第14讲 双曲线的二级结论讲义-2026年高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线核心考点，系统梳理定义、通径、焦点三角形等二级结论，按知识内在逻辑分层构建体系，通过考点解析、方法归纳、真题精练环节，帮助学生突破离心率计算、焦点弦问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以“结论推导-真题应用”为主线，引导学生从数学角度抽象双曲线几何关系，培养数学思维与推理能力。设置单选、多选、填空分层练习，配合结论速用技巧讲解，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第14讲 双曲线的二级结论 双曲线二级结论大全 一：双曲线的三个定义 1.双曲线的第一定义： 2.双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 3.双曲线的第三定义： 设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于, N 的任意一点，若直线PM, PN 的斜率存在，则必有（焦点在y 轴上时为） 证明：设点 点M,P在双曲线上 两式相减得：, 亦即 证毕。 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 二.双曲线的通径 过焦点做轴的垂线，交于椭圆两点，设，代入椭圆方程，，，即，所以通径. ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. ③双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 三.双曲线的焦点三角形 1.设，的周长： 2．双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为， . 3．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）. 4．设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 7．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点. 8．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 9．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 10．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a. 11．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a. 12．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 13．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 14．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 15．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 16．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 17．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 18．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长. 19．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 20．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 21．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 22．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 23．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 四．双曲线焦半径 1．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式： , 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 设为直线倾斜角 2.焦比公式 ①交双曲线的一支时，， 所以，，. 则,. ②交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 证明过程：设，则 . 为焦长公式. ③若，则,所以， 即. 交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 即. 3．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) 五．双曲线中点弦及切线切点弦 1．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 3．若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 4．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 5．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 6．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 7．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 8．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且. 9．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 10．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 六： 六．中心张直角弦 1．已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是. 2．MN是经过双曲线（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则. 3．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则. 4．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 七．轨迹 1．在双曲线中，定长为2m（）的弦中点轨迹方程为 2．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，的内（外）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是(). 3．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线. 4．到双曲线（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）. 5．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆. 6．到双曲线（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆. 7．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是. 8. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是. 9．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是. 10．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（除原点）。 八．其它 1．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) . 2．经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则. 3．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项. 4．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2），且F1、F2在L异侧直线 和双曲线相离，（3），或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交. 5．设点为双曲线（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦. (1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时. (2)如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, . 6.已知双曲线上有一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于，交轴于， 为原点，则： （1）； （2）. 7．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积趋近于. 8．给定双曲线：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 9．已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 10．是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 (除P点). 11．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）. 12．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则. 13．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则. 14．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）. 15．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则. 16．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是. 17．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是. 18．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. 19．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. 20．MN是经过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则. 21．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, PP2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 22．若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项. 23．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立. 24．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则. 25．设S为双曲线（a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有. 26．设双曲线（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上. 27．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 28．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 29．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点. 30．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. 31．设A（x1 ,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则. 32．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│. 33．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或. 34．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）. 35．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）. 36．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足. 37．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则； 38. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：. 39. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是或 应用双曲线二级结论解题 一．单选题 1.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 2.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3.过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ） A． B．2 C． D． 4.已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 5.已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（       ） A． B．2 C． D． 7.若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 8.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 A． B．3 C． D． 9.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 11.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（       ） A． B． C． D． 13.已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（    ） A． B． C． D． 14.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 15.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 16.已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 17.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 18．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 二．多选题 1．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（    ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线可以表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（    ） A．的渐近线方程为 B． C．直线的斜率为 D．的坐标为或 3.双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 4.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 5.设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 6.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 7.已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（       ） A． B． C． D． 8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（    ） A．的渐近线方程为 B．点与点均在同一条定直线上 C．直线不可能与平行 D．的取值范围为 三.填空题 1．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______． 2.已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是______. 3.过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________ 4．已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 双曲线的二级结论 双曲线二级结论大全 一：双曲线的三个定义 1.双曲线的第一定义： 2.双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 3.双曲线的第三定义： 设点 , N 为双曲线上关于原点对称的两点，点 是双曲线上异于, N 的任意一点，若直线PM, PN 的斜率存在，则必有（焦点在y 轴上时为） 证明：设点 点M,P在双曲线上 两式相减得：, 亦即 证毕。 若圆锥曲线上存在任意两点 关于原点对称, 点 为圆锥曲线上异于 的任意一点, 有： 1　 ； 2　 . 二.双曲线的通径 过焦点做轴的垂线，交于椭圆两点，设，代入椭圆方程，，，即，所以通径. ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. ③双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 三.双曲线的焦点三角形 1.设，的周长： 2．双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为， . 3．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）. 4．设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 7．设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点. 8．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 9．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 10．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a. 11．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a. 12．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 13．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 14．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 15．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 16．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 17．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 18．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长. 19．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 20．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 21．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 22．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 23．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 四．双曲线焦半径 1．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式： , 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 设为直线倾斜角 2.焦比公式 ①交双曲线的一支时，， 所以，，. 则,. ②交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 证明过程：设，则 . 为焦长公式. ③若，则,所以， 即. 交双曲线不同支时（左右都相交） 则，，即，所以，所以，所以，此时变成. 即. 3．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) 五．双曲线中点弦及切线切点弦 1．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 3．若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 4．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 5．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 6．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 7．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 8．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且. 9．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 10．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 六： 六．中心张直角弦 1．已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是. 2．MN是经过双曲线（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则. 3．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则. 4．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 七．轨迹 1．在双曲线中，定长为2m（）的弦中点轨迹方程为 2．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，的内（外）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是(). 3．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线. 4．到双曲线（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）. 5．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆. 6．到双曲线（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆. 7．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是. 8. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是. 9．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是. 10．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（除原点）。 八．其它 1．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) . 2．经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则. 3．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项. 4．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2），且F1、F2在L异侧直线 和双曲线相离，（3），或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交. 5．设点为双曲线（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦. (1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时. (2)如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, . 6.已知双曲线上有一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于，交轴于， 为原点，则： （1）； （2）. 7．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积趋近于. 8．给定双曲线：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 9．已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 10．是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 (除P点). 11．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）. 12．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则. 13．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则. 14．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）. 15．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则. 16．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是. 17．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是. 18．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. 19．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. 20．MN是经过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则. 21．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, PP2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 22．若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项. 23．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立. 24．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则. 25．设S为双曲线（a＞0,b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有. 26．设双曲线（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上. 27．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 28．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 29．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点. 30．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. 31．设A（x1 ,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则. 32．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│. 33．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或. 34．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）. 35．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）. 36．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足. 37．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则； 38. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：. 39. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是或 应用双曲线二级结论解题 一．单选题 1.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】B【解析】由已知，不妨设，则，∵， ∴点在以为直径的圆上]即是以P为直角顶点的直角三角形，故， 即，又， ∴， 解得，∴，故选B． 2.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则， 又∵，∴． 3.过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率 【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令 由，整理得 则， 则，由，可得 则有，即，则双曲线的离心率，故选：D 4.已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出坐标，根据题意得，代入斜率公式，由点在双曲线上，消元整理得到的关系，进一步求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，因为，即，由，所以，因为，所以，即，得，所以，即，又，所以，即，所以，故双曲线的离心率为．故选：D. 5.已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据对称性，知，然后表示出，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得，化简可求出离心率 【详解】设，，根据对称性，知，所以． 因为点A，P在双曲线上，所以，两式相减，得，所以 所以，所以，所以．故选：D 6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是（       ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出，从而可求出，进而可求出离心率 【详解】，，则，，两式相减得，所以，因为P是AB的中点， 所以，，因为直线OP的斜率为，所以，因为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以，所以，，得，所以，所以离心率为故选：A 7.若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，即得. 【详解】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为：，而，从而，故渐近线即.故选：B. 8.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 A． B．3 C． D． 【答案】A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，故选A． 9.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为，故选C． 10．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】A【解析】圆，而，则，故选A． 11.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，在中，根据焦点到渐近线的距可得，离心率为2， ∴，解得：，∴∴双曲线的方程为.记的内切圆在边，，上的切点分别为，则，横坐标相等，，， 由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得， 同理内心的横坐标也为，故轴.设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点），在中，， 由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，∴，即，∴的范围是.故选：D. 12.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知，设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为，， 因是它们的一个公共点，且，则由余弦定理可得： ……① 在椭圆中，由定义知，①式化简为：……② 在双曲线中，由定义知，①式化简为：……③ 由②③两式消去得：，等式两边同除得， 即， 由柯西不等式得， . 故选：B 13.已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得， 设，可得，因为，即，可得，代入上式，可得， 可得，整理得，即，又由，可得，即，所以，可得，即.故选：C. 14.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设，则，从而，进而.过作，则.如图： 在中，，；在中，， 即，所以.故选：A 15.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A. 16.已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即， 如下图所示:由点到直线距离公式可知：， 又，，，即，设， 由双曲线对称性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：.故选：A. 17.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】满足情形2，即，. 18．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线方程为，与渐近线方程联立方程组解得因为，所以，选B. 19．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得，再结合离心率即可得解. 【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为即， 设双曲线的的右焦点为，则， 所以焦点到渐近线的距离， 又离心率，所以， 所以双曲线实轴长. 故选：D. 二．多选题 1．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（    ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线可以表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 【答案】AD【详解】 对于A，若曲线是圆，则，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，曲线是圆，不是椭圆，B错误； 对于C，曲线有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误； 对于D，若曲线为双曲线，则，解得或，D正确.故选：AD 2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（    ） A．的渐近线方程为 B． C．直线的斜率为 D．的坐标为或 【答案】ABD【详解】对于A选项，，且，解得， 又因为，故双曲线的渐近线方程为，A对； 对于B选项，因为点在右支上，则，① 又因为，则，② 联立①②可得，，所以，，B对； 对于C选项，若点在第一象限，则直线的斜率为， 若点在第四象限，由对称性可知，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为，C错； 对于D选项，设点，则，且，可得， 所以，， 解得，则，可得，即点，D对.故选：ABD. 3.双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．到轴的距离为 B．点的轨迹是双曲线 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】设圆与三边的切点为， ，又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，因为，则为的中点且，于是， 故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确； 设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设， 根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由余弦定理得：，即，由，两式相加，则，又，所以， 所以，所以，即，故C正确；，即，所以，即，故D正确.故选：ACD. 4.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】AC 【详解】双曲线的，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与轴切点为过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为，的的横坐标为，则由双曲线定义，所以由圆的切线长定理知，所以.的横坐标均为，即与轴垂直.故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，中，，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上.选项B错误；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C正确；    由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故，又，则 令，则在单调递减，在单调递增. 值域为故的值域为. 选项D错误.故选：AC. 5.设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断. 【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称， 所以当直线AB的方程为时，线段AB的中点为，故A正确； 当直线AB的斜率存在且不为0时， 设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项B：可得，则，即， 双曲线的渐近线方程为，由于与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B错误； 对于选项C：可得，则，即， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则，即， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：AD. 6.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B，C，D作答. 【详解】由椭圆和双曲线的定义得：，解得，，A正确； 在中，由余弦定理得：， 整理得，，即， 当时，，即，B正确； 当时，，， 当且仅当时取“=”，而，C不正确； 在椭圆中，，即， 在双曲线中，，即， 于是得，而，则，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明 常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a，c的关系. 7.已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B、C由椭圆、双曲线的定义可得，而，即可判定；D记，应用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判断. 【详解】设，的焦距为，由，共焦点知：，故A正确； △是以为底边的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B错； 由且，易得，故C正确； 在△中，记，根据定义． 由余弦定理有． 整理得，两边同时除以，可得，故． 将代入，得．故D正确 故选：ACD． 8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则（    ） A．的渐近线方程为 B．点与点均在同一条定直线上 C．直线不可能与平行 D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，即，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，由题意知，所以，所以，故双曲线的方程为，故渐近线方程为，故A正确；对于B选项，记的内切圆在边、、上的切点分别为、、，  由切线长定理可得，，，由，即， 得，即，记的横坐标为，则，于是，得， 同理内心的横坐标也为，故轴，即、均在直线上，故B正确；对于C选项，当与轴垂直时，，故C错误；对于D选项，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），在中，. ，由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，结合图形可知，即，所以，，故D正确.故选：ABD. 三.填空题 1．已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解. 【详解】解：设的半焦距为c（），则，又， 所以，又直线与的一条渐近线平行， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为． 故答案为： 2.已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是______. 【答案】 【详解】  因，故，，， 如图，过点分别作，，，垂足分别为， 因为的内心，所以， 故点也在双曲线上，即为双曲线的右顶点，同理 ，所以三点共线，设直线的倾斜角为，因双曲线的渐近线方程为，倾斜角为，根双曲线的对称性，不妨设，因，所以，,所以， 因，所以，所以，故答案为： 3.过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________ 【答案】满足情形1，即，故，则 4．已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 【答案】3 【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出结合离心率为，求得同理求得代入问题计算即可. 【详解】因为双曲线的离心率为 所以 不妨设因为点在上，所以 两式相减,得, 因为点是的中点，所以, , 所以 即所以 同理 因为所以 故答案为：3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $