河北省博野中学、涞源县第一中学2025-2026学年高一创新班下学期5月期中质量检测数学试题

25级创新班5月质量检测·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A因为直线ax-by一1=0的倾斜角为，所以分=tan=5.故选A 2.B由题知点Q在坐标平面Oy2内的射影的坐标为(0,2,4)，则1OQ1=√22+4=25.故选B. 3.D由题意得(-2)2+4-4a>0,解得a<5.故选D. 2m-3>0, 4C若方程7产十与亡1表示脑圆则8如好 3y2 解得号<m<3且m≠2故选C 2m-3≠3-m 5.B由题知b2=16,2c=10,所以a2=c2-62=9,a=3.由双曲线的定义，知AF1-[AF21=2a=6,解得 |AF2=13或AF2|=1.又|AF2|≥c-a=2,所以|AF2|=1舍去，所以|AF2|=13.故选B. 6.DAD-O°-OA,得(x+1)OA+O+}元-O市=0.又点P,A,B,C四点共面，所以(x+1D++ 4 子-1=0，解得x=一是故选D 5 7.B易知点M,N关于x轴对称，令∠MFF=a,cos2a=i3cosa= b y 0x 合(1+是)-号sira-青amra=号tama= 3· y b (x-c) a I- bc 3 a y-2a' 8.A由题可知|PB1+PB2=|PF1|+|PF2|=26,所以点P同时也在以B1,B2为焦点，长轴长为 26的椭圆上，其椭圆方程为C:苦十千=1(0<6<万).联立 +芳=1， 即 、22 6 6-62=1, 62+(6)=66-2)即6-+6y2 bx2+6y2=6b, =。”正·6的，两式相加可 (6.x2+(6-b2)y2=6(6-b), 得+(+y)=+6(6-),则2+y少=1226- 6-b b-6b2+36 12的。2=2-55当分=3时+y的最小值为4，即 b-6b2+36 |OP|的最小值为2.故选A. 9.AB设直线的方程为x2y十x=0,则，2间的距离d=1一2。一=5，解得X=6,或=一4，所 √12+(-2)2 以直线2的方程为x一2y十6=0或x一2y4=0.故选AB 10.ABD圆C2可化为x2+y2一6x-10y+18=0,圆C和圆C2的方程作差可得AB的方程为3.x+5y-11= 0,A正确：圆心C(0,0)到直线3x+5y11=0的距离为3干家=号 =所以AB=2√-（后） 俨，B正确：由题知CG1=V0一3+0=，CC⊥AB,所以四边形ACC的面积为 合1CC·AB=下，C错误：由GC=3=2+1,CC=5=4+1,得圆C与圆G和圆C都相 切，D正确.故选ABD. 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-658A 11.ABD如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,之轴建立 空间直角坐标系，则D0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(2,1,2) F(2,2,1),A(2,0,2),C(0,2,2),D(0,0,2),B(2,2,2).设点P的坐标为 (0,a,b),其中(0≤a≤2,0≤b≤2)，则AP=√a2+P+4≤√/22+22+4= 7 23,所以AP长度的最大值为25，A正确：由DE=(2,1,2),DF=(2,2,1), AP=(-2,,b),AP⊥平面DEF,得 D成.A=-4什a+26=0:解得 DF.A2=-4+2a+b=0, 所以点P的坐标为(0，专，专).因为D市=号DC,所以点P为 CD的一个三等分点，B正确：如图，延长EF分别与AB,AA相交于点T,S,连接DT,DS分别与BC, A,D,相交于点N,M,连接ME,NF,则五边形DMEFN是平面DEF截正方体ABCD-A,BCD1所得的 截面.由BF=BF,AE=-BE,得BT-BF=AS=AE,所以NC=2BN,MD,=2AM.又EF=√E,DN= MD-√2+（专）-2厘，EM=FN=√+（号）=，所以五边形DMEFN的周长为2+2× 2压+2×厅-2+23，C错误：由平面DEF的-个法向量为m=(-2,专，专)，D市=(0，a,b.设直 3 3 线DP与平面 DEF所成的角为0，则sin0=1cos〈m,DP)1= m·DP m·DP 告u+d (a+b)2 a2+2ab+b2 √4+()+（告） V17(a+b2) X/a+6 =2W17(a+) =(+)≤ 2√合(1叶需)-2叠（当且仅当a=6时取等号），D正确放选AD 17 12.(-5,一4，一1)点P(5,一4,1)关于y轴对称的点的坐标为(-5，-4，一1). 1区13因为A)B()在直线1上，所以=号十号=号+台已一云=5得 1y-2|= 2,2 =12,所以|AB|=√/(-2)2+（为-2）7=√/25+144=13. 14.4x+2y一3=0连接CE,CF,CP,则CE⊥PE,CF⊥PF,所以P,E,C,F四点在以PC为直径的圆上，圆心 为1，-1D,半径为2一1-3)牛(-2-6，其方程为x-1)+(0叶1)=5，与(-3)+y=9 两边分别作差，得4x十2y一3=0，即直线EF的方程为4x十2y一3=0. 15.解：(1)由直线1的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为一1，… 2分 又m过圆心（一2,6），则m的方程为y一6=一(x十2)，…4分 所以线段AB的中垂线方程为x+y一4=0. 6分 (2)由题意可得直线1的方程为x一y十4=0，… 8分 圆心（一2,6）到直线1的距离为：d=一2一6+4=22， 11分 √1+1 所以|AB引=2√-C=2√/42-(2√2)2=4√2. 13分 /a+b5 16.(1)解：由题意可得 2分 6 a2 46=1, 1a2=4, 解得=1： 5分 所以C的方程为一了=1.… …7分 (2)证明：设A(x,y),B(一x1,一y), 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-658A 因为点A在双曲线C上，所以号-=1，即=4-1， 10分 23y 所以k1·2= -5-x-√5+x 5-2号 5一 5- ,为定值 …15分 1.(1①解：由题知.市-1X1×吾=号A亦.A=1X1Xcas子=-Ad.=1X1Xm 2x 3 1 …2分 因为AC=AC+CC=AB+AD+AA,… …3分 所以AC1=√1AB+AD+AA12=√(AB+AD+AA) =√AB+1AD12+AA12+2AB.AD+2AB.AA+2AD.AA=√/3+1-1-=2.…6分 因为Bd-DD-Di=AA-(AB-AD)=-AB+Ad+AA,…7分 所以BD|=√|-AB+AD+AAI2=√(-AB+AD+AA) =√AB2+AD2+|AA2-2A3.AD-2AB·AA+2AD·AA=√3-1+1-1=2， 所以AC=√2，BD1=√2.… …10分 (2)证明：由题知BD=AD-AB,…11分 所以BD·AC=(AD-AB)·(AB+AD+AA) =AD.AB+ADI+AD.AA-ABI-AB.AD-AB.AA=0, 所以AC⊥BD.… 15分 18.(1)证明：如图，连接OC,交BT于点E,连接DE,…1分 因为C是TB的中点，所以TE=BE. 又BD=PD,所以DE∥PT,…2分 因为PTC平面PAT,DE吐平面PAT,所以DE∥平面PAT. 同理OE∥平面PAT…3分 因为OE∩DE=E,OE,DEC平面OED,所以平面ODE∥平面PAT. 因为CDC平面OED,所以CD∥平面APT.…4分 (2)解：以O为坐标原点，过点O在底面作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP 为x轴建立如图所示空间直角坐标系，设OA=OP=1,则O(0,0,0),A(0,一1,0)，B(0,1,0),P(0,0,1), ……………………………………5 因为A-元-，所以7(，-之0），所以市=(0,1，D,A亦=（停，，0），Bi-(,-是0）， AP·s=y十x=0, 设平面PAT的法向量为s=(x,y,),则 A7s+y=0 1 取x=1,得y=一√5，x=√5，所以平面 PAT的一个法向量s=(1,一√3，W3),… …7分 设直线BT与平面PAT所成角为a,则sina= B7·sL=23=27 BT1·|s3×√771 即直线BT与平面PAT所成角的正弦值为29. …9分 (3)解：设点T的坐标为(a,b,0)(a≠0)，由OT=1,得a2+=1. 设平面PAT的法向量为m=(,y,之1)，则AP=(0,1,1),AT=(a,b+1,0), AP·m=y+≈=0， A7·m=ax1+(b+1)y=0, 取=b十1，得y=a,=a, 所以平面PAT的一个法向量m=(b汁1，一a,a),……11分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-658A 设平面PBT的法向量为n=(x22,2),则B萨=(0，-1,1)，B7=(a,b-1,0), B萨·n=-为十2=0， B7.n=ax2+(b-1)2=0, 取x2=b-1,得2=一a,2=一a,所以平面PBT的一个法向量n=(b-1, a,-a).…13分 则os0=1m·7=√/6+D+2a×√6-1+2a m·n 1b62-1 √a+2b+2·/a2-2b+2 a2 a2 8 √(a2+2)2-4F√a+8a √+8√1a+8' …15分 又0d≤1，所以0<1-g行故0<osK分，当且仅当a=士16=0时.os0=子， 所以os0的最大值为好 17分 19.(1)解：根据椭圆的对称性知，仅当M,N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由4√a2+6=45,2ab=4,得a=2,b=1, 所以椭圆C的方程为十y=L.… …4分 (2)(i)证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为x=y十，M(,y),N(2y2), x=my十n, +y=消去x整理得(m十4)y十2my十一4=0， 2mn y十2= 则△=16(m2一2+4)>0， 2+4’my业=--4 4为-n24 y十2 29 m2+4' 十2=边 而A(-2,0),B(2,0),则k1=当 22一2 7分 -4.(y+2)+(n+2) 因t培会号十 2n 2n -(r-40(y+)-2n+2》业=n+2》[2)y-（n+2-g+”=3, (-4)(y1+2)-2n(n-2)y1(n-2)[(2-n)y1+(+2)y2]2-n 解得n=1, 所以直线MN:x=my十1恒过定点(1,0).…10分 1懈：由1潮=1+第=n=4得m=号+， 3 3 直线AM的方程为y=k1(x十2)，直线BN的方程为y=k2(x一2)，…12分 则k(x+2)=k2(x-2), 即十号2=3，解得x=4, x-2k1 即可得点P(xp,p)有m=4,p=千2' 6y1 同理可得点Q(xa,ya)有xQ=4,yQ 62 14分 PQI-=yQ-yP= 62 6y 62 18(2一y） x2+2 +2 my2+3 my+3 my2+3m(y+2)+9 18 2m 12 72/m+3 _18√(y2+y)一4y2 m2+4 m2+4 m2+4 =2√/m+3≥2/5， 罗+)+9 9m2 m+4+9 36 m2+4 当且仅当m=0时取等号，所以PQ1的最小值为2√3. …17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-658A25级创新班5月质量检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写请楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂，黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知直线ax-by-1=0的倾斜角为苓，则号- A.√5 B厚 C- 3 D.-√3 2.已知点Q是点P(3,2,4)在坐标平面Oyz内的射影，则1OQ= A.√13 B.2√5 C.2√6 D.5 3.已知圆C的方程为x2+y2一2x十4y十a=0,则实数a的取值范围是 A.(4,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞，4) D.(-∞，5) 已知方程Z二十与产-1表示椭圆，则实数m的取值范围是 A(侵3) B.(2,3) c(停2U2,3) D.(1,2)U(2,3) 5.已知双曲线C:导一盖-1a>0)的两个焦点分别是月，A,焦距为10，A是双曲线C上的一 点，且AF|=7,则|AF2|的值为 A.14 B.13 C.13或1 D.14或1 6.已知A,B,C三点不共线，点0在平面ABC外，点P满足A=xOi+}O+号O心，则当点 P,A,B,C四点共面时，实数x= A品 c- D-品 【高一数学第1页（共4页）】 26-L-658A ▣减 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 7,已知R,R分别为双曲线C斧-芳-1(a>0,b>0)的左，右焦点，过：作C的两条渐近线 的平行线，与渐近线交于M,N两点.若cOs∠MN=是，则C的渐近线方程为 Ay=士x B.y=士2x C=号 Dy=±x 8已知椭圆G:看+带-1(0<<6)的两个焦点分别为R,R,短轴的两个端点分别为B, B2,O为坐标原点，点P在椭圆G上，且满足|PB|+|PB2|=|PF+|PF2|.当b变化 时，OP的最小值为 A.2 B.5 C.√6 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线Z1,L2满足1∥2，且1,2间的距离为√5，若1的方程为x一2y十1=0，则2的 方程为 A.x-2y+6=0 B.x-2y-4=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0 10.已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x一3)2十(y一5)2=16相交于A,B两点，则 A.直线AB的方程为3x十5y一11=0 B.IABI=510 17 C.四边形ACBC2的面积为5√34 D.圆C3:(x一3)2+y2=1与圆C1和圆C2都相切 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别是棱A1B1,BB1的中点，点P 是正方形CDD1C内部任意一点（包括边界），则 A.AP的长度的最大值为2√3 B.若AP⊥平面DEF,则点P为CD的一个三等分点 C.平面DEF截正方体ABCD-A1B1CD1所得截面的周长为 V2+83 3 D.直线DP与平面DEF所成角的正弦值最大为2Y4 17 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点P(5,一4,1)关于y轴对称的点的坐标为 13.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线12x-5y+b=0(b∈R)上的两点，若|x1-x2|=5,则 AB= 14.已知圆C:(x一3)2+y2=9,过点P(一1，一2)作C的两条切线，切点分别为E,F,则直线 EF的方程为 【高一数学第2页（共4页）】 26-L-658A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知圆C:(x十2)2+(y一6)2=16，过点M(一4,0)作斜率为1的直线l交圆C于A,B 两点 (1)求线段AB的中垂线方程； (2)求弦AB的长， 16.(本小题满分15分) 已知离心率为号的双曲线C等-带=1(。>0,6>0)经过点P(-5,》 (1)求C的方程； (2)已知A,B是C上关于原点对称的两点，直线PA,PB的斜率分别为1，k2,求证：k1·k2 为定值 17.(本小题满分15分) 如图，在平行六面体ABCD-A1BCD中，AB=AD=AA=1,且∠BAD=S,∠AAB= ∠AAD- (1)分别求AC1,BD1的长； (2)证明：AC⊥BD. D 【高一数学第3页（共4页）】 26-L-658A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 18.(本小题满分17分) 如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径， OA=OP,T是圆O上的动点（异于点A,B),C是劣弧TB的中点，D是BP的中点. (1)证明：CD∥平面APT; (2)若AT=TC=CB,求直线BT与平面PAT所成角的正弦值； (3)若平面APT和平面BPT的夹角为0，求cos0的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知A,B分别是椭圆C:号+芳-1(a>6>0)的左右顶点，M,N是椭圆C上异于A,B的 两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为4√5，面积为4. (1)求椭圆C的方程； y (2)若MA,NB的斜率分别为k1,k2,且k2=3k1. M (ⅰ)证明：直线MN过定点； (i)若直线MA,NB交于点P,直线NA,MB交于点Q,求 |PQ的最小值. 【高一数学第4页（共4页）】 26-L-658A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效