精品解析：2025年四川省乐山夹江县初中学业水平适应性考试数学试题

夹江县2025年初中学业水平适应性考试 数学试卷 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，必须在答题卡上规定的区域内答题，在本试卷以及草稿纸上作答均为无效答题，答题时不得使用数学用表和各类计算器，考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上． 第一部分（选择题，共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列数是正数的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 下列选项中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 一元一次方程的解是（ ）． A. B. 3 C. D. 2 4. 低空经济，活力涌动，夹江县正乘势而上，打造西部最重要的航空复材研发基地．夹江县兴宇航先进复合材料智能制造项目将助推解决航空航天领域高端碳纤维“卡脖子”难题，年产值预计可达10亿元．将“1000000000”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 2025年春节档某影城上映了如下三部电影，若小乐同学欲从中随机选择一部进行观看，则他恰好选到《哪吒·魔童闹海》的概率是（ ）． A. 1 B. C. D. 6. 将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在四边形 中，对角线 ，交于点．若，则添加下列条件，仍不能得出 的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ）． A. B. 24 C. D. 12 9. 如图， 是 的直径，，点在线段 上运动，过点的弦，将 位于右边的部分沿翻折，弧交直线 于点 ，当的长为正整数时，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 2或 10. 已知二次函数，常数 满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或 第二部分（非选择题，共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如图，投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，方差分别为．若，则成绩更稳定的是______． 13. 如图，于点，于点，已知，，则点到直线的距离是______． 14. 因式分解：=____________． 15. 已知 中 ，过点作一条射线，使其将 分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是______（将正确选项的番号填在横线上）． 16. 定义：若函数 和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数 和函数为“ 到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数 和函数为“ 到的对应”，则函数 的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为______； （2）若函数和为“ 到的对应”，则的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 如图所示，，，求证：． 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； （2）若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 21. 麻柳堂灯起源于唐朝，至今已有1300多年的历史，有着鲜明的地方特色，是四川省级非物质文化遗产之一，其唱腔形同川剧，道白全部为当地方言．2007年夹江麻柳堂灯被列入第一批省级非物质文化遗产代表性项目名录．某学校为让全校1800名学生感受麻柳堂灯，安排了一次研学活动（全校学生均参与），活动结束随机抽取了部分学生调查最喜爱的剧目（每人限选一个），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． （1）本次抽取的学生总人数是______；《逗狗儿报喜》所对应的扇形的圆心角为______； （2）请估计全校喜欢《湘子渡妻》的学生人数； （3）该校文艺社打算从《行程打座》、《湘子渡妻》、《逗狗儿报喜》和《打渡》四个剧目中随机选择两个剧目进行学习表演，请用画树状图或列表的方法求选到“《逗狗儿报喜》和《打渡》”的概率． 22. 如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与轴相交于点． （1）求该直线与反比例函数的表达式； （2）将直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与反比例函数图象交于点和，求 的面积． 五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图 是桔槔的示意图，大竹竿米，为 的中点，支架 垂直地面 ，此时水桶在井里时，． （1）如图 ，求支点到小竹竿 的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图 ，当水桶提到井口时，大竹竿 旋转至的位置，小竹竿 至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 24. 如图， 是 的外接圆，，过点作切线，过点作交于点． （1）求证：； （2）若 的半径为2，求阴影部分的面积． 六、解答题：（本大题共2个小题，第25小题12分，第26小题13分，共25分） 25. 在正方形 中，边长为3，点 、 分别是边 、 上的点，且，连接、． （1）如图1，与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，若点、 分别是、的中点，求证：； （3）延长至点 ，连接，若，试求 与的函数关系表达式． 26. 有二次函数，且等式恒成立． （1）求的值； （2）当时，该二次函数满足 随的增大而减小，求的取值范围； （3）是否存在这样的实数 ，使得同时满足下列两个条件： ①关于的方程 （其中）恰好有四个不同的实数解； ②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出 的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夹江县2025年初中学业水平适应性考试 数学试卷 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，必须在答题卡上规定的区域内答题，在本试卷以及草稿纸上作答均为无效答题，答题时不得使用数学用表和各类计算器，考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上． 第一部分（选择题，共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列数是正数的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键． 根据正数的定义判断各选项是否符合条件． 【分析】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意； B．0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C．小于0，属于负数，故本选项不符合题意； D．小于0，属于负数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列选项中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；符合题意； 故选：D． 3. 一元一次方程的解是（ ）． A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，通过移项求解一元一次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 故选：B 4. 低空经济，活力涌动，夹江县正乘势而上，打造西部最重要的航空复材研发基地．夹江县兴宇航先进复合材料智能制造项目将助推解决航空航天领域高端碳纤维“卡脖子”难题，年产值预计可达10亿元．将“1000000000”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法要求数字写成的形式，其中， 为整数． 将数字1000000000转换为科学记数法，需找到 和 ，满足且 为整数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选B． 5. 2025年春节档某影城上映了如下三部电影，若小乐同学欲从中随机选择一部进行观看，则他恰好选到《哪吒·魔童闹海》的概率是（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的计算公式是解题关键．概率计算公式为，其中表示事件A发生的概率，m表示所有可能的结果数，n表示事件A发生的结果数，本题所有可能有3种，恰好选到《哪吒·魔童闹海》是其中1种，根据概率公式计算即可得答案． 【详解】解：记选到《哪吒·魔童闹海》为事件A， ， 故选C． 6. 将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 7. 如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ．若 ，则添加下列条件，仍不能得出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由， ，不能证明四边形 是平行四边形， 因此不能得出，故该选项符合题意； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ， 故该选项不符合题意； C、∵， ∴四边形 是平行四边形， ； 故该选项不符合题意； D、在和中， ， ∴， ∴， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ， 故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 已知，，则（ ）． A. B. 24 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图， 是的直径，，点 在线段 上运动，过点 的弦，将位于 右边的部分沿 翻折，弧 交直线 于点 ，当 的长为正整数时，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： 为直径， 为弦， ， 当 的长为正整数时，或2， 当时，即 为直径， 将沿 翻折交直线 于点F，此时 与点 重合， 故； 当时，且在点 在线段之间， 如图，连接 ， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点 在线段之间，连接 ， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故选：D． 10. 已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系讨论最小值． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点为 当时， 若，则包含顶点，最小值为1； 若，则函数在上递减，最小值为当时， ∴最小值为1或 故选：D． 第二部分（非选择题，共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过移项解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ， 故答案为： ． 12. 如图，投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，方差分别为．若，则成绩更稳定的是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的大小进行判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∴乙的成绩更稳定． 故答案为：乙． 13. 如图，于点 ，于点 ，已知，，则点 到直线的距离是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出 ，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 点 到直线的距离是， 故答案为：． 14. 因式分解：=____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式以及平方差公式进行因式分解，解题的关键是找准公因式． 先提取公因式，然后再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： ． 15. 已知中，过点 作一条射线，使其将 分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是______（将正确选项的番号填在横线上）． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，过直线外一点作这条直线的垂线，作直径所对的圆周角，理解尺规作图的依据是解题的关键．按尺规作图的要求依次判断即可． 【详解】解：图以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交于；再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点 ；过点 作射线，射线即是所求的射线；图符合题意； 图以点 为圆心，长为半径画弧交于点E；再以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于，直线，且直线不一定过点C，即射线不一定与垂直，所以射线不是所求的射线，图不符合题意； 图中不是射线，故图不符合题意． 故答案为：． 16. 定义：若函数 和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数 和函数为“ 到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数 和函数为“ 到的对应”，则函数 的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为______； （2）若函数和为“ 到的对应”，则 的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点． （1）根据新定义求解即可； （2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解 的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得，函数 的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即， 故答案为：； （2）设函数上一点为， 由新定义可得，函数上一点为， 将代入，则， 则， ∵函数 和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数 和函数为“ 到的对应”， ∴关于 的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值．利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算即可． 【详解】解：原式 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 得， 解得， 将代入②，得 ， ． 19. 如图所示，，，求证：． 【答案】 证明：，， 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到结论． 【详解】略 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； （2）若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 【答案】（1）该方程不存在两个相等的实数根， 由题可知 该方程不存在两个相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）直接根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系可知 ，求出，由根与系数的关系得到，进而可知的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系可知 又 21. 麻柳堂灯起源于唐朝，至今已有1300多年的历史，有着鲜明的地方特色，是四川省级非物质文化遗产之一，其唱腔形同川剧，道白全部为当地方言．2007年夹江麻柳堂灯被列入第一批省级非物质文化遗产代表性项目名录．某学校为让全校1800名学生感受麻柳堂灯，安排了一次研学活动（全校学生均参与），活动结束随机抽取了部分学生调查最喜爱的剧目（每人限选一个），并将调查结果绘制成统计图，如图所示． （1）本次抽取的学生总人数是______；《逗狗儿报喜》所对应的扇形的圆心角为______； （2）请估计全校喜欢《湘子渡妻》的学生人数； （3）该校文艺社打算从《行程打座》、《湘子渡妻》、《逗狗儿报喜》和《打渡》四个剧目中随机选择两个剧目进行学习表演，请用画树状图或列表的方法求选到“《逗狗儿报喜》和《打渡》”的概率． 【答案】（1）300， （2）估计全校喜欢《湘子渡妻》的学生有270人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，以及概率的求解，解题关键是正确解读两个统计图之间的关联，准确计算各统计量． （1）用喜欢《行程打座》的人数除以其所占比例即可求出本次抽取的学生总人数；先求出喜欢《逗狗儿报喜》人数所占比例，再乘以即可求出《逗狗儿报喜》所对应的扇形的圆心角的度数； （2）先求出喜欢《湘子渡妻》人数所占比例，再乘以即可估计全校喜欢《湘子渡妻》的学生人数； （3）记《行程打座》、《湘子渡妻》、《逗狗儿报喜》和《打渡》四个剧目分别为 、 、 和 ，用列表法或者画树状图表示出所有可能结果，再从中找出从四个剧目中随机选择两个剧目的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生总人数是； 《逗狗儿报喜》所对应的扇形的圆心角为； 故答案为：300，； 【小问2详解】 解：估计全校喜欢《湘子渡妻》的学生有（人）； 【小问3详解】 解法1：列表法 记《行程打座》、《湘子渡妻》、《逗狗儿报喜》和《打渡》四个剧目分别为 、 、 和 ，则列表如下： ① ② 据表可知，随机选取两个剧目的等可能结果共有12种， 其中选到“《逗狗儿报喜》和《打渡》”的是和共2种， ． 解法2：画树状图法 记《行程打座》、《湘子渡妻》、《逗狗儿报喜》和《打渡》四个剧目分别为 、 、 和 ，则画出如下树状图： 据图可知，随机选取两个剧目的等可能结果共有12种， 其中选到“《逗狗儿报喜》和《打渡》”的是和共2种， ． 22. 如图所示，反比例函数的图象与直线相交于点，且直线与 轴相交于点． （1）求该直线与反比例函数的表达式； （2）将直线 绕点 顺时针旋转 得到直线，直线与反比例函数图象交于点 和 ，求 的面积． 【答案】（1） ， （2）12 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接 ，记直线 与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ．求出和 ，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题可知，点在反比例函数图象上 ， 解得 反比例函数的表达式为． 又 直线过点和 ， 解得 直线的表达式为 ． 【小问2详解】 如图所示，连接 ，记直线 与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ． 当 时，， ∴ 为等腰直角三角形 由旋转可得， 为等腰直角三角形且 设直线表达式为，则 ， 解得 直线表达式为 联立， 解得或 又 ． 五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图 是桔槔的示意图，大竹竿米， 为 的中点，支架 垂直地面 ，此时水桶在井里时，． （1）如图 ，求支点 到小竹竿 的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图 ，当水桶提到井口时，大竹竿 旋转至的位置，小竹竿 至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得 的长度和的度数，根据 的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点 ，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米， 为 的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点 ，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 24. 如图，是 的外接圆，，过点 作切线，过点 作交于点 ． （1）求证：； （2）若的半径为2，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵，    ，    ， ， 又为的切线，且点 在上 ， ， ，    ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求扇形面积； （1）连接，进而根据等边对等角以及三角形内角和定理求得，根据圆周角定理求得出，根据切线的性质得出，进而求得，即可得证； （2）连接 、 ，证明是等边三角形，进而求得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 、 ， 在中， ，， ， 又，， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形且， 又 ，， ， 中，，， 又， ， ， ． 六、解答题：（本大题共2个小题，第25小题12分，第26小题13分，共25分） 25. 在正方形 中，边长为3，点、 分别是边 、 上的点，且，连接、． （1）如图1，与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，若点 、 分别是、的中点，求证：； （3）延长至点 ，连接，若，试求 与 的函数关系表达式． 【答案】（1）； （2） 证明：连接 并延长交 于G，连接 ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3，， ∴， ∴； ∴， ∵ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）证，得出，，再证即可； （2）连 并延长交 于G，求出长，再根据中位线的性质求出 ，进一步即可证明结论成立； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，进一步得到即可． 【小问1详解】 解：设与交于点Q， ∵四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算． 26. 有二次函数，且等式恒成立． （1）求的值； （2）当时，该二次函数满足 随 的增大而减小，求 的取值范围； （3）是否存在这样的实数 ，使得同时满足下列两个条件： ①关于 的方程 （其中）恰好有四个不同的实数解； ②函数的图象与 轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出 的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ①：关于 的方程 （）恰好有四个不同实数解 即 恰好有四个不同实数解， 记， 当时，；当时，， 作出如下图象 已知该图象关于 轴对称 且当时， 当 时， 当时，该方程恰好有四个不同实数解． ②：记函数的图象与 轴的两个相异交点分别为和 ， 两个交点均在直线的左侧 ， ， 即 解得 综合①②得：不存在这样的实数 ，使得同时满足这两个条件． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用系数相等得到方程组求出字母的值，代入即可求出答案； （2）根据题意得到，即可求出答案； （3）分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：由条件知 ， 解得 ． 【小问2详解】 由（1）可知， 其对称轴为 由题可知 解得 的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $