18.2 勾股定理的逆定理 第2课时 勾股定理逆定理的应用 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理的应用，通过军事航海方向确定的情境导入，衔接勾股定理知识，以理论证明例题（如边长为n²-1,2n,n²+1的三角形判定）和实际应用例题（营地哨所方向问题）为支架，帮助学生构建从知识到应用的脉络。 其亮点在于融合数学眼光（观察现实问题）、数学思维（推理与运算）、数学语言（模型表达），如航海问题转化为直角三角形判定，练一练中格点角度计算。采用情境教学与例题分层，课堂小结明确内容、作用及应用场景，助力学生提升应用能力，教师高效教学。

18.2 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 第2课时 勾股定理逆定理的应用 学习目标 1. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际题. (重点) 2. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. (难点) 情境导入 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！ 教材例题 知识点 勾股定理的逆定理的应用 已知：在△ABC中，三边长分别为a=n²-1,b=2n，c=n²+1(n > 1). 求证：△ABC为直角三角形. 证明：∵a²+b²=(n²-1)²+(2n)² =n4-2n²+1+4n² =n4+2n²+1 =(n²+1)² =2， ∴△ABC为直角三角形. 根据三角形的三边关系判断一个三角形是否为直角三角形. 例 1 4 教材例题 如图，营地A与哨所B相距10 km、东侧有条南北走向的河流PQ、哨兵先从营地A骑马沿南偏东34°的方向走6 km到达河边C处让马饮水，再走8 km到达哨所B处执勤，最后返回营地A、你知道哨兵在C处是沿哪个方向到达哨所B吗? 解 由题意，得AB=10 km，AC=6 km，BC=8 km， ∵6²+8² =10²，∴AC² +BC²=AB².∴∠ACB =90°. 又∵AD // PO，∴∠ACP = ∠DAC =34°. ∴∠BCQ =180°- 90°- 34°= 56°. 答：哨兵在C处是沿南偏西56°的方向到达哨所B处. 勾股定理的逆定理在实际生活中的应用. 例 2 5 探究新知 例 3 已知：在△ABC中，三边长分别为 a = n2 – 1，b = 2n，c = n2 + 1（n > 1）. 求证：△ABC 为直角三角形. 证明 ∵ a2 + b2 = (n2 – 1)2 + (2n)2 = n4 – 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2 = c2 ∴△ABC 为直角三角形. 应用勾股定理的逆定理 练一练 1. 一个三角形三边长的比是 ，判断这个三角形的形状. 解：设这个三角形的三边长分别为 ∴这个三角形是直角三角形. ∵ 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1 2 N E P Q R 例题解读 例 4 8 分析： 1.求“海天”号的航向就是求 的角度. ∠2 2.已知∠1的角度，则求出∠RPQ的 角度即可. 3.根据已知条件可求出三边，利用勾 股定理的逆定理判断∠RPQ是否为直角. 1 2 N E P Q R 例题解读 ?° 例 5 如图，营地 A 与哨所 B 相距 10 km，东侧有条南北走向的河流 PQ. 哨兵先从营地 A 骑马沿南偏东 34°的方向走 6 km 到达河边 C 处让马饮水，再走 8 km 到达哨所 B 处执勤，最后返回营地 A. 你知道哨兵在 C 处是沿哪个方向到达哨所 B 吗？ A C Q P D 北 东 34° B 【思考】1. 已知哪些条件？ 2. 需要解决的问题是什么？ 10 km 6 km 8 km 34° 也就是求∠BCQ 的度数. ?° A C Q P D 北 东 34° B 10 km 6 km 8 km 34° 解 由题意，得 AB = 10 km，AC = 6 km，BC = 8 km. ∵ 62 + 82 = 102， ∴ AC2 + BC2 = AB2. ∴∠ACB = 90°. 又∵ AD//PQ， ∴∠ACP =∠DAC = 34°. ∴∠BCQ = 180°– 90°– 34°= 56°. 答：哨兵在 C 处是沿南偏西 56°的方向到达哨所 B 处. 1. 如图，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，点 E，F 均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接 AE，AF，求 ∠EAF 的度数. 练一练 A B D C E F 解：如图，连接 EF， A B D C E F 则 ∵ ∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF = 90°. 又∵ AE = EF，∴∠EAF =∠EFA = 45°. 练一练 2. 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时 离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 n mile， “海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 解：根据题意，得 PQ = 16 × 1.5 = 24 n mile， PR = 12×1.5 = 18 n mile， QR = 30 n mile. 因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2， 所以∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24, PR=12×1.5=18, QR=30. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 例题解读 随堂练习 1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 解：由图知：AB = 12 km，BC = 5 km，AC = 13 km. ∵AB2 + BC2 = 122 + 52 = 169， AC2 = 132 = 169， ∴AB2 + BC2 = AC2， ∴△ABC 为直角三角形，且 ∠B = 90°. 又∵A 地在 B 地的正东方向， ∴ C 地在 B 地的正北方向. 2．如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝ 17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 18 返回 【答案】B 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 应用 航海问题 与勾股定理结合，解决不规则图形等问题 【点拨】连接AC. 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，∴AC＝＝＝15(m)．又∵CD＝8 m，AD＝17 m，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×9×12＋×15×8＝114(m2)．∴这块菜地的面积是114 m2. $