河北石家庄市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

石家庄市第一中学 2025一2026学年度第二学期高一年级数学学科期中考试试题 命题人：孙玉秀 审核人：王璐阳 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1,已知集合A=2≤0，B=-1K3,则AUB=( A.[-3,3] B.(-3,3] c.I D.【1 【解答】解：集合A=xs0=-3<x≤，B=-1<3引， x+3 则UB=(-3,3]· 故选：B. 2.已知向量ā=(-2,4)，b=Q,x),若ā/1b,则a-b=() A.3 B.25 c.3√5 D.3√5 【解答】由ā/b得-2x=4×1,解得x=-2, 所以ā-i=(-3,6),a-=35 故选：C 3.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形OAB'C”,则原图形 OABC的面积为() B A.√2 B.5 C. D.2√2 2 高一年级数学学科试卷第1页（共4页） 【解答】由直观图可得如下平面图形： B 0 A 衣 则OA=OA=1,BC=B'C'=1,OB=20B'=2WP+1=2√2， 所以SBc=1×2W2=2√2 故选：D 4,若=(m+)+(3-m1在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是 () A.（-0,-1) B.（-1,3) C.(3,+o) D.（-0,3) 【解答】二=(m+1)+(3-m)i在复平面内对应的点为(m+1,3-m)在第二象限， +1<0 所以 3-m>0' 解得m<-1. 故选：A 5.函数fx)=sin(+)的最小正周期为() A.4π B.2π C.π 【解答】解：根据二倍角公式可得，f)=5m(c+)= 1-cos2(x+】1 4 1 sin 2x+- 41 2 2 所以T=π. 故选：C. 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 6,如图，在△ABC中，AN=}AC,M=25,若CM=AB+4C,则2+u=() B C 2 2 A. B. 9 3 C. 【解答】：在△4BC中，AN=}AC ..CN-AN-AC-IAC-AC--27 C, 3 3 又m沥，西-西--西-}4c,÷M--4c号-号4c, :cm-cw+-c+西-号4c-子484c=+uic, ,2 3 3 3 9’+u= .久二2儿=-8 282 399 故选：D 7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后 到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观 察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C两点间的距离是() A.40√2海里 B.40√5海里 C.80√5海里 D.80√2海里 【解答】由题设可得如下示意图，且∠S4B=40°，∠S4C=70°，即∠BAC=30°， 北 A →东 30 659 S 由图知：ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80, 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) sin305n45o,则BC=40√2海里 所以 BC AB 故选：A 8.已知四面体ABCD的4个面为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4,A,B,C,D 四点在同一个球面上，则该球的表面积等于() A.8π B.12π C.18π D.24π 【解答】依题意可知DA=CB=DB=AC=4,DC=AB=2. 如图，将四面体ABCD放入长方体中， B2- 设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,将四面体补形为长方体模型， x2+y2=4, x=V2, 则x2+z2-16,解得y=√2， y2+z2=16, z=V14 四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为R-+y产+E3正 2 2 故所求表面积为S=4元R2=4元× 32 =18π， 2 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列计算正确的是() 7+i A.(-8-7i(-31)）=-21+24 B. =1+i 3+4i c.i(2-i)1-2i=5 D. 5(4+i)2 =1-38i i(2+i) 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 答案ACD 【解答】(-8-7i-31)=-21+24i 7+i 3+4i =1-i i(2-i)1-21=5 54+iy=1-38i i(2+i) 10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，以下结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.若B-a=25,且△MBC只有一解，则6的取值范国是2，+) D.若cos2A>cos2B,则A<B 【解答】 A.因为AB,则a>b,由正弦定理a=b ,则sinA>sinB sinA sin B B.因为△ABC为锐角三角形，则A+B>T,所以A>元-B,由正弦定理， sin4>imC于)，又由nC写月=caB,则m1>8 C若B=,a=25,且△ABC只有一解，则b的取值范围是[2√5，+o)U3} D.若cos2A>cos2B,则1-2simA>1-2sinB,所以sinA<sinB,则A<B 故选：ABD 11.如图，在正方体ABCD-ABCD中，M是BD的中点，N是线段 CD(包括端点)上一动点，则下列说法正确的有() B A.三棱锥N-BA4的体积随着点N的位置的改变而随之变化. B.无论点N在何处，始终有BD⊥平面ACN成立. 高一年级数学学科试卷第1页（共4页） C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为O,V2. D.平面BDN截得正方体ABCD-AB,C1D的截面可能是三角形或四边形 【解答】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面BAA的距离为定值， 等于正方体ABCD-ABC1D的棱长，且直角△BA4面积为定值， 所以三棱锥N-BAA的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B B选项，平面ACN即为平面ACD,,而正方体中必有BD⊥平面ACD,;得到B正确： C选项，取CD的中点T,连接T,则MT ICD,过点N作NW⊥CD于点W, 则NWI/DD,故NW⊥平面ABCD, 所以∠MW即为直线N与平面ABCD所成角，设大小为O, 设正方体ABCD-ABC1D的棱长为2，则M=1, 设NWW=,0≤≤2， 若1≤m≤2，则CW=m,WT=-1, A B C D A B 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 由勾股定理得MW-V2+wT2=V1+(m-1)2-Vm2-2+2, tan6s☑w 1 WM√m2-2+2 22 -二+1 当m=2时，tan0取得最大值，最大值为√2， 当m=1时，tan0取得最小值，最小值为1，故tam6∈1，V2], 若=0，此时Wc平面ABCD,此时夹角为0，tanB=0, 若0<m<1,则CW=WT=1-, 由勾股定理得MW=VMT2+wT2=V1+(1-m)2=Vm2-2m+2, WN y tan= 则 WM √m2-2m+2 2-2+1 显然>日 m2>2' 此时tan0∈(0,1)， 综上，tan6∈[0，V2], 直线MW与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为O,V5,C正确： D选项，当N为CD的中点时，平面BDN截得正方体ABCD-AB,CD的截面为正△BDC1, 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) B ! B 当CN<ND时，延长DN交CC于点E,连接BE, 则△BDE即为平面BDN截得正方体ABCD-ABCD的截面， D B 当CN>ND时，延长DN交DC1于点F, 在平面ABCD上，过点F作FP平行于BD,交BC于点P,连接BP, 则四边形BDFP即为平面BDN截得正方体ABCD-AB,C1D的截面， B 故平面BDN截得正方体ABCD-ABCD的截面可能是三角形或四边形，D正确. 故选：BCD 高一年级数学学科试卷第1页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.给出下列命题： ①已知集合A={x|-2<x<2或x∈W奶，则集合A的真子集个数是4： ②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件： ③“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件： ④设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是· 【解答】解：①A={x-2<x<2,x∈N={0,1},真子集个数为2-1=3个，故①错 误： ②由x2-5x-6=0,可得x=-1或x=6, 故“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，故②错误： ③由f(x)=x2+x+a开口向上， 只需f(0)=α<0即可保证原方程有一个正根和一个负根， 故“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正 确： ④当a≠0，b=0时，ab≠0不成立；当ab≠0时，a≠0且b≠0， 故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故④正确. 故答案为：③④. 13.中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐.攒 尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正 四棱台的组合体，如图.已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为25米，65米， 侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为立方米。 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 【解答】解；图中正四棱台如图，PM的中点为S,DB的中点为R,连接PM,BD, 过P作PT⊥BD于T, B PS=1PM-6.DR=1DB=316.DT=DR-PS=26, PTDP2-DT2=1, 故图中正四棱台的体积为：V=( -+15)02+108+30-=52立方米 图中正三棱柱的体积为：S=5 ×(23)2×25=18立方米， 4 所以该结构的体积为：18+52=70立方米. 故答案为：70. 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=1, sin2A=sin2 B+sin2 C+sin BsinC 若b+c存在最大值，则正数入的取值范围是 【解答】由正弦定理，得a2=b2+c2+bc.所以b2+c2-ad=-bc. 由余弦定理，得cosA=+c2-a、-c_1 2bc 2bc21 又Ae(0,),所以A=2. 3 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 由正弦定理b=c。a25 sin B sinC sinA 3 得 6+飞=35 m8+aa6-25d9+anq-2g9osc+a-c9-25+a-nc+分 3 312 3V4 , 5 其中tanp= 2 -121-1 2 因为C∈(O,),要使b+c存在最大值，即C+p=石有解， 所p后孕，从西，55 所以正数2的取值范围为(，2). 21-13 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)计算：g5)2-1g2)2+83×1gV2-0.6°+0.21-43. (2)己知tama=-3.求sim(π-a)+cos(z+a) 一的值。 ta(-co+2in 【解答】解：(1)(0g5)2-(0g2)2+83×lgV2-0.6°+0.21-4 =0g5+g20e5-g2+2xg2-1+白-9 2 =lg10×(g5-lg2)+2lg2-1+5-9 =lg5-lg2+2lg2-5 =g5+1g2-5 =1-5=-4.6分 (2).…tana=-3, sin(π-a)+cos(π+) tam(-ce(a-④+2sn- 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) sin a-cos a sina-cosatana-1=3-1=4.. -tana(-cosa)+2cosa sina+2cos a tana+2 -3+2 16.已知a上√2,1b=1,a与6的夹角为45. (1)若2ā+3b与ta-b共线，求实数t的值： (2)求|a+2b|的值： (3)若向量(2a-b)与(2ā-3b)的夹角为锐角，求实数1的取值范围. 【解答】 【小问1详解】 因为2ā+36与a-五共线， 所以存在实数m使得2ā+3b=m(ta-b)=mta-mb, m=-3 mt=2 所以 (ms3'解得 2 t- ,所以t=- …4分 3 3 【小问2详解】 因为a上√2，|b=1,a与6的夹角为45°， 所以a-Bal6cos45°=5x1x5=l, 所以1ā+2bP=+4ā.b+462=2+4+4=10, 则川a+2b=√10；… …9分 【小问3详解】 向量(2a-b)与(2ā-3b)的夹角是锐角， 可得(2a-b)(2ā-3b)>0,且(2ā-2b)与(2ā-3b)不同向共线， 即为22+3乃2-(6+22)ā.b>0, 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 即有71-(6+2)>0，解得1<元<6， 由(2ā-2b)与(2ā-3b)共线，可得2.(-3)=-元1， 解得入=±√6，当=√6时，两者同向共线， 则实数2的取值范围为1，√6)U(6,6… .15分 17.己知z=-3+2i是关于x的方程x2+m+q=0的一个根，其中P,q∈R. (1)求P+9的值： (2)设复数z1=a+4i满足Z1·z是纯虚数，求实数a的值. 【解答】解：(1)z=-3+2i是关于x的方程x2+匹+q=0的一个根， z=-3-2i是方程x2+x+q=0的另外一个根， z+z=-6=-卫 p=6 z.z=9+4=13=q ,解得 (9=131 p+q=19; 7分 (2)z1=4+4i,z=-3+2i, 则3·z=(a+4i)(3+2)=(3au-8)+(2a-12)i, 又1·z是纯虚数， 2a-12≠0 8 -3a-8=0’解得a= 3 .15分 18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c2-ad=12,且△ABC 的面积为3√5. (1)求A: (2)若u=6,求b+c的值. 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 【解答】解：(1)因为+c2-2-12,由余弦定理cos4+c-d-12 ,可得 2bc bc cosA=6, 又因为△ABC的面积为3√5，可得bcsinA=3N3,可得bcsinA=6√5， 两式相除，可得anA=√3， 因为A∈(0，)，所以A= 3 8分 (2)由(1)可得S=csi血M=35,可得bc=12, 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=b+c2-bc=(b+c)2-3bc, 即36=(b+c2-3×12,可得（亿+c)2=72,所以b+c=6√2.17分 19.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形， BC∥AD,平面PAB⊥平面PBC,且AB=BC=2,PA=AD=4. (I)若平面PBC与平面PAD相交于直线l,求证：BC∥l; (2)求1与AC所成的角： (3)求二面角C-PD-A的余弦值. 【解答】(I)因为BCIAD,BC丈平面PAD,ADC平面PAD,月以D(7T画rAD, 因为BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=I,故I/BC.4分 (2)过点A在平面PAB内作AH⊥PB,垂足为点H,如图所示： 因为平面PAB⊥平面PBC,平面PABO平面PBC=PB,AHC平面PAB, AH⊥PB,故AH⊥平面PBC,因为BCC平面PBC,所以AH⊥BC, 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以BC⊥PA, 因为PA∩AH=A,PA、AHC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 因为ABC平面PAB,所以BC⊥AB, 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 因为I/BC,故I与AC所成的角为∠ACB或其补角， 又因为AB=BC=2,则△ABC为等腰直角三角形，则∠ACB= 41 即1与AC所成的角为交 12分 (3)取AD的中点O,连接CO, 因为AD=4,BC=2,AD∥BC,故AO=2=BC, 所以，四边形ABCO为平行四边形，所以CO∥AB,CO⊥AD, 由PA⊥平面ABCD,COC平面ABCD,则CO⊥PA, 而PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,于是CO⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,则PD⊥CO,过O作OE⊥PD于E,连接CE, 显然COOOE=O,CO、OEc平面COE,因此PD⊥平面COE, 而CEc平面COB,则PD⊥CE,即∠OEC是二面角C-PD-A的平面角， 由PA=AD=4,PA⊥AD,得∠ADP=45°， 则OB=ODsn∠ADP=反，Cz=6,cs∠OBC=OB=5 CE 3 所以二面角C-PD-A的余弦值是 17分 3 D B 高一年级数学学科试卷第1页（共4页)石家庄市第一中学 2025一2026学年度第二学期高一年级数学学科期中考试试题 命题人：孙玉秀 审核人：王璐阳 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A=x2x-5s0y,B=x-1K3,则AUB=() x+3 A.[-3,3] B.(-3,3] C.-1,] D.- 2.已知向量a=(-2,4),b=1,x),若a/1,则ā-b=() A.√3 B.2√5 C.3√5 D.3√7 3. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1 D 的正方形OAB'C,则原图形OABC的面积为（) A.2 B.3 A c.② D.2W2 2 4.若z=(m+1)+(3-m)i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是 () A.（-0,-1) B.（-1,3) C.(3,+oo) D.（-o,3) 5.函数fx)=sim2(x+巧)的最小正周期为（ ) A.4元 B.2π C.π D. π-2 高一年级数学学科试卷第1页（共4页) 6如图，在△ABC中，N=4C,M=名丽，若 CM=AB+uAC,则2+μ=() A B号 C.-1 3 D.2 9 7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后 到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观 察灯塔，其方向是北偏东5°，那么B,C两点间的距离是（) A.40√2海里B.40V3海里 C.80√3海里 D.80√2海里 8.已知四面体ABCD的4个面为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4,A,B,C, D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（) A.8π B.12π C.18元 D.24π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列计算正确的是（) A.(-8-7i)(-3i1)=-21+24i B. 7+i=1+1 3+4i C.i(2-i)1-21)=5 D. 5(4+2=1-38i (2+i) 10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，以下结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.若B=子a=25,且s1BC只有一解，则6的取值范国是25，+o) D.若c0s2A>c0s2B,则A<B 高一年级数学学科试卷第2页（共4页) 11.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，M是BD的中点，N是 线段CD,(包括端点)上一动点，则下列说法正确的有() A.三棱锥N-BAA的体积随着点N的位置的改变而随之变化. B,无论点N在何处，始终有B,D⊥平面ACN成立. C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[0，V2]. D.平面BDN截得正方体ABCD-AB,CD,的截面可能是三角形或四边形. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.给出下列命题： ①已知集合A={x-2<x<2且x∈N奶，则集合A的真子集个数是4： ②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件： ③“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件： ④设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件， 其中所有正确命题的序号是· 13.中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑 起千年不倒的殿宇廊檐.攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种 结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的 组合体，如图.已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为 2√5米，6√3米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等， 则该结构的体积为立方米. 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知a=1, sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.若b+c存在最大值，则正数的取值范围是 高一年级数学学科试卷第3页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题13分)(1)计算：Qg5)2-0g2)2+83×1g√2-0.6°+0.21-43. (2)已知tana=-3.求 sin(r-a)+cos(π+a) 的值。 ta(-a)cos(r-@)+2sim(-a) 16.(本题15分)已知a=√2,1b=1,ā与6的夹角为45°. (1)若2ā+3b与ta-b共线，求实数t的值： (2)求|a+2b1的值： (3)若向量(2ā-b)与(2ā-3b)的夹角为锐角，求实数2的取值范围. 17.(本题15分)已知z=-3+2i是关于x的方程x2+px+g=0的一个根，其中p,9∈R. （1)求卫+9的值： (2)设复数z1=a+41满足z1·z是纯虚数，求实数a的值. 18.(本题17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=12, 且△ABC的面积为3√5. (1)求A: (2)若a=6,求b+c的值. 19.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, 底面ABCD为梯形，BCIIAD,平面PAB⊥平面PBC,且 AB=BC=2,PA=AD=4. (I)若平面PBC与平面PAD相交于直线l,求证：BCWI: (2)求1与AC所成的角： (3)求二面角C-PD-A的余弦值. 高一年级数学学科试卷第4页（共4页)