河北保定市博野县部分校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

2025~2026学年度高一年级5月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由x=4一i=4十i,知复数之在复平面内对应的点为(4,1)，位于第一象限.故选A. 2.Ba+2b=(5,m-2),因为a/a+26),所以5m一(m-2)=0,解得m=一合·故选B 3.B若a与b没有公共点，则a∥b或a与b是异面直线；若a与b是异面直线，则a与b没有公共点，所以“a 与b没有公共点”是“a与b是异面直线”的必要不充分条件.故选B 4.C由题意可知，原平面图形为直角梯形ABCD,AB=2,AD=2,BC=1,CD= √22+(2-1)2=√5，周长为AD+AB+BC+CD=2+2+1+√5=5+√5.故 选C 5.D|b=|(a-b)-a≤|a-b+|a=4+2W2.故选D. O(A) D 6.D如图，连接OC,OD,易得OC1OD,又O,D分别是AB,SB的中点，所以OD∥ SA,所以直线SA与CD所成角为∠CD0(或其补角)，因为SA=√2+T=5,0D=号SA=号，CD √（停）+1=号，所以c∠CD0-咒-9故选D D A B 第6题图 第7题图 7.A如图，延长AC,BD交于点E,因为A=B=晋，所以E-,在△ABE中，由正弦定理，得SE sin B sin A- m,得AE=BE 403×2=40(cm).由题意得CE=40-28=12(cm),DE=40-20=20(cm),E= 3 号，在△CDE中，由余弦定理得CD=√BC+ED-2BC·EDos E=√12+20-2X12X20cos号 - √784=28(cm),故C,D两点之间的距离为28cm.故选A 8.C因为BA=BC,△PAC是等边三角形，易得PB⊥AC,又点E,F分别为棱PC,BC的中点，且∠AEF= 乏，故EF∥PB,EA⊥PB,又AEDAC--A,AE,ACC平面PAC,所以PB⊥平面PAC.设△PAC外接圆的圆 心为0，半径为，易得Q0-名PB=2,一后所以球0的半径R-√公+（后）厂-青所以球0的表面 积为4R-g故选C 9.ABC因为a∥b,a∥c,且a,b,c都是非零向量，所以b∥c,A正确；因为a=2b,a=2c,所以b=c,B正确；因 为a⊥b,a⊥c,所以a·b=0,a·c=0,则a·b十a·c=0,所以a·(b十c)=0,C正确；当a·b=a·c=0时， (a·b)c=(a·c)b,但c,b不一定相等，D错误.故选ABC 【高一年级5月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-660A 10.AC若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA>sinB,故A正确；因为bsin Ca=6X5=35>c=5,满足这组 2 条件的三角形不存在，故B错误；若sin2A>sinB+sinC,由正弦定理得a2>+c2,由余弦定理得cosA= +2c<0,则角A为钝角，则△ABC是钝角三角形，故C正确；若sim2A=si血2B,则2A=2B或2A+ 2bc 2B=元，即A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，D错误.故选AC 11.AC因为A1D1⊥平面ABBA1,AB1C平面ABBA1,所以A1D1⊥AB1,又A1B⊥AB1,A1B∩A1D1=A1, A1B,A1DC平面A1D1B,所以AB1⊥平面A1D1B,又BD1C平面A1DB,所以BD1⊥AB,A正确；取 AD的中点G,连接EG,GA,EC,易得EG∥AC,所以过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面为梯形 BGAC,又BG=/E,AC=2W2,AG=CE=5,易得梯形EGAC的高为是，所以截面面积为E士22×3 2 2 √2 号，故B错误影因为点E,F分别是CD,DD,的中点，易得EF∥AB,又EFt平面ABC,AB,C平面 ABC,所以EF∥平面ABC,又点P是线段EF上的一动点，所以点P到平面AB1C的距离为定值，故C 正确；因为点P到平面AB,C的距离为定值，所以当CP最小时，直线CP与平面AB,C所成角的正弦值取 得最大值，此时P是EF的中点，CP=3,故D错误故选AC 12-2因为年会名+绵二器-二5.0=-1-2所以的虚都是-2 5 18.号 由题可得两个圆台的高分别为h甲=√3(r2一n1)]-(r2一n)=2√2(r2一n),hz= 5-n=26m所以gS+s+Vs牌年 号(S,+S+SS)hz hz26(r2-n) 31 14.牙(2分) 23(3分)因为sin(A-B)=sinC-sinB,所以sin Acos B--cos Asin B=sin Acos s Asin B--snB,即2 Asin B-=sinB,又B∈(0，x),所以snB≠0，所以cosA=号，又A∈(0，x),所 以A=吾：△ABC的面积S=mA=2csn答-c-,所以c=4,又点G满足高+G成+元=0， 所以Gi=-G-GC=-(Gi+A)-(Gi+A心)=-2Gi-Ai-AC,所以AG=号(A+AC,所以 A花=号i+A02=号迹+2A范·花+A衣)=号(2+4+B)≥号(2c+4)=告，当且仅当6= c=2时等号成立，所以线段AG的最小值为2 3 5.解：①)zg-名光十》=28m士0，s…3分 因为z是纯虚数，所以28=0且结≠0，解得m=号.… 10 …6分 (2)因为2=1一3i是关于x的方程x2十px十q=0(p,q∈R)的一个根， 所以(1-3i)2十p(1-3i)十g=0,整理得p十q-8-(6+3p)i=0, …9分 所以/十g8=0, 解得p=一2，q=10, …12分 6+3p=0, 所以卫=一上 5.1…14 13分 q 【高一年级5月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-660A 16.(1)解：因为直三棱柱ABC-A1BC中，AB⊥AC,AB=4,AC=3,AA1=4,所以BC=5. ……3分 所以SA=合×3X4=6,SE4M,Aa=4X4=16,S影M,4C=3X4=12,5影m,GC=5X4=20，…5分 所以直三棱柱ABC-A1B,C的表面积为6×2+16+12十20=60平方米. D …6分 所以所需油漆总费用为60X20=1200元.…7分 (2)证明：如图，连接BC交BC于点F,连接DF,…9分B 则F为矩形BCC1B1对角线的交点，BF=C1F.…I1分 又点D为A1C的中点，所以A1B∥DF,…I3分 因为DFC平面B1CD,A1B寸平面BCD,所以A1B∥平面B1CD.…15分 17.解：1)因为+c-a-inB C2 sin C' 由正弦定理得+c一a-,化简得分十c2-a2-bc, 由余弦定理可得cosA=+c一a2 2bc 2· …3分 又0<A<x,所以A=子 …5分 (2因为△ABC的面积为分csnA-月c=39,解得c=6. …7分 由(1)可得2+c2-a2=bc,所以(b十c)2=a2+3bc=7+3X6=25,即b什c=5,…9分 所以+c=5_57 …10分 a√7 7· (3)由sinC+cosC-/2sin(c+T)-巨，得sin(c+)=l. 因为C∈(0，x),所以C+∈（不，平），所以C+至=受，即C= 4 …12分 所以snB=s(血A+c)=in Ac C+-sin CoA=号×号+之×号-62 2 …14分 4 由正孩定理品B可知6=是 2X6+2 4 -=√3+1. sin C …15分 2 18.解：(1)由题意可知萨-+Aò+D萨=-店+Aò+号A店=(3-1)店+Aò， 2分 Aà-A+Bà-A店+uB心-A+μ(Bi+A访+D心)=A+(-2A+A)=(1-台)A+μAd, …4分 2)若X=号=合，B驴=名A+AòAà=是A店+号Aò， 设A亦-=zAà，B心=yB成，x,y0,1),则A心-￥+音Ad,心=一A+yAò， 又A衣=A+BG-A店-AB+yA市=(1-g)+yA市， …7分 3g=1-5 4 61 x7 因为AB,AD不共线，所以 解得 (2=y, 3 y- 7 所以心-号成，所以部 4 10分 (AB-CD) 2 (3)由题意可知cos∠DAB= AD 2, 11分 若x+4=1,则A=AD+D=Ad+合A店-AD+,AB, P-A点-A市-(1-号)+μAò-Aò-12A店=A成+(-1)Aò，. 13分 【高一年级5月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-660A -√(2A+(-1DA)'√合1+2X合×(-1D1ò1sDAB叶(-1D2 =√年×42+2X2X(-1)×2X4×2+（μ-1)2X2=2V-+i,… 15分 当e(0,1D时n-+1=(-)°+∈[，1)，则2VP-+∈[3,2)， 所以P戒的取值范围为[3,2). …17分 19.(1)证明：在△ABA1中，AB=3,AA1=5,A1B=4,所以AA￥=AB2+A1B2,所以AB⊥A1B, …1分 在△A1BC中，BC=3,A1C=5,A1B=4,所以A1C=BC+A1B2,所以BCLA1B,… 2分 又AB,BCC平面ABC,AB∩BC=B,所以A1B⊥平面ABC. 3分 (2)解：如图，连接BC1,取BC的中点D,连接AD,C1D,AC 因为A1B⊥平面ABC,平面ABC∥平面A1B1C,A1C1C平面AB1C,所以A1B⊥A1C, 因为A1B=4,AC=3,所以BC1=5,…4分 因为AB=AC=3,CC=BC=5,D是BC的中点，所以AD⊥BC,C1D⊥BC, 所以∠ADC是二面角A-BC-B1的平面角.…5分 在等边△ABC中，AB=3,BD=CD,所以AD=3 2 …6分 在△B0C中，因为CG=5,CD=号，所以CD=VCC-CD- 91 2 …7分 在平行四边形AACC中，os∠A,AC-355=3 2×3×5-101 所以cos∠AA1C=- ，4C=V√3+5-2x3x5x(-高)=， …8分 ()°+()-() 在△ADC1中，cos∠ADC 3W3 2×29× √9I 所以sin∠ADG=V-cos∠ADG-8I 91 放二面角A-BC-B,的正弦值为8 …9分 (3)解：如图，过点A作AH⊥CD,交CD的延长线于点H. 因为BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,C1DC平面ACD,所以BC⊥平 面AC1D. 因为AHC平面ACD,所以AH⊥BC.… …10分 又AH⊥CD,BC∩CD=D,BC,CDC平面BBCC, 所以AH⊥平面BB,CC,sin∠ADH=Sin∠ADC=8YL 91， 所以AH=ADsin∠ADH=3y3x8厘_12V273 ………… 2 91 91 12分 因为AA1∥BB1,BB1C平面BB1CC,AA1平面BB1C1C,所以AA1∥平面BB1CC. 又因为点P在棱AA,上，所以点P到平面BB,CC的距离为AH=122驱 91 所以直线BP与平面BB1CC所成角的正弦值为二=12√23 BP 15分 91BP 当BPLAA时，BP最短，为34=号， 5 可得直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的最大值为12V2-52驱 91X12 919 当点P与A1重合时，BP最长，为4， 可得直线BP与平面B,CC所成角的正弦值的最小值为号要-3严 91 故直线BP与平面BB,CC所成角的正弦值的取值范围为 3/2735√273 91 Γ91 …17分 【高一年级5月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-660A2025~2026学年度高一年级5月质量检测 数 学 考生注意： 灯 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 鼠 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 如 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章。 瞰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 製 合题目要求的。 长 1.复数x=4一7在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 区 C.第三象限 D.第四象限 紧 2.已知向量a=(1,m),b=(2,一1)，若a∥(a十2b),则实数m的值为 A.-2 B-司 C.2 D合 拓 3.已知a,b是两条不同的直线，则“a与b没有公共点”是“a与b是异面直线”的 部 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，梯形A'B'CD'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，B'C∥AD',A'B'=1, A'D'=2B'C'=2,则平面图形ABCD的周长为 A.4+√2 B.4-√2 C.5+√5 D.5-√5 5.已知向量a,b,且a=(2,2),a一b|=4,则|b|的最大值为 A.8 B.7 C.√10+5 D.22+4 【高一年级5月质量检测·数学第1页（共4页）】 26-L-660A Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 6.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为母线SB的中点，C 是AB的中点，SO=AB=2,则直线SA与CD所成角的余弦值为 A号 B号 c n 7.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮 的规格，现测得如下数据：AB=40√3cm,AC=28cm,BD= 20cm,A=B=石，则破裂的断点C,D两点间的距离为 A.28 cm B.14√3cm C.26 cm D.13√3cm 8.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，且△PAC是等边三角形，点E,F分别 为棱PC,BC的中点，且∠AEF=,BA=BC,AC=EF=2,则球O的表面积为 A.16x B.16√3π c D.643x 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a,b,c都是非零向量，则下列命题正确的是 A若a∥b,a∥c,则b∥c B.若a=2b,a=2c,则b=c C.若a⊥b,a⊥c,则a·(b十c)=0 D.若(a·b)c=(a·c)b,则b=c 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B若b=6,c=5,C=苓，则满足这组条件的三角形有两个 C.若sinA>sin2B+sinC,则△ABC是钝角三角形 D.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别是C1D1, 0 DD的中点，P是线段EF上的一动点，则下列说法正确的是 A.BD1⊥AB B.过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面面积为4√2 C,点P到平面AB1C的距离为定值 D.当直线CP与平面AB1C所成角的正弦值取得最大值时，CP=3y区 4 【高一年级5月质量检测·数学第2页（共4页）】 26-L-660A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,复数行的虚部是 13.已知甲、乙两个圆台的上底面的半径均为片，下底面的半径均为r2(n<r2),母线长分别为 3(n-)和5（一n),记甲，乙两个圆台的体积分别为V1,V,则吃：二 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(A一B)=sinC-sinB,则A= 若△ABC的面积为√5，点G满足GA+G范+G式=0，则线段AG的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文学说明、证明过程或渍算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数之1=2十mi(m∈R),22=1一3i (1)若复数x=兰是纯虚数，求m的值； 22 (2)若红是关于x的方程x2+x牛g=0(p,9∈R)的一个根，求号的值。 16.(本小题满分15分) 某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱ABC~A1B1C,AB⊥AC,AB=4米，AC= 3米，AA1=4米： (1)现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC)进行涂层，油漆费用 为每平方米20元，求总费用 (2)若D是A1C1的中点，证明：A1B∥平面B1CD. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为ab,c,且+一Q=n马 c2 sin C (1)求角A的大小； 2)若a=7,△ABC的面积为3，求站的值， a (3)若c=2,sinC十cosC=√2，求b的值. 【高一年级5月质量检测·数学第3页（共4页）】 26-L-660A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 18.(本小题满分17分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD=2AD=4,P,Q满足D泸=AD心，B动= uBC,其中0<A<1,0<μ<1，BP与AQ交于点G. (1)用向量AB,AD表示B克，AQ; (2若A=日=立，求号器的值， (3)若入十=1，求PQ|的取值范围. 谢 些 焙 19.(本小题满分17分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为3的等边三角形，AA1=AC=5, A1B=4. (1)证明：A1B⊥平面ABC; (2)求二面角A-BC-B1的正弦值； (3)若点P是棱AA1上的动点（包括端点），求直线BP与平面 焰 BB1CC所成角的正弦值的取值范围. 【高一年级5月质量检测·数学第4页（共4页）】 26-L-660A ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效