精品解析：河南郑州外国语中学2025-2026学年下学期九年级数学学科第三次质检试题

2025—2026学年下学期九年级数学学科第三次质检试题 （满分120分 考试时间100分钟） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】解：数据0.00000000018用科学记数法表示为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，与不是同类项，不能合并，A错误； 选项B，∵，B错误； 选项C，，C错误； 选项D，，符合运算法则，D正确． 4. 如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 6. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲，乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到两种情况中甲、乙的钱数都等于，因此两个表达式相等，即可求解． 【详解】解：根据题意得，，， ， 故选：A． 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 8. 如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：由题意，小红连续点击两次按钮，共有4种等可能的结果，其中到达格子K的结果只有1种， 故. 9. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，然后根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度即可． 【详解】解：菱形中，，， ，，，， ，， ， ， 将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处， ，， ，， ，， ，， ． 10. 如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键是根据函数的图象求出有关的线段的长度． 根据图中信息得出，可得出当时，点P在线段的垂直平分线上运动，作的垂直平分线，交边于点F，连接，根据题意可得，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由图2得，当时，，即 当时，点P在线段的垂直平分线上运动 如图，作的垂直平分线，交边于点F，连接 由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C ，， ， 故选C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别探究分子和分母随序号的变化规律，归纳总结即可得到第个式子的表达式． 【详解】将已知式子按顺序从1开始编号： 当时，第1个式子为， 当时，第2个式子为， 当时，第3个式子为， 当时，第4个式子为， ... 依此类推，可得第个式子为． 13. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据“三乘”对应的展开式：，即可求解． 【详解】解：“三乘”对应的展开式：， ， ． 故答案为：12． 14. 如图，在中，，，以为直径的半圆分别交于点，若，则图中的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据圆周角结合三线合一，推出，进而得到，再根据弧长公式进行计算即可. 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴. 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， 是的中点， ， ； ②当时，由①，得，则，与矛盾， 此种情况不成立； ③当时， 如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 17. 为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．七年级名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成组：，，， ）如图所示： ． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 ． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的值为 ，补全频数分布直方图． （2）八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由． （3）若该校七年级共有 名学生，测试的成绩分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数． 【答案】（1），见解析 （2）不正确，见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数，样本估计总体； （1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求解，根据第三组的频数补全频数直方图； （2）根据中位数的意义，即可求解． （3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩分及以上的占比乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级的中位数为第 和第个数据的平均数， ∴； 第三组的频数为（人）， 补全频数分布直方图如下 故答案为：． 【小问2详解】 解：菲菲的说法不正确， 理由：77 分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一半学生的成绩； 【小问3详解】 解： （人）， 答：估算该校七年级学生的总人数有 990 人． 18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若这个一次函数的图象与轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，连接AD，BD，求△ABD的面积． 【答案】（1）；；见解析 （2）或 （3）5 【解析】 【分析】（1）将代入中，求得，将点B代入反比例函数求出n，然后用待定系数法求出一次函数即可求解， 最后在坐标系中描出A、B两点即可画出一次函数的图像； （2）根据图像法求不等式的解集即可； （3）先求出点C的坐标，再求出点D的坐标，最后根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵双曲线的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为, ∵的图象过点， ∴， ∴． ∵的图象过点，， ， 解得，， ∴一次函数的表达式为． 一次函数的图象如图所示． 【小问2详解】 解：（2）． 【小问3详解】 解：∵的图象过点， ∴当时，， ∴． ∵点D是点C关于轴的对称点， ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形面积，数形结合是解题的关键． 19. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）画图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求作的切线． 【小问2详解】 证明：是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 20. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列不等式，求出不等式的解集，然后再根据购买总费用最少，确定答案即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 由题意得，， 解得，， ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 21. 八云塔，又称瑞光寺塔，位于陕西省西安市周至县境内，为第五批全国重点文物保护单位．某综合与实践小组开展测量八云塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量八云塔的高度 测量过程 及示意图 如图，在地面上的点处放置一面平面镜，该小组的同学甲站在点处．眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到塔顶端的像，该小组的同学乙在地面上的点处测得塔顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米，． 测量说明 在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，平面镜的大小忽略不计． 参考数据 ，，． 请你根据以上测量结果，计算八云塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】设，，根据眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到塔顶端的像得出，根据正切的定义得出，可得，根据得出，解方程求出的值即可． 【详解】解：设，， ∵眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到塔顶端的像， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴八云塔的高度为米． 22. —赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于年月至年月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为，宽度为，女子排球比赛球网的高度为．如图，某女子排球运动员在场地边缘的处训练发球，为球网（球网位于球场的中间），为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，以点为原点，垂直于球网的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点．（点，，，，在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）通过计算判断排球能否越过球网； （3）由于运动员改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求的取值范围． 【答案】（1） （2）排球能越过球网 （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解抛物线L对应的函数解析式即可； （2）计算当时的高度是否高于球网即可； （3）先求出抛物线对应的解析式，得出其顶点坐标以及与轴的交点，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线的最高点的坐标为， ∴设抛物线对应的函数解析式为， ∵点在该函数图象上， ∴将代入， 得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题可得， ∴当时，， ∵， ∴排球能越过球网． 【小问3详解】 解：∵抛物线的形状与抛物线相同，且最大高度为， ∴设抛物线对应的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴抛物线的最高点坐标为， ∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点处，就可能被排球砸到， ∴， 当排球落地砸到点时， 把代入抛物线的解析式得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴的取值范围为． 23. 综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． （1）初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2），，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，则是等边三角形，然后由三线合一得到，而，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，交于点M，利用平行线分线段成比例定理证明是的中位线，则，然后证明，则，可得，记与相交于点N，由全等三角形得到，再结合对顶角以及平行线的性质即可证明位置关系； （3）过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点，然后分两种情况讨论，当点为靠近点的三等分点时，则，证明即可求解的值，当点为靠近点的三等分点时，同理可求． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，理由如下： 由旋转可得 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴，即， ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 过点E作交的延长线于点F，交于点M ∴ ∵P是的中点， ∴， ∴ ∴是的中位线 ∴ 根据旋转的性质可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 记与相交于点N， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期九年级数学学科第三次质检试题 （满分120分 考试时间100分钟） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲，乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（ ） A. B. 4 C. D. 8 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_________________ 12. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 13. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为______． 14. 如图，在中，，，以为直径的半圆分别交于点，若，则图中的长为______． 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 17. 为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．七年级名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成组：，，， ）如图所示： ． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 ． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中的值为 ，补全频数分布直方图． （2）八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由． （3）若该校七年级共有 名学生，测试的成绩分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数． 18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若这个一次函数的图象与轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，连接AD，BD，求△ABD的面积． 19. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 21. 八云塔，又称瑞光寺塔，位于陕西省西安市周至县境内，为第五批全国重点文物保护单位．某综合与实践小组开展测量八云塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量八云塔的高度 测量过程 及示意图 如图，在地面上的点处放置一面平面镜，该小组的同学甲站在点处．眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到塔顶端的像，该小组的同学乙在地面上的点处测得塔顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米，． 测量说明 在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，平面镜的大小忽略不计． 参考数据 ，，． 请你根据以上测量结果，计算八云塔的高度． 22. —赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于年月至年月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为，宽度为，女子排球比赛球网的高度为．如图，某女子排球运动员在场地边缘的处训练发球，为球网（球网位于球场的中间），为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，以点为原点，垂直于球网的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点．（点，，，，在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）通过计算判断排球能否越过球网； （3）由于运动员改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求的取值范围． 23. 综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． （1）初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $