2026年九年级数学中考第二轮复习《反比例函数综合解答题》考前冲刺提升训练

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层梯度设计，实现反比例函数从单一知识到复杂几何综合的进阶，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数与一次函数解析式、图像交点、不等式解集|以求解析式（如第1题）、直接写解集（如第2题）为主，夯实概念理解| |综合应用|实际情境建模（信号强度/密度计）、动点与面积计算、几何证明|结合生活情境（第4题信号强度）、融入三角形面积（第5题），发展应用意识| |拓展提升|图形变换（旋转/平移）、相似三角形、存在性问题|涉及旋转平移（第10题）、相似判定（第8题），培养复杂问题推理能力|

2026年九年级数学中考二轮复习 《反比例函数综合解答题》考前冲刺专题提升训练 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别相交于点和点，将点B向右平移4个单位长度后得到点C，线段与y轴相交于点D，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)求证：． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 4．在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点C为线段上一点，且，连接，求． 6．如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P是直线下方y轴上一点，当的面积为24时，求点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点两点，点在轴的正半轴上，，为等边三角形，连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．与y轴交于点，的面积为6． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 10．如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 11．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 12．如图，一次函数与反比例函数的图象有公共点，直线轴于点，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出一次函数值大于反比例函数值的的取值范围． 13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 14．已知一次函数（）的图象与反比例函数的图象交于A点和B点，B点坐标为，且一次函数与x轴，y轴分别交于C、D两点． (1)求m，n的值； (2)点E是反比例函数在第一象限所在图象上的一点，且，求满足条件的E点坐标； (3)点Q是第一象限内直线下方双曲线上的一点，且，求满足条件的Q点坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与反比例函数的图象交于点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一动点，作直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于另一点． ①若，求点的坐标； ②如图2，当点在点的右侧时，若为的中点，连接，．将直线向右平移个单位后，将的面积分为两部分，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年九年级数学中考二轮复习《反比例函数综合解答题》考前冲刺专题提升训练》参考答案 1．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）将点代入，得，故反比例函数为；再代入得，即．将、代入一次函数，列方程组解得，，得表达式； （2）不等式的解集，对应反比例函数图象在一次函数上方的范围．结合交点、，得解集为或； （3）点右移4个单位得，由轴得，再求出和即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点和点代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将点向右平移个单位长度后得到点，且点， ∴点的坐标为，即， ∵线段与轴相交于点，且点，点， ∴平行于轴， ∴点的纵坐标与、的纵坐标相同，为，横坐标为，即， ∴；， ∴． 2．(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集； （3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：； （2）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． （3）解：由题意设， 对于，当时，，解得， ∴， 当点在点下方时， ∴，解得， ∴； 当点在点上方时， ∴，解得， ∴ 综上：P点坐标为或． 3．(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数的表达式求出，然后利用待定系数法求解； （2）利用反比例函数表达式求出点坐标，根据坐标特征利用一次函数表达式求出点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将代入一次函数得， ， ∴，代入反比例函数得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得， ∴， ∵轴， ∴当时，， ∴， ∴． 4．(1)， (2)等级为良好，理由见解析 (3)（平方米） 【分析】（1）将，，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将，，代入得出，求得，的值，即可求解； （3）令，得出的值，进而求得，再根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． ∴ ，， ∴ ， ∴P关于x的函数解析式为． （2）解：当时，，， ∴． ∵， ∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好． （3）解：令，则，解得， ∴， 覆盖面积：（平方米）． 5．(1)直线的表达式为：，反比例函数的表达式为 (2)自变量x的取值范围为或 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）先求出点，再由求解，再根据共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 即点， ∴将点，代入 则， 解得 ∴直线的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数的图象相交于、， 反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； （3）解：连接， 对于，当时，则， 解得 ∴点， ∴， ， ∴ 则． 6．(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 7．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)P点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果 （2）先求出，，设，则，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得， ∴， ∴， 把和点代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵点P是直线下方y轴上一点， ∴设， ∴， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴点坐标为． 8．(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）把的坐标为，代入中，求出的坐标为，再根据点在反比例函数的图象上，求出反比例函数的解析式即可； （2）延长与反比例函数的图象在第三象限交于点，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，求出点的坐标为，即可得到答案； （3）根据题意求出，分当轴时和当时两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把的坐标为，代入中， 的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：延长与反比例函数的图象在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点的坐标为， ； （3）解：是，理由如下： 为等边三角形，点与点关于原点对称， ，， ， ， 当轴时， ，， ， 点的坐标为， 点的坐标为； 当时， 则，， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 综上，点的坐标为或． 9．(1)， (2)或 【分析】（1）先利用三角形的面积求出点的坐标，然后利用待定系数法求函数表达式； （2）结合函数图象交点横坐标，得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为6，且点，， ∴， 解得， ∴，代入得， ， ∴反比例函数的表达式为， 将点代入得， ， ∴， 将和代入得， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数和反比例函数的交点坐标为和， ∴由图象可得，当或时，直线位于双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 10．(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 11．(1) (2)减少了，减少了 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设h与p之间的函数关系式为，由题可知，图像过， 将代入，得， 解得：， 所以h与ρ之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 密度计浸入该液体中的高度h减少了． 12．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标分别代入两个函数的解析式即可； （2）先求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为点，联立两个函数求出点的坐标，结合图象判断的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴一次函数的解析式为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵直线轴于点， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：如图，设一次函数与反比例函数的另一个交点为点， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 由图可知，点的右侧到轴以及点的右侧，一次函数值大于反比例函数值， ∴的取值范围为或． 13．(1)； (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时的解集为； （3）解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 14．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入反比例函数和一次函数解析式即可求解； （2）过E作轴，交直线于F，根据列方程计算即可； （3）连接交轴于点，过点作交于点，根据可求出点的坐标，进而联立直线和反比例函数解析式即可得解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数，得：， ∴， 代入一次函数，得：， 解得， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 令，有， 解得， ∴， 令，有， ∴； 设（），如图，过E作轴，交直线于F，则， 则， ∴ ， 化简得： ， 分两种情况讨论： ①， 整理得， 解得（负值舍去）， 此时； ②， 整理得， 解得（负值舍去）， 此时； 综上所述，或； （3）解：联立， 解得或， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴为等腰直角三角形，； 如图，连接交轴于点，过点作交于点， 设 ， ∵， ∴ ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； 设直线的解析式为，代入，， 有， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 得 ， 整理得， 解得（负值舍去）， 此时 ， ∴． 15．(1) (2)①或；② 【分析】（1）先求出直线为，得到，代入，求得，得到点坐标，然后将点代入反比例函数即可求得答案； （2）①设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点，通过证明，得到，从而得到，推出，然后将代入反比例函数即可得出答案；②由题知，平移后的直线解析式为，设平移后的直线交于点，交于，设，则，将代入反比例函数，求得，那么，接着证明，得到，过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点，那么，，得到，将点代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线为， ∵直线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的横坐标为：，的纵坐标为：， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴或， ∴或； ②由题知，平移后的直线解析式为， 设平移后的直线交于点，交于， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的横坐标为：，的纵坐标为：， ∴， 设点代入， ， 解得， 综上，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $