专题04 计数原理和统计概率（5大考点期末真题汇编，重庆专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集重庆多区重点中学期末试题，聚焦计数原理与统计概率5大高频考点，情境真实且层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约30题|计数原理（电商合作等级比较）、二项式定理（系数计算）、正态分布（芒果质量估计）|结合盲盒游戏、祖冲之圆周率等文化科技情境| |多选题|约10题|二项式系数性质、独立事件判断|注重概念辨析与多选项逻辑推理| |填空题|约15题|排列组合（名额分配）、条件概率（机器故障）|强化公式应用与计算准确性| |解答题|约20题|随机变量分布（投篮得分）、统计分析（防诈宣传回归）、全概率公式（节能目标）|设计多问梯度，融合实际问题如新能源汽车续航、医疗派驻等综合应用|

专题04计数原理和统计概率 5大高频考点概览 考点01计数原理和排列组合 考点02二项式定理 考点03条件概率和全概率公式 考点04随机变量及其分布 考点05成对数据的统计分析 地 城 考点01 计数原理和排列组合 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、营销、仓储物流、客户服务等内容.某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、营销、仓储物流、客户服务4个项目进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C三个等级，则甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为（   ） A．24 B．120 C．256 D．625 【答案】D 【分析】先分情况计算每个项目甲高于乙和丙服务商的情况，接着即可求出结果. 【详解】若甲服务等级为A，则乙和丙可以B，C等级，共有种； 若甲服务等级为B，则乙和丙只能C等级，此时有1种情况， 所以每个项目甲高于乙和丙服务商的情况有5种， 所以甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为. 故选：D. 2．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 【答案】D 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 丙、丁共有排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 3．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题随机取出4个不同的数共有，第二个数是6，则4个数中第二大的是6，在7，8，9中选一个，1，2，3，4，5中选2个数，再求概率即可. 【详解】由题知随机取出4个不同的数共有种， 第二个数是6，则4个数中第二大的是6，所以有， 所以概率为. 故选：C. 4．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)将个类节目和个类节目编制成节目单，则前个有类节目的不同排列方式有（    ） A．144种 B．432种 C．576种 D．720种 【答案】C 【分析】分成前个节目有类节目分为有一个类节目和有两个类节目两种情况，先排前三个节目，再排后三个节目，两种情况相加即可求解. 【详解】前个节目有类节目分为有一个类节目和有两个类节目两种情况， 则共有：， 所以前个有类节目的不同排列方式有种. 故选：C． 5．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（   ） A．36种 B．72种 C．98种 D．108种 【答案】B 【分析】根据已知某地区派驻有两名医生，分类讨论，分地区有两名医生和或区有两名医生，然后分配3名护士，即可求解. 【详解】若地区派驻两名医生，则有种不同方式； 若或区有两名医生，则有种不同方式. 所以不同的派驻方式有种. 故选：B. 6．(24-25高二下·重庆部分区·期末)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩，如果物理和历史恰有1门被选，那么不同的选法共有（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】先从物理和历史恰有1门被选，再剩余4门学科中选2门，结合组合数运算求解. 【详解】若物理和历史恰有1门被选，则有种不同方法； 再从剩余4门学科中选2门，则有种不同方法； 所以不同的选法共有种. 故选：B. 7．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 【答案】A 【分析】由分类加法原理即可求解. 【详解】第一种情况：乙不参加，共种情况， 第二种情况：乙参加，甲必然参加，共种情况，总计42种情况. 故选：A. 8．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件知装有款玩偶的盲盒最先被全部打开包含：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶；从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶，再利用古典概率公式、互斥事件的概率公式及排列组合，即可求解. 【详解】记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶， 记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶， 记事件：装有款玩偶的盲盒最先被全部打开， 易知，， 则， 故选：B. 9．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 10．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是： 为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个． A．180 B．240 C．300 D．360 【答案】C 【分析】利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案. 【详解】先排数字9得出有种， 因为有两个1，所以总数有种. 故选：C. 11．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在西安高新第一中学与重庆市巴蜀中学校联合举办的“巴山渭水”学术文化交流周中，来自两校的“山城”、“火锅”、“秦俑”三位同学报名参加“麻辣算法社”、“雾都桥梁社”、“秦汉数字考古社”、“羊肉泡馍化学社”，已知每人参加两个社团，每个社团至少一人参加，三人不能同时参加一个社团，则符合条件的不同报名方式有（   ） A．162种 B．90种 C．81种 D．45种 【答案】B 【分析】根据要求，确定四个兴趣小组必有两个2人选、两个1人选，而对于2人选的小组可以分成“同样的2个人”和“3个人构成”两类情况分别计数即得. 【详解】由题意，四个兴趣小组必有两个2人选、两个1人选，根据2人选的小组是同样的2个人还是3个人分两种情况： 当2人选的小组是同样的2个人时，有种； 当2人选的小组是由3个人构成时，有种； 所以不同的报名方式有种. 故选：B. 二、填空题 12．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)在一个盒子中装有6个大小形状均相同的号码球，编号分别为1、2、3、4、5、6.李华每次从中有放回地随机摸一个号码球，记下每一次的号码，记第次取出的号码为，则使方程有解的概率为_________.（用分数表示） 【答案】/ 【分析】本题需要首先分析出方程，的解的情况，然后根据有放回的排列组合情况进行计数求解. 【详解】由题，不妨将按照从小到大的顺序排列，得到. 则中至多有4个. ①若，得，即，所以； ②若，得，即，解得，不符，舍去； 同理可以证明时，均不符合题意； ③若，得，而，故此时方程不成立，所以不符，舍去. 综上，方程组有唯一解，所以有解得概率. 故答案为：. 【点睛】本题结合多元不定方程有解的问题来求解概率，属于跨章节的综合应用，具有创新性，需要先分析方程解的情况，再根据计数原理计算概率. 13．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有________种． 【答案】18 【分析】先分好指标，由于指标是相同元素，所以在分配时，相同数量的指标分配就是组合问题，也可以先分配指标数单类的给一个班，以此计数即可. 【详解】每个班都要分到名额，则4个参加歌唱展示的名额可分为， 5个参加书画展示的名额可分为或， 所以分配方案为种． 故答案为：18 三、解答题 14．(24-25高二下·重庆部分区·期末)回答下面两个题： (1)设函数，证明：当； (2)从编号1到20的20张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽取的10个号码互不相同的概率为． ①求概率；（直接列出式子，可以不化简） ②证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，结合端点值，即可证明； （2）①根据古典概型概率公式，结合分步计数原理，即可求解； ②根据①的结果，再结合基本不等式，证明；再根据（1）的过程，结合函数的单调性可知，，最后结合不等式放缩，即可证明. 【详解】（1）， 所以在上单调递增，所以； （2）①； ②先证明，， ， . 再证明， 由（1）可知在上单调递增， 则，即， 化简可得，即， 又因为，所以， 综上可得：. 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知一组数据为，若为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（    ） A．-80 B．-24 C．24 D．80 【答案】A 【分析】首先根据样本数据求中位数，再根据二项式定理的通项法求的系数. 【详解】这8个数据的中位数为， 中，含的项为，所以的系数为. 故选：A 二、多选题 2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 【答案】BD 【分析】对于A，根据的奇数项二项式系数和为计算即可；对于B，赋值法令计算即可；对于C，由当为偶数时，二项式系数最大的项为第项计算即可；对于D，根据二项式通项公式，令的指数为0，求得即可判断. 【详解】对于A，奇数项的二项式系数和为，故A不正确； 对于B，令有各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式展开式共有11项，则二项式系数最大的项为第项，故C不正确； 对于D，的展开式中常数项为，， 令，解得，所以常数项是第9项，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 3．(24-25高二下·重庆部分区·期末)二项式的展开式中各项的系数和为______． 【答案】1 【分析】赋值即可求解. 【详解】令得二项式的展开式中各项的系数和为. 故答案为：1 4．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知，则__________． 【答案】 【分析】利用二项式定理先求，再令得，进而求解. 【详解】由题意有：，令有：， 所以， 故答案为：. 5．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】55 【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得. 【详解】， 因二项式的通项为， 则的展开式中含项的系数为； 对于，只需求其中的展开式含项的系数，即. 故的展开式中，含项的系数为. 故答案为：55. 四、解答题 6．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)（1）求的展开式中二项式系数最大的项； （2）已知．求的值． 【答案】（1）和；（2） 【分析】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大，根据二项式展开式的通项公式即可求解； （2）根据题意利用赋值法，令得①，令得②，①②得③，①③即可求解. 【详解】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大， ∴的展开式中二项式系数最大的项为，， ∴的展开式中二项式系数最大的项为和. （2）∵， ∴令得①， 令得②， ①②得，∴③， ①③得. 即的值为. 地 城 考点03 条件概率和全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对立事件及条件概率公式即可求解． 【详解】由题可知，小明能闯关成功的概率为， 此游戏被闯关成功的概率为， 则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为， 故选：B． 2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（   ） A．0.3 B． C． D．0.4 【答案】B 【分析】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付，再根据概率的加法公式求出，最后利用条件概率的概率公式. 【详解】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付， 则，，， 故， 则， 故从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是. 故选：B. 3．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 4．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 5．(24-25高二下·重庆部分区·期末)两批同种规格的产品，第一批占，次品率；第二批占，次品率，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为（    ） A．0.042 B．0.044 C．0.046 D．0.048 【答案】B 【分析】由题意结合全概率公式即可求解. 【详解】设事件分别表示产品来自第一、第二批，事件表示产品为次品， 则由题， 从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为. 故选：B 二、多选题 6．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（   ） A．和互斥 B．和独立 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据条件概率的公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A，由题可知，和互斥，故A正确； 对于B，，，， ，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 7．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)某企业有9台制衣机器，这些机器中有4台是不会出现故障的，且在剩下的5台机器中，有3台机器不会出现故障的概率为，其余2台机器不会出现故障的概率为，则从这9台机器中任抽1台，不会出现故障的概率为________． 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】设这9台机器中任抽1台，不会出现故障为事件A， 所以. 故答案为：. 8．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 【答案】 【分析】根据条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】设事件“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.， 则， 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为. 故答案为： 9．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 【答案】 【分析】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题” 则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以， ，，，， 由全概率公式， . 所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为. 故答案为：. 10．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)将一枚骰子抛掷2次，记事件“第一次抛出的点数是4点”，“两次抛掷的点数之和大于7”，则________． 【答案】/ 【分析】应用条件概率计算求解. 【详解】事件“第一次抛出的点数是4点”，“两次抛掷的点数之和大于7”， 则第一次抛出的点数是4的有6种，所以， 第一次抛出的点数是4且两次抛掷的点数之和大于7有3种，所以， . 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)（且），证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【详解】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 12．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）能完成 【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得； （2）（i）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得； （ii）利用全概率公式求得 ， ，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有 . 【详解】（1）随机变量 表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， ∴，，，； （2）（i）由于 取离散整数值，分析条件 ， 故：， 概率总和为 1：，代入得， 解得； （ii）事件：一个家庭单月节省电量总和至少为 4 度，即总节省电量 . 总节省电量 ，其中 独立同分布于 ， 与 独立. 由（1）知，故 的分布为：，，，， 计算 ： 若，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若，则，需. 计算 ： ：，概率 ： 或 ，概率 ， 故，所以 ， 若，则，需. 计算 ： 仅当所有 ，概率 ， 故， 则： . 设函数 ， . 求导得， 令，则，为开口向下的抛物线， ∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵当 ，， 当 ，， ∴在 内 恒成立， 因此，对任意，有 ，即政府目标总能完成. 13．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． (1)若，求的值，并比较策略和的优劣； (2)设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 【答案】(1)，策略更优 (2)（i），；（ii） 【分析】（1）将所有情况一一列出，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）（i）分、、三种情况讨论，结合条件概率的定义求解即可； （ii）根据全概率公式求出，再利用定义法判断数列的增减性或由即可求出. 【详解】（1）由于，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，其排序共有种情况，采用策略后购买的结果列表如下： 参考组 候选组 结果 第1款 第2款 第3款 购买款式 高 中 低 低 高 低 中 中 中 高 低 高 低 高 中 高 中 低 高 高 低 中 高 中 故小明购买到最喜欢产品的情况有3种，故， 又易知，故策略更优． （2）（i）显然，， 表示在小明最喜爱的文创产品位于第个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率， 当时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品， 故； 当时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即； 当时，小明要购买到最喜爱文创产品，则需要前款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，这样第款产品就会是第一个“比参考组都更好”的产品，从而被选中， 又因在前款产品中喜爱度最高的产品出现在哪一家是等可能的， 其落在参考组的概率为，故； 综上，； （ii）由全概率公式得 ， 由题得，故下标满足，， 解法1：若，则， 则， 则，即， 由于，故， 故当时，，即有， 当时，，即有， 故时最大； 解法2：要使得最大，需要满足，解得， 余下同解法1. 地 城 考点04 随机变量及其分布 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【分析】根据正态分布的图象和性质，结合对称性的定义，即可判断选项. 【详解】由正态分布的性质可知，单调递增，所以没有对称轴， 因为正态分布密度曲线的对称轴是，所以， 即，所以函数的图象关于点对称. 故选：C 2．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)若随机变量X服从正态分布，已知，则（   ） A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【分析】根据正态分布对称性可求概率. 【详解】因为随机变量X服从正态分布， 所以， 则. 故选：B. 3．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 【答案】A 【分析】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【详解】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有辆. 故选：A 4．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)设某品种芒果单果质量为ξ（单位：g）近似服从正态分布，现有该品种芒果20000个，估计单果质量在320g到360g之间的芒果个数约为（    ） 附：若，则，，． A．1574 B．3148 C．5436 D．6296 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的性质求解概率，即可得解. 【详解】单果质量，单果质量在之间的概率为，所以其个数为， 故选：B． 二、多选题 5．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据随机变量X的期望和方差计算公式即可判断A，B项；利用随机变量的期望与方差性质计算即可判断C，D两项. 【详解】根据随机变量X的分布列，可得，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知离散型随机变量分布列如下表所示（    ） 0 1 2 0.2 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先根据分布列的性质求，再求期望和方差. 【详解】由分布列的性质可知，，所以， ，，故ABC正确； ，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 7．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)已知随机变量，则______________. 【答案】 【分析】直接根据二项分布的概念即可得结果. 【详解】因为随机变量， 则， 故答案为：. 8．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)若随机变量，若，则_______. 【答案】2 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由题意有， 故答案为：2. 9．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)随机变量X服从正态分布，，______． 【答案】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为随机变量服从正态分布且， 则， 所以. 故答案为：. 10．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设随机变量服从正态分布，且，若，则_______. 【答案】0.5/ 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数. 【详解】易知正态分布曲线关于对称，且， 则，所以. 故答案为：0.5 四、解答题 11．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，计算随机变量X的分布列； (2)①当时，求的概率； ②记的概率为，求的表达式． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①；② 【分析】（1）记该同学投篮2次投进次数，再结合比赛规则及概率计算求解； （2）①求出X的可能取值及对应的概率可得分布列； ②将所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得的表达式． 【详解】（1）X的可能取值为：0，1，2， ；； ； 所以，的概率分布列为 0 1 2 （2）①； ②投篮次得分为3分，有两种可能的情况： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻， 当时，情形二不可能发生， 故， 当时，情形一发生的概率为， 情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为 ， 所以 ， 又当时，也满足， 综上，. 12．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. (1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)五局三胜对甲有利，理由见解析 【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； （2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差. （3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”， 则. （2）X的所有可能取值为0，1，2， ，，. 所以期望为； 方差为； （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： . 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利. 13．(24-25高二下·重庆部分区·期末)DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 14．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． (1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ (2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； (3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． 【答案】(1)1个或4个 (2)分布列见解析，数学期望为 (3)答案见解析 【分析】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，由古典概率概率计算公式构造等式求解即可； （2）设三位观众中二等奖的人数为X，由题意确定，即可求解； （3）分有1个“哪”和4个“吒”，或有4个“哪”和1个“吒”，两类情况讨论求解. 【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个， 一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B， 则由题意得，， 所以， 因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个． （2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为， 则，， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （3）①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”， 此时获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”， 此时获奖的概率为． 15．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，完成了世界首次月球背面采样返回任务.某校为了激发同学们对探月工程的关注，该校组织了探月知识比赛，比赛分为两个阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分为高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，再回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段仅答对2个问题的选手进入低分组，再回答4个问题，每答对1个得10分，答错不得分.已知甲选手第一阶段的每个问题答对的概率都是，第二阶段，若甲选手进入高分组，每个问题答对的概率都是，若甲选手进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求甲选手第一阶段被淘汰的概率； (2)求甲选手在该次比赛得分为20的概率； (3)已知该次比赛甲选手进入了低分组，记甲选手在该次比赛中得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析； 【分析】（1）分析甲选手第一阶段被淘汰的两种情况，利用二项分布概率公式计算即得； （2）由甲选手在该次比赛得分为20，可分成进入高分组和进入低分组两种情况，分别利用二项分布概率公式计算即得； （3）由题意得到的可能取值为：，分别求出对应的概率值，列出分布列表，计算数学期望即可. 【详解】（1）甲选手第一阶段被淘汰，即甲回答的3题中，答对了0个或1个， 故其概率为：； （2）甲选手在该次比赛得分为20，包括两种情况：① 进入高分组，答对1个问题；② 进入低分组，答对2个问题. 故其概率为：； （3）依题意，甲选手在该次比赛中得分的可能取值为：， 则，，， ，. 则随机变量X的分布列为： 0 10 20 30 40 故随机变量X的数学期望为：. 16．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式，求出不同情况下的概率，进而求出有学生评为“篮球达人”的概率； （2）计算出每位同学选拔失败的概率，分析出只有前一位同学选拔失败，后一位同学开始投篮，根据独立事件乘法公式求出分布列； （3）分析总共进行6次投篮之后游戏结束的具体情况，逐一求出事件的概率，进而计算出结果. 【详解】（1）当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为： . （2）依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则， ，其中，， 的分布列为 1 2 3 … （3）由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 地 城 考点05 成对数据的统计分析 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【详解】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 2．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（    ） 1 2 3 4 0 4 7 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】计算出，，可知线性回归直线一定过，从而求出. 【详解】由题可知，， 则； 又在线性回归直线上，则， 所以，故. 故选：A. 3．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】求出样本中心点，再将其代入回归方程中即可. 【详解】由题意得，， 将点代入中有，即. 故选：D 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)下列命题为真命题的有（   ） A．若，则 B．若且，则 C．一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D．变量与的回归方程为，若观测数据中均值为1，则变量均值为1 【答案】AD 【分析】根据正态分布的性质、方差的性质、百分位数的计算方法以及回归方程的性质来逐一分析选项. 【详解】对于选项A： 因为，根据正态分布的对称性可得，，所以A正确； 对于选项B： 根据方差公式可知，所以B错误； 对于选项C： 因为，所以第40百分位数为第3项数据，即17，所以C错误； 对于选项D： 因为回归方程过样本中心点，所以当时，，所以D正确. 故选：AD. 5．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)下列说法正确的是（   ） A．的值越大，两个事件的相关性就越大 B．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 C．已知，则， D．设a，则，“”是“且”的必要不充分条件． 【答案】CD 【分析】由独立性检验的相关知识可判断A；根据线性相关性与相关系数的关系可判断B，根据二项分布的方差公式判断C；根据必要不充分条件定义判断D. 【详解】对于A，在一个2×2列联表中，由计算得的值，的值越大，两个变量相关的把握越大，故A错误； 对于B，具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，则甲组数据的线性相关性更强，B错误； 对于C，因为随机变量，则，方差，故C正确； 对于D：因为当时，满足“”不能得出“且”， 且可以得出，所以“”是“且”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：CD 三、填空题 6．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)我区物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为_________. 【答案】 【分析】根据题意，令时，求得，结合残差的概念，即可求得样本点的残差，得到答案. 【详解】由关于的回归方程为，且样本点， 当时，可得，所以残差为. 故答案为：. 四、解答题 7．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)近年来，中国的新能源汽车产业展现出迅猛的发展势头，已然跃升为全球最大的新能源汽车市场．该产业涵盖了电动汽车、插电式混合动力汽车以及燃料电池汽车等多种类型．在电池技术、电机和电控系统等领域，中国的新能源汽车产业取得了引人瞩目的成就．现有一汽车测评栏目为了评估某品牌纯电动汽车的实际续航能力，进行了一系列试验，并收集了相应的数据，详见下表． 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 (1)根据最小二乘法，计算y关于x的回归方程； (2)根据你得到的一元线性回归模型，预测速度为时，该电动汽车的续航里程； (3)计算5组数据的残差，并计算残差之和． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，． 【答案】(1) (2) (3)残差见解析，残差和为0 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）代入回归方程中即可求解， （3）根据残差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，， ， ， 故y关于x的线性回归方程为； （2）根据（1）所求的回归方程，当时，， 所以电动汽车的续航里程为； （3）由（1）可列表 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 预测值 4.42 4.21 4 3.79 3.58 残差 0 0.11 残差之和为． 8．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)近年来，全国各地出现了多起电信诈骗案件，为了加强全国人民的防诈意识，构建和谐安全的社会环境，某市公安局组织宣传防诈小分队进行防诈法律法规宣传，该宣传小分队记录了10周以来普及的人数，得到下表： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 85 105 130 150 185 195 220 230 320 380 并计算得，，． (1)从这10周的数据中任选3周的数据，以X表示3周中每周普及宣传人数不少于210的周数，求X的分布列和数学期望； (2)试用上表数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程，并预测第18周大约能普及多少人？（、精确到0.1）． 附：线性回归方程中，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.2 (2)，570人 【分析】（1）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望； （2）求得线性回归方程，将代入回归直线方程，可得出结果． 【详解】（1）由题可知，每周普及宣传人数不少于210的有4周，可取， 则，，，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为． （2）， ， 所以线性回归方程， 当时，， 所以预测第18周大约能普及570人． 9．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：      是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析， 【分析】(1)根据列联表及所给公式计算出，对照附表做出相应判断. (2)用列联表中所给的频数，算出相应频率，并以此估计概率.显然，服从二项分布，据此可写出其分布列，并求出其数学期望. 【详解】（1）解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 由题知. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. （2）由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 则的分布列如下 0 1 2 3 故的数学期望. 10．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样. (1)填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值； 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 阴性 合计 (2)根据小概率值的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析， (2)有关，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接填出列联表并计算出概率； （2）提出零假设，代入公式计算出的值，与参考值进行比较推断原假设是否成立，即可得出结论. 【详解】（1）根据试验结果得列联表： 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 90 5 95 阴性 10 95 105 合计 100 100 200 检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，所以的估计值为. （2）零假设为：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无关， 根据列联表数据计算得 . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关， 此推断犯错误的概率不超过0.001. 11．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； (2)采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想，计算，即可判断是否有关联； （2）随机变量服从二项分布，根据古典概型概率公式，求出每次抽取的人爱好该运动的概率，根据二项分布性质，求出分布列，计算出期望. 【详解】（1）设：爱好某项体育运动与性别无关， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为爱好某项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由题知、从男生中随机选取1人，爱好该项运动的概率为，即， 所以， 即，， ，， ， 其分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 12．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)近年来，我国青少年面临日益沉重的学业压力，加之电子设备的普及和户外活动时间的缩减，这些因素共同作用导致了青少年近视和脊柱侧弯问题的日益凸显．在近视率居高不下的背景下，中小学生中脊柱侧弯患者数量每年以约三十万例的速度递增．某机构为了研究青少年脊柱侧弯与近视之间是否存在相关性，随机选取了200名青少年进行统计，已知近视率为，脊柱侧弯率为． (1)根据上述信息完成下列列联表； 视力正常 近视 合计 脊柱正常 115 脊柱侧弯 5 合计 200 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为脊柱侧弯与近视有关联？并解释得到的结论． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：，其中． 【答案】(1)列联表见解析 (2)认为脊柱侧弯与近视有关联，解释见解析 【分析】（1）根据频率即可求解， （2）计算卡方，即可与临界值比较作答. 【详解】（1）由于近视率为，脊柱侧弯率为，故近视人数为，脊柱侧弯人数为， 列联表 视力正常 近视 合计 脊柱正常 35 115 150 脊柱侧弯 5 45 50 合计 40 160 200 （2）零假设为： ：脊柱侧弯与近视之间无关联 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为脊柱侧弯与近视有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 13．(24-25高二下·重庆部分区·期末)为了解高二学生整理错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未整理错题的各40名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1、如图2的频率分布直方图，并且已知高二学生3次数学考试成绩的总体平均分为110分．    图1每天整理错题学生的平均分分布    图2未每天整理错题学生的平均分分布 (1)依据频率分布直方图，完成以下列联表； 成绩不低于总体平均分 成绩低于总体平均分 合计 每天整理错题 未每天整理错题 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体平均分是否与每天整理数学错题有关． 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析； (2)数学成绩不低于总体平均分与每天整理数学错题有关. 【分析】（1）由图1和图2依次计算出成绩不低于和低于总体平均分的人数即可得列联表； （2）先进行零假设和计算卡方值，再依据小概率值的独立性检验即可得出结论. 【详解】（1）由图1可得每天整理错题学生成绩不低于总体平均分的人数有名， 则每天整理错题学生成绩低于总体平均分的人数有12名， 由图2得未每天整理错题学生成绩不低于总体平均分的人数有名， 则未每天整理错题学生成绩低于总体平均分的人数有30名， 所以得列联表如下： 成绩不低于总体平均分 成绩低于总体平均分 合计 每天整理错题 28 12 40 未每天整理错题 10 30 40 合计 38 42 80 （2）零假设数学成绩不低于总体平均分与每天整理数学错题无关， 由（1）可得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩不低于总体平均分与每天整理数学错题有关. 14．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)重庆八中渝北校区有俭园、味园两个食堂． (1)随机询问110名学生在就餐时的选择偏好，得到如表所示的抽样数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为在不同食堂就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐地点 俭园 味园 男 40 20 女 20 30 (2)现从选择在俭园就餐的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)能认为在不同食堂就餐与学生性别有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题目数据完成列联表，然后计算卡方，与临界值比较即可得出结论； （2）根据分层抽样得到抽取人中，男生有人，女生有人，然后利用超几何分布列概率公式求解分布列进而求期望即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 就餐地点 合计 俭园 味园 男 女 合计 零假设为：在不同食堂就餐与学生性别无关联． 计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 在犯错误的概率不超过的前提下认为在不同食堂就餐与学生性别有关联． （2）在抽样的人中，男生有人，女生有人，比例是， 从而分层抽样抽取人中，男生有人，女生有人， 则的可能取值为，，，， 从而， ， 则的分布列为 所以． 15．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)为增强学生体质，某校大力倡导学生周末参加体育锻炼，一段时间后，该校随机抽取180名学生了解周末体育锻炼达标情况，其中抽取男生100人，体育锻炼达标有90人，抽取女生80人，体育锻炼达标有65人. (1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关？ 达标 未达标 合计 男生 女生 合计 (2)现从抽取的周末体育锻炼未达标的学生中按男生和女生比例分层抽取5人，再从这5人中随机抽取3人了解其周末参加体有锻炼的情况，设抽取的3人中女生人数为，求的数学期望. 参考公式及参考数据： ，. 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有关联 (2) 【分析】（1）完成列联表，计算卡方值并与对应的小概率值比较即得结论； （2）先求出抽样比，确定抽取的5人中，男生2人，女生3人，得到的可能值有1，2，3，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）依题意，完成下列2×2列联表如下： 达标 未达标 合计 男生 90 10 100 女生 65 15 80 合计 155 25 180 零假设学生周末体育锻炼达标情况与性别没有关联， 因， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即可以认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关联. （2）由（1）中列联表知体育锻炼未打标的男生与女生的人数比为， 则抽取的5人中，男生2人，女生3人，从这5人中随机抽取的3人中女生人数为的可能值有1，2，3， 故， ， ， 则随机变量的分布列为： 1 2 3 故的数学期望为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04计数原理和统计概率 5大高频考点概览 地 城 考点01 计数原理和排列组合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D C C B B A B A C B 12．/ 13．18 14．【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，结合端点值，即可证明； （2）①根据古典概型概率公式，结合分步计数原理，即可求解； ②根据①的结果，再结合基本不等式，证明；再根据（1）的过程，结合函数的单调性可知，，最后结合不等式放缩，即可证明. 【详解】（1）， 所以在上单调递增，所以； （2）①； ②先证明，， ， . 再证明， 由（1）可知在上单调递增， 则，即， 化简可得，即， 又因为，所以， 综上可得：. 地 城 考点02 二项式定理 1. A BD 3．1 4．15 5．55. 6．【答案】（1）和；（2） 【分析】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大，根据二项式展开式的通项公式即可求解； （2）根据题意利用赋值法，令得①，令得②，①②得③，①③即可求解. 【详解】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大， ∴的展开式中二项式系数最大的项为，， ∴的展开式中二项式系数最大的项为和. （2）∵， ∴令得①， 令得②， ①②得，∴③， ①③得. 即的值为. 地 城 考点03 条件概率和全概率公式 1 2 3 4 5 6 B B D C B ACD 7．. 8． 9．. 10．/ 11．【答案】(1) (2)（且），证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【详解】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 12．【答案】(1) (2)（i）;（ii）能完成 【分析】（1）利用分布列概率和等于1求得； （2）（i）根据已知分布列，结合其满足的两个条件，先求得，再利用分布列的概率之和为1求得； （ii）利用全概率公式求得 ， ，利用导数研究其单调性进而证得对任意，有 . 【详解】（1）随机变量 表示一个家庭安装智能灯泡的数量，其分布列概率和等于1， ∴，，，； （2）（i）由于 取离散整数值，分析条件 ， 故：， 概率总和为 1：，代入得， 解得； （ii）事件：一个家庭单月节省电量总和至少为 4 度，即总节省电量 . 总节省电量 ，其中 独立同分布于 ， 与 独立. 由（1）知，故 的分布为：，，，， 计算 ： 若，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若，则，需. 计算 ： ：，概率 ： 或 ，概率 ， 故，所以 ， 若，则，需. 计算 ： 仅当所有 ，概率 ， 故， 则： . 设函数 ， . 求导得， 令，则，为开口向下的抛物线， ∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵，∴存在唯一的实数，使得，且内，单调递增，内，单调减， 又∵当 ，， 当 ，， ∴在 内 恒成立， 因此，对任意，有 ，即政府目标总能完成. 13．【答案】(1)，策略更优 (2)（i），；（ii） 【分析】（1）将所有情况一一列出，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）（i）分、、三种情况讨论，结合条件概率的定义求解即可； （ii）根据全概率公式求出，再利用定义法判断数列的增减性或由即可求出. 【详解】（1）由于，假设小明对三款产品的喜爱程度分别为：高、中、低，其排序共有种情况，采用策略后购买的结果列表如下： 参考组 候选组 结果 第1款 第2款 第3款 购买款式 高 中 低 低 高 低 中 中 中 高 低 高 低 高 中 高 中 低 高 高 低 中 高 中 故小明购买到最喜欢产品的情况有3种，故， 又易知，故策略更优． （2）（i）显然，， 表示在小明最喜爱的文创产品位于第个店里的情况下，最终购买到最喜爱文创产品的概率， 当时，即小明最喜爱文创产品位于参考组时，不可能购买到最喜爱文创产品， 故； 当时，小明一定能购买到最喜爱文创产品，即； 当时，小明要购买到最喜爱文创产品，则需要前款产品中喜爱度最高的产品在参考组中，这样第款产品就会是第一个“比参考组都更好”的产品，从而被选中， 又因在前款产品中喜爱度最高的产品出现在哪一家是等可能的， 其落在参考组的概率为，故； 综上，； （ii）由全概率公式得 ， 由题得，故下标满足，， 解法1：若，则， 则， 则，即， 由于，故， 故当时，，即有， 当时，，即有， 故时最大； 解法2：要使得最大，需要满足，解得， 余下同解法1. 地 城 考点04 随机变量及其分布 1 2 3 4 5 6 C B A B ABD ABC 7．. 8．2. 9．. 10．0.5/ 11．【答案】(1)分布列见解析 (2)①；② 【分析】（1）记该同学投篮2次投进次数，再结合比赛规则及概率计算求解； （2）①求出X的可能取值及对应的概率可得分布列； ②将所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得的表达式． 【详解】（1）X的可能取值为：0，1，2， ；； ； 所以，的概率分布列为 0 1 2 （2）①； ②投篮次得分为3分，有两种可能的情况： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻， 当时，情形二不可能发生， 故， 当时，情形一发生的概率为， 情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为 ， 所以 ， 又当时，也满足， 综上，. 12．【答案】(1) (2) (3)五局三胜对甲有利，理由见解析 【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； （2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差. （3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”， 则. （2）X的所有可能取值为0，1，2， ，，. 所以期望为； 方差为； （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： . 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利. 13．【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)万元 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）首先设为经过培训合格的人数，且，根据题意求所有员工每年创造的利润，再代入公式年利润公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）设为经过培训合格的人数，，，不合格人数为， 员工为公司创造的利润为万元， 则万元， 公司的年利润为万元. 所以估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元. 14．【答案】(1)1个或4个 (2)分布列见解析，数学期望为 (3)答案见解析 【分析】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个，由古典概率概率计算公式构造等式求解即可； （2）设三位观众中二等奖的人数为X，由题意确定，即可求解； （3）分有1个“哪”和4个“吒”，或有4个“哪”和1个“吒”，两类情况讨论求解. 【详解】（1）设标有“悟”字样的小球有个，标有“哪”字样的小球有个， 一位观众获一等奖为事件A，获二等奖为事件B， 则由题意得，， 所以， 因为或2；解得或4．所以标有“哪”字样的小球可能有1个或4个． （2）由（1）知，某一位观众中二等奖的概率为，设三位观众中二等奖的人数为， 则，， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （3）①若有1个“哪”和4个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是至少1个“吒”， 此时获奖的概率为． ②若有4个“哪”和1个“吒”，在已经抽到了一个“哪”的条件下，仍能获奖，那么另外抽到的2个小球，要么是组成“悟空”，或者是有1个“吒”， 此时获奖的概率为． 15．【答案】(1) (2) (3)分布列见解析； 【分析】（1）分析甲选手第一阶段被淘汰的两种情况，利用二项分布概率公式计算即得； （2）由甲选手在该次比赛得分为20，可分成进入高分组和进入低分组两种情况，分别利用二项分布概率公式计算即得； （3）由题意得到的可能取值为：，分别求出对应的概率值，列出分布列表，计算数学期望即可. 【详解】（1）甲选手第一阶段被淘汰，即甲回答的3题中，答对了0个或1个， 故其概率为：； （2）甲选手在该次比赛得分为20，包括两种情况：① 进入高分组，答对1个问题；② 进入低分组，答对2个问题. 故其概率为：； （3）依题意，甲选手在该次比赛中得分的可能取值为：， 则，，， ，. 则随机变量X的分布列为： 0 10 20 30 40 故随机变量X的数学期望为：. 16．【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式，求出不同情况下的概率，进而求出有学生评为“篮球达人”的概率； （2）计算出每位同学选拔失败的概率，分析出只有前一位同学选拔失败，后一位同学开始投篮，根据独立事件乘法公式求出分布列； （3）分析总共进行6次投篮之后游戏结束的具体情况，逐一求出事件的概率，进而计算出结果. 【详解】（1）当时有学生评为“篮球达人”分为三种情况： 第一位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮失败且第二位同学通过选拔，第一位同学第一次投篮成功但第二次投篮失败且第二位同学通过选拔，三种情况概率为： . （2）依题意，随机变量的取值为.设单名学生评为“篮球达人”的概率为，则，单名学生被淘汰的概率为，则， ，其中，， 的分布列为 1 2 3 … （3）由于投篮的总次数恰为6次，，故最后一名同学必定连续投入两个球，获得“篮球达人”称号.故前4次投篮没有同学两次连续投进，最后一名同学两次均投中.故前4次每个人投篮的结果只有两种：结果一：“第一投没进”，其概率为.结果二：“第一投进，第二投没进”，其概率为. 设结果一有个，结果二有个，则. 解得，或，或，. 当，时，排列方法只有1种，对应的概率为， 当，时，排列方法有，对应的概率为， 当，时，排列方法有1种，对应的概率为. 则投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率为. 地 城 考点05 成对数据的统计分析 1 2 3 4 5 C A D AD CD 6．. 7．【答案】(1) (2) (3)残差见解析，残差和为0 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）代入回归方程中即可求解， （3）根据残差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，， ， ， 故y关于x的线性回归方程为； （2）根据（1）所求的回归方程，当时，， 所以电动汽车的续航里程为； （3）由（1）可列表 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 预测值 4.42 4.21 4 3.79 3.58 残差 0 0.11 残差之和为． 8．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.2 (2)，570人 【分析】（1）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望； （2）求得线性回归方程，将代入回归直线方程，可得出结果． 【详解】（1）由题可知，每周普及宣传人数不少于210的有4周，可取， 则，，，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为． （2）， ， 所以线性回归方程， 当时，， 所以预测第18周大约能普及570人． 9．【答案】(1)有关 (2)分布列见解析， 【分析】(1)根据列联表及所给公式计算出，对照附表做出相应判断. (2)用列联表中所给的频数，算出相应频率，并以此估计概率.显然，服从二项分布，据此可写出其分布列，并求出其数学期望. 【详解】（1）解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 由题知. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. （2）由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 则的分布列如下 0 1 2 3 故的数学期望. 10．【答案】(1)列联表见解析， (2)有关，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接填出列联表并计算出概率； （2）提出零假设，代入公式计算出的值，与参考值进行比较推断原假设是否成立，即可得出结论. 【详解】（1）根据试验结果得列联表： 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 90 5 95 阴性 10 95 105 合计 100 100 200 检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，所以的估计值为. （2）零假设为：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无关， 根据列联表数据计算得 . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关， 此推断犯错误的概率不超过0.001. 11．【答案】(1)有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想，计算，即可判断是否有关联； （2）随机变量服从二项分布，根据古典概型概率公式，求出每次抽取的人爱好该运动的概率，根据二项分布性质，求出分布列，计算出期望. 【详解】（1）设：爱好某项体育运动与性别无关， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为爱好某项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由题知、从男生中随机选取1人，爱好该项运动的概率为，即， 所以， 即，， ，， ， 其分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 12．【答案】(1)列联表见解析 (2)认为脊柱侧弯与近视有关联，解释见解析 【分析】（1）根据频率即可求解， （2）计算卡方，即可与临界值比较作答. 【详解】（1）由于近视率为，脊柱侧弯率为，故近视人数为，脊柱侧弯人数为， 列联表 视力正常 近视 合计 脊柱正常 35 115 150 脊柱侧弯 5 45 50 合计 40 160 200 （2）零假设为： ：脊柱侧弯与近视之间无关联 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为脊柱侧弯与近视有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 13．【答案】(1)列联表见解析； (2)数学成绩不低于总体平均分与每天整理数学错题有关. 【分析】（1）由图1和图2依次计算出成绩不低于和低于总体平均分的人数即可得列联表； （2）先进行零假设和计算卡方值，再依据小概率值的独立性检验即可得出结论. 【详解】（1）由图1可得每天整理错题学生成绩不低于总体平均分的人数有名， 则每天整理错题学生成绩低于总体平均分的人数有12名， 由图2得未每天整理错题学生成绩不低于总体平均分的人数有名， 则未每天整理错题学生成绩低于总体平均分的人数有30名， 所以得列联表如下： 成绩不低于总体平均分 成绩低于总体平均分 合计 每天整理错题 28 12 40 未每天整理错题 10 30 40 合计 38 42 80 （2）零假设数学成绩不低于总体平均分与每天整理数学错题无关， 由（1）可得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为数学成绩不低于总体平均分与每天整理数学错题有关. 14．【答案】(1)能认为在不同食堂就餐与学生性别有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题目数据完成列联表，然后计算卡方，与临界值比较即可得出结论； （2）根据分层抽样得到抽取人中，男生有人，女生有人，然后利用超几何分布列概率公式求解分布列进而求期望即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 就餐地点 合计 俭园 味园 男 女 合计 零假设为：在不同食堂就餐与学生性别无关联． 计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 在犯错误的概率不超过的前提下认为在不同食堂就餐与学生性别有关联． （2）在抽样的人中，男生有人，女生有人，比例是， 从而分层抽样抽取人中，男生有人，女生有人， 则的可能取值为，，，， 从而， ， 则的分布列为 所以． 15．【答案】(1)有关联 (2) 【分析】（1）完成列联表，计算卡方值并与对应的小概率值比较即得结论； （2）先求出抽样比，确定抽取的5人中，男生2人，女生3人，得到的可能值有1，2，3，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，列出分布列，计算数学期望即可. 【详解】（1）依题意，完成下列2×2列联表如下： 达标 未达标 合计 男生 90 10 100 女生 65 15 80 合计 155 25 180 零假设学生周末体育锻炼达标情况与性别没有关联， 因， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即可以认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关联. （2）由（1）中列联表知体育锻炼未打标的男生与女生的人数比为， 则抽取的5人中，男生2人，女生3人，从这5人中随机抽取的3人中女生人数为的可能值有1，2，3， 故， ， ， 则随机变量的分布列为： 1 2 3 故的数学期望为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04计数原理和统计概率 5大高频考点概览 考点01计数原理和排列组合 考点02二项式定理 考点03条件概率和全概率公式 考点04随机变量及其分布 考点05成对数据的统计分析 地 城 考点01 计数原理和排列组合 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、营销、仓储物流、客户服务等内容.某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、营销、仓储物流、客户服务4个项目进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为A，B，C三个等级，则甲服务商的4项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为（   ） A．24 B．120 C．256 D．625 2．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 3．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，第二个数是6的概率为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)将个类节目和个类节目编制成节目单，则前个有类节目的不同排列方式有（    ） A．144种 B．432种 C．576种 D．720种 5．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（   ） A．36种 B．72种 C．98种 D．108种 6．(24-25高二下·重庆部分区·期末)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩，如果物理和历史恰有1门被选，那么不同的选法共有（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 7．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式（    ） A．42 B．45 C．48 D．51 8．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·重庆西南大学附属中学校·期末)某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 10．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是： 为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个． A．180 B．240 C．300 D．360 11．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)在西安高新第一中学与重庆市巴蜀中学校联合举办的“巴山渭水”学术文化交流周中，来自两校的“山城”、“火锅”、“秦俑”三位同学报名参加“麻辣算法社”、“雾都桥梁社”、“秦汉数字考古社”、“羊肉泡馍化学社”，已知每人参加两个社团，每个社团至少一人参加，三人不能同时参加一个社团，则符合条件的不同报名方式有（   ） A．162种 B．90种 C．81种 D．45种 二、填空题 12．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)在一个盒子中装有6个大小形状均相同的号码球，编号分别为1、2、3、4、5、6.李华每次从中有放回地随机摸一个号码球，记下每一次的号码，记第次取出的号码为，则使方程有解的概率为_________.（用分数表示） 13．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有________种． 三、解答题 14．(24-25高二下·重庆部分区·期末)回答下面两个题： (1)设函数，证明：当； (2)从编号1到20的20张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽取的10个号码互不相同的概率为． ①求概率；（直接列出式子，可以不化简） ②证明：． 地 城 考点02 二项式定理 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知一组数据为，若为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（    ） A．-80 B．-24 C．24 D．80 二、多选题 2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 三、填空题 3．(24-25高二下·重庆部分区·期末)二项式的展开式中各项的系数和为______． 4．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知，则__________． 5．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)的展开式中，含项的系数为__________. 四、解答题 6．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)（1）求的展开式中二项式系数最大的项； （2）已知．求的值． 地 城 考点03 条件概率和全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（   ） A．0.3 B． C． D．0.4 3．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 4．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·重庆部分区·期末)两批同种规格的产品，第一批占，次品率；第二批占，次品率，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为（    ） A．0.042 B．0.044 C．0.046 D．0.048 二、多选题 6．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（   ） A．和互斥 B．和独立 C． D． 三、填空题 7．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)某企业有9台制衣机器，这些机器中有4台是不会出现故障的，且在剩下的5台机器中，有3台机器不会出现故障的概率为，其余2台机器不会出现故障的概率为，则从这9台机器中任抽1台，不会出现故障的概率为________． 8．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 9．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 10．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)将一枚骰子抛掷2次，记事件“第一次抛出的点数是4点”，“两次抛掷的点数之和大于7”，则________． 四、解答题 11．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 12．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)某市推广智能家居节能计划，调研发现一个家庭安装智能灯泡的数量X（单位：个）的分布列为： X 0 1 2 3 P 其中，.每个家庭安装智能灯泡的个数是相互独立的.记事件A：一个家庭单月节省电量总和至少为4度.若事件A发生，则认为该家庭完成节能目标. (1)求m与p的比值； (2)每个智能灯泡互不影响，且每个智能灯泡每月节省的电量Y（单位：度）的分布列如下（，）； Y 1 2 3 4 5 P 其概率满足下列条件： ①（）；②. （ⅰ）求，的值； （ⅱ）若政府希望有30%以上的家庭完成节能目标（即），试问：对任意的，该目标能否完成？请说明理由. 13．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长，重庆某区为吸引游客，在一条古街的家商店中分别售卖款不同的文创产品（每家店仅售一款）．假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较．小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头（即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择）．为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略： 策略：直接购买第一家店里的文创产品； 策略：如图所示，先将遇到前款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组，参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品． 设小明通过策略购买到最喜爱文创产品的事件为，事件发生的概率为． (1)若，求的值，并比较策略和的优劣； (2)设，设小明最喜爱文创产品位于第个店里的事件为， （i）写出的值和表达式； （ii）已知有9款文创产品，求使最大的值． 参考数据：． 地 城 考点04 随机变量及其分布 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 2．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)若随机变量X服从正态分布，已知，则（   ） A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（   ） A．75辆 B．85辆 C．100辆 D．120辆 4．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)设某品种芒果单果质量为ξ（单位：g）近似服从正态分布，现有该品种芒果20000个，估计单果质量在320g到360g之间的芒果个数约为（    ） 附：若，则，，． A．1574 B．3148 C．5436 D．6296 二、多选题 5．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知离散型随机变量分布列如下表所示（    ） 0 1 2 0.2 A． B． C． D． 三、填空题 7．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)已知随机变量，则______________. 8．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)若随机变量，若，则_______. 9．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)随机变量X服从正态分布，，______． 10．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)设随机变量服从正态分布，且，若，则_______. 四、解答题 11．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，计算随机变量X的分布列； (2)①当时，求的概率； ②记的概率为，求的表达式． 0 1 2 12．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. (1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 13．(24-25高二下·重庆部分区·期末)DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织A，B两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工经过培训后合格的概率为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，且公司每年为参加培训的每位员工支付2万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门经培训后创造的年利润（公司年利润=员工创造的利润-其他成本和费用）． 14．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)某影城举办周年庆典抽奖活动，具体规则如下：在一个不透明的容器内，共有8个颜色大小相同的小球，每个小球上都标有一个字，其中标有“悟”“空”字样的小球共3个，标有“哪”“吒”字样的小球共5个．每位观众将从容器中一次性抽取2个小球，若所抽小球上的文字组合为“悟空”则获一等奖，若组合为“哪吒”则获二等奖．已知每位观众获二等奖的概率是其获一等奖概率的两倍． (1)其中标有“哪”字样的小球可能有多少个？ (2)若有三位观众参加抽奖活动，求中二等奖人数的分布列和数学期望； (3)为提高观众的参与度，影城允许观众一次性抽3个小球，获奖规则不变．若已知某位观众抽到了一个“哪”，求他获奖的概率． X 0 1 2 3 P 15．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，完成了世界首次月球背面采样返回任务.某校为了激发同学们对探月工程的关注，该校组织了探月知识比赛，比赛分为两个阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分为高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，再回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段仅答对2个问题的选手进入低分组，再回答4个问题，每答对1个得10分，答错不得分.已知甲选手第一阶段的每个问题答对的概率都是，第二阶段，若甲选手进入高分组，每个问题答对的概率都是，若甲选手进入低分组，每个问题答对的概率都是. (1)求甲选手第一阶段被淘汰的概率； (2)求甲选手在该次比赛得分为20的概率； (3)已知该次比赛甲选手进入了低分组，记甲选手在该次比赛中得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 16．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)有名学生参加一种选拔“篮球达人”的投篮游戏，规则要求如下： ①第名学生进行第一次投篮，若投篮没有命中，则淘汰，接着让第名学生投篮； ②若第名学生第一次投篮命中，则继续进行第二次投篮，若第二次投篮失败，则淘汰，接着让第名学生投篮；若第k名学生第二次投篮命中，即确认为成功，评为“篮球达人”，且后面所有学生停止比赛，游戏结束； ③若这n名学生按照要求全部参加完比赛，无论是否有人成功，游戏结束； ④每名学生第一次投篮命中率为，第二次投篮命中率为，每次投篮过程相互独立. (1)当时，求有学生评为“篮球达人”的概率； (2)记随机变量为进行了投篮的学生人数，求的分布列； (3)已知，若一名学生第一次投篮失败，记该学生投篮一次；若一名学生第一次投篮命中，无论第二次投篮是否命中，都记该学生投篮2次.求投篮的总次数恰为6次时，游戏结束的概率. 1 2 3 … 地 城 考点05 成对数据的统计分析 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（    ） 1 2 3 4 0 4 7 A．2 B．3 C．4 D．5 3．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)下列命题为真命题的有（   ） A．若，则 B．若且，则 C．一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D．变量与的回归方程为，若观测数据中均值为1，则变量均值为1 5．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)下列说法正确的是（   ） A．的值越大，两个事件的相关性就越大 B．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 C．已知，则， D．设a，则，“”是“且”的必要不充分条件． 三、填空题 6．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)我区物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为_________. 四、解答题 7．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)近年来，中国的新能源汽车产业展现出迅猛的发展势头，已然跃升为全球最大的新能源汽车市场．该产业涵盖了电动汽车、插电式混合动力汽车以及燃料电池汽车等多种类型．在电池技术、电机和电控系统等领域，中国的新能源汽车产业取得了引人瞩目的成就．现有一汽车测评栏目为了评估某品牌纯电动汽车的实际续航能力，进行了一系列试验，并收集了相应的数据，详见下表． 速度 6 7 8 9 10 续航里程 4.4 4.2 4 3.9 3.5 (1)根据最小二乘法，计算y关于x的回归方程； (2)根据你得到的一元线性回归模型，预测速度为时，该电动汽车的续航里程； (3)计算5组数据的残差，并计算残差之和． 参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，． 8．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)近年来，全国各地出现了多起电信诈骗案件，为了加强全国人民的防诈意识，构建和谐安全的社会环境，某市公安局组织宣传防诈小分队进行防诈法律法规宣传，该宣传小分队记录了10周以来普及的人数，得到下表： 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 85 105 130 150 185 195 220 230 320 380 并计算得，，． (1)从这10周的数据中任选3周的数据，以X表示3周中每周普及宣传人数不少于210的周数，求X的分布列和数学期望； (2)试用上表数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程，并预测第18周大约能普及多少人？（、精确到0.1）． 附：线性回归方程中，． 0 1 2 3 9．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：      是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 10．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样. (1)填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值； 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 阴性 合计 (2)根据小概率值的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 11．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； (2)采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 0 1 2 3 4 12．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)近年来，我国青少年面临日益沉重的学业压力，加之电子设备的普及和户外活动时间的缩减，这些因素共同作用导致了青少年近视和脊柱侧弯问题的日益凸显．在近视率居高不下的背景下，中小学生中脊柱侧弯患者数量每年以约三十万例的速度递增．某机构为了研究青少年脊柱侧弯与近视之间是否存在相关性，随机选取了200名青少年进行统计，已知近视率为，脊柱侧弯率为． (1)根据上述信息完成下列列联表； 视力正常 近视 合计 脊柱正常 115 脊柱侧弯 5 合计 200 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为脊柱侧弯与近视有关联？并解释得到的结论． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：，其中． 13．(24-25高二下·重庆部分区·期末)为了解高二学生整理错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未整理错题的各40名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1、如图2的频率分布直方图，并且已知高二学生3次数学考试成绩的总体平均分为110分．    图1每天整理错题学生的平均分分布    图2未每天整理错题学生的平均分分布 (1)依据频率分布直方图，完成以下列联表； 成绩不低于总体平均分 成绩低于总体平均分 合计 每天整理错题 未每天整理错题 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体平均分是否与每天整理数学错题有关． 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 成绩不低于总体平均分 成绩低于总体平均分 合计 每天整理错题 28 12 40 未每天整理错题 10 30 40 合计 38 42 80 14．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)重庆八中渝北校区有俭园、味园两个食堂． (1)随机询问110名学生在就餐时的选择偏好，得到如表所示的抽样数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为在不同食堂就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐地点 俭园 味园 男 40 20 女 20 30 (2)现从选择在俭园就餐的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 15．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)为增强学生体质，某校大力倡导学生周末参加体育锻炼，一段时间后，该校随机抽取180名学生了解周末体育锻炼达标情况，其中抽取男生100人，体育锻炼达标有90人，抽取女生80人，体育锻炼达标有65人. (1)完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生周末体育锻炼达标情况与性别有关？ 达标 未达标 合计 男生 女生 合计 (2)现从抽取的周末体育锻炼未达标的学生中按男生和女生比例分层抽取5人，再从这5人中随机抽取3人了解其周末参加体有锻炼的情况，设抽取的3人中女生人数为，求的数学期望. 参考公式及参考数据： ，. 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $