专题06 圆（5大考点）（四川专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题06圆汇编四川多地2026届二模试题，覆盖垂径定理、圆周角定理等5大考点，选择、填空、解答题梯度分布，注重几何直观与逻辑推理的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约12题|垂径定理应用、圆周角推论、切线性质|结合量角器与三角板（广元二模）、正五边形内接圆（成都二模）| |填空|约8题|内外切圆性质、扇形面积|以黄金矩形为背景的螺线计算（广元二模）、定滑轮旋转高度（成都二模）| |解答|约15题|切线证明、圆与三角形综合|坐标系中圆与矩形位置关系（泸州二模）、地铁拱顶扇形弧长计算（成都二模）|

命学科网 考点01 垂径定理及其应用 1.C 2.A 3.(1)PC是⊙0的切线 智 4.(1)AC=BC (2AH=HF 5.(1)AF=CF 23vi0 10 3) 4 6.(1)AF=CF 230 10 ③MF=J 考点02 圆周角定理及其推论 1.D 2.D 3.B 4.B 5.1 6.45 7.D(-V3,1) 8.(1)DC是00的切线 (2)14 9.(I)AB·BD=BC·BF www.zxxk.com 让教 专题06圆 3/3 与学更高效 命学科网 2)CD=6,BG=120 11 10.(1)AC=BC (2)AB=2V5,DE=2V5 11.(1)△ADG≌△CFG (2②MD的长为4W5,FH的长为8 考点03 与圆有关的位置关系 1.A 2.B 3. 40°/40度 4.20-4元 5.(1)A0∥BE @时 6.(1)∠C=∠ADE (2)00的半径为6， DG=245 11 7.(1)PC为00的切线 (2)半径是3，BD的长为4 8.(I)CE是⊙0的切线 7 9.(1)AD是⊙O的切线 (2125 5 10.(1)CE∥0B (2)3 ③)16V5 85 ww zxxk co m 让 2/3 致与学更高效 命学科网 WWW 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1.C 2.(1)AD与⊙0相切 (2)4;16v5 5 3.(1)AP是⊙0的切线 (2)6 4.(1)FD=FG 2)00的半径 5.(1)AE是⊙0的切线 (2)AB2=BD.CE 3)18V5 11 6.(1)PD是⊙O的切线 (2)△ABD∽△DCP 3)CD=10W2,Dp=70 圆的相关计算 考点05 1.A 2.B 3.A 4.C 5.8π 6.1 7.5 +8 9.5m 10.2元 11.(1)ED=EC 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2035,②不-5 2 2/3动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 考点01 垂径定理及其应用 1.(2026四川泸州二模)如图，CD是⊙0的弦，过圆心0作0A⊥CD于点H,交⊙0于点 A,OH:HA=3:2,点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM,则tan/CMD的值是() M A. B. c D. 4 【答案】C 【分析】连接OD,由CD是O0的弦，OA⊥CD,所以AC=AD,则有∠COA=∠DOA,由圆周角定理可 得∠CMD= ∠COD,则∠CMD=∠C0A,由0H:HA=3:2,设OH=3x,HA=2x,则0A=0C=5x, 由勾股定连得CH=V0c2-oF-5x°-3x=4x,然后求出an∠C0A=CH-:-即可. 0H3x3 【详解】解：如图，连接OD, M B CD是OO的弦，OA⊥CD, A 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC=AD, .∠C0A=∠D0A, ∠C0A= con. ∠CMD=<c0D. ∴∠CMD=∠COA, 由OH:HA=3:2,设OH=3x,HA=2x, 0A=0C=5x, CH=0C2-0H=V5x2-(3x)2=4x, tan∠COA= CH 4x4 OH 3x 3' :tan∠CMD=tan∠C0A=3 4 2.(2026四川泸州二模)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过 矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D,若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是() D B主 A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3) 【答案】A 【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB,BD的长， 从而求出点D的坐标. 【详解】设切点分别为G,E,连接PG,PE,PC,PD,并延长EP交BC与F,则PG=PE=PC=5,四边形 OBFE是矩形. :OA=8, .CF=8-5=3, P℉=4， .OB=EF=5+4-9. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “PF过圆心， ..DF=CF=3, .BD=8-3-3=2, .D9,2) 故选A. G B 3.(2026四川南充二模)如图，在O0中，直径AB与非直径弦CD交于点E,CE=DE,点P在BA的延 长线上，AC平分∠PCD. (1)求证：PC是⊙0的切线； (2)若tanP= 2,PA=8,求AE的长. 【答案】(1)证明见解析 哈 【分析】(1)连接OC,由垂径定理的推论得OA⊥CD,即得∠CA0+∠ACE=90°，即得到 ∠CA0+∠ACP=90°，又由等腰三角形的性质得∠CA0=∠AC0,得到∠AC0+LACP=90°，即得 ∠0CP=90°，即可求证： (2)由锐角三角函数的定义可设0C=5a,PC=12a,可得P0=5a+8,利用勾股定理解得a=1,得到 PC=12,P0=13,再利用△PEC∽△PCO求出PE即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE DE OA⊥CD, ∠AEC=90°， .∠CA0+LACE=90°， :AC平分∠PCD, ∠ACE=∠ACP, :∠CA0+LACP=90°， 又：0A=0C, LCA0=∠AC0, ∠AC0+∠ACP=90°，即∠0CP=90°， .0C⊥PC, :0C是00的半径， .PC是O0的切线： 5 (2)解：，∠0CP=90°，tanP= 12 0C5 P0i2' 设0C=5a,则PC=12a, :PA=8,0A=0C=5a, P0=5a+8, :0C2+PC2=P02, (5a2+(12a2=(5a+82, 解得a=1或a=-4 9 (不合，舍去)， .PC=12,P0=5+8=13, :∠PEC=∠PC0=90°，∠P=∠P, △PEC∽aPC0, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE PC PC PO' 即PE12 1213 PE=144 3 ÷A3=PE-PA=3-840 13 4.(2026四川达州二模)AB为00的直径，BC为O0的弦，AB=√2BC. B 图1 图2 (1)如图1，求证：AC=BC; (2)如图2，AD,AE为O0的弦，AD交BC于点F,连接EF,OG⊥AE,点G为垂足，过G作EF的平 行线交AF于点H,求证：AH=HF. 【答案】(1)证明见解析 (②)证明见解析 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，圆周角，相似三角形的判定和性质，勾股 定理，熟练掌握以上知识是解题的关键 (1)根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，AB=√2BC结合勾股定理可得AC=BC,即可证明. (2)根据垂径定理可得AG=GE,再根据GH∥EF,可得△AHG∽△AFE,根据对应边成比例即可求解. 【详解】(1)证明：连接AC, :AB为OO的直径， ∠ACB=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC2+BC2=AB2,AB =2BC, AC2+BC2=(2BC)=2BC2, .AC=BC, :AC=BC. (2)解：点O为圆心，OG⊥AE, .AG=GE, :GH∥EF, △AHGn△AFE, 、AGAH 六AEAF .AG=GE, ∴.AE=2AG, 小 AH 1 .AH =HF 5.(2026四川绵阳二模)如图，AB,CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为F,CE为⊙0的直径， AB=CD=3AF=3,CE与AB、BD分别交于M、G. D E D E M B M C 图1 图2 (I)证明：AF=CF; (2)求cos∠DBE的值； (3)求BG的长度， 【答案】(1)证明见解析 ②3v0 10 355 4 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 3 3 【分析】1)过圆心0作ON上AB于N,0H1CD于H,由垂径定理得，AW=2AB=,CH=2CD=2 2 2 ,结合AB=CD得AN=CH,再由OA=OC证RIAOAN≌RtAOCH,推出ON=OH;又因AB⊥CD,判定 矩形ONFH为正方形，得NF=FH;最后由AF=AN-NF、CF=CH-FH,证得AF=CF (2)先由直径所对圆周角为直角得∠CDE=90°，再由同弧所对圆周角相等得∠DBE=∠DCE,将求 cos∠DBE转化为求cos∠DCE;结合已知条件和(I)的结论得到相关线段长度，再由正方形性质算出ON ,在RIAON中求出半径，进而得到直径CE;最后在RIACDE中，根据余弦定义算出cos∠DCE,即 cos∠DBE的值为3iO 10 (3)先由(2)的结论得到各线段长度，建立平面直角坐标系并确定各点坐标，再分别求出直线CE(OC) 和直线BD的解析式，联立方程求出交点G的坐标，最后用两点间距离公式算出BG的长度为5V2 4 【详解】(1)解：过圆心O作ON⊥AB于N,OH1CD于H,连接OA, D E H-O M :ON⊥AB,OH⊥CD,AB⊥CD, “四边形ONFH是矩形，AN=}AB= 2 2CH=CD=3 2 AB=CD, .AN=CH, 0A=0C, .RIAOAN≌RtOCH HL, 0N=0H, :矩形ONFH是正方形， .NF=FH, .AF=AN-NF,CF =CH-FH, :AN=CH、NF=FH, .AF =CF. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：过圆心O作ON⊥AB于N,OH⊥CD于H,连接OA,DE, CE是O0直径， ∴.∠CDE=90°， DE=DE :∠DBE=∠DCE, .cos∠DBE=cos∠DCE, AB=CD=3AF=3, :CF=AF=1, .FD=CD-CF=2,BF=AB-AF=2, :AB⊥CD, ∠BFD=90°， 由D)得A=多，矩形ONFH是正方形. 312 3 1 .NF =ON AN-AF= 在R1aA0N中，OA=VON2+AN2 ·.直径CE=20A=2×) 0=0, 在R1aCDE中，CD=3,CE=V10, CD 3 3v10 .cos∠DCE= CE=10=10' 即cos∠DBE-3Vi0 10 (3)解：由(2)得AF=1BF=2,CF=l,DF=2,ON=2 建立坐标系：设F(0,0),A(-1,0),B2,0),C(0,-),D0,2), 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G HD: B C 设直线0C得解析式y=x+b,代入点C(0,-),( b=-1 得 (2k+b- 1 2 k=3 解得 b=-1' 直线0C方程：y=3x-1, 即：直线CE方程：y=3x-1, 同理：代入点B(2,O)、D(0,2),直线BD方程：y=-x+2, y=3x-1 联立方程直线OC、CE,得 y=-x+2' 3 x= 4 解得 4 “交点G35)】 4’4 由两点间距离公式： 6.(2026四川绵阳·二模)如图，AB,CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为F,CE为⊙0的直径， AB=CD=3AF=3,CE与AB、BD分别交于M、G. D E D E F M B M C 图1 图2 (I)证明：AF=CF: 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)求cos∠DBE的值； (3)求MF的长度. 【答案】()见解析 230 10 同aMr-号 【分析】(1)过点O作OH⊥AB于点H,OK⊥CD于点K,求出OH=OK=0.5,证明四边形OKFH是矩 形，可得KF=FH=0.5,再求出AF=CF=1即可； 2)连接DE,得到LDBE=LDCE,求出OC=)，得CE=Vi0,求出cos∠DCE=3V10 ,故可求出 10 3V10 cOS∠DBE= 10 (3)由勾股定理求出DE=1,再证明aFCM∽△DCE,根据相似三角形的性质可得结论， 【详解】(1)证明：过点O作OH⊥AB于点H,OK⊥CD于点K,如图， D E G K-0 F H B C AB=CD=3, 4H4B=15cK=cD=15 :AB=3AF=3, AF=1, .FH=AH-AF=1.5-1=0.5, :AB⊥CD,OH⊥AB,OK⊥CD, 四边形OKFH是矩形， 0K=FH=0.5, AB=CD, 0H=0K=0.5, KF=0H=0.5, ∴.CF=CK-KF=1.5-0.5=1, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、AF=CF; (2)解：连接DE,如图， D E G R H :CE为O0的直径， ∠CDE=90°， :∠DBE和∠DCE都是DE所对的圆周角， ∠DBE=∠DCE, 在Rta0KC中，CK=1.5,0K=0.5, ÷0C=VCK2+0k3=5+0.3-V25-i0 ∴CE=20C=V10, 在Rt△CDE中，cos∠DCE=CD=3=3Vi0 CE√1010 cOS∠DBE= 310 10 (3)解：在R△CDE中，DE=VCE2-CD=可-32=1， :LCFM=LCDE=90°，∠DCE=LFCM, △FCM∽aDCE, CF MF CD DE 又CF=AF=1, 9 :MF=3 1 考点02 圆周角定理及其推论 1.(2026四川广元二模)以0为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 斜边AB重合，点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为40°，那么 ∠BCD=() A.20° B.40° C.50° D.70 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的概念得出点C在⊙0上，根据圆周角定理得出 ∠ACE=20°，即可求解 【详解】解：根据题意可得，∠A0E=40°， :∠ACB=90°，点O是AB的中点，AB为OO的直径， 点C到点0的距离等于⊙0的半径， 即点C在⊙0上， :∠ACE=∠40E=x40°=20°， 2 ∠BCD=90°-∠ACE=90°-20°=70°. 2.(2026四川成都二模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，连接AC,AD,则∠CAD的度数是() B A.30° B.45° C.40° D.36 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角∠COD的度数，再利用圆周角定理求解即可 【详解】解：连接OC、OD,如下图： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D :五边形ABCDE是正五边形， ∠C0D=360 =72°， 5 :∠CAD与∠COD分别是CD所对的圆周角和圆心角， ∠CAD=号∠C0D=36° 故选：D 3.(2026四川广元二模)如图，以AB为直径作O0,点C在O0上，D是劣弧BC上一点，AD与BC相 交于点E,∠CAD=45°，若aABE的面积为16，则aCDE的面积为() D A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】B 【分析】连接0C,0D,根据圆周角定理得出∠C0D=90°，根据勾股定理求出CD= AB,根据圆周角 2 定理推得∠CDA=∠CBA,∠BCD=∠BAD,根据相似三角形的判定和性质即可求解. 【详解】解：连接OC,OD,如图： B O 根据题意可得，A0=C0=D0=B0=AB, 'LCAD=45°，CD=CD, ∠C0D=2LCAD=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△OCD中，OC=OD, 故cD=0c+0D=20c= AB, 2 :AC=AC'BD=BD. ∠CDA=LCBA,∠BCD=∠BAD, △CDE∽△BAE, CD 2 1 AB= -2 :△ABE的面积为16， :△CDE的面积为8。 4.(2026四川成都二模)如图，O0中，AB为弦，0C为半径，且0C1AB于点D.若∠BAC=32°，则 ∠BA0的度数为() A.28° B.26° C.25° D.24° 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理.由题意易得∠B0C=2∠BAC=64°，进而可得 ∠0BA=90°-∠B0C=26°，再根据等边对等角即可得出结论. 【详解】解：：BC=BC,∠BAC=32°， ∠B0C=2∠BAC=64° :OC⊥AB, ∠0BA=90°-∠B0C=90°-64°=26°， 0B=0A .∠BA0=∠AB0=26°， 故选：B 5.(2026四川成都二模)如图，线段AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，连接AC,BC,以点C为圆 心，线段AC长为半径所作的弧恰好经过点B,若⊙0的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 取在阴影部分的概率是 【答案】马 【分析】分别求出⊙0的面积和阴影的面积，然后利用概率公式求解. 【详解】解：：⊙0的半径为2， .S00=元×22=4π，S￥圆04B=2元 :线段AB是OO的直径，点C是OO上一点， ∠ACB=90°，AB=4, AC=BC, .AC2+BC2=AB2,2AC2=42 :AC=22 ·S形C4B 90m×(22 -=2元’SCAB= 1×2W2x22=4, 360 S阴影=2π-(2π-4)=4 “这个点取在阴影部分的概率是4=」 4元元 6.(2026四川南充二模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D是⊙0上位于直径AB两侧的点，连接AC, DC,且AD=BD,则LACD=度. 【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出LADB=90°，再根据AD=BD得出LDAB=∠DBA, 进而即可求出答案， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：连接AD、BD, D B”AB是⊙0的直径， ∠ADB=90°， 又：AD=BD, ∠DAB=∠DBA=45°， .∠ACD=∠ABD=45°， 故答案为：45. 7.(2026四川广安·二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上， ⊙D经过A,B,O,C四点，∠ACO=120°，AB=4,则圆心点D的坐标是 y B D C 【答案】D(-√5，I) 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO=6O°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点 为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2,OA=2V5,所以A(-2√5,0)，B (0,2),然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标. 【详解】解：：四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO+∠ACO=180°， ∴∠AB0=180°-120°=60°， :∠AOB=90°， AB为⊙D的直径， ·D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，：∠ABO=60°， :.0B=54AB=2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴OA=√3OB=25, A(-25,0),B(0,2), D点坐标为(-√5,1). 故答案为(-√5,1) 8.(2026四川遂宁.二模)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA=∠CBA. Q B (1)求证：DC是⊙0的切线： (2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F,与DC的延长线交于点E,若sinD= 4 DA=FG=2,求CE的长， 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】(1)连接0C,由圆周角定理求得∠ACB=90°，再利用等角的余角相等求得∠0CD=90°，据此即 可证明DC是oO的切线； (2)利用三角函数的定义求得OC=OA=8,在Rt△OCD中，利用勾股定理求得CD=6,再证明 △D0C∽△DEG,利用相似三角形的性质列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接0C, 0B=0C, D OG :LOBC=∠0CB, :∠DCA=∠0BC, .∠DCA=∠0OCB, 而AB是OO的直径， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=90°， :LDCA+L0CA=∠0CA+∠0CB=90°， .∠0CD=90°， :0C是⊙0的半径， DC是⊙0的切线； (2)解：设0C0Ar, ·sinD=Oc、4 OD 5' +25 ∴r=8, .0C=0A=8, 在Rt△0CD中，CD=VOD2-0C2=V8+2)2-82=6, :∠DCA+LECF=LBFG+∠CBA=90°， :∠ECF=∠BFG, 又：∠BFG=∠EFC, ·∠ECF=∠EFC, :EC=EF, 设EC=EF=x, :∠D=∠D,∠DC0=LDGE, ·△D0C∽△DEG, DO OC DE EG ,则10 8 x+6x+2’ 解得：x=14 经检验x=14是所列方程的解， :CE=14. 9.(2026四川成都二模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0交AC于点D,交 BC于点E,点F是OO上一点，且AF∥BC,连接BD,DF,BF,AB与DF交于点G, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：AB·BD=BC·BF; (2)若AB=15,BC=6√5，求CD和BG的长. 【答案】(1)见解析 2)CD=6,BG=120 11 【分析】(1)利用直径所对圆周角为直角得∠ADB=∠AFB=90°，结合AF∥BC和等腰三角形性质证 ∠FAB=∠C,从而证明△AFB∽aCDB,推出比例式： (2)先在△ABD申用勾股定理求BD,再在△BCD中求CD:证明。4 FG+DBG,可得AC-4F-FG DG BD BG 再求出AF=3√5，分别过点D,F作DM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为M,N,则DMI‖FN,可得 00NFGN,可行兴，求出0M曾可路治兴-号段DM=@N=50,sG=y 则AG=15-y,可得15-x35_50,即可求解 6a12x 【详解】(1)证明：AB是⊙0的直径， ∠ADB=∠AFB=90°，∠CDB=180°-∠ADB=90°， :AB=AC, .∠ABC=∠C, :AF∥BC, ∠FAB=∠ABC, ∠FAB=LC. ∠AFB=∠CDB=90 △AFB∽△CDB, AB BF CB BD .AB·BD=BC·BF. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：：AB=AC=15, 设CD=x,则AD=15-x, 在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=152-(15-x)2, 在Rt△BCD中，BD2=BC2-CD2=(6N5-x2, 152-15-x)2=65-x2, 解得x=6,即CD=6. .AD=15-6=9, BD=V152-92=12. 由(1)知△AFBCDB, BF AB BD BC' BF=15x12 65. 6V5 :∠FAG=∠BDG(同弧上圆周角相等)， 又∠AGF=∠BGD, △AFG∽△DBG, AG AF FG DG BD BG 在RtaAFB中，AF=VAB2-BF2=152-(6N5=3V5, 如图，分别过点D,F作DM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为M,N,则DMIFN, M O ∴.△DGM∽aFGN, DM DG FN FG :S.ABD 24DxBD-T4BxDM. 2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即2×9x12=2x15DM, 解得：DM= 36 同理FN=6, DG DM 6 FG FN5' 设DM=6a,FN=5a,BG=y,则AG=15-y, 15-y=35_5a 6a 12y 解得：y=120 65 11a= 11 即8G=120 11 10.(2026四川成都二模)如图，以ABC的边AC为直径作O0,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交 OO于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE. B (1)求证：AC=BC; (2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长. 【答案】(1)见解析 2)AB=2V5,DE=2√5 【分析】(1)根据CE∥AB,得到∠ACE=∠BAC,再根据同弧所对的圆周角相等，得到 ∠ACE=∠ADE=∠B,可证明ABC是等腰三角形，即可解答： (2)根据直径所对的圆周角为直角，得到anB=2=D,设BD=x,根据勾股定理列方程，解得x的值， BD 即可求出AB;过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F,证明∠B=∠ECF,求出EF,DF的长，根 据勾股定理即可解出DE的长 【详解】(1)证明：：CE‖AB, ∠BAC=∠ACE, ∠BAC=∠ACE=LADE, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ADE, ∠B=∠BAC, AC=BC; (2)解：设BD=x, :AC是⊙0的直径， ∠ADC=∠ADB=90°， tan B =2, AD BD =2,即AD=2x, 根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3, 根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2,即(2x)2+32=(x+3)2, 解得x=2,x2=0(舍去)， BD=2,AD=4, 根据勾股定理，可得AB=√AD2+BD2=2√5； 如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F, ECE‖AB B :ZECF ZB, :EF⊥CF, an∠ECF=tan 2B=2,即EF =2, CF ∠B+LBAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE, ∴.∠BAD=∠EDF, ∠DEF=90°-∠EDF=90°-LBAD=∠B, DF =2, EF 设CF=a,则DF=DC+CF=a+3, :EF 2a, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可得方程+3=2，解得a-1, 2a ∴.EF=2,DF=4, 根据勾股定理，可得DE=√DF2+EF?=2V5。 11.(2026四川成都二模)如图，AB是O0的直径，弦CD1A0,垂足为E(不与点A,O重合)，在BC 上取点F,使CF=AC,连接AF交CD于点G,连接AD,CF. G (1) E B D 求证：△ADG≌aCFG; (2)连接DF交AB于点H,若OE=2,AE=4,求线段AD及FH的长. 【答案】(1)见解析 ②4D的长为45，FH的长为8 3 【分析】本题考查了圆的垂径定理、全等三角形的判定、勾股定理及相似三角形的应用，解题的关键是利 用垂径定理、等弧对等弦、圆周角定理推导线段与角的关系，再结合勾股定理和相似三角形求解 (1)利用垂径定理和等弧对等弦得到AD=CF,结合圆周角定理和对顶角相等，用AAS证明三角形全等； (2)先由勾股定理求AD的长，再通过垂径定理、等腰三角形性质及相似三角形，求解FH的长 【详解】(1)证明：：CD1A0,AB是O0的直径， EO/H D AC=AD CF=4C, AD=CF, .AD=CF :LADG=∠CFG(同弧上圆周角相等) 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADG=∠CFG, 在△ADG和△CFG中， ∠AGD=∠CGF AD=CF, :.△ADG≌ACFG(AAS) (2)解：连接OD. F GO E H D :OE=2,AE=4, 0A=0E+AE=6,即00的半径为6， .0D=6 :CD⊥A0, .∠0ED=90°， 在Rt0ED中，DE=V0D2-0E2=V62-22=4√2 在Rt△AED中，AD=VAE2+DE2=V42+(4V2)=4V5. CF=4C, :LCDF=LADC,即∠EDH=∠EDA, 又：∠AED=∠HED=90°，DE=DE, :△ADE≌HDE(ASA), :DH=AD=43,EH AE =4,AH AE+EH =8,BH AB-AH =2x6-8=4, 连接BF, :∠AHD=∠BHF,∠ADH=∠FBA, ∴.△AHD∽△FHB, 4H-DH即8-45 FH BH FH 4 解得：FH=8V5 答：AD的长为4V5,FH的长为8N5 3 216 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 与圆有关的位置关系 1.(2026四川泸州·二模)如图，射线AB和射线AC分别与半径为√5的O0相切于点B和点C,点D为 ⊙0上一点且∠BDC=60°，则线段AC的长为() 0. A.3 B.6 C.√6 D.2√5 【答案】A 【分析】连接OA,OB,0C，首先根据圆周角定理得到∠B0C=2LD=120°，然后由切线长定理得到 4B=AC,0B1AB,0C14C,然后证明出R6A08≌aRtad0C(HL),得到∠A0C=写∠B0C=60,然 后利用勾股定理求解即可。 【详解】如图所示，连接OA,OB,OC D :∠BDC=60 .∠B0C=2∠D=120° :射线AB和射线AC分别与半径为√5的OO相切于点B和点C, .AB=AC,OB⊥AB,OC⊥AC 又：A0=A0 Rt△AOB≌△Rt△AOC(HL） :∠A0C=}∠B0C=600 3 ∠0AC=90°-60°=30° :⊙0的半径为5 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0C=V5 A0=20C=2√5 AC=VA02-0C2=3. 故选：A. 2.(2026四川绵阳二模)如图，M(2,2),⊙M与x轴，y轴均相切，一次函数y=3x+b的图像与⊙M相切 于A点（点A在点M左边），则A点坐标是() y 10-3V1010+V10 B. 5 5 C. V103+10 V1010-10 ，2 D 2 3,3 【答案】B 【分析】根据题意得OM的半径为2，设直线y=3x+b与x轴交于点B,与y轴交于点C,求出点C的坐标 为(0，b),点B的坐标为 由勾股定理得BC=0b,根据面积关系得出06=公+2b,求出 3 3 63 b=20-4,得直线解析式为)=x+20-4:再求出M0的解析式为y=-x+8,联立方程组 33 y=3x+2V10-4 y=X+8，求解方程组可得A点坐标 3 3 【详解】解：：⊙M与x轴，y轴均相切，且圆心M的坐标为(2,2)， ⊙M的半径r=2; 设直线y=3x+b与x轴交于点B,与y轴交于点C, :直线与y轴正半轴相交， b>0, 令x=0,得y=b, 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点C的坐标为(0，b), 令y=0, 得3x+b=0,解得x=- 3 b 点B的坐标为- 0 3 .OB= 3,0C=b, 在R△0BC中，BC=VOB+0C= +: b2 3 如图，连接MA、MB、OM、CM,并延长MA交y轴于点Q,作MP⊥y轴于点P,则MP=OP=2, M /B O :直线与⊙M相切于点A, MA⊥BC,且MA=r=2, S.wcCAx5.we5.+5.ove-5.o 1 2 231 3 1 S.OBC 20C0B-1xb 2 36 ⊙OMc0CMP=Xbx2Eh 2 1b b SOMB=OBOP= ×2= 23 3’ b2 解得：b=0(舍去)，b2=2V10-4, :直线解析式为y=3x+210-4; :∠ACQ=∠OCB,∠CAQ=∠COB=90°， ∴.∠CQA=∠CBO,即∠PQM=∠CBO, tan∠PoM=PM OP m∠c80-名-3】 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0P= 2 ..00=OP+OP 3*28 8 00 设直线MQ的解析式为y=x+c, 2k+c=2 把M(2,2), 代入得： 8 C= 3 k三一 3 解得： 8 C= 3 18 :直线MQ的解析式为y=-二x+。 33 y=3x+2W10-4 联立方程组得 18， y=-一x+ 33 10-3√10 X= 解得 10+V10 y= 5 10-3V1010+V10 :点A的坐标为 5 3.(2026四川南充二模)如图，在口ABCD中，∠B=70°，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E,连 接CE，,则LDCE的度数为 【答案】 40°/40度 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出∠AEC的度数，利用邻补角的定义求出∠DEC，再根据平 行四边形对角相等的性质得出∠D的度数，最后在△CDE中利用三角形内角和定理计算即可. 【详解】解：：四边形ABCE内接于⊙O 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠B+∠AEC=180° :∠B=70°， ∴∠AEC=110°， ∠DEC=180°-∠AEC=180°-110°=70°， :四边形ABCD是平行四边形 .∠D=∠B=70°， 在aCDE中， ∠DCE=180°-∠D-∠DEC=180°-70°-70°=40°. 4.(2026四川成都二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB边上一点，以0为圆心的半圆与 AC,BC边分别相切于点D,E,已知AD=2,半圆半径为4，则图中两部分阴影面积的和为· D B 【答案】20-4π 【分析】连接OD，,OE,证明四边形ODCE是正方形，证明△AOD∽△ABC,可求出BC=I2;分别求出 54=36,58mc=16,a=标，再根据=8c-Se方5g求解即可 【详解】解：连接0D,OE, :半圆与AC,BC边分别相切于点D,E, .OD⊥AC,OE⊥BC,0D=0E=4, 又∠C=90°， :四边形ODCE是正方形， .CD=CE=OD=0E=4, AD=2, AC=AD+CD=2+4=6, :OD⊥AC,BC⊥AC, .OD∥BC, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AOD∽△ABC, AD OD AC BC 24 68C解得：8C=12: 5-4CxC=6x12=6,5ee=4x4=16,a- ×元×42=4π， 2 1 :S影=S.c-SE为ec0e2S半周=36-16-4r=20-4r 5.(2026四川成都二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC边为直径作O0,过点A作⊙0的切 线交CB的延长线于点D,切点为E,连接AO,BE B D (1)求证：AO∥BE; (2若AC=BC,求B 的值. C 【答案】(1)见详解 @ 【分析】(1)利用切线的性质以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，证得LA0E=∠OBE，再利用半径相 等得到等腰三角形证得∠AOE=∠OEB,证出结果. (2)先通过同角的余角相等证得&AEC-AOEB,利用已知条件证得CE的值，再次证明AAEC-A0EB,通 BE 过相似比进行等量代换，求出答案。 【详解】(1)证明：如图所示，连OE, B D :AD是OO的切线，E是切点， .∠AE0=90°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACB=90°， 在RtAACO和Rt△AE0中， O=OA OC=OE :RtaACO兰RtAAEO(HL, .ZAOC ZAOE, ∠AOE=LOBE, 0E=0B, ∴.∠OBE=∠OEB, ∠AOE=LOEB, AO∥BE. (2)解：如下图所示，连CE,OE, B D :BC是OO的直径， .∠CEB=90°，∠EB0=90°-∠ECB, 又：∠DE0=90°， ∠OEB=∠AEC, :∠ACB=90°， .∠ACE=90°-∠ECB, .ZACE ZEBO, :∠OEB=∠AEC △AEC-△OEB, CE AC ÷BEOB :AC=BC,BC是O0的直径， CE_AC=2 BE OB 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CEB=∠OED=90°， .∠CEO=∠BED=LECO, :∠D=∠D, △DEC-aDBE, ED CD CE =2, BD ED BE BD 2C ED =2, ED 则BD=ED,CD=2ED BC-CD-BD-2ED-1ED-3ED. 2 2 ED BD 2 1 ED 6.(2026四川泸州二模)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，O0与边BC相切于点D,与AB,AC分别相 交于点E,F,AD与OE相交于点G. E B D (I)求证：LC=∠ADE; (2)若CF=4, 3 sinC=亏，求o0的半径和DG的长. 【答案】(1)见解析 200的￥径为6，DG=245 11 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质等知 识点，正确地添加辅助线、构造相似三角形是解题的关键 (1)如图：连接OD,根据切线性质得LODB=90°，则LBDE+∠ODA+∠ADE=90°，由弦切角定理得 ∠BDE=∠BAD,根据OA=OD得∠ODA=∠OAD,进而得∠BAC+LADE=90°，然后根据 ∠C+∠BAC=90°即可得出结论； (2)如图：延长OE交CB的延长线于点P,过点O作OH∥BC交AD于点H,在Rt△ODC中，根据 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sinC=OD 3 OC亏设0D=3法，0C=5k,则CD=4k,进而得0A=0D=OF=3kCF=2k,根据CF=4, 得k=2,则00的半径为6：再求出OC=5k=10,CD=4k=8,AC=16,证明a0DC和ABC相似，利用 相敏三角形性质待48-智CB-华BD-头，则4D=245,证明∠P-∠C得：0PC是等腰三角形， 5 则PD=CD=8,再证明△4OH和a4CD相似，利用相似三角形性质得AH=95,OH=3,则 5 DMD-M=35,然后注男：0G和△PDG相拟容怨沿设G=DG=8x,则 DH=HG+DG=1Ix=3V5,由此求出x即可得出DG的长， 【详解】(1)证明：如图1：连接0D, D 图1 :O0与边BC相切于点D, OD⊥BC, ∠ODB=90°，即∠BDE+∠ODA+∠ADE=90°，∠BDE+∠ED0=90°， 如图：延长D0交O0于H,连接EH,则∠HED=90°， .∠ED0+∠H=90°， ED=ED .∠BAD=∠H, .∠BDE=∠H, ∠BDE=∠BAD, 0A=0D, .L0DA=∠0AD, .∠BAD+∠OAD+∠ADE=90°，即∠BAC+∠ADE=90°， 在Rt△ABC中，∠C+∠BAC=90°， .ZC ZADE 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图：延长OE交CB的延长线于点P,过点O作OH∥BC交AD于点H, H G D. B D 图2 :OD⊥BC, .在Rt△ODC中， s咖c=OP.3 0C5' 设0D=3k,0C=5k,由勾股定理得：CD=V02-OD2=V5k2-(3k)2=4k, .OA=OD=OF=3k,CF=2k, :CF=4, 2k=4,解得：k=2, .0A=0D=0F=3k=6, .⊙0的半径为6. :OC=5k=10,CD=4k=8, AC=0A+0C=6+10=16, 0D⊥BC,∠ABC=90°， .∠0DC=∠ABC=90°， OD∥AB, ..AODCABC, OD CD OC AB CB AC 68-10 AB BC16' CB=4 AB=48 BD=CB-CD=64 824 5 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√BD2+AB2 245 5 在Rt△PBE中，∠P+∠PEB=90°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠PEB=∠AEO, .∠P+∠AE0=90°， 0E=0A, ∠AEO=∠BAC, ∠P+LBAC=90°， 又：∠C+∠BAC=90°， .ZP=ZC, :△OPC是等腰三角形， :0D⊥BC, .PD=CD=8, :OH∥BC, .△AOH∽△ACD, AH OH OA AD CD AC' 由I、O4 ADAC,得AHAC=ADDA, AHx16=245 5 6,解得：AH=9V5 由O1=OA,得：0H4C=CD0A, CD AC 0Hx16=8×6,解得：0H=3, 六DH=AD-AH 245_95-35 55 :OH∥BC, a0HG∽aPDG, HG OH 3 DG PD 8 设HG=3x,DG=8x, DH=HG+DG=11=35,解得：x=35 11 ..DG=8x= 24V5 11 7.(2026四川南充二模)如图，AB是⊙0的直径，E为0上的一点，∠ABE的平分线交O0于点C, 过点C的直线交BA的延长线于点P,交BE的延长线于点D,且∠PCA=∠CBD, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B (1)求证：PC为O0的切线； (2)若PC=2V2B0,PB=12,求O0的半径及BD的长. 【答案】()见解析 (2)半径是3，BD的长为4 【分析】(1)欲证明PC是⊙0的切线，只要证明PC⊥OC即可； (2)设0B=0C=r,证明OP=3r,可得4r=12,推出r=3,利用相似三角形性质求出BD即可. 【详解】(1)证明：连接0C, :BC平分∠ABE, .LABC=∠CBD, 0C=0B, .∠ABC=∠OCB, :∠PCA=∠CBD, .∠PCA=∠OCB, :AB是直径， ∠ACB=90°， .∠AC0+∠0CB=90°， .∠PCA+∠AC0=90°， ∠PC0=90°， .0C⊥PC, :0C是半径， :PC是⊙0的切线： (2)解：连接AE,设OB=OC=r, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E :PC=2V20B, B :PC=22r, 0P=V0C2+PC2=VP2+2V2r)}2=3r, PB=12, ∴.4r=12, r=3, 由(1)可知，∠OCB=∠CBD, ∴.OCBD, APCO∽aPDB OC OP BD PB 39 BD12' .BD=4. 8.(2026四川泸州二模)如图，AB为⊙0的直径，C为O0上一点，CF⊥AB于点F,∠ECF=2∠B,过 点A作AD∥EC交CF于点G,交BC于点D. G (1)求证：CE是⊙0的切线： ②连接1C,若am∠CAD=子4E=2,求DG的长」 【答案】(Q)证明见解析 02 【分析】(1)连接OC,由CF⊥AB得∠OCF+∠C0F=90°，再证明∠ECF=LCOF,得到 LOCF+∠ECF=90,即可求证： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 (2)过点D作DH1AB于H,可证∠B=L0CB=∠CAD,得到tan∠B=tan∠OCB=tan∠CMD=4,设 CD=3a,则AC=4a,可得AD=5a,BC=16a 3 2 3a BD-BC-CD=a,AB=AC2+BC=20a 7 7 3 ,0,利用平行线等分线段定理得20，二7，：解得a→ 3 3 30再 利用勾股定理和相似三角形的性质可得4G=!,进而得到DG=AD-4G=;a,即可求解. 5 2 2 【详解】(1)证明：如图，连接0C, :CF⊥AB于点F, .∠CF0=90°， .∠0CF+∠C0F=90°， :0B=0C, .LOCB=∠B, ∠COF=L0CB+LB=2LB, :∠ECF=2LB, LECF=∠COF, L0CF+∠ECF=90°，即∠0CE=90°， .OC⊥CE, :0C是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线； (2)解：如图，过点D作DH⊥AB于H, D A :AB为O0的直径， .∠ACB=L0CE=90°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠OCB=LACE, :AD∥EC, ∠ACE=∠CAD, :0B=0C, ∠B=∠OCB, LB=∠OCB=LCAD, C4 tan∠B=tan∠0CB=tan∠CaD= 4 设CD=3a,则AC=4a, 4D=5a,BC= 3, .BD=BC-CD三3a-3a=。 3a, :AD∥EC, :4E、CD AB BD 23a 020g727 解得a=30' 7 S.wc-ABCF=4CBC, 2 2 1 .CF= ACBC 4a× 3a16 AB =20 Γ5 , 3 Q AF=AC2-CF2= <8: 设DH=3m,则BH=4m, :DH2+BH2=BD2, (3m)+(m)-a 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 > .m 150, DH= 0,BH=28 21 , 15 15 .AH AB-BH= 2028.24 -a- 50, 3415a= :CF⊥AB,DH⊥AB, ∴.△AFG∽△AHD, AG AF AD AH' 12 5024 5 AG= 2, DG=AD-4G=5a-5a=5a=5x7_7 =2=2×3012 9.(2026四川广元二模)如图1，A,B,C在⊙O上，F是BC延长线上一点，且BC=CF,取AF的中点 G,连接CG并延长，交过点A且与BC平行的直线于点D.连接BD,交⊙O于点E(点E不与点B重合)， 己知AB=AC. B 图1 图2 (I)求证：AD是⊙O的切线； (2)如图2，当圆心O在线段BC上且AB=6时，求线段DE的长. 【答案】(1)证明见解析 ②25 5 【分析】(1)连接OA并延长交BC于点N,得到∠ANB=90°，进而证明； (2)过点B作BM⊥AD于点M,连接AE,证明△ADE∽△BDA,得到BDDE=AD2,即可求解. 【详解】(1)证明：连接OA并延长交BC于点N, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D AB=AC,OB=0C, :OA是线段BC的中垂线， AN⊥BC, ∠ANB=90°， :AD∥BC, ∠0AD=90°， :0A是口⊙O口的半径， AD是O0的切线； (2)解：过点B作BM⊥AD于点M,连接AE, 由题意及(1)知BC为直径，四边形ABCD为平行四边形， .∠BAC=90°， .AB=AC=6, 图2 、ABC是等腰直角三角形， ∠ACB=LABC=45°， BC=AB2+AC2=62, 在口ABCD中，AD∥BC,∠ABC=45°， ∠BAM=45°， :BM⊥AD, BM=ABsin45°=32，DM=AM+AD=3√2+6√2=9V2, 在R1△BDM中，有BD2=BM2+DM2, 即BD=32+92=i80=65, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD是⊙O的切线， ∠DAE=∠ABD, :∠ADE=∠BDA, .△ADE∽△BDA, AD DE BD AD 即BDDE=AD2, :AD=BC=6√2， 6N5DE=(6N2, 解得DE=12 5 10.(2026四川绵阳·二模)如图，AB,CD是O0的直径，PD,PE是O0的切线，连接CE,EB B D D 备用图 (I)求证：CE∥OB; (2)若CE=4,BE=√6，求O0的半径 (3)连接PC,在(2)的条件下，求tan∠EPC的值. 【答案】()见解析 (2)3 316V5 85 【分析】(1)连接OE,证明RtAOEP≌RtAODP(HL),利用等腰三角形和外角性质得到∠P0D=∠C. (2)连接DE交OB于点F,根据第一问证明结果得到LEFO=∠EFB=90°，进而得到OF是△DCE中位 线从而求出OF,分别在RtAOFE,RtaBFE中，根据勾股定理列出关系式来求解. (3)过点C作CG⊥PE交PE延长线于点G,再分别证明△OEF∽aCEG，△OEF∽aOPE,即可根据相似比 求出对应线段，最后在Rt△PCG中求出tan EPC, 【详解】(1)如图，连接OE, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B P:PE,PD是OO的切线， D ∠0EP=∠0DP=90°， :0E=0D,0P=0P, .RtAOEP≌RtAODP(HL, ∴.∠EOP=∠DOP, :0C=0E, ∠C=∠CE0, .∠EOD=∠C+∠CEO, .2∠P0D=2∠C, ∠POD=∠C, CE∥OB. (2)如图，连接DE交OB于点F, P:CD为直径， ∠CED=90°， CE∥OB, .∠OFE+∠CED=180°， L0FE=90°， :FD⊥OB,OB为半径， :EF DF, 又C0=0D, :OF是△DCE的中位线， :0F=1cE=2, 2 设00的半径为r, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtaOFE,RtaBFE中，OF=2,BE=√6， .OE2-OF2=EF2=BE2-BF2, 2-22=(6-r-22, 即r2-2r-3=0, 解得：r=3或r=-1(舍去)， :00的半径为3. (3)如图，过点C作CG⊥PE交PE延长线于点G, G :LE0F+∠OEF=90°，∠E0F+∠0PE=90°， D ∠OEF=∠OPE, 又CE∥OB ∠CEG=∠OPE=∠OEF, 又∠G=∠EF0=90°， ∴.△DEFACEG, EF OF OE3 EG CG CE 4' 又，EF=VOE2-OF2=V5, CG=8 GE=45 :∠OEF=∠OPE,∠E0F=∠P0E, △OEF∽aOPE, EF OF PE OE' PE=3 2 PG=PE+GE=175 6 在Ri△PCG中，tanZGPC=CC=l65 PG 85 216 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即tan∠EPc=l6v5 85 考点04 三角形的内切圆与外接圆 1.(2026四川成都·二模)如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OD=2,OG⊥DE,垂足为G,这 个正六边形的边心距0G的长为() A A.1 B.2 C.3 D.2 【答案】C 【分析】利用正多边形的内角公式，求出LCDE,根据圆内接多边形的性质，可知OD平分LCDE,最后 利用特殊角的三角函数值求解即可 【详解】解：由正多边形的内角公式，得∠CDE=(6-2×180 =120°， 6 由圆内接多边形的性质，得∠0DG=∠CDE=60°， 2 0G=sin ZODGOD=x2=. 2 2.(2026四川雅安·二模)如图⊙0是ABC的外接圆，∠ABC=45°，延长BC至点D,连接AD,使得 AD∥OC,AB交OC于E. A D (1)求证：AD与O0相切； (②)若AE=2√5，CE=2.求O0的半径和AB的长度. 【答案】(1)见详解 ②4；16v5 5 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识点， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)连接OA,通过圆周角定理，平行线的性质，得到∠0AD=90°，继而得证结论 (2)作OH⊥AB于点H,设⊙0O的半径为R,根据勾股定理可得R=4,利用三角形不同边上的高计算面 积相等，得到OH= 45, 继而根据勾股定理得到AH及AB的长. 【详解】(1)证明：连接OA, B ∠ABC=45°， D .∠A0C=2∠ABC=90°， 又：AD‖OC, ∠0AD=180°-∠A0C=180°-90°=90°， .0A⊥AD, .AD是OO的切线； (2)解：如图，作OH⊥AB于点H, 设⊙0的半径为R,则0A=R,0E=R-2, AE=25, ·在Rt△0AE中，OA2+OE2=AE2, .R2+(R-22=(2V5),解得R=4, .0E=0C-CE=4-2=2, :OH⊥AB, AH BH =AB, 2 1 OH.AE=OE04 :0H=OB-0A_2×44V5 AE 2V5 5 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在040中=a-0--- 85 AB=2AH=165 3.(2026四川广安二模)如图，△ABC、△ABD内接于O0,AB=BC,P是OB延长线上的一点， ∠PAB=LACB,AC、BD相交于点E. (1)求证：AP是O0的切线； (2)若BE=2,DE=4,∠P=30°，求AP的长. 【答案】()证明见解析 (2)6 【分析】(1)由AB=BC,OB为半径，可知OB⊥AC,LCAB=LACB,则∠CAB+LAB0=90°， ∠ACB+∠AB0=90°，∠PAB+∠AB0=90°，如图1，连接OA,由OA=OB,可得∠0AB=∠AB0,则 ∠PAB+∠OAB=90°，即∠0AP=90°，进而结论得证： (2)如图2，记OB与AC交点为M,连接OD,过0作ON⊥DB于N,证明△ABO是等边三角形，则 1 AB=OB=OA,LABM=60°，设O0半径为r,则BM=AB.cos∠ABM=三r,由OB=OD,ON⊥DB, 1 可将Bv-方80=3，证明：8wE:B0,兴%即号-2解将-25设，-25含去根 据AP= OA 计算求解即可 tan∠P 【详解】(1)解：如图，连接OA,OC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 AB=BC, :AB BC' .∠AOB=∠COB, ∴.OB⊥AC,由等边对等角可得∠CAB=LACB, ∠CAB+∠AB0=90°， ∠ACB+∠AB0=90°， :∠PAB=LACB, PAB+∠AB0=90°， 0A=0B, .∠OAB=∠AB0, ∠PAB+∠0AB=90°，即∠0AP=90°， 又：OA是半径， .AP是OO的切线； (2)解：如图2，记OB与AC交点为M,连接OD,过O作ON⊥DB于N, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 图2 :∠P=30°， ∠A0P=60°， ·△ABO是等边三角形， AB=OB=0A,∠ABM=60°， 设⊙0半径为r, :AM⊥BM, 1 .BM=AB·cos∠ABM=。r, 2 .0B=OD, :△BOD是等腰三角形， 又：ON⊥DB, BN=BD-E+DE =3, :∠BME=∠BNO=90°，∠EBM=∠OBN, aBME∽△BNO, 1 =Bg,即22，解特r=23或r=23（舍去)， AP= OA r =6 tan∠p√3v, 3 AP的长为6. 4.(2026四川成都二模)如图，⊙0是ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点0作DF⊥AB,垂足为E, 交AC于点D,交O0于点F,过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E F (I)求证：FD=FG: (2)若AB=12,FG=10,求00的半径. 【答案】(1)证明过程见详解 @00的兰色号 【分析】(1)根据垂直，切线的性质得到AB川GF,可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解； (2)根据垂径定理得到AEBE6,ADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10,则EF=4,如图 所示，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,由此勾股定理即可求解 【详解】(1)解：：DF⊥AB,GF是OO的切线，即DF⊥GF, .AB GF, ∴.∠BAC=∠G=45°， .∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， .FD=FG; (2)解：DF⊥AB, ÷AE=BE=AB=6, 2 :∠BAC=45°， .∠ADE=90°-45°=45°，即ADE是等腰直角三角形， :EA=ED =6, 由(1)得FD=FG=10, EF=DF-DE=10-6=4, 如图所示，连接OA,设OE=x,则0F=0E+EF=x+4=OA, D 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :在R1△A0E中，OA=AE2+OE2, (x+4)2=62+x2, 5 解得，x= 2' ..OA=x+4= 5+4= 2 0的华色号 5.(2026四川宜宾二模)如图，四边形ABCD内接于O0,连接AC、BD交于点P,AB=AC,过点A作 AE∥BC交CD的延长线于点E. B 4 D (I)求证：AE是O0的切线； (2)求证：AB2=BD:CE; (3)若AC⊥BD,AD=6,BC=8,求DE的长， 【答案】(1)证明见解析 (②)证明见解析 318V5 11 【分析】(1)连接AO并延长交BC于点F,由AB=AC可知，点A为BC的中点，根据垂径定理的推论可 知AF⊥BC,结合AE∥BC可得，AF⊥AE,因此命题得证； (2)由AE∥BC可得LACB=∠CAE,由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=∠CAE,LACE=LABD,从 而证明&ACEDBA,则4C-CE 结合AB=AC即可证明命题， BD AB (3)容易证明BCPADP,则=P=0=三.设BP=4x,则4P=3x,由勾股定理可得 BP CP BC 4 4B=4C=5x,从而求出CP=2x,DP=多x,在RIADP中，使用勾股定理构造方程，求出x=45,进 3 5 225. 而得p=8V5.DP=5’A6二4Y5，BDs22 先利用(2)的结论计算出CE,再使用勾股定 5 理计算出CD,最后作差求出DE, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：如图，连接A0并延长交BC于点F, B C D AB=AC, :AB=AC,即点A为BC的中点， AF⊥BC, :AE∥BC, AF⊥AE, AE是⊙O的切线： (2)证明：：AE∥BC, .∠ACB=LCAE, AB=AB, ..ACB ADB, LADB=∠CAE, AD=AD, ∠ACE=∠ABD, .△ACE△DBA, .ACC ,即AB·AC=BD.CE, ·BDAB AB=AC, :AB2=BD.CE; (3)解：CD=CD, ∠CAD=∠CBD, 又：∠BPC=∠APD, △BCP∽△ADP, .AP DP AD 6 3 BP=CP=BC=8-4 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷AP=2BP,DP=3C CP, 4 4 设BP=4x,则AP=3x, :AC⊥BD, ∠APD=∠APB=∠CPD=90°， 在R1aABP中，AB=VAP2+Bp-V3x+(4x=5x, AB=AC, .AC=5x, .CP=AC AP =2x,DP-3CP= 3 4 2 在Rt△ADP中，AP2+DP2=AD2, =62, 解得x=4V5 “CP=2x= p8,B5r46,DP+R285 6 5 6 由(2)可知，AB2=BDCE, .CE= AB2 (45405 BD 225 11, 5 在R1aCDP中，CD=VDP2+Cp2 65)2 8V5 =25, 18√5 ∴.DE=CE-CD= 11 6.(2026四川广安二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交00于点D, 连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. A D (I)求证：PD是⊙O的切线： (2)求证：△ABD∽△DCP: 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)当AB=12,AC=16时，求CD和DP的长. 【答案】()证明见解析 (2)证明见解析 ③CD=10W2,DP=70 3 【分析】(1)先得出∠BAC=2∠BAD,进而得出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论： (2)先说明∠ADB=∠P,再推出LDCP=∠ABD,即可得出结论： (3)先求出BC,再推出BD=CD,利用勾股定理求出BD,CD,最后由△ABD∽△DCP得出比例式求解即 可得出CP的长，如图，过点C作CE⊥DP于点E,在RtAECP中，根据勾股定理PE=√VCP2-CE2求解即 可 【详解】(1)证明：如图，连接0D, A D :BC是⊙0的直径， :∠BAC=90°， :AD平分∠BAC, BAC 2 BAD, :∠BOD=2∠BAD, LBOD=LBAC=90°， :DP∥BC, .∠ODP=∠BOD=90°， .PD⊥OD, :0D是00的半径， :PD是O0的切线： (2)证明：：DP∥BC, ∠ACB=∠P, :∠ACB=∠ADB, ∴.∠ADB=∠P, 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形ABDC是圆内接四边形， .∠ABD+∠ACD=180°， :∠ACD+∠DCP=180°， ∠ABD=∠DCP, △ABDn△DCP. (3)解：：BC是00的直径，AB=12,AC=16, :∠BDC=∠BAC=90°， 在RIAABC中，BC=√AB2+AC2=V122+162=20, :AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD, ∠B0D=∠C0D, :BD =CD, :∠DBC=∠DCB=45°， 0D=0C, ∴∠0DC=∠0CD=45°， 在R1aBCD中，BC=VBD2+CD2=VCD2+CD2=√2CD, D-CD-C ×20=102, 2 '△ABD∽△DCP, AB BD DC CP 即12=10W2 10W2=CP, CP= 3， 如图，过点C作CE⊥DP于点E, A ∠CED=∠CEP=90°， E ∠ODP=90°，∠ODC=45°， ∠CDE=∠0DP-∠0DC=90°-45°=45°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DCE=90°-∠CDE=90°-45°=45°=∠CDE, :DE =CE, 在RtECD中，CD=VCE2+DE2=VCE2+CE2=√2CE, .CE=DE= 2CD-V ×10W2=10, 在RtAECP中，PE=VCP2-CE )2 3 102=40 DP=DE+PE=10+40=70 33 70 .CD的长为10V2,DP的长为 圆的相关计算 考点05 1.(2026四川德阳·二模)把半径为2的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是() A.5 B.√2 C.2 D.1 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可. 【详解】解：：半圆的半径R=2, :半概的弧长为1=方×2R=R=2元， :.圆锥的底面周长为2元 设圆锥底面半径为r,则2πr=2π， 解得：=1， 圆锥的高h=√22-12=√5· 2.(2026四川绵阳·二模)如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为() 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.8π B.4π C.S 3 D.2√2m 【答案】B 【分析】根据圆锥的主视图可得圆锥的底面直径和高，利用勾股定理求得母线长，再根据圆锥的侧面积公 式和底面积公式计算即可. 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为2，高为2√2， :圆锥的底面半径r=1, :圆锥的母线长1=V2+(2W2列2=V1+8=3, 圆锥的侧面积S侧=元1=π×1×3=3π，圆锥的底面积S账=πr2=π×12=元， ∴圆锥的表面积S侧+S底=3π+π=4π. 3.(2026四川绵阳二模)如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接， OB,OC分别为上下两个圆锥的母线，OB1OC,若圆柱的高BC=10,OB=6,上下两个底面的直径 AB,CD与顶点O都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是() B A.3:4 B.4:3 C.9:16 D.16:9 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比.，由题意可知△OBC为 直角三角形，利用勾股定理求出OC的长，进而求出比值 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为r, :圆锥的侧面积公式为S=πrl(I为母线长)， S上=πr·OB_OB :上下两个圆锥的侧面积之比为S=元rOC0C1 0B⊥0C, :∠B0C=90°，即△OBC为直角三角形， 在Rt△0BC中，BC=10,OB=6, 由勾股定理得：0C=√BC2-0B2=102-62=8, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :上下两个圆锥的侧面积之比为0B:0C=6:8=3:4. 4.(2026四川遂宁.二模)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半圆， 与AC,BC分别相交于点D,E,则DE的长度为() D E 0 2 A. 5π B. C.10m D. 25元 9 9 9 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，证明 OE∥AC,再由OA=OD,再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得∠DOE的度数，利用弧长公式即可 求解 【详解】解：连接OD,OE, B O AB=AC, .LABC=LC=70°， :0E=0B, L0EB=LB=70°， .L0EB=∠C=70° ∴OE∥AC, 在ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°， 1 又OA=OD=-AB=5, :OEI‖AC ∠A=∠AD0=40°=∠D0E, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE的长度为40元×5=10元 1809' 故选：C 5.(2026四川成都·二模)2025年12月16日，成都地铁首座“无柱车站”-13号线幸福梅林站一期开通.该 站采用大跨度弧形拱顶设计，站厅内无一根立柱，空间通透开阔.该弧形拱顶的横截面可近似看作一个扇形， 己知扇形的圆心角为120°，半径为12米，则该扇形弧长为米， 【答案】8π 【详解】解：该扇形弧长为120×12-8元 180 6.(2026四川泸州·二模)如图，扇形A0B中，∠A0B=120°，0A=5,C是弧AB的中点，D为半径OA上 一点，则图中阴影部分的面积为 【答案】25元 6 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键. 将阴影部分的面积转换为扇形BOC的面积即可. 【详解】解：连接OC,BC,如图， B 由题意得，∠AOC=∠BOC= 2∠A0B=60 :0B=0C :.△BOC是等边三角形 .∠0CB=∠A0C=60° ·.BC∥OA :S.RCD =S.BcO 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60元×5225 ·S阴影=S扇形BOc π 360 6 故答案为： 25 6 7.(2026四川广安·二模)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm,圆锥的侧面积为 15πcm2,则母线AB的长为cm. B 【答案】5 【分析】根据圆锥的底面直径求出底面半径，进而得到底面周长，利用圆锥的侧面积公式列出方程求解母 线长即可. 【详解】解：：BC为底面直径，BC=6cm 圆锥的底面半径为3cm 圆锥的底面周长=2π×3=6π(cm :圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6πcm 设母线AB的长为l 6m1=15n 1 解得1=5 :AB =5cm 8.(2026四川成都二模)如图，等边ABC的边长为2，以BC为直径在BC上方作半圆，则半圆与ABC 重叠部分的面积为 0 【答案】5， 2 6 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】设AB,AC交半圆O于点E,F,连接OE、OF,由OB=0E=0F=1且∠0BE=∠OCF=60 ,得△0BE和a0CF均为等边三角形，从而∠B0E=∠C0F=60☐，进而∠E0F=60☐；根据重叠 部分面积=△OBE的面积+扇形EOF的面积+aCOF的面积求解即可. 【详解】解：设AB,AC交半圆O于E,F,连接OE、OF, :△ABC是等边三角形，边长为2， ∠ABC=∠ACB=60☐，BC=2,OB=0C=0E=OF=1, :0B=0E=1,∠0BE=60☐， ∴△OBE是等边三角形，∠BOE=60D, 同理aOCF是等边三角形，∠C0F=60□， ∠E0F=180☐-600-60□=60☐， 扇形EOF 的面积-60x元x1_平 360▣ 6 过点E作EG⊥BC于点G, 86=60-0-G-Ve-8G-yP--5. 1 △OBE的面积=。BOEG=x1× 3V3 2 24 同理求得áC0F的面积为5 4 :重叠部分面积=aOBE的面积+扇形EOF的面积+ACOF的面积=5+平+55，. 46+4=2+6 A E 9.(2026四川成都二模)如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗 细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为cm 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】5元 【分析】将实际问题转化为弧长问题，利用弧长公式求解是解题的关键. 【详解】解： 150x元x6 5πcm, 180 即重物上升的高度为5πcm, 10.（2026四川广元二模)短边与长边之比等于5-的矩形称为黄金矩形”.如图，四边形4BCD是黄金 2 矩形，且4B-5-」.以4B为边作正方形ABFE,点R,E分别在边BC,AD上，得到黄金矩形EFCD: AD 2 以DE为边作正方形DEHG,点H,G分别在边EF,CD上，得到黄金矩形HGCF,分别以F,H为圆心作 BE,EG,则曲线BEG称为“黄金螺线”若AD=4,则黄金螺线”BEG的长为（结果保留元） E 【答案】2π 【分析】根据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最后将两段弧长 相加得到“黄金螺线”BEG的长 【详解】解：：4B-5-L,4D=4, AD 2 :AB=2V5-2, .BF=AB=AE=25-2, .DG=ED=GH=AD-AE=6-25, 黄金螺线8G的长为衢25-2+6-2=2 11.(2026四川成都二模)如图，⊙0的直径AB=2√5，点C为⊙0上一点，CF为⊙0的切线，0E1AB 于点O,分别交AC,CF于D,E两点. F D B 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：ED=EC: (2)若∠A=30°， ①求点A到直线CF的距离： ②求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和. 【答案】()见解析 203v3 ②x-5 2 4 【分析】(1)连接0C,则OC⊥CF,故∠ACE+∠AC0=90°，又LAD0+LA=90°，且∠A=∠AC0,可 得LACE=∠ADO=∠EDC,故ED=EC; (2)①过点A作AK⊥CF于点K,则得到∠KAC=30°，解Rt△ACB得到AC=3,再解RtAACK即可； ②过点C作CG⊥AB于G,结合三角函数的知识求得CG与CE的长，从而利用 S阴影=S△coE+S腐形cOB-S偏形coH-S△Boc求得阴影部分的面积之和. 【详解】(1)证明：连接0C, F CF是OO的切线， B :OC⊥CF, :∠AC0+LACE=90°， :OE⊥AB, ·∠AD0+∠A=90°， :0A=0C, ·LA=∠AC0, ·∠ACE=∠ADO, 又：AD0=LCDE, ·LACE=LCDE, ·ED=EC. (2)解：①过点A作AK⊥CF于点K, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ∠AKC+∠0CE=180°， AK∥OC, ∠KAC=∠ACO, .∠CAB=∠AC0=30°， ∠KAC=30°， :AB是直径， .∠ACB=90°， ÷AC=ABx cos∠CAB=2V5x5 3 在Rt4CK中，AK=4C×cos∠KAC=3x5_35 22 ·点4到直线CF的距离为33 ②过点C作CG⊥AB于G,设OE与⊙O交于点H, E H D :∠A=∠AC0=30°， B G :∠B0C=2∠A=60°， ÷CG=0Csin60°=V5x5_3, 22 :∠C0E=90°-∠B0C=30°，∠0CE=90°， CE=0Can30°=5 3 =1 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SACOE=2 OC×CE= ×5x1=5 2 2 60 S角形c08=360 xπx(5}= 2, 30 S扇形coH=360 xN5矿-年 5awoc-xOBxCG-xx3 1 2 2 4 5e=5am+9aem-5aom-5ac=5+5-35-5 22444 1/6 专题06 圆 5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及其推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 垂径定理及其应用 考点01 1．（2026·四川泸州·二模）如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，点是上异于的一点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·四川南充·二模）如图，在中，直径与非直径弦交于点，，点在的延长线上，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2026·四川达州·二模）为的直径，为的弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，为的弦，交于点，连接，，点为垂足，过作的平行线交于点，求证：． 5．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 6．（2026·四川绵阳·二模）如图，，是的弦，，垂足为，为的直径，，与、分别交于、． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 圆周角定理及其推论 考点02 1．（2026·四川广元·二模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合，点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么 (    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川广元·二模）如图，以为直径作，点在上，是劣弧上一点，与相交于点．，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·二模）如图，中，为弦，为半径，且于点．若，则的度数为（    ） A．28° B．26° C．25° D．24° 5．（2026·四川成都·二模）如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 6．（2026·四川南充·二模）如图，是的直径，点，是上位于直径两侧的点，连接，，且，则______度． 7．（2026·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________ 8．（2026·四川遂宁·二模）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 9．（2026·四川成都·二模）如图，等腰三角形中，，以为直径的交于点，交于点，点是上一点，且，连接与交于点． (1)求证：； (2)若，求和的长． 10．（2026·四川成都·二模）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求和的长． 11．（2026·四川成都·二模）如图，是的直径，弦，垂足为E（不与点A，O重合），在上取点F，使，连接交于点G，连接，． (1) 求证：； (2)连接交于点H，若，，求线段及的长． 与圆有关的位置关系 考点03 1．（2026·四川泸州·二模）如图，射线和射线分别与半径为的相切于点B和点C，点D为上一点且，则线段的长为（　　） A． B．6 C． D． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，一次函数的图像与相切于点（点在点左边），则点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川南充·二模）如图，在中，，过A、B、C三点的与相交于点E，连接，则的度数为______． 4．（2026·四川成都·二模）如图，在中，是斜边边上一点，以为圆心的半圆与，边分别相切于点D，E，已知，半圆半径为4，则图中两部分阴影面积的和为_____． 5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，以边为直径作，过点A作的切线交的延长线于点D，切点为E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 6．（2026·四川泸州·二模）如图，在中，，与边相切于点D，与分别相交于点E，F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若， ，求的半径和的长． 7．（2026·四川南充·二模）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点． 且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径及的长． 8．（2026·四川泸州·二模）如图，为的直径，为上一点，于点，过点作交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 9．（2026·四川广元·二模）如图1，A，B，C在上，F是延长线上一点，且，取的中点G，连接并延长，交过点A且与平行的直线于点D．连接，交于点E(点E不与点B重合)，已知． (1)求证：是的切线； (2)如图2，当圆心O在线段上且时，求线段的长． 10．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是的切线，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径 (3)连接，在（2）的条件下，求的值． 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1．（2026·四川成都·二模）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为G，这个正六边形的边心距的长为（   ） A．1 B． C． D．2 2.（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径和的长度． 3．（2026·四川广安·二模）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2026·四川成都·二模）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 5．（2026·四川宜宾·二模）如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 6．（2026·四川广安·二模）如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求和的长． 圆的相关计算 考点05 1．（2026·四川德阳·二模）把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川遂宁·二模）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·二模）2025年12月16日，成都地铁首座“无柱车站”-13号线幸福梅林站一期开通．该站采用大跨度弧形拱顶设计，站厅内无一根立柱，空间通透开阔．该弧形拱顶的横截面可近似看作一个扇形，已知扇形的圆心角为，半径为米，则该扇形弧长为_____米． 6．（2026·四川泸州·二模）如图，扇形中，，，C是弧的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为______． 7．（2026·四川广安·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为___． 8．（2026·四川成都·二模）如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______．    9．（2026·四川成都·二模）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为______． 10．（2026·四川广元·二模）短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为_____（结果保留π） 11．（2026·四川成都·二模）如图，的直径，点C为上一点，为的切线，于点O，分别交于D，E两点． (1)求证：； (2)若， ①求点A到直线的距离； ②求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $