精品解析：河北衡水中学2025-2026学年高一下学期综合素质评价三数学试题

2025-2026学年度高一年级下学期综合素质评价三 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分） 1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A. B. 2 C. D. 2. 直径为6的球的表面积与体积（ ） A. 36，36 B. 144，36 C. 36，144 D. 144，144 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 4. 直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A. 80 B. 120 C. D. 7. 如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 8. 在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题（每题6分，少选部分分，错选不得分） 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 共轭复数 B. 模长 C. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 D. 10. 设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（ ） A. 长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线 B. 点P在底面上的轨迹是一条直线 C. 若角是直线和平面所成角,则的最大值是 D. 不存在点,使得 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 13. 已知，是半径为2的的两条直径，且与成角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为_____． 14. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 四、解答题 15. 如图，在正方体中，分别为中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 16. 在中，内角对应的边分别是，且 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级下学期综合素质评价三 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分） 1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. 2. 直径为6的球的表面积与体积（ ） A. 36，36 B. 144，36 C. 36，144 D. 144，144 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，球的半径为， 所以球的表面积为，体积为. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即.解得.所以， 则. 4. 直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 5. 如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则解得 所以圆锥的母线长为，其侧面积为. 6. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A. 80 B. 120 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 7. 如图， 向一个高为且底面水平放置的正四棱锥容器注水， 水面高度为时停止注水 (不考虑容器厚度)， 将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由注水四棱台部分的体积等于注水四棱锥部分的体积求解. 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为 ， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 8. 在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】的最小值即为点到平面的距离h，利用求解. 【详解】依题意，的最小值即为点到平面的距离h， 因为平面，平面，故， 因为，，； 由余弦定理，， 故，所以； 因为平面，平面，所以， 则，， 又，故为等边三角形，则， 故， 而，故． 故选：B. 二、多项选择题（每题6分，少选部分分，错选不得分） 9. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 共轭复数 B. 模长 C. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由，得，所以，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C正确； ，故D错误. 10. 设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中的平行和垂直关系可判断选项. 【详解】A选项：根据线面平行的判定定理，可知A正确； B选项：若，则直线垂直于平面的一条直线，不满足线面垂直的判定定理，不能得出线面垂直，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确； D选项：若，因为，所以，则，故D正确． 11. 如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（ ） A. 长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线 B. 点P在底面上的轨迹是一条直线 C. 若角是直线和平面所成角,则的最大值是 D. 不存在点,使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】先按总对数减相交、平行对数算出异面直线对数判断A；再建系用向量垂直得轨迹方程，确定轨迹是直线判断B；线面角正切值与到距离成反比，用点到直线距离求最小值得最大值判断C；最后联立垂直条件与轨迹方程，判别式大于说明存在点，判断D错误，整体用空间向量与解析几何方法逐一验证选项． 【详解】 对于A，长方体共有12条棱和4条体对角线，共16条直线， 总直线对：， 相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共； 体对角线相交于中心，共，每条体对角线与6条棱相交，共，总计， 平行直线对：每组平行棱有4条，共3组（长、宽、高），每组，共；体对角线无平行， 所以异面直线对：，A正确； 对于B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，设， ，， 由，得， 化简得，在平面内，这是一条直线方程， 所以点P在底面上的轨迹是一条直线，B正确； 对于C，直线和平面所成角为，设， ， 要使最大，即求最小， 而是到原点的距离， 的最小值为原点到直线的距离， ，此时的最大值是，正确； 对于D，，， 若，则，即， 联立，消去，得， ，有实数解， 所以存在点，D错误． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 【答案】6 【解析】 【详解】依据斜二测画法可知，所以， 又因为，， 所以，， 可得 ， 那么原周长是 . 13. 已知，是半径为2的的两条直径，且与成角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】在平面内过点作于，根据面面垂直性质定理证明，解三角形求结论. 【详解】由对称性，不妨设， 在平面内过点作于，连接， 由直二面角定义可得平面平面， 又平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 在直角中，，则， 在中，， 由余弦定理得， 则在直角中，. 14. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围. 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 四、解答题 15. 如图，在正方体中，分别为中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【小问1详解】 因为； 【小问2详解】 证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 16. 在中，内角对应的边分别是，且 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得，进而求解； （2）由（1）知.，令，又为锐角三角形，得，进而得，进而求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 所以，而，解得， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知.，令， 由为锐角三角形，得，则； 因此， 所以的取值范围是． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用四棱锥的几何形状，结合已知条件，运用线面垂直判定定理证明结论； （2）连接交于点，连接，利用几何法得出即为异面直线与所成的角，再利用勾股定理求出的各边边长，进而求出角． 【小问1详解】 四棱锥的底面是正方形，， 底面，底面，， ，平面， 平面． 【小问2详解】 连接交于点，连接， 在中，分别是中点，则， 因此异面直线与所成的角即为或其补角， ，， ， ，故是等边三角形， ， 异面直线与所成的角为． 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直； （2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值； （3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为； （法二）过点作交于点，连接，.设，，，可得.又，，，于是. 【小问1详解】 ，， 则， ； 又，，、平面， 平面，平面， 平面平面； 【小问2详解】 侧棱，点为中点， ， 又， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，又平面，， 根据定义，即为二面角的平面角. ， . 【小问3详解】 （法一）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面， 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与的交点时取到最大角； （法二）过点作交于点，连接，. 设，，， 则，， 从而. ， ，， 于是， 当且仅当，即点为与交点时，等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $