第40讲随机变量及其分布列（知识清单+13典例精讲+方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦随机变量及其分布列核心考点，涵盖离散型随机变量、分布列性质、均值方差、二项分布、超几何分布及正态分布，按“定义-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过知识清单梳理基础，13个典例精讲突破近3年高频题型，方法技巧总结与分层训练结合，助力学生系统掌握高考概率统计重点。 讲义创新设计“三步速写法”“秒杀公式法”等解题大招，如超几何与二项分布通过“不放回vs有放回”对比建模，培养学生数学思维与模型观念。分层训练含基础、拔高、错题复盘，适配不同学生需求，帮助教师精准把控复习节奏，提升学生高考应考能力。

第40讲随机变量及其分布列 （知识清单+13典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 离散型随机变量的数学期望 单选/填空题 5分 分布列、数学期望与方差综合 单选/解答题 5分/12分 随机变量概率计算 填空题 5分 分布列与期望的实际应用 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 超几何分布、二项分布、期望、方差 解答题 12分 二项分布的期望与方差 单选题 5分 正态分布的性质与应用 单选/解答题 5分 【知识点01】离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 【例1】判断下列变量是否为离散型随机变量，并说明理由。 ① 抛掷一枚骰子，出现的点数；② 某公交车站一小时内的候车人数；③ 灯泡的使用寿命。 解：1. 抛掷骰子的点数：取值为，可一一列举，是离散型随机变量。 2. 车站候车人数：取值为，可依次列举，是离散型随机变量。 3. 灯泡使用寿命：取值为连续实数区间，无法一一列举，不是离散型随机变量。 解题总结：判断关键——能否将变量取值逐个列举。 【知识点02】离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为随机变量，写出的分布列。 解：步骤1：确定所有可能取值： 步骤2：骰子质地均匀，每个点数出现概率相等： 步骤3：列出分布列： 1 2 3 4 5 6 【知识点03】离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 【例3】已知离散型随机变量的分布列为：，求实数的值。 解：步骤1：根据分布列规范性性质，所有概率和为1： 步骤2：化简计算：，解得 步骤3：验证非负性：，符合要求。 答案： 【知识点04】离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 【例4】已知随机变量分布列如下，求。 1 2 3 解：步骤1：计算数学期望 步骤2：计算 步骤3：利用简化公式求方差 答案： 【知识点05】均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 【例5】已知随机变量满足，求。 解：步骤1：代入期望性质公式 步骤2：代入方差性质公式 答案： 【知识点06】二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 【例6】已知某次试验成功率为0.8，重复进行4次独立试验，设成功次数为，求和。 解：步骤1：判定模型：4次独立重复试验，概率恒定， 步骤2：代入均值公式： 步骤3：代入方差公式： 答案： 【知识点07】超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 【例7】箱中有6件正品、4件次品，共10件产品，不放回抽取3件，设次品数为，求。 解：步骤1：确定参数： 步骤2：代入超几何分布公式： 步骤3：计算组合数： 答案： 【知识点08】正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 【例8】已知随机变量，求的值。 解：步骤1：提取正态分布参数： 步骤2：区间等价变形： 步骤3：套用3核心结论： 答案： 【题型一】求离散型随机变量的均值 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【详解】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 【变式1】（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出的所有可能取值，利用操作步骤求出对应概率可求出其期望值，可得结果. 【详解】易知的可能取值为1，2，3， 按一次输出数字0，； 按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故； 按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故. 所以， 故选：A. 【变式2】（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：为第一次抛掷骰子的点数，共6种等可能结果，即取3、4、5、6，共4种结果，故，A正确； 选项B：的情况为 ，共6种基本事件，故，B错误； 选项C： 即 ，符合的事件为 ，共4种基本事件，故，C正确； 选项D：服从1到6的均匀分布，期望 ，D错误. 【变式3】（2026·江苏连云港·模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的数学期望为________． 【答案】 【分析】依题意，得到的所有可能值为2，4，6，求得每两局比赛为一轮，得到结束时比赛停止的概率为，进而求得相应的概率，利用期望的公式，即可求解. 【详解】依题意，随机变量的所有可能值为2，4，6， 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为， 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响， 可得， 所以. 【题型二】写出简单离散型随机变量分布列 【例2】盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望． 【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球， 从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为， 的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 故选：B． 【变式1】（多选）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望． 【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球， 从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为， 的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 故选：B． 【变式2】（2026·江苏·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 【答案】(1)的分布列为： 1 2 3 4 (2) 【详解】（1）随机变量的所有可能取值为． ， ， 的分布列为： 1 2 3 4 ∴ （2）记事件为“取出的3个球的标号和为奇数”，事件为“”． 则事件为“和为奇数，且最小标号为1”. 由题意得，，， 由条件概率公式，得． 【变式3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知数轴上有一质点，从原点开始每1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为. (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率； (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 1 3 数学期望. 【分析】（1）利用独立事件的概率公式和条件概率公式即可求解； （2）由题意确定可能的取值，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望. 【详解】（1）记质点2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件秒后质点在处为事件， 则， 故所求的概率为； （2）的可能取值为：. 则， . 分布列如下： 1 3 数学期望. 【题型三】利用随机变量分布列的性质解题 【例3】以下能够成为某个随机变量分布的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案. 【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1， 显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0， B选项满足要求. 故选：B 【变式1】（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解，再进行计算即可. 【详解】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以. 故选：D. 【变式2】设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 P 其中，，…，构成等差数列，则 ___________. 【答案】 【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果. 【详解】因为，，…，构成等差数列， 所以， 因为，所以， 故答案为： 【变式3】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知，随机变量X的分布列为 Ｘ 1 2 3 4 P a b 的最小值为______，此时X的数学期望为______． 【答案】 / 【分析】根据分布列性质求得，然后由基本不等式求得最小值，并求得值，再由期望公式计算出期望． 【详解】依题意可得．则， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 此时． 故答案为：；． 【题型四】超几何分布 【例4】2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解. 【详解】设男生人数为，且， ，，, 则. 故选：C 【变式1】（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【答案】/0.75 【分析】由随机变量服从超几何分布，从而可得随机变量的期望值. 【详解】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. 故答案为：. 【变式2】（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 【答案】(1)； (2) 0 1 2 . 【分析】（1）根据题设确定10个小球中黄球、绿球的个数，再由古典概型的概率求法求概率； （2）由题设的取值是，应用超几何的概率求法求对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）设10个小球中黄球为个，绿球为个，且， 由题意得，，解得，则红球有2个， 记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则， 所以该消费者获得一等奖的概率为. （2）由题意，的取值是，则，，， 的分布列为： 0 1 2 期望. 【变式3】（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求相应概率； （2）根据超几何分布可求的分布列，结合数学期望公式可求. 【详解】（1）设为“恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业”， 则. （2）可取， 而，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 【题型五】利用二项分布求分布列 【例5】已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解. 【详解】因为因为随机变量服从二项分布， ． 故选：D 【变式1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以. 故选：B 【变式2】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是___________.有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是___________. 【答案】 【分析】根据计数原理，所有的取球方法共有种，而三种球各有一个共包含个，故获奖的概率可求.有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X,则，求出都不获奖的概率，故至少有1人获奖的概率可求. 【详解】设中奖为事件A,则事件A包含的基本事件个数为， 所有的基本事件共有个，所以中奖概率为； 有3个人参与这个游戏,设中奖人数为X，则， ， 所以至少有1人获奖的概率为 故答案为：；. 【变式3】（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为； (2)； 【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 【题型六】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【例6】（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 【答案】5 【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解. 【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案为：5 【变式1】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标__________次. 【答案】8或9 【分析】根据题意，击中目标的次数，设最大，列式运算得解. 【详解】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数， 则， 令，即， 化简得，解得，又， 所以最有可能击中目标8或9次. 故答案为：8或9. 【变式2】（2026·上海·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【答案】13或14 【分析】根据题意可得，利用二项分布的公式求解即可. 【详解】由题可得每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大 【变式3】（2025·全国·模拟预测）某工厂流水线上生产的零件分为特等品和一等品，随机抽取一个零件，抽到特等品的概率为． (1)若从流水线上随机抽取个零件，记抽取的零件中特等品的数量为，求使的值最大的正整数； (2)记事件为“从流水线上随机抽取个零件，其中恰有个特等品”，证明：． 【答案】(1) (2) 由（1）知， 所以， 而对都有， 因此即 【分析】（1）根据二项分布的性质可得，即可根据作商法，结合组合数的阶乘计算公式化简，即可与1比较作答， （2）根据，利用作商，利用即可求证. 【详解】（1）记，因为， 所以， 从而， 当时，，当时，， 所以，即使得最大的正整数， （2）略 【题型七】离散型随机变量的方差与标准差 【例7】（2026·安徽合肥·二模）已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（   ） A．0.48 B．0.54 C．0.76 D．0.92 【答案】C 【分析】利用期望和方差公式求解即可. 【详解】设,则，所以，解得：， 所以， 则 【变式1】（2024·浙江温州·一模）已知离散型随机变量的分布列如下表所示. 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的方差公式可得. 【详解】由分布列可得 ， ， 故选：D 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）A，B两队进行篮球比赛，比赛采用三局两胜制并规定每一局比赛都没有平局，且每局比赛A队获胜的概率都是p，记最终比赛局数为，若，则的数学期望的最大值是______________，方差的最大值为______________． 【答案】 【分析】求出的分布列，从而求出，再得出它的最大值；求出，再通过换元法求解最大值. 【详解】由题意得的可能取值为2，3，， ，则的分布列为 2 3 P 故，因为，所以当时，； ，令，因为，所以，则，故． 【变式3】（2026·甘肃·模拟预测）某公司考察了A，B两个项目进行投资，记A，B两个项目的利润分别为X（万元），Y（万元），经过风险评估，得到X，Y的分布列如下： X（万元） –10 0 10 30 Y（万元） 0 10 20 P 0.1 0.3 0.4 0.2 P 0.3 0.5 0.2 (1)求A，B两个项目的利润的期望； (2)求A，B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小． 【答案】(1)万元，万元． (2)，，所以 【详解】（1）由题意知（万元） （万元）． （2）， ， 所以． 【题型八】均值、方差的性质 【例8】（2026·吉林·三模）某种药物在人体内的代谢浓度（单位：）服从正态分布，则__________. 【答案】36 【详解】在中，，即，所以. 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据的方差为2，令，，则样本数据的方差为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设样本数据的方差为，则， 又， 所以样本数据的方差. 【变式2】（2024·吉林·模拟预测）已知随机变量，满足，则__________. 【答案】8 【分析】利用离散型随机变量的方差公式及性质计算即可. 【详解】易知. 故答案为：8. 【变式3】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 【题型九】正态分布的均值 【例9】（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望公式计算. 【详解】因为随机变量服从二项分布，故，得. 故选：C 【变式1】（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 【变式2】（多选）为了检测某车间生产产品的质量，质检部安排A、两名质检员对该车间产品进行抽样检查，A质检员从生产流水线上随机抽取3件产品，质检员从事先选定的10件产品中随机抽取3件产品.假设该车间生产产品的次品率为0.2，事先选定的10件产品中有2件次品，设A、两名质检员抽取的产品中次品的件数分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布及超几何分布知识可得答案. 【详解】对于AB，由题意知服从二项分布， 则，，故A、B正确； 对于CD，服从超几何分布，所以，故C错误， 根据超几何分布的期望公式，，D正确. 故选：ABD 【变式3】若X服从两点分布，且，则 ________；若，则________． 【答案】 / 【分析】根据两点分布、二项分布的期望公式直接运算求解. 【详解】空1：若X服从两点发布，且，则； 空2：若，则. 故答案为：；. 【题型十】正态分布的方差 【例10】（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为___________． 【答案】90 【详解】随机变量服从二项分布，，， 则，解得. 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若随机变量，已知，则为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】若随机变量服从二项分布，则其期望公式为， 而因为，所以，解得， 该随机变量的方差为， 因为，所以. 【变式2】（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则______. 【答案】 【分析】先利用独立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解． 【详解】由题意可知，，， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式3】口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【答案】A 【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解． 【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3， ，，， ∴，； 当时，η可取1，2，3，4， ，， ，， ∴， ； ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题. 【题型十一】正态曲线的性质 【例11】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布性质求解. 【详解】因为随机变量，且， 所以，所以， 故选：D 【变式1】（2025·浙江温州·二模）已知随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案. 【详解】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 【变式2】（2025·浙江丽水·一模）（多选）已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解． 【详解】因为随机变量， 则正态分布曲线关于对称， 因为， 则由正态分布曲线的对称性可得：，即，故A正确； 又， 由于，所以，故B不正确，C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则__________. 【答案】 【分析】由正态分布的性质即可得解. 【详解】由题意，，所以，解得. 故答案为：. 【题型十二】指定区间的概率 【例12】（2026·重庆九龙坡·二模）设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【答案】D 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【详解】 则. 【变式2】（2026·湖南长沙·三模）若随机变量服从正态分布，且，则________． 【答案】/ 【详解】由随机变量服从正态分布，得, 所以. 【变式3】（2026·宁夏·一模）已知随机变量，且，则的值为____________. 【答案】0.4/ 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即. 【题型十三】3σ原则 【例13】（2024·重庆渝中·模拟预测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】按照原则可知，，解得， 所以的最大值为4. 故选：B. 【变式1】（2024·广东佛山·二模）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______. 【答案】5 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】依题意，，由原则，得，解得， 所以的最大值是5. 故答案为：5 【变式2】（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为__________. 【答案】2 【分析】利用正态分布概率计算判断可得，可求得结果. 【详解】解析由题可知，解得，故的最大值为2. 故答案为：2 【变式3】（2026·广东肇庆·二模）（多选）已知随机变量，则（    ） A． B．越大，随机变量的方差越大 C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件 【答案】ACD 【分析】应用正态分布性质及对称性判断各个选项即可． 【详解】对于A，因为随机变量，所以， 所以 ，故A正确； 对于B，，而非方差，故B错误； 对于C，随机变量的分布越集中，说明数据的波动越小，方差越小， 而，则的值越小，故C正确； 对于D，根据原则，故D正确． 故选：ACD． 【解题大招01】离散型随机变量分布列「三步速写法」 步骤1：定取值：根据试验场景，写出随机变量所有全部可能取值，不漏不重； 步骤2：算概率：结合古典概型、排列组合，逐一计算； 步骤3：验正误：利用分布列性质核验 ，规避计算错误。 【例1】从装有2红3白共5个球的袋子中，一次性抽取2个球，设红球个数为，写出的分布列。 解：1. 确定取值：抽取2球，红球个数可取 2. 逐一计算概率： 3. 核验：，符合分布列性质 最终分布列 0 1 2 【解题大招02】数字特征「秒杀公式法」 基础公式： 线性变换公式： 技巧精髓：期望随系数、常数线性变化，方差只看系数平方，与常数无关，无需重新算分布列。 【例2】已知随机变量满足，求。 解：1. 计算期望： 2. 计算方差： 答案： 【解题大招03】超几何分布 概率公式： 均值秒杀：（无需分布列直接算期望） 【例3】一批产品共20件，其中正品16件，次品4件，不放回抽取5件，设次品数为，求的数学期望。 解：1. 判定模型：总体2类、不放回抽样，服从超几何分布 2. 提取参数： 3. 直接套用均值公式： 答案： 【解题大招04】二项分布 【例4】投篮命中率为0.6，连续投篮5次，设命中次数为，求。 解：1. 判定：5次独立重复试验，命中/不命中两种结果， 2. 代入公式计算： 答案： 【解题大招05】超几何&二项分布「区分避坑技巧」 1. 不放回抽样：总体概率改变，服从超几何分布； 2. 有放回抽样/独立重复试验：概率恒定，服从二项分布； 3. 总体极大时，不放回近似有放回，超几何分布可近似二项分布。 【例5】袋中有4红6白共10球，抽取3球，分别求：①有放回；②不放回，抽到红球个数的期望。 解：① 有放回：， ② 不放回：， 技巧总结：小样本下两者期望相等，方差不同，高考常考方差区分。 【解题大招06】正态分布「3σ原则速算技巧」 若 ，正态曲线关于对称： 【例6】已知随机变量，求。 解：1. 提取参数： 2. 区间变形： 3. 套用核心结论： 答案： 【解题大招07】统计决策类大题「标准答题模板」 1. 设变量：用随机变量表示收益、成本、得分； 2. 求分布列：计算对应概率，列出完整分布列； 3. 算特征：求期望、方差； 4. 下结论：期望大、收益高；方差小、更稳定。 【例7】甲乙两种生产方案利润随机变量为，已知，，判断最优生产方案。 解：1. 均值对比：，两种方案平均利润一致； 2. 方差对比：，甲方案利润波动更小、稳定性更强； 结论：选择甲生产方案。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．若，则当，1，2，…，100时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值. 【详解】解：由题意得： 即， 化简得：， 又k为整数,可得,所以， 故选：C． 2．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X的分布列为，， 所以，即，又因为， 所以，解得. 3．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解. 【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为， 因为是有放回的取球，所以， 所以 故选：D 4．据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（    ） （参考数据：若，则，，．） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，，利用原则可求得的值. 【详解】由已知可得，，则，， 所以， . 因此，一般人群中智商优秀所占的比例约为. 故选：A. 二、多选题 5．（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A：因为，所以，故A正确； 对B：，所以，又，所以，故B正确； 对C：因为， ， 所以，故C正确； 对D：根据正态分布的概念可知，故D错误. 三、填空题 6．（2026·陕西西安·模拟预测）一批产品的一等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的一等品件数，则的方差_____． 【答案】1.96 【详解】依题意，则. 四、解答题 7．（2026·辽宁·模拟预测）某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， (1)若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； (2)假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）隐藏款数量服从二项分布，直接由期望和方差公式计算； （2）设平均购买次数为 ，根据第一次是否成功分类讨论，建立方程求解即可. 【详解】（1）依题意可知，， ，. （2）设平均需要购买次才能第一次买到隐藏款， 考虑第一次购买的结果： 情况一：第一次就买到隐藏款，概率为，此时购买次数为； 情况二：第一次没买到隐藏款，概率为，此时已经购买了次，但问题回到初始状态，后面还需要平均次才能成功，所以总次数为； 所以，解得，即. 8．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即 ； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 2．（2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【答案】D 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间 ，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 二、多选题 3．（2026·河南·模拟预测）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 三、填空题 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】 【分析】先确定正态分布的均值与标准差，将合格品区间转化为均值加减若干倍标准差的形式，利用正态分布的对称性结合参考数据计算概率． 【详解】依题意，设活塞销的直径为随机变量，则， 其中，，即 合格品直径范围为，将端点变形为，， 即求 由正态分布的对称性可得： , 所以． 四、解答题 5．（2026·安徽·三模）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【分析】（1）利用正态分布的对称性，结合已知，计算求解； （2）（i）识别分布类型，求出相关概率和分布列，进而计算期望值； （ii）写出的表达式，构造数列，分情况讨论相邻两项的比值确定单调性，找出单调性的分界点，即为对应的值． 【详解】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 6．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【详解】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正态分布曲线的对称性，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 2．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值. 【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为， 设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件， 则﹐的所有可能取值为0，2，4. 由于与互斥﹐与互斥，故﹐ ， 所以的分布列为 0 2 4 随机变量ξ的数学期望. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题. 二、多选题 3．（2026·江苏·模拟预测）设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（   ）（附：若随机变量，则） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用正态分布和二项分布的性质求解. 【详解】选项A，，则， ，则， ，A正确. 选项B，， 则， ，和选项中不符，B错误. 选项C，， ，C正确. 选项D，，， ， ， 因为，，所以， 因为， 所以， 所以，D正确． 三、填空题 4．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________． 【答案】17.8/ 【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出. 【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布 ， 最大时，即最大， 超几何分布最大项问题，利用比值求最大项 设 则 令 故当时，严格增加， 当时，严格下降， 即时取最大值， 此题中， 根据超几何分布的期望公式可得， 故答案为：17.8 四、解答题 5．（2026·江苏无锡·三模）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于，可取 或 的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”． (1)求的值； (2)在“可取数列”中，设随机变量 是的值，求： ① 的概率分布； ②的期望． 【答案】(1) (2)① 的概率分布为： ② 【分析】（1）分为 ，，和 ， ，两种情况计算概率； （2）① 的可能取值为 ， ， ， ，，设，分析 中的取值情况求解； ②由 得到 ，利用组合数性质计算求解. 【详解】（1）已知数列是“可取数列”，首项 ，可取 或 的概率均为0.5， 要使，有以下两种情况： 情况一： ，，，因为取 的概率为0.5，取 的概率为0.5， 这种情况发生的概率为； 情况二： ， ，，因为取 的概率为0.5，取 的概率为0.5， 这种情况发生的概率为， 所以. （2）①    因为 ，可取 或 ， 所以的可能取值为 ， ， ， ，，设， 则取1或 的概率均为0.5， 且，设 ，显然 ， 再设此时中有 个1， 个 ，则 ， 所以 只能取之间的偶数值，即 ， 对于偶数 ，事件相当于在个数中， 有 个数取1，个数取 ， 其概率为 ， 因此， 的概率分布为： . ②    因为 ， 所以 ， 可得，由组合数性质得， ， 因为， ， 所以， 因此，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第40讲随机变量及其分布列 （知识清单+13典例精讲+方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 离散型随机变量的数学期望 单选/填空题 5分 分布列、数学期望与方差综合 单选/解答题 5分/12分 随机变量概率计算 填空题 5分 分布列与期望的实际应用 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 超几何分布、二项分布、期望、方差 解答题 12分 二项分布的期望与方差 单选题 5分 正态分布的性质与应用 单选/解答题 5分 【知识点01】离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 【例1】判断下列变量是否为离散型随机变量，并说明理由。 ① 抛掷一枚骰子，出现的点数；② 某公交车站一小时内的候车人数；③ 灯泡的使用寿命。 【知识点02】离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为随机变量，写出的分布列。 【知识点03】离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 【例3】已知离散型随机变量的分布列为：，求实数的值。 【知识点04】离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 【例4】已知随机变量分布列如下，求。 1 2 3 【知识点05】均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 【例5】已知随机变量满足，求。 【知识点06】二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X~B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 【例6】已知某次试验成功率为0.8，重复进行4次独立试验，设成功次数为，求和。 【知识点07】超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 【例7】箱中有6件正品、4件次品，共10件产品，不放回抽取3件，设次品数为，求。 【知识点08】正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 【例8】已知随机变量，求的值。 【题型一】求离散型随机变量的均值 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量和，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏连云港·模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的数学期望为________． 【题型二】写出简单离散型随机变量分布列 【例2】盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏·模拟预测）袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． (1)求随机变量的分布列及数学期望； (2)已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 【变式3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知数轴上有一质点，从原点开始每1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为. (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率； (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与数学期望. 【题型三】利用随机变量分布列的性质解题 【例3】以下能够成为某个随机变量分布的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 P 其中，，…，构成等差数列，则 ___________. 【变式3】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知，随机变量X的分布列为 Ｘ 1 2 3 4 P a b 的最小值为______，此时X的数学期望为______． 【题型四】超几何分布 【例4】2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【变式2】（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 【变式3】（2026·河北保定·三模）2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记为抽到的营收正增长的企业数量，求的分布列与数学期望. 【题型五】利用二项分布求分布列 【例5】已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖.则获奖的概率是___________.有3个人参与这个游戏，则至少有1人获奖的概率是___________. 【变式3】（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【题型六】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【例6】（2025·湖南邵阳·三模）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 【变式1】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标__________次. 【变式2】（2026·上海·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【变式3】（2025·全国·模拟预测）某工厂流水线上生产的零件分为特等品和一等品，随机抽取一个零件，抽到特等品的概率为． (1)若从流水线上随机抽取个零件，记抽取的零件中特等品的数量为，求使的值最大的正整数； (2)记事件为“从流水线上随机抽取个零件，其中恰有个特等品”，证明：． 【题型七】离散型随机变量的方差与标准差 【例7】（2026·安徽合肥·二模）已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（   ） A．0.48 B．0.54 C．0.76 D．0.92 【变式1】（2024·浙江温州·一模）已知离散型随机变量的分布列如下表所示. 则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）A，B两队进行篮球比赛，比赛采用三局两胜制并规定每一局比赛都没有平局，且每局比赛A队获胜的概率都是p，记最终比赛局数为，若，则的数学期望的最大值是______________，方差的最大值为______________． 【变式3】（2026·甘肃·模拟预测）某公司考察了A，B两个项目进行投资，记A，B两个项目的利润分别为X（万元），Y（万元），经过风险评估，得到X，Y的分布列如下： X（万元） –10 0 10 30 Y（万元） 0 10 20 P 0.1 0.3 0.4 0.2 P 0.3 0.5 0.2 (1)求A，B两个项目的利润的期望； (2)求A，B两个项目的利润的方差，并比较方差的大小． 【题型八】均值、方差的性质 【例8】（2026·吉林·三模）某种药物在人体内的代谢浓度（单位：）服从正态分布，则__________. 【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据的方差为2，令，，则样本数据的方差为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2024·吉林·模拟预测）已知随机变量，满足，则__________. 【变式3】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型九】正态分布的均值 【例9】（2026·陕西西安·三模）设随机变量服从二项分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（多选）为了检测某车间生产产品的质量，质检部安排A、两名质检员对该车间产品进行抽样检查，A质检员从生产流水线上随机抽取3件产品，质检员从事先选定的10件产品中随机抽取3件产品.假设该车间生产产品的次品率为0.2，事先选定的10件产品中有2件次品，设A、两名质检员抽取的产品中次品的件数分别为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】若X服从两点分布，且，则 ________；若，则________． 【题型十】正态分布的方差 【例10】（2026·上海浦东新·三模）已知随机变量服从二项分布，若，则的值为___________． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若随机变量，已知，则为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】（2024·上海徐汇·二模）同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则______. 【变式3】口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【题型十一】正态曲线的性质 【例11】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·浙江温州·二模）已知随机变量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·浙江丽水·一模）（多选）已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则__________. 【题型十二】指定区间的概率 【例12】（2026·重庆九龙坡·二模）设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式2】（2026·湖南长沙·三模）若随机变量服从正态分布，且，则________． 【变式3】（2026·宁夏·一模）已知随机变量，且，则的值为____________. 【题型十三】3σ原则 【例13】（2024·重庆渝中·模拟预测）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2024·广东佛山·二模）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是______. 【变式2】（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为__________. 【变式3】（2026·广东肇庆·二模）（多选）已知随机变量，则（    ） A． B．越大，随机变量的方差越大 C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件 【解题大招01】离散型随机变量分布列「三步速写法」 步骤1：定取值：根据试验场景，写出随机变量所有全部可能取值，不漏不重； 步骤2：算概率：结合古典概型、排列组合，逐一计算； 步骤3：验正误：利用分布列性质核验 ，规避计算错误。 【例1】从装有2红3白共5个球的袋子中，一次性抽取2个球，设红球个数为，写出的分布列。 【解题大招02】数字特征「秒杀公式法」 基础公式： 线性变换公式： 技巧精髓：期望随系数、常数线性变化，方差只看系数平方，与常数无关，无需重新算分布列。 【例2】已知随机变量满足，求。 【解题大招03】超几何分布 概率公式： 均值秒杀：（无需分布列直接算期望） 【例3】一批产品共20件，其中正品16件，次品4件，不放回抽取5件，设次品数为，求的数学期望。 【解题大招04】二项分布 【例4】投篮命中率为0.6，连续投篮5次，设命中次数为，求。 【解题大招05】超几何&二项分布「区分避坑技巧」 1. 不放回抽样：总体概率改变，服从超几何分布； 2. 有放回抽样/独立重复试验：概率恒定，服从二项分布； 3. 总体极大时，不放回近似有放回，超几何分布可近似二项分布。 【例5】袋中有4红6白共10球，抽取3球，分别求：①有放回；②不放回，抽到红球个数的期望。 【解题大招06】正态分布「3σ原则速算技巧」 若 ，正态曲线关于对称： 【例6】已知随机变量，求。 【解题大招07】统计决策类大题「标准答题模板」 1. 设变量：用随机变量表示收益、成本、得分； 2. 求分布列：计算对应概率，列出完整分布列； 3. 算特征：求期望、方差； 4. 下结论：期望大、收益高；方差小、更稳定。 【例7】甲乙两种生产方案利润随机变量为，已知，，判断最优生产方案。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．若，则当，1，2，…，100时（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 3．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（    ） A． B． C． D． 4．据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（    ） （参考数据：若，则，，．） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·重庆·模拟预测）已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2026·陕西西安·模拟预测）一批产品的一等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的一等品件数，则的方差_____． 四、解答题 7．（2026·辽宁·模拟预测）某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， (1)若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； (2)假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 8．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 二、多选题 3．（2026·河南·模拟预测）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 四、解答题 5．（2026·安徽·三模）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 6．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 2．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·江苏·模拟预测）设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（   ）（附：若随机变量，则） A． B． C． D． 三、填空题 4．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________． 四、解答题 5．（2026·江苏无锡·三模）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于，可取 或 的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”． (1)求的值； (2)在“可取数列”中，设随机变量 是的值，求： ① 的概率分布； ②的期望． 1 学科网（北京）股份有限公司 $