第七章 认识概率【期末复习讲义】（培优版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第七章 认识概率【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+9个题型讲练+真题实战练 共37题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 判断实验所得结果是否是等可能的 题型四 概率的意义理解 题型五 判断几个事件概率的大小关系 题型六 求某事件的频率 题型七 关于频率与概率关系说法的正误 题型八 由频率估计概率 题型九 用频率估计概率的综合应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 普查与抽样调查 1.普查：考察全体对象的调查，就是全面调查。 2.抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查。统计中常用样本特性来估计总体特性。在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。 3.总体、个体、样本、样本容量 ⑴总体：所要考察对象的全体叫做总体。 ⑵个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 ⑶样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ⑷样本容量：样本中个体的数目（不含单位）。 知识点二 统计图的选择 1.扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．  2.条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．  3折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．  4.统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．  （1）扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小．  （2）条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数据之间的差别．  （3）折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．  知识点三 频数和频率 1. 频数与频率： （1） 频数是指每个对象出现的次数. （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）.即频率=频数/数据总数. 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．  知识点四 频数分布表  组数和组距：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 列频数分布表的步骤： （1） 计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2） 决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组） （3） 将数据分组． (4)列频数分布表．  第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 事件的分类 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握可能发生也可能不发生的事件是随机事件成为解题的关键． 根据随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．在标准大气压下，水加热到必然沸腾，属于必然事件，不是随机事件； B．三角形内角和恒为，不可能是，属于不可能事件，不是随机事件． C．经过交通信号灯路口时，可能遇到红灯、绿灯或黄灯，结果具有不确定性，符合随机事件的定义，符合题意； D．无论实数取何值，始终为正数，属于必然事件，不是随机事件． 故选C． 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解即可得． 【详解】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）盒子里有除颜色外都相同的个球，其中有红球和白球，搅匀后，如果从中随意摸出个球时“至少有个红球”是随机事件，求盒子里的红球可能有多少个（写出红球的所有可能个数） 【答案】盒子里的红球可能有2个、3个、4个 【分析】根据随机事件的定义：有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件． 【详解】解：根据题意可得： ∵随意摸出个球时“至少有个红球”是随机事件， 若盒子里的红球个数为1个，则“至少有个红球”是不可能事件，不符合题意； 若盒子里的红球个数为5个或6个，则“至少有个红球”是必然事件，不符合题意； ∴盒子里的红球可能有2个、3个、4个． 题型讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【答案】C 【分析】本题考查求概率，求出任意50人中有两个人生日相同的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，任意两人，生日不相同的概率为， 第3人与其余2人生日均不相同的概率为：， 第4人与其余3人生日均不相同的概率为：， 第50个人与其余49人生日均不相同的概率为：， ∴（50人中至少有2人生日相同的概率）； ∴调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同是正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高； 故选C． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．购买张彩票，中奖 B．画一个三角形，其内角和是 C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件，随机事件，根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是解题的关键． 【详解】解：、购买张彩票会中奖是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意； 、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，发生可能性是，此选项符合题意； 、随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·山东潍坊·月考）从写有1~20的20张卡片中任意抽一张，抽到（    ）的可能性最大． A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】B 【分析】根据质数，合数，奇数，偶数的意义计算判断即可． 【详解】根据题意，1~20中的奇数有1,3,5,7,9,11,13,15,17,19共有10个，偶数有2,4,6,8,10,12,14,16,18,20共有10个，质数有3,5,7,11,13,17,19共有7个，合数有4,6,8,9,10,12,14，15,16, 18,20共有11个， 故抽到合数的可能性最大， 故选B． 题型讲练三 判断实验所得结果是否是等可能的 【例3】（25-26八年级下·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 题型讲练四 概率的意义理解 【例4】（25-26八年级下·北京西城·期末）下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【答案】D 【分析】本题考查概率与事件的概念，A选项为必然事件，B选项频率与概率不符，C选项忽略独立性，D选项符合概率的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： A、水在标准大气压下加热到必然沸腾，是必然事件，不是随机事件，故A错误； B、盖面向上的频率为，但估计概率为，与频率不符，故B错误； C、抛掷硬币每次独立，第四次结果不确定，不一定是正面朝上，故C错误； D、概率0.4表示每次投篮投中的可能性，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，故D正确； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·期末）为了解学生参加体育活动的情况，学校对初一学生进行了抽样调查，调查结果如下表： 体育项目 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 其他 人数 (1)请根据表格数据绘制扇形统计图； (2)若该校初一学生共有人，请估计喜欢足球的学生人数； (3)在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，抽到喜欢篮球的学生的概率是多少？ 【答案】(1)图见解析 (2)约为人 (3)抽到喜欢篮球的学生的概率是 【分析】本题考查了扇形统计图的绘制、用样本估计总体、随机事件的概率，熟练掌握知识点解答即可． （1）先根据表格数据计算各体育项目人数所占百分比，再绘制扇形统计图即可； （2）根据该校初一学生共有人，喜欢足球的学生人数所占百分比，相乘得出答案即可； （3）根据随机事件的概率表示，得出答案即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴篮球人数所占百分比，足球人数所占百分比，羽毛球人数所占百分比，乒乓球人数所占百分比，其他人数所占百分比， 绘制扇形统计图如下， ； （2）解：∵该校初一学生共有人，由（1）得喜欢足球的学生人数所占百分比， ∴估计喜欢足球的学生人数（人）； （3）解：∵在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，由（1）得喜欢篮球的学生人数所占百分比， ∴抽到喜欢篮球的学生的概率是， 答：抽到喜欢篮球的学生的概率是． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】A 【分析】根据概率的意义去理解即可． 【详解】∵气象部门预报明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大 故选A． 题型讲练五 判断几个事件概率的大小关系 【例5】（2026八年级下·江苏·专题练习）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（    ） A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于 C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A．两个小球的标号之和等于是不可能事件，不合题意； B．两个小球的标号之和大于是必然事件，不合题意； C．两个小球的标号之和等于是随机事件，符合题意； D．两个小球的标号之和大于是不可能事件，不合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列说法正确的是（   ） A．小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次 B．为了解全国中学生的节水意识，应采用普查的方式 C．为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是300 D．一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大 【答案】D 【分析】根据概率的意义、全面调查和抽样调查的概念以及实现的可能性、样本容量的概念逐项判断即可． 【详解】解：A. 小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球不一定能中6次，A错误； B. 为了解全国中学生的节水意识，应采用抽样调查的方式，B错误； C. 为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是50，C错误； D. 一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大，D正确． 故答案为D． 题型讲练六 求某事件的频率 【例6】（23-24八年级下·江苏南京·期中）某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)0.6 (3)“黄色”区域的扇形的圆心角约是 【分析】（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， （3）可根据“黄色”区域的的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可估计“黄色”区域的扇形的圆心角． 本题考查了，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.595；472 （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， 故答案为：0.6， （3）解：， 故答案为：“黄色”区域的扇形的圆心角约是． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批N95口罩质量检测的情况． 抽取的口罩数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 471 946 1425 1898 2853 3812 合格品频率 0.942 0.946 0.950 a b 0.953 (1)求出表中a ，b ． (2)从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）． (3)如果要生产285000个合格的N95口罩，则该厂估计要生产多少个N95口罩？ 【答案】(1)， (2) (3)300000 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是； （3）解：个． 答：该厂估计要生产300000个N95口罩． 【变式2】（24-25八年级下·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 题型讲练七 关于频率与概率关系说法的正误 【例7】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【变式1】（24-25八年级下·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课前预习）一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 题型讲练八 由频率估计概率 【例8】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 50 100 200 400 800 “射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 “射中9环以上”的频率                    (1)估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ；（结果精确到0.1） (2)结合上面数据，某同学说：“如果这名运动员射击1000次，那么射中9环以上正好是800次．”该同学的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不正确．因为该运动员射击一次射中9环以上这一事件是随机事件，所以射击1000次射中9环以上不一定是800次 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． （1）大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率； （2）由一次实验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确． 【详解】（1）解：根据表格数据可知： 频率稳定在，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是． 故答案为：； （2）该同学的说法是错误的；因为事件发生具有随机性． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“铅笔”的次数 落在“铅笔”的频率 (1)转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为_______；（结果保留小数点后一位） (2)经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用； (3)在（）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度． 【答案】(1)； (2)该商场每支铅笔元，则每瓶饮料元； (3)． 【分析】（）利用频率估计概率求解； （）利用（）得到获得一瓶饮料的概率和一支铅笔的概率为，然后根据总费用是元列出方程，再进行计算即可得出答案； （）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度，则，然后解方程即可. 【详解】（1）根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为， ∴转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为； （2）解：设每支铅笔元，则每瓶饮料元， 依题意得：， 解得：， 则， ∴该商场每支铅笔元，则每瓶饮料元； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度， 则， 解得：， ∴转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面四个推断中正确的是（    ） ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球（个），故本选项推理正确； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误． 所以，正确的推断是②③． 故选：C 题型讲练九 用频率估计概率的综合应用 【例9】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余完全相同的黑、白两种颜色的球共30只，搅匀后，学习小组做摸球试验，再把球放回盒子中，不断重复上述过程 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 (1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）； (2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）； (3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】(1)0.6 (2)0.4 (3)白球的个数为18只，黑球的个数为12只 【分析】（1）由表可知，随着摸球次数的增加，摸到白球的概率趋近于0.6，由此可解答； （2）摸到黑球与摸到白球的概率之和为1，据此可求摸到黑球的概率； （3）摸到摸到白球的概率分别乘以30个球，可得白球的数量，将全部30个球减去白球数量可得黑球的数量． 【详解】（1）∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； ∴摸到白球的概率约为0.6， 故答案为：0.6； （2）∵摸到白球的概率为0.6， ∴摸到黑球的概率为； 故答案为：0.4 （3）∵共有30只球，摸到白球的概率为0.6， ∴则白球的个数为（只）， 黑球的个数为（只）． 答：白球的个数为18只，黑球的个数为12只． 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下： 批次 1 2 3 4 5 6 油菜籽粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽油菜籽粒数 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.801 (1)分别求和的值； (2)请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）； (3)农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数． 【答案】(1)， (2)该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8 (3)估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400粒 【分析】（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b的值； （2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率； （3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数． 【详解】（1）a=100×0.850=85，b==0.802； （2）∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近， ∴该品种油菜籽发芽概率的估计值0.8； （3）8000×0.8=6400， 答：估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为6400． 【变式2】（24-25八年级下·广东梅州·期末）在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.60 0.601 (1)表中的a=________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【答案】(1)0.58； (2)0.6； (3)白球的个数约为20×0.6=12个，黑球有20-12=8个 【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率． （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率和球的总数求得两种球的数量即可． 【详解】（1）a=290÷500=0.58， 故答案为：0.58； （2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 所以“摸到白球”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 所以白球的个数约为20×0.6=12个，黑球有20-12=8个． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【答案】D 【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意； 选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意； 选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意； 选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．367人中至少有2人的生日相同 C．在标准气压下，冰融化 D．小明买了一张彩票中奖 【答案】D 【分析】不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：．没有水分，种子发芽是不可能事件，故该选项不符合题意； ．367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故该选项不符合题意； ．在标准气压下，冰融化是不可能事件，故该选项不符合题意； ．小明买了一张彩票中奖是随机事件，故该选项符合题意； 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、求事件的概率，列方程求得已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张，从而得出剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为，分别求出概率比较即可得出答案． 【详解】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， 则， 解得：， ∴已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， ∴剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为， ∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等， ∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是， ∴两者可能性一样大， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南常德·期末）“拔苗助长”是一个______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“拔苗助长”是一个不可能事件， 故答案为：不可能． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）“a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答． 【详解】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值， 因为a是实数， 所以|a|≥0． 故答案为：必然事件． 7．（2024·宁夏固原·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________． 【答案】14 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在20%和45%， ∴摸到白球的频率为1-20%-45%=35%， 故口袋中白色球的个数可能是40×35%=14个． 故答案为：14． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 【答案】(1)0.75 (2) 【分析】（1）利用频率估算概率，再根据概率之和为1，进行求解即可； （2）根据概率求出总数，再利用频率估算概率，利用概率求出数量即可． 【详解】（1）解：∵经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近， ∴摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴摸到“沧浪亭”卡片的概率是； （2）解：由（1）知，原来摸到“狮子林”卡片的概率为0.25， ∴原来卡片的总数量为（张）； ∵放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复试验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近， ∴现在摸到“狮子林”卡片的概率为0.5， ∴， 解得； 故． 9．（23-24八年级下·全国·期末）某小组有名男生，名女生，从这名学生中随机派名学生去做社会调查，分别求下列条件中的值或取值范围． (1)“派去的名学生中至少有名女生”是必然事件； (2)“派去的名学生中至少有名男生”是必然事件． 【答案】(1)或或； (2)或． 【分析】（）根据派出的学生人数必须比男生总人数至少多名，才必然会至少有名女生即可求解； （）根据派出的学生人数必须比女生总人数至少多名，才必然会至少有名男生即可求解； 本题考查了必然事件，掌握必然事件的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：派出的学生人数必须比男生总人数至少多名，才必然会至少有名女生， ∴或或； （2）解：派出的学生人数必须比女生总人数至少多名，才必然会至少有名男生， ∴或． 10．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 【答案】(1)0.944，1898 (2)0.95 (3)5000个 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键． （1）根据表中数据计算即可； （2）利用频数估算出概率即可； （3）根据概率计算即可． 【详解】（1），． 故答案为：0.944，1898； （2）由题意知，从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是0.95； 故答案为：0.95； （3）（个）． 答：估计该厂生产5000个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第七章 认识概率【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+9个题型讲练+真题实战练 共37题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 判断实验所得结果是否是等可能的 题型四 概率的意义理解 题型五 判断几个事件概率的大小关系 题型六 求某事件的频率 题型七 关于频率与概率关系说法的正误 题型八 由频率估计概率 题型九 用频率估计概率的综合应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 普查与抽样调查 1.普查：考察全体对象的调查，就是全面调查。 2.抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查。统计中常用样本特性来估计总体特性。在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。 3.总体、个体、样本、样本容量 ⑴总体：所要考察对象的全体叫做总体。 ⑵个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 ⑶样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ⑷样本容量：样本中个体的数目（不含单位）。 知识点二 统计图的选择 1.扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．  2.条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．  3折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．  4.统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．  （1）扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小．  （2）条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数据之间的差别．  （3）折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．  知识点三 频数和频率 1. 频数与频率： （1） 频数是指每个对象出现的次数. （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）.即频率=频数/数据总数. 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．  知识点四 频数分布表  组数和组距：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 列频数分布表的步骤： （1） 计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2） 决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组） （3） 将数据分组． (4)列频数分布表．  第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 事件的分类 【例1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列为随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．无论为何实数，结果一定为正数 【变式1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）成语“守株待兔”表示（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）盒子里有除颜色外都相同的个球，其中有红球和白球，搅匀后，如果从中随意摸出个球时“至少有个红球”是随机事件，求盒子里的红球可能有多少个（写出红球的所有可能个数） 题型讲练二 判断事件发生的可能性的大小 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．购买张彩票，中奖 B．画一个三角形，其内角和是 C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【变式2】（23-24八年级下·山东潍坊·月考）从写有1~20的20张卡片中任意抽一张，抽到（    ）的可能性最大． A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 题型讲练三 判断实验所得结果是否是等可能的 【例3】（25-26八年级下·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【变式1】（24-25八年级下·河北衡水·期中）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【变式2】（24-25八年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 题型讲练四 概率的意义理解 【例4】（25-26八年级下·北京西城·期末）下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·期末）为了解学生参加体育活动的情况，学校对初一学生进行了抽样调查，调查结果如下表： 体育项目 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 其他 人数 (1)请根据表格数据绘制扇形统计图； (2)若该校初一学生共有人，请估计喜欢足球的学生人数； (3)在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，抽到喜欢篮球的学生的概率是多少？ 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ） A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨 C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小 题型讲练五 判断几个事件概率的大小关系 【例5】（2026八年级下·江苏·专题练习）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）一个不透明的口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（    ） A．两个小球的标号之和等于 B．两个小球的标号之和大于 C．两个小球的标号之和等于 D．两个小球的标号之和大于 【变式2】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列说法正确的是（   ） A．小明投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次 B．为了解全国中学生的节水意识，应采用普查的方式 C．为了解某校300名九年级学生的睡眠时间，从中抽取50名九年级学生进行调查，在这个事件中，样本容量是300 D．一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性比白球大 题型讲练六 求某事件的频率 【例6】（23-24八年级下·江苏南京·期中）某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批N95口罩质量检测的情况． 抽取的口罩数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 471 946 1425 1898 2853 3812 合格品频率 0.942 0.946 0.950 a b 0.953 (1)求出表中a ，b ． (2)从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率的估计值是 （精确到0.01）． (3)如果要生产285000个合格的N95口罩，则该厂估计要生产多少个N95口罩？ 【变式2】（24-25八年级下·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 题型讲练七 关于频率与概率关系说法的正误 【例7】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【变式1】（24-25八年级下·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【变式2】（24-25八年级下·全国·课前预习）一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 题型讲练八 由频率估计概率 【例8】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 50 100 200 400 800 “射中9环以上”的次数 38 82 157 317 640 “射中9环以上”的频率                    (1)估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 ；（结果精确到0.1） (2)结合上面数据，某同学说：“如果这名运动员射击1000次，那么射中9环以上正好是800次．”该同学的说法正确吗？为什么？ 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“铅笔”的次数 落在“铅笔”的频率 (1)转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为_______；（结果保留小数点后一位） (2)经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用； (3)在（）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度． 【变式2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面四个推断中正确的是（    ） ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型讲练九 用频率估计概率的综合应用 【例9】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余完全相同的黑、白两种颜色的球共30只，搅匀后，学习小组做摸球试验，再把球放回盒子中，不断重复上述过程 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601 (1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）； (2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率的估计值为　 　（精确到0.1）； (3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ 【变式1】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）自2009年以来，“中国·兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如下： 批次 1 2 3 4 5 6 油菜籽粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽油菜籽粒数 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.801 (1)分别求和的值； (2)请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）； (3)农业部门抽取的第7批油菜籽共有8000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数． 【变式2】（24-25八年级下·广东梅州·期末）在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.60 0.601 (1)表中的a=________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是___________（精确到0.1）； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列事件是随机事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．367人中至少有2人的生日相同 C．在标准气压下，冰融化 D．小明买了一张彩票中奖 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 4．（24-25八年级下·湖南常德·期末）“拔苗助长”是一个______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）“a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 7．（2024·宁夏固原·期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）苏州园林的窗花图案精美绝伦，某校开展“园林文化进校园”活动．一个不透明的纸盒中装有若干枚印有“沧浪亭”“狮子林”图案的纪念卡片，每枚卡片除图案外无其他差别．现从纸盒中随机摸出一枚卡片，记下图案后放回并搅匀，经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.25附近． (1)估计摸到“沧浪亭”卡片的概率是__________； (2)如果纸盒中原有3枚“狮子林”卡片，现又放入枚“狮子林”卡片，再经过大量重复实验发现摸到“狮子林”卡片的频率逐渐稳定在0.5附近，求的值． 9．（23-24八年级下·全国·期末）某小组有名男生，名女生，从这名学生中随机派名学生去做社会调查，分别求下列条件中的值或取值范围． (1)“派去的名学生中至少有名女生”是必然事件； (2)“派去的名学生中至少有名男生”是必然事件． 10．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $