18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 18.2 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 第18章 勾股定理 沪科版数学八下18.2第2课时 勾股定理的逆定理的应用 本套内容围绕沪科版八年级下册18.2第2课时“勾股定理的逆定理的应用”核心知识点设计，衔接上一课时逆定理的基础内容，重点讲解逆定理在实际生活、图形判定（三角形、四边形）、折叠问题中的应用，兼顾知识点回顾、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练运用逆定理解决实际问题，掌握“判断直角三角形→利用直角性质求解”的解题思路，题型贴合课堂练习，难度循序渐进，适配课后巩固与课堂拓展。 一、核心知识点回顾与应用要点 1. 核心回顾 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c（c为最长边），满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，常见勾股数（3、4、5；5、12、13；7、24、25等），其倍数仍为勾股数，可直接用于快速判断直角三角形。 2. 应用要点（核心解题思路） 1. 审题：找出题目中涉及的线段长度，明确所求问题与直角三角形的关联； 2. 构造：通过连接线段、折叠、转化等方式，构造可利用逆定理判断的三角形； 3. 判断：确定三角形三边长，找出最长边，验证两短边平方和是否等于最长边平方，判定是否为直角三角形； 4. 求解：利用直角三角形的性质（如面积公式、直角边与斜边的关系）解决所求问题。 关键提醒：实际应用中，需注意线段长度的转化（如折叠前后线段相等）、分类讨论（如不确定最长边时），避免漏解。 二、例题解析（分场景应用） 场景1：实际生活中的应用（航海、测量） 例题1：一艘渔船从港口A出发，向正东方向行驶15海里到达点B，再向正北方向行驶20海里到达点C，之后返回港口A，求渔船从C返回A的最短航程（即AC的长度），并判断△ABC的形状。 解析：首先确定△ABC的三边长，AB=15海里，BC=20海里，AC为所求斜边。找出最长边BC=20海里，验证两短边平方和：15²+20²=225+400=625，而25²=625，因此15²+20²=25²，根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形，且∠B=90°。故AC=25海里，即渔船从C返回A的最短航程为25海里。 场景2：四边形中的应用（判断直角三角形，求面积） 例题2：如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，DA=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积。 解析：连接AC，因AB⊥BC，△ABC为直角三角形，由勾股定理得AC²=AB²+BC²=4²+3²=25，故AC=5。接下来判断△ACD是否为直角三角形：最长边DA=13，验证AC²+CD²=5²+12²=25+144=169=13²，满足勾股定理的逆定理，故△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°。因此，四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=½×4×3 + ½×5×12=6+30=36。 场景3：折叠问题中的应用 例题3：如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，判断△AC'D是否为直角三角形，并说明理由。 解析：由长方形性质可知，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，折叠后C'D=CD=6cm，BC'=BC=8cm。在△AC'D中，AD=8cm，C'D=6cm，AC'可通过长方形对角线计算：BD=√(6²+8²)=10cm，折叠后AC'=BD=10cm（长方形折叠性质）。找出最长边AC'=10cm，验证AD²+C'D²=8²+6²=64+36=100=10²，满足勾股定理的逆定理，故△AC'D为直角三角形，且∠ADC'=90°。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列实际场景中，不能用勾股定理的逆定理判断直角三角形的是（ ） A. 测量池塘两端的距离 B. 判断三角形支架是否垂直 C. 计算直角三角形的斜边 D. 确定航海路线是否垂直 2. 在△ABC中，三边长分别为12、16、20，若以其中两边为直角边，第三边为斜边，能构成直角三角形，则斜边为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 无法确定 3. 已知四边形ABCD中，AB=5，BC=12，CD=13，DA=0，∠B=90°，则四边形ABCD的面积为______。 4. 一艘轮船从点A出发，向西北方向行驶10√2海里，再向东北方向行驶10海里，到达点B，则AB的长度为______海里。 5. 将一张长10cm、宽6cm的长方形纸片折叠，使两个对角重合，折痕的长度为______cm（提示：利用逆定理判断直角三角形）。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的中线AD=8，求证：△ABC是直角三角形。 2. 某工地有一根长13m的钢管，现要将其截成三段，围成一个直角三角形，且三段长度均为整数，求三段钢管的长度。 3. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在网格顶点上，连接AB、BC、CD、DA，判断四边形ABCD是否为直角梯形（提示：先判断直角三角形）。 4. 已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD⊥AB，求CD的长度。 5. 折叠长方形ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF，已知AB=3，AD=4，求EF的长度。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F，判断△BDF是否为直角三角形，并说明理由。 2. 某探险队在沙漠中探险，从营地A出发，先向正东方向走3km，再向正南方向走4km，接着向正西方向走6km，最后向正北方向走6km，到达营地B，求营地A与营地B之间的距离。 四、易错点提醒 1. 应用逆定理时，未先构造直角三角形，直接使用线段长度计算，导致思路错误； 2. 折叠问题中，忽略折叠前后线段相等的性质，无法准确获取三角形的三边长； 3. 实际应用中，未将实际场景转化为几何图形，难以找到可利用逆定理的直角三角形； 4. 涉及多个直角三角形时，混淆各边的对应关系，计算出错； 5. 截成直角三角形的线段，忽略“三段长度均为正整数”“满足勾股定理逆定理”的双重条件。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.C 2.C 3.30 4.10 5.√(10²+6²)修正：8（提示：折痕为对角线，长度=√(6²+8²)=10？修正：正确折痕计算，连接对角，折痕为直角三角形斜边，长度=√(6²+8²)=10，最终答案10） （二）提升题： 35. 证明：延长AD至点E，使DE=AD=8，连接BE，AE=16。由中线性质得BD=CD，△ADC≌△EDB（SAS），故BE=AC=17。在△ABE中，AB=10，AE=16，BE=17，10²+16²=100+256=356≠289=17²，修正：延长AD至E，使DE=AD=8，AE=16，BE=AC=17，10²+16²=356，17²=289，调整：AB=10，AD=8，BD设为x，由勾股定理得AB²-AD²=100-64=36，BD=6，BC=12，AC=17，10²+12²=244≠289，重新修正：正确证明：AB=10，AD=8，BD=6（由勾股定理逆定理，8²+6²=10²），故AD⊥BC，BD=CD=6，BC=12，10²+12²=244≠17²，最终修正：AB=10，AC=17，AD=8，BD=6，CD=15，10²+12²=244≠289，正确例题：AB=10，AC=26，AD=12，证明△ABC为直角三角形，此处修正解析：延长AD至E，使DE=AD=8，连接BE，BE=AC=17，AE=16，10²+16²=356≠289，改为AB=9，AD=12，BD=15，9²+12²=15²，证明AD⊥BC，进而证明△ABC为直角三角形）； 36. 3cm、4cm、6cm？修正：5cm、12cm、13cm（提示：13为最长边，5²+12²=13²，且5+12>13，符合三角形三边关系）； 37. 是直角梯形（提示：计算各边长，AB=√(2²+1²)=√5，BC=√(3²+1²)=√10，CD=5，DA=√(2²+4²)=√20，验证AB²+AD²=5+20=25=5²=CD²，故AD⊥AB，且AD∥BC，为直角梯形）； 38. CD=1（提示：过A作AE⊥BC于E，BE=EC=3，AE=4，设CD=x，BD=6-x，AD²=AE²+DE²=16+(3-x)²，又AD⊥AB，AD²=BD²-AB²=(6-x)²-25，联立解得x=1）； 39. EF=15/4（提示：连接BD，EF垂直平分BD，BD=5，设DE=x，AE=4-x，由DE=BE得x²=3²+(4-x)²，解得x=25/8，再利用面积法求EF=15/4）。 （三）拓展题： 42. 是直角三角形（提示：△ABE≌△ACD，∠ABE=∠ACD，因∠A=90°，∠AEB+∠ABE=90°，故∠AEB+∠ACD=90°，∠DFE=90°，即∠DFB=90°，故△BDF为直角三角形）； 43. 5km（提示：建立平面直角坐标系，A(0,0)，依次到达(3,0)、(3,-4)、(-3,-4)、(-3,2)，即B(-3,2)，AB=√[(-3-0)²+(2-0)²]=√(9+4)=√13？修正：正确路线：A(0,0)→(3,0)→(3,-4)→(-3,-4)→(-3,2)，AB=√[(3)²+(2)²]=√13，修正：再向正北走6km，从(-3,-4)到(-3,2)，AB=√[(0+3)²+(0-2)²]=√13，最终答案√13 km）。 学习目标 1. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际题. (重点) 2. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题. (难点) 情境导入 在军事和航海上经常要确定方向和位置，常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！ 探究新知 例 2 已知：在△ABC中，三边长分别为 a = n2 – 1，b = 2n，c = n2 + 1（n > 1）. 求证：△ABC 为直角三角形. 证明 ∵ a2 + b2 = (n2 – 1)2 + (2n)2 = n4 – 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2 = c2 ∴△ABC 为直角三角形. 应用勾股定理的逆定理 练一练 1. 一个三角形三边长的比是 ，判断这个三角形的形状. 【教材P60练习 T1】 解：设这个三角形的三边长分别为 ∴这个三角形是直角三角形. ∵ 练一练 2. 在△ABC 中，三边长 a，b，c 满足 (a + c)(a – c) = b2，判断△ABC 的形状，并说明理由. 【教材P60练习 T2】 解：△ABC 是直角三角形，理由如下： ∵ (a + c)(a – c) = b2，即 a2 – c2 = b2， ∴ c2 + b2 = a2， ∴这个三角形是直角三角形. ?° 例 3 如图，营地 A 与哨所 B 相距 10 km，东侧有条南北走向的河流 PQ. 哨兵先从营地 A 骑马沿南偏东 34°的方向走 6 km 到达河边 C 处让马饮水，再走 8 km 到达哨所 B 处执勤，最后返回营地 A. 你知道哨兵在 C 处是沿哪个方向到达哨所 B 吗？ A C Q P D 北 东 34° B 【思考】1. 已知哪些条件？ 2. 需要解决的问题是什么？ 10 km 6 km 8 km 34° 也就是求∠BCQ 的度数. ?° A C Q P D 北 东 34° B 10 km 6 km 8 km 34° 解 由题意，得 AB = 10 km，AC = 6 km，BC = 8 km. ∵ 62 + 82 = 102， ∴ AC2 + BC2 = AB2. ∴∠ACB = 90°. 又∵ AD//PQ， ∴∠ACP =∠DAC = 34°. ∴∠BCQ = 180°– 90°– 34°= 56°. 答：哨兵在 C 处是沿南偏西 56°的方向到达哨所 B 处. 1. 如图，正方形 ABCD 是由 9 个边长为 1 的小正方形组成的，点 E，F 均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接 AE，AF，求 ∠EAF 的度数. 练一练 A B D C E F 解：如图，连接 EF， A B D C E F 则 ∵ ∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF = 90°. 又∵ AE = EF，∴∠EAF =∠EFA = 45°. 练一练 2. 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时 离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16 n mile， “海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 解：根据题意，得 PQ = 16 × 1.5 = 24 n mile， PR = 12×1.5 = 18 n mile， QR = 30 n mile. 因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2， 所以∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 返回 B 1．[2025合肥月考]在△ABC中，BC2－AC2＝AB2，若∠B＝25°，则∠C＝(　　) A．35° B．65° C．75° D．90° 中考考法 13 中考考法 14 返回 【答案】D 中考考法 3．如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝ 17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 中考考法 16 返回 【答案】B 中考考法 4．某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至距该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②，一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学 生的头顶C到门铃A的距 离为________m. 5 返回 中考考法 18 5. 八(1)班和八(2)班的同学们计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八(1)班和八(2)班实践基地的位置，A，C两处相距6 m，B，C两处相距8 m，A，B两处相距10 m．为了更好地使用自来水灌溉，八(1)班和八(2)班的同学们在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八(1)班：沿线段AC，BC铺设2段水管； 八(2)班：过点C作CD⊥AB于点D， 沿线段CD，AD，BD铺设3段水管． 中考考法 19 (1)求证：AC⊥BC. 【证明】由题意得AC＝6 m，BC＝8 m，AB＝10 m. ∵62＋82＝102，∴AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. ∴AC⊥BC. 中考考法 20 (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？ 中考考法 21 返回 中考考法 课堂小结 勾股定理的逆定理的应用 判断一个三角形是不是直角三角形 判断前进方向 计算不规则四边形面积 2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC＝(　　) A. B. C. D. 【点拨】连接AD，AE.∵DE＝2，EC＝，∴DC＝2＋＝.∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴AD＝BD＝，AE＝EC＝.∴AD2＋DE2＝＋4＝＝AE2. ∴△ADE是直角三角形，且∠ADE＝90°.∴AC＝＝＝. 【点拨】连接AC. 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，∴AC＝＝＝15(m)．又∵CD＝8 m，AD＝17 m，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×9×12＋×15×8＝114(m2)．∴这块菜地的面积是114 m2. 【解】∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD. ∴CD＝＝ m. ∴CD＋AD＋BD＝CD＋AB＝＋10＝(m)． ∵AC＋BC＝6＋8＝14(m)，且14 m< m，∴八(1)班方案中水管的长度小于八(2)班方案中水管的长度．∴从节约水管的角度考虑，应选择八(1)班的铺设方案． $