． 【变式2】（2024•宿城区模拟）小明有2枚黑棋子，小亮有2枚白棋子，两人随机将4枚棋子放在如下的格子中（每格只放一枚）．若4枚棋子黑白相间排列，就算小明赢，否则就算小亮赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 格子1 格子2 格子3 格子4 【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即4枚棋子黑白相间排列与不相间的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论． 【解答】解：游戏不公平．（1分） 把4枚棋子分别记作黑1、黑2，白1、白2 若第一个格子放黑1，所有可能出现的结果如表： 格子1 格子2 格子3 格子4 黑1 白1 白2 黑2 黑1 白1 黑2 白2 黑1 白2 黑2 白1 黑1 白2 白1 黑2 黑1 黑2 白1 白2 黑1 黑2 白2 白1 其他情况也类似，出现黑白相间的概率是，（5分） 所以游戏不公平．P（小明赢）， P（小亮赢）， 对小亮有利．（6分） 题型八 用频率估计概率 易｜错｜点｜拨 1.实验需在同一条件下进行； 2.少量试验：频率≠概率； 3.大量重复试验：频率稳定值≈概率； （实验次数越多，频率一定越来越靠近概率这句话是错的，应该是是整体趋势稳定在概率附近，单次、小范围波动仍会存在，不是单调逼近。） 4.概率只能预估结果次数，不能精准确定实际次数。 【典例9】（2026春•宿迁期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 25 51 75 101 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.6 【分析】先算出每次投中的频率，进而可得出结论． 【解答】解：由表格中的数据可知，每次投中的频率为： 25÷50＝0.5， 51÷100＝0.51， 75÷150＝0.5， 101÷200＝0.505， 124÷250＝0.496， 153÷300＝0.51， 252÷500＝0.504， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5． 故选：B． 【变式1】（2026春•锡山区期中）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（　　） A．掷一枚正方体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，不符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明口袋中任意摸出一球（小球除颜色外完全相同），摸到白球的概率为，符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2026春•兴化市月考）行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．如图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【分析】由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率，部分的具体数目＝总体数目×相应频率； 【解答】解：由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9； 这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 【变式3】（2026春•无锡期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在图形ABC以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内（含圆周上）的次数m 14 43 96 153 … 石子落在阴影内（含外边界）的次数n 23 91 186 300 … m：n 0.61 0.47 0.52 0.51 … 请根据以上信息，解答以下问题： （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近　0.5　 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数（m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在　　 附近（结果用分数表示）； （3）根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【解答】解：（1）根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近0.5； 故答案为：0.5； （2）观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为a， 根据题意得， 解得a＝3π， 则3π﹣π×12＝2π（平方米） 答：阴影部分的面积为2π平方米． 题型九 根据频率求小球的个数 解｜题｜技｜巧 大量重复试验下，频率稳定近似等于概率 公式：① ②目标球数 注意：计算结果取正整数 【典例10】（2026•鼓楼区校级一模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（　　） A．10 B．0.3 C．3 D．7 【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值． 【解答】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 10×0.3＝3（个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个， 故选：C． 【变式1】（2026•海门区校级模拟）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（　　） A．16 B．12 C．6 D．4 【分析】根据“红球的个数除以总数等于频率”列出分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【解答】解：∵a个球中红球有4个，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%， ∴， ∴a＝16． 经检验，a＝16是分式方程的根且符合题意， 故选：A． 【变式2】（2025春•宿城区期末）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25． （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【分析】（1）根据题意容易得出结果； （2）由60×0.25＝15，60﹣15＝45，即可得出结果； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25； 故答案为：0.25； （2）60×0.25＝15，60﹣15＝45； 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝15； 经检验x＝15是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （2026春•徐州期中）法国数学家拉普拉斯说：生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．下列民间谚语中事件发生的概率最大的是（　　） A．竹篮打水 B．瑞雪兆丰年 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．滴水穿石 【分析】根据可能性大小的定义解答即可． 【解答】解：竹篮打水是不可能事件，概率为0； 瑞雪兆丰年；乌云脚底白，定有大雨来是随机事件，概率满足0＜P＜1； 滴水穿石是必然事件，概率为1， 故四个选项中该事件发生的概率最大， 故答案为：D． 2. （2024秋•泰兴市期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（　　） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次， 故选：D． 3. （2026春•阜宁县期中）一个不透明的盒子中有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在0.2左右，则盒中红球的个数约有（　　） A．40个 B．60个 C．75个 D．90个 【分析】设盒中红球的个数约为x个，利用概率公式求出x的值即可． 【解答】解：设盒中红球的个数约为x个， 由题意得0.2， 解得x＝60， 故盒中红球的个数约有60个． 故选：B． 4. （2025•泉山区校级一模）中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率． 【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a， 所以针尖落在黑色区域内的概率． 故选：D． 5. （2026春•沭阳县校级月考）某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 10000 成活总数m 369 682 1359 3192 6398 9130 成活率 0.923 0.909 0.906 0.912 0.914 0.913 估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（　　） A．0.89 B．0.85 C．0.91 D．0.95 【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右，据此求解即可． 【解答】解：由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右． ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率约为0.91． 故选：C． 6. （2025秋•射阳县校级期中）每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种， 所以小颖从盲盒中随机抽取一个，恰好抽到“圆周率”的概率； （2）商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×540＝1080（元）， 抽到“圆周率”的总次数约为：540＝135（次）， 抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为：540＝270（次）， 抽到“莫比乌斯带”的总次数约为：540＝135（次）， ∴商场这一个月里需支付此活动的费用为： 1080+135×10+270×6+135×0＝4050（元）． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 7. （2025春•江阴市期中）下列说法正确的是（　　） A．为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此调查中，样本容量为50名学生的视力 B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖 C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式 D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件 【分析】结合选项根据样本容量、抽样调查和随机事件的概念解答即可． 【解答】解：A、为了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，本选项错误； B、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏有一次中奖，本选项错误； C、了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，本选项正确； D、因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，本选项错误． 故选：C． 8. （2025秋•南京期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（　　） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【分析】分别根据随机事件的定义和概率公式判断即可． 【解答】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 9. （2026春•宿豫区期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和a个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则a的最小值为　4　 ． 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【解答】解：∵袋子中装有1个白球、3个黄球和a个红球， ∴若要使摸到红球的概率最大，则a的最小值为4． 故答案为：4． 10. （2026•泰兴市模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为　　 ． 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵每次红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒， ∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为． 故答案为：． 11. （2026春•东海县期中）有一只蚂蚁在如图所示的圆形纸片上爬来爬去，两圆半径分别为1和2，则蚂蚁最终停留在白色区域的可能性　＞　 停留在灰色区域的可能性．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】利用圆的面积公式分别计算出阴影部分和白色部分的面积，通过比较两个区域面积的大小，依据“面积越大，停留的可能性越大”的原理得出结论． 【解答】解：由图可知，阴影部分为半径r＝1的小圆， ∴， ∵大圆半径R＝2， ∴， ∴S白＝S大﹣S阴影＝4π﹣π＝3π， ∵3π＞π，即S白＞S阴影， ∴蚂蚁最终停留在白色区域的可能性＞停留在阴影区域的可能性． 故答案为：＞． 12. （2023春•吴江区校级月考）小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【分析】由概率公式求出摸到的球号码大于3的概率是，不大于3的概率是，则小明胜的概率≠小亮胜的概率，得这个游戏不公平；然后修改游戏规则即可． 【解答】解：这个游戏不公平，理由如下： 由题意可知，摸到的球号码大于3的概率是，不大于3的概率是， ∴小明胜的概率≠小亮胜的概率， ∴这个游戏不公平； 修改游戏规则为：如果摸到的球号码大于3，则小明胜；如果摸到的球号码小于3，则小亮胜． 此时，小明胜的概率，小亮胜的概率， ∴小明胜的概率＝小亮胜的概率，游戏公平． 13. （2026春•铜山区期中）某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1﹣9（如图①），背面是对应的奖品（如图②），若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题： （1）翻动翻奖牌一次，抽中“球拍”属于　机事　 事件；（填“不可能”、“随机”或者“必然”） （2）翻动翻奖牌一次，中奖的概率是　　 ； （3）得到以下奖品的可能性最小的是B ； A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶 （4）在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性大于抽到“球拍”的可能性大于抽到“手机”的可能性． 【分析】（1）根据随机事件的定义解答即可； （2）根据概率公式即可得到结论； （4）根据概率公式即可得到结论； （4）根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）翻动翻奖牌一次，抽中“球拍”属于随机事件， 故答案为：随机； （2）翻动翻奖牌一次，中奖的概率为， 故答案为：； （3）得到手机的概率为，得到平板的概率为，得到球拍的概率为，得到水壶的概率为， 得到手机的可能性最小的是手机， 故答案为：B； （4）设计六张牌中有三张写着水壶，有两张写着球拍，有一张写着手机，如图所示： 期末综合拓展练（测试时间：10分钟） 14. （2026•海陵区一模）下列说法正确的是（　　） A．命题“若，则a＞b”是真命题 B．“甲、乙、丙三人围圆桌，甲、乙正好相邻”是随机事件 C．调查“长征十二号”火箭各部分零件是否合格适合采用普查的方式 D．“把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形”是必然事件 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、命题“若，则a＞b”是假命题，故A不符合题意； B、“甲、乙、丙三人围圆桌，甲、乙正好相邻”是必然事件，故B不符合题意； C、调查“长征十二号”火箭各部分零件是否合格适合采用普查的方式，故C符合题意； D、“把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形”是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 15. （2025•灌南县一模）集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1﹣20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球．摸前交1元钱且在1﹣20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元． （1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由． （2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 【分析】（1）求出概率，即可说明；（2）求出理论上的收益与损失，再比较． 【解答】解：（1）P（摸到红球）＝P（摸到同号球），故不利； （2）每次的平均收益为（5+10）﹣10，故每次平均损失元． 16. （2024春•建邺区校级期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　 ；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）＝　0.6　 ； （3）如何通过增加或减少这个不透明盒子内球的具体数量，使得在这个盒子里每次摸到白球的概率为0.5？ 【分析】（1）计算出其平均值即可； （2）概率接近于（1）得到的频率； （3）首先确定40个球的颜色，然后使得黑球和白球的数量相等即可确定答案． 【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为（0.63+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601）÷7≈0.6， ∴当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近0.6． （2）∵摸到白球的频率为0.6， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝0.6． （3）先得到盒子内白球数24，黑球数16； 增加8个黑球（或减少8个白球等）． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $