精品解析：辽宁锦州市第四中学2025-2026学年度第二学期七年级期中考试 数学试卷

锦州市第四中学教育集团2025-2026学年度第二学期七年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟；试卷总分：120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题2分，共20分）． 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，8，15 C. 5，12，13 D. 5，5，11 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 随机事件发生的概率介于0和1之间 B. “从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球”是必然事件 C. “度量三角形的内角和，结果是”是不可能事件 D. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨 4. 在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直角三角形中的两个锐角互余 6. 如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 7. 如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（ ） A. B. C. D. 8. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 9. 将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000037m，用科学记数法表示为______． 12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 13. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 14. 如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 15. 在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 三、计算题（共22分）． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 化简求值：，其中． 四、解答题（共63分）． 18. 如图，直线AB、CD交于点O，OM⊥AB， （1）若∠1=∠2，试判断ON与CD的位置关系，并说明理由. （2）若∠1=∠BOC，试求∠MOD的度数. 19. 如图，点E，F分别在线段，上，连接，，，其中交于点G，交于点H．若，，则可推得，其推导过程和推理依据如下，请完善推导过程和推理依据，并按照序号顺序将相应内容填写在下列横线上． 解：∵（已知）， 且（ ）， ∴ （等量代换）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）． ． 20. 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． （1）填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． （2）对于有理数x，y，已知，，求的值． 21. 如图，点E在上，与交于点F，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． （1）【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； （2）【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； （3）【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 23. 一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型． 通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题． 例：如图1，已知：，探究三者数量关系，并说明理由． 过点P做，利用两直线平行内错角相等将拆分成的两个角转换成，然后通过和差得到． 【初步感知】 （1）如图2，，则三者数量关系为______； 【学以致用】 （2）如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，请求出的度数； 【深入探究】 （3）如图4，一足够长的直尺与三角板斜边交于两点（N点在M点下方），其中直尺的边所在直线与直角边所在的直线交于P点，所在直线与直角边所在的直线交于Q点（不与点重合）．将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中与的数量关系，请直接写出答案． 24. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第四中学教育集团2025-2026学年度第二学期七年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟；试卷总分：120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题2分，共20分）． 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 6，8，15 C. 5，12，13 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】A、3，4，7， ∵， ∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15， ∵， ∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13， ∵， ∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11， ∵， ∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则与整式除法计算，根据对应法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 随机事件发生的概率介于0和1之间 B. “从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球”是必然事件 C. “度量三角形的内角和，结果是”是不可能事件 D. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义，必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断选项，找出错误的说法即可． 【详解】解：∵ 随机事件发生的概率介于和之间，符合概率定义，A正确，不符合题意； ∵ 从只有红球的袋子中摸出红球一定发生，因此“从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球”是必然事件，B正确，不符合题意； ∵ 三角形内角和为，因此度量三角形内角和结果为一定不发生，是不可能事件，C正确，不符合题意； ∵ 降水概率表示明天降水的可能性为，不代表明天有半天都在降雨，D错误，符合题意． 4. 在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．平方差公式的形式是，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解． 【详解】解：A，，不可以用平方差公式计算，不符合题意； B，，可以用平方差公式计算，符合题意； C，，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D，，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 故选：B． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直角三角形中的两个锐角互余 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，垂线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，垂直也是相交的一种情况，据此可判断A；根据平行线的性质可判断B；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断C；根据直角三角形两锐角互余可判断D． 【详解】解：A、同一平面内，两直线的位置关系是相交（垂直也是相交的一种情况）或平行，原说法错误，不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； D、直角三角形中的两个锐角互余，原说法正确，符合题意； 故选；D． 6. 如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得，，再加上公共边，根据，即可判断． 【详解】解：∵得， ，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线和折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴． 8. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】图中，符合该结果的频率在和之间 A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率约为，不合题意； C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为； 故选：C． 【点睛】本题考查频率的计算，理解频数与频率的概念是解题的基础． 9. 将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角板的特点、互余两角、互补两角的定义逐项判断即可. 【详解】解：A、α与β是互余的关系，故本选项不符合题意； B、根据同角的余角相等可得：，故本选项不符合题意； C、根据题意可得，所以，故本选项符合题意； D、根据题意可得：，所以，故本选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查了互余、互补的角的特点以及三角形的外角性质等知识，弄清题意、熟练掌握互补两角之和等于是解题的关键. 10. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000037m，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，为负整数，的绝对值与原数小数点移动的位数相同，据此确定和的值即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 13. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 14. 如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 15. 在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题目与的一条边平行，先确定线段的位置，再利用平行线和角平分线的性质求得对应角的度数求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，，， ∴， 当时，①如图1所示： ， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示： ， ∵， ∴， ∴； 当，如图3所示： ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 三、计算题（共22分）． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 17. 化简求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 因为， 所以且， 解得， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值、绝对值及平方的非负性，掌握平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式是解题的关键． 四、解答题（共63分）． 18. 如图，直线AB、CD交于点O，OM⊥AB， （1）若∠1=∠2，试判断ON与CD的位置关系，并说明理由. （2）若∠1=∠BOC，试求∠MOD的度数. 【答案】（1）ON⊥CD，理由详见解析；（2）∠MOD=150°． 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM=90°，进而可得∠1+∠AOC=90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC=90°，从而可得ON⊥CD； （2）根据垂直定义和条件可得∠1=30°，∠BOC=120°，再根据邻补角定义可得∠MOD的度数． 【详解】（1）ON⊥CD． 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM=90°， ∴∠1+∠AOC=90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠2+∠AOC=90°， 即∠CON=90°， ∴ON⊥CD． （2）∵OM⊥AB，BOC， ∴∠1=30°，∠BOC=120°， 又∵∠1+∠MOD=180°， ∴∠MOD=180°﹣∠1=150°． 【点睛】主要考查了垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 19. 如图，点E，F分别在线段，上，连接，，，其中交于点G，交于点H．若，，则可推得，其推导过程和推理依据如下，请完善推导过程和推理依据，并按照序号顺序将相应内容填写在下列横线上． 解：∵（已知）， 且（ ）， ∴ （等量代换）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）． ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．先由和对顶角的相等性质得到，再根据同位角相等，两直线平行即，根据两直线平行得到，已知，则，然后根据平行线的判定即可得到． 【详解】解：∵（已知）， 且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 20. 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． （1）填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． （2）对于有理数x，y，已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由新定义可得，再根据完全平方公式确定k的值即可； （2）由新定义可得，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： 是一个完全平方式， ∴， ∴，解得：． 【小问2详解】 解： ∵ ∴ ∴，即，解得：． 21. 如图，点E在上，与交于点F，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角加同一个角仍相等得到，利用证两三角形全等； （2）由（1）知，得到对应角相等，再利用三角形内角和为，有两组角相等，剩下的角一定相等求出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形． （1）【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______； （2）【问题解决】 ①已知，，则xy的值为______； ②已知，求的值； （3）【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）用两种方式表示阴影面积即可解答； （2）①直接利用（1）得结论求解即可；②设，，则，然后再利用（1）的结论求解即可； （3）由题意可得：，再求得，利用（1）的结论可得；再利用完全平方公式可求得，最后代入求S即可． 【小问1详解】 解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则． 【小问2详解】 解：①由（1）可得：， 所以， ∴， ∵，， ∴． ②设，，则， 由（1）知， ∴． 【小问3详解】 解：由图②可知，阴影部分的面积为 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 23. 一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型． 通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题． 例：如图1，已知：，探究三者数量关系，并说明理由． 过点P做，利用两直线平行内错角相等将拆分成的两个角转换成，然后通过和差得到． 【初步感知】 （1）如图2，，则三者数量关系为______； 【学以致用】 （2）如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，请求出的度数； 【深入探究】 （3）如图4，一足够长的直尺与三角板斜边交于两点（N点在M点下方），其中直尺的边所在直线与直角边所在的直线交于P点，所在直线与直角边所在的直线交于Q点（不与点重合）．将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中与的数量关系，请直接写出答案． 【答案】（1） （2） （3）；；； 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质得到和，从而解得答案； （2）过点作，利用平行线的性质和等量代换求解； （3）根据直尺绕着点M逆时针旋转确定点的大致位置，利用平行线的性质以及等量代换求解． 【小问1详解】 解：过点作， ， ∵，， ∴， 即 ∵， ∴． 【小问2详解】 解：过点作， ， ∵， ∴， ∴， ，解得， 则． 【小问3详解】 解：如图1所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意知， ∴，即； ， 如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意知， ∵ ， ∴， ∴， 解得； 如图3所示： ， ∵四边形是矩形， ∴，， 由题意知， ∴，即； 如图4所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由题意知， ， 即， ， 解得：； 综上所述：；；；． 24. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；；； （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【小问1详解】 解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $