19.1.1多边形内角和（课件）2025-2026学年数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学课件聚焦多边形概念及内角和定理，通过观察生活中线段围成的图形导入，类比三角形定义引出多边形，以三角形内角和为基础，用转化思想将多边形分割成三角形探究内角和，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于注重探究过程，通过连接对角线、内取点等多种分割方法培养推理意识，结合生活实例观察发展几何直观，用表格总结关系及公式推导强化模型意识。采用探究式教学，小结结构化梳理知识，助力学生养成主动探究习惯，为教师提供丰富教学资源。

19.1.1 多边形内角和 第十九章 四边形 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 教学目标 1.知道多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理； 2.经历探索多边形内角和定理的过程，归纳多边形的内角和公 式，进一步发展学生简单推理的意识及能力； 3.逐步养成主动探究习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密 联系。 在日常生活中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察下列图片，找一找有哪些由线段围成的图形？ 新知探究 问题： 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？ 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 新知探究 如果一个多边形由 n 条边组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 整数）. …… 三角形 四边形 五边形 六边形 A1 A2 A3 A4 A5 An－1 An n 边形 问题1：观察下列图形，类比三角形的定义，它们有什么特征？如果我们把这些图形称为多边形，那么同学们如何给多边形下一个定义呢？ ①在一个平面内；②由几条（不少于三条）线段首尾顺次相接而成. 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形． 思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内. 如图所示的图形不是平面图形，顶点A、B、C在同一平面内，而A、C、D又在另一平面内. A D C B 多边形一般根据边数和各个顶点的字母按顺序来表示，可以按顺时针或逆时针的顺序. 四边形ABCD 五边形ABCDE 六边形ABCDEF A C B D A B C D E A B C D E F 探究新知 多边形的表示方法 表示多边形时，先写出多边形的名称，后面顺次写出多边形的顶点字母. A B C D A C B D E A C B D E F 四边形 五边形 ABCDE ABCD 六边形 ABCDEF 注意： ① 多边形有几条边就是几边形 ② 多边形用顶点的字母表示时， 可顺时针方向表示， 也可逆时针方向表示. 探究新知 比一比：观察下面两个图形，它们有什么共同点和不同点？ A B C D A B C D 凸多边形 不是凸多边形 (凹多边形) 本教科书中所研究的都是凸多边形. 一个多边形， 如果把它任何一边双向延长， 其他各边 都在 延长所得直线的 同一旁， 这样的多边形 叫做 凸多边形. 新知探究 组成多边形的线段叫作多边形的____. 边 边 相邻两边的公共端点叫作多边形的_____. 顶点 顶点 外角 相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____. 内角 角 内角 在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的_______. 外角 新知探究 问题： 我们应该如何表示多边形呢？ 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示。 上面三个多边形分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF . A C B D A B C D E A B C D E F 问题2：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角、对角线． 内角：多边形相邻两边组成的角. 顶点：相邻两条线段的公共端点. 边：组成多边形的各条线段. 外角：多边形角的一边与另一边的延长线组成的角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段. A B C D A B C D 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形. 凸多边形 不是凸多边形 做一做 分别画出下列两个图形一边所在的直线，你有什么发现？ 四边形 ABCD 都在直线 AB 的同一侧 四边形 ABCD 不都在直线 AB 的同一侧 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 对应练习 看图填空 多边形 边数 内角数 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 ··· n边形 3 4 5 6 7 ··· n 3 4 5 6 7 ··· n 6 8 10 12 14 ··· 2n 3 4 5 6 7 ··· n 顶点数 外角数 一个n边形 2n个外角. 有n个顶点， n条边， n个内角， 新知探究 思考： C D A B 四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 AB，BC，AD 的同一侧. 凸四边形 这两个四边形有什么不同？ A B C D 四边形 ABCD 不都在直线 AB（或 BC）的同一侧. 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形. 新知探究 探究： 我们知道 ，三角形的内角和为 180°，下面来探讨多边形的内角和。 1.四边形的内角和是多少度呢? (1) 如图 (1) ，连接 AC，能得到四边形 ABCD 的内角和吗 ? A C B D (1) 问题1：三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？如何证明呢？ 四边形ABCD的内角和是360°. A B C D 方法一：如图，连接 AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为180°×2 = 360°. A B C D 方法二：如图，在四边形ABCD内任取一点O,连接OA，OB，OC，OD， 所以四边形被分为四个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×4 =360°. O 总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解. 思考：你还有其他方法得到四边形的内角和吗？ 探究新知 方法①：连接AC，四边形被分为 2 个三角形，所以四边形ABCD内角和为 A B D C 2×180°=360° 任意四边形内角和 A B D C P 4×180° 方法②： 在四边形内部任取一点P， 将点P与各顶点相连， 把四边形分割成 4个 三角形， 则四边形的内角和为 =360° -360° 探究新知 A B D C P 任意四边形内角和 把点P与各顶点相连， 3×180° 方法③： 在四边形一边上任取一点P 将四边形分割成 3个 三角形，则四边形的内角和为 (顶点除外)， -180° =360° A B D C P 方法④： 在四边形外部任取一点P， 则四边形的内角和为 把点P与各顶点相连， 将四边形分割成 3个 三角形， 3×180° -180° =360° 这四种方法都运用了转化思想, 把四边形分割成三角形, 转化到已经学了的三角形内角和求解. 新知探究 探究： (2) 如图 (2) ，在四边形 ABCD 内任取一点 O，连接 OA，OB， OC，OD. 也能得到四边形 ABCD 的内角和吗? 四边形的内角和等于 ______________ . A C B D O (2) 你还有其他方法得到四边形的内角和吗 ? 360° 新知探究 探究： 方法：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED) = 180°×3 - 180° = 360°. A B C D E 例1 如图,四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为11:10:5:10.求四边形ABCD四个内角的度数. 解:设∠B=∠D=(10x)°， 则∠A=(11x)°，∠C=(5x)°. 由题意,得11x + 10x + 5x + 10x= 360. 解得x=10. 故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100° 例2 (1) 十边形的内角和是多少度？ (2) 一个多边形的内角和等于 1980°，它是几边形？ 解：(1) 十边形的内角和是 (10－2)×180°＝1440°. (2) 设这个多边形的边数为 n，则 (n－2)×180°＝1980°， 解得 n＝13. 所以这是一个十三边形. 归纳总结 多边形 边数 图形 一个顶点出发的对角线条数 分成三角形的个数 计算规律 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 … … … … … 3 4 5 6 n 1 2 3 4 n-2 (n-2) ·180° 4 ×180° 3 ×180° 2 ×180° 1 ×180° … 0 n-3 1 2 3 =180° =360° =540° =720° (n为不小于3的整数) 多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于 (n-2)•180° 规律总结： ① 从 n 边形一个顶点出发，可作 条对角线，这些对角线把 n 边形分成 个三角形. (n-3) (n-2) ② n 边形一共可以作 条对角线. ③ 多边形的边数增加 1， 内角和就增加 180°. 归纳总结 归纳总结 (n为不小于3的整数) 多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于 (n-2)•180° 规律总结： ① 从 n 边形一个顶点出发，可作 条对角线，这些对角线把 n 边形分成 个三角形. (n-3) (n-2) ② n 边形一共可以作 条对角线. ③ 多边形的边数增加 1， 内角和就增加 180°. 课堂小结 多边形 定义 前提条件是在一个平面内 对角线 它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题 (n-2) × 180 °(n ≥3的整数） 内角和计算公式 感谢聆听! $