2026年中考数学二轮复习《反比例函数综合解答题》考前冲刺专题训练

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数、几何图形、实际问题的综合应用，通过20道典例系统提炼待定系数法、方程思想、建模分析等解题方法，构建“概念-性质-应用”的逻辑链条，发展抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|6题|待定系数法求解析式、联立方程求交点、图象法解不等式|反比例函数与一次函数表达式互推，交点坐标与面积计算的关联| |实际应用|6题|实际问题建模、数据分析与处理、反比例函数性质应用|从实际情境抽象变量关系，用函数性质解决最值与范围问题| |几何综合|8题|坐标转化、图形性质（菱形/正方形）、相似与面积割补|反比例函数与几何图形的坐标关联，平移/旋转下的不变量分析|

2026年九年级数学中考二轮复习《反比例函数综合解答题》考前冲刺专题训练（附答案） 一、反比例函数与一次函数综合 1．如图，一次函数的图象与反比例函数y=的图象交于点A，，与x轴交于点，点D的坐标为，且． (1)求反比例函数与一次函数的解析式． (2)连接，求的值． 2．如图，已知函数和的图象交于点，点两点，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，与一次函数的图象交于C，D两点，且．一次函数，的图象分别与y轴交于点E，F． (1)求点E的坐标； (2)若的面积为15，求的长； (3)时，求x的取值范围． 4．如图，的顶点分别为，直线与交于点D，点D在反比例函数（）的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)把向右平移a（）个单位，再向上平移b（）个单位，得到点，且同时落在反比例函数（）的图象上． ①求a，b的值； ②求所在直线的解析式． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)将线段沿某一方向进行平移后得到线段，使得点落在反比例函数的图象上，点落在轴上，直接写出平移后点的坐标． 6．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的纵坐标为3． (1)求的值； (2)利用图象直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积． 二、实际问题与反比例函数 7．如图为某公园“水上滑梯”的侧面示意图，其中段可看成是双曲线的一部分，矩形为向上攀爬的梯子，．以为原点，水面所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线对应的函数表达式．（不需要写出的取值范围） (2)若出口点距离水面的距离为，求B，C两点之间的水平距离． (3)若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于，已知点到的距离为，安全警示牌的设置是否符合要求？请说明理由． 8．《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端．”大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验．如图1所示的小孔成像实验中，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．已知当时，． (1)①求火焰的像高关于物距的函数表达式； ②请借助网格中的格点（不少于3个），在图2中画出①所对应的函数图象； (2)若控制火焰的像高不超过，则小孔到蜡烛的最短距离为____________． 9．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 10．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点的注意力指标数是________． (2)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 11．某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 12．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 三、反比例函数与几何图形综合 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与相似时，求点M的坐标； (3)点P是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为24时，求点P的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 的图像上，点D的坐标为 (1)求k的值； (2)设点M在反比例函数图像上，连接，若的面积是菱形面积的，求点M的坐标． (3)若将菱形沿x轴正方向平移m个单位，在平移中，若反比例函数图像与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为，点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接，且． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出时，x的取值范围； (3)点P从点A出发沿射线移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 16．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)求和的值； (2)若点在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点，且，求点的坐标； (3)如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫做这个四边形的完美线这个四边形叫做完美四边形．过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，在第四象限内存在点，使得四边形是以为完美线的完美四边形，直接写出符合条件的点的坐标． 17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、 (1)求点的坐标及反比例函数的关系式； (2)如图2，若过点的直线交轴正半轴于点，交反比例函数的图象于点， ①若，求的面积； ②在①的条件下，反比例函数的图象上有一动点，若点的横坐标为，且点关于直线的对称点为，当为直角三角形时，求点的横坐标的值． 18．如图，函数的图象过点和两点． (1)求和的值； (2)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，反比例函数（）与一次函数（）的图象交于点点，一次函数与轴相交于点． (1)______，______． (2)连接，，则的面积是______； (3)直接写出时的取值范围______； (4)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针转90°，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 20．正方形的顶点和点，反比例函数． (1)如图1，双曲线经过点时求反比例函数的关系式； (2)如图2，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、边于点、， ①求的面积； ②如图3，轴上一点，是否存在是等腰三角形，若存在直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 参考答案 1．（1）解：如图，分别过点A，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E， 由题意， ，， ∴. 又∵，， ∴， ∴, ∴， ∴. 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为 将，分别代入，得： ， 解得， 一次函数的解析式为． （2）对于，当时， ，   ， 又， ∴． 2．(1)反比例函数的表达式为，函数的表达式为； (2) (3)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）求出点C的坐标，根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 3．(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）令，代入求解即可； （2）作轴交于点，设，，则，联立，求得，，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴点E的坐标为； （2）解：如图，作轴交于点， ∵， ∴设，，则， 联立，得，， 整理得， 解得或， 当时，，当时，， ∴，， ∵的面积为15， ∴， 整理得，解得或， ∴，，， ∵，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：∵，， ∴由图象得时，x的取值范围为或． 4．(1) (2)①，；② 【分析】（1）利用待定系数法进行求解； （2）①根据平移的性质求出点的坐标，得出，然后根据反比例函数列出方程求解； ②利用待定系数法求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得， ∴， 令， 解得， ∴D点坐标为， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①∵将向右平移a个单位，再向上平移b个单位， ∴的坐标为，的坐标为， ∵同时落在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 将代入， 解得，或(舍去)， ∴； ②设所在直线的解析式为， 由①知，的坐标为，的坐标为， 将的坐标代入， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 5．(1)； (2) (3) 【分析】（1）把点的纵横坐标代入，求出，得反比例函数解析式为；把点代入得，得；把和代入，求出、的值即可； （2）由可求出，，得，根据可求解； （3）由点平移后在对应点在轴上，点的纵坐标为0，则可得线段向下平移1个单位，则点的纵坐标为，把代入得，故可得平移后点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把点的纵横坐标代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 把点代入得， ∴； 把和代入得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：对于，当时，； ∴ ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴ ； （3）解：设， ∵点平移后在对应点在轴上， ∴点的纵坐标为0， ∴线段向下平移1个单位， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 平移后点的坐标为． 6．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用反比例函数的解析式求出点的坐标，再将点的坐标代入一次函数的解析式求出的值； （2）联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，结合图象判断一次函数的图象不低于反比例函数的图象的部分，从而得出的取值范围； （3）连接、，作于点，设直线交轴于点，由平移的性质可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积．由平移可知，直线的解析式为，从而求出点，，，容易判断和都是等腰直角三角形，进而计算出，利用勾股定理计算出，最后计算出平行四边形的面积即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 结合图象可知，在之间（包括点）和点以及点的右侧部分，一次函数的图象不低于反比例函数的图象， ∴的解集为或； （3）解：如图，连接、，作于点，设直线交轴于点， 由平移的性质可知，四边形是平行四边形，且阴影部分的面积等于平行四边形的面积， ∵直线由直线向下平移5个单位得到， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 在中，， ∴，解得， 由勾股定理可得，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 7．(1) (2) (3)不符合要求，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． （1）由，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式； （2）设点的坐标是，代入（1）中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离； （3）设点的坐标是，把点的坐标代入（1）中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求． 【详解】（1）解：， ∴点的坐标是， 设双曲线对应的函数表达式为， 把点代入，解得， 段滑梯所在的双曲线对应的函数表达式是； （2）解：出口点距离水面的距离为， ∴可设点的坐标是． 把点代入，得，解得， ∴点的坐标是， 两点之间的水平距离为； （3）解：点到BE的距离为， ∴点的横坐标是． 设点的坐标是， 把代入， 得． ， ∴安全警示牌的设置不符合要求． 8．(1)①；②见详解 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）①由题意设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式； ②根据①先列表，然后描点，连线可画出函数图象； （2）把当代入，然后结合图象即可解答． 【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 关于的函数表达式为：； ②由①列表如下： ….. 3 4 8 ….. ….. 8 6 3 …... 描点、连线，则可得反比例函数的图象如图所示： （2）解：当时，， 解得：， ， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 故答案为4.8． 9．(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 10．(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为，将代入可得双曲线的解析式，把代入解析式中即可得解； （2）当时，设的解析式为，代入，两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 将点代入得， ， 当时，， ， 由图可知：点的注意力指标数是． 故答案为：． （2）解：由（1）可知， 当时，设的解析式为， 将点、代入得： ，解得． ． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，， 解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． 当时，注意力指标数都不低于． 而， 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 11．(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 12．(1)2， (2)①图象见详解；②当时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为当时，y随x的增大而减小； （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 13．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的解析式为； （2）设，解方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设点的坐标为，当点在第四象限时，当点在第二象限时，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， 反比例函数的解析式为； 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：设， 在中，令，则，令，则， ，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ， ， ， ，，， ， 解得（不合题意舍去）， 当，， ， 轴， ，即， 点的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ，， 当点在第四象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为或． 14．(1)8 (2)或； (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）设，根据题意得，，，，确定，即可求解； （3）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质得出点的坐标为，确定点在的图像上，得出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， （2）设， 根据题意得，， ∴， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． 15．(1)， (2)或 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）由、，即可求出，则，进而即可求出反比例函数解析式；将、代入一次函数，进而即可求出一次函数解析式； （2）联立，得出、，再结合函数图像，反比例函数图像在一次函数下方时，则可求出的取值范围； （3）设、，分两种情况：与为对角线和与为对角线，由中点公式列方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，． ∴， ∴，即， ∵反比例函数过， ∴ 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数过和， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意，联立解析式得 解得，， 当时，， ∴点B为， 由图可得，当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足； 当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足． ∴x的取值范围为或； （3）解：∵点P在射线上，点Q为第三象限双曲线上一点， ∴设，， ∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时， ∴当与为平行四边形的对角线时， ∴ 解得， 解得或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为； 当与为平行四边形的对角线， ∴ 解得， 解得或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为：， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】第3问通过分类讨论对角线的情况，利用中点公式列方程求解，关键是坐标与几何性质的转化． 16．(1)； (2)点的坐标为 或 (3)符合条件的点的坐标为：；；； 【分析】（1）设点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点的坐标，将点，的坐标分别代入直线的解析式中，即可得解； （2）设， 分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，点在线段的延长线上；分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点，通过证明 ， 结合已知的， 求解点的坐标，利用待定系数法可求得直线的函数表达式，联立直线的函数表达式与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （3）根据已知可得到 ，从而可得到当四边形是以为完美线的完美四边形，必然有或或，分情况讨论，根据相似三角形的性质列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设点的坐标为， 代入反比例函数中得，， ， 令，得， 点的坐标为， 将点，代入直线中得， ，解得， ； （2）解：由（1）得 ：，， 直线的解析式为， 反比例函数的解析式为， 直线与直线交于点， 设， 如图，当点在线段上时，分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点， ，，，   ， ， ， ， ，解得， ， 设直线的函数表达式为， 将点代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为， 联立，解得（负值已舍去）， 点的坐标为； 如图，当点在线段的延长线上时，分别过点、作轴和轴的平行线，交于一点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，解得， ， 设直线的函数表达式为， 将点代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为， 联立，解得（负值已舍去）， 点的坐标为； ， ， 点不在线段的延长线上； 综上所述，点的坐标为 或； （3）解：过点作轴垂线与过点作轴垂线相交于点，，， ，，，， 当四边形是以为完美线的完美四边形，必然有或或， 设， 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，， ，， ，解得， ； 情况：当时，则有， ， ，， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ，即， ，， ，， ，，不符合题意，故舍去； 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，， 四边形是矩形， ； 情况：当时，则有， ，， 过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ，即， ，，不符合题意，故舍去； 若，分和两种情况； 情况：当时，则有，， ，， ，， ，解得， ； 情况：当时，则有， ， ， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ，即， ，， ，， ，， ； 综上，符合条件的点的坐标为：；；；． 17．(1)，反比例函数的关系式是 (2)①②或 【分析】（1）先将B点纵坐标代入一次函数解析式可求出a的值，进而得到B点坐标；又将B点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，得到反比例函数关系式；再联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组可求出A点坐标． （2）①先表示出点C、D的坐标，然后可利用线段的比例关系结合A点坐标，得到C、D坐标的关系；进而求出C、D的坐标；再利用割补法计算的面积． ②因为P、Q关于直线对称，所以可根据P点横坐标m得到Q点坐标；又因为为直角三角形，所以需分三种情况讨论：、、，结合直角三角形的性质和勾股定理列方程，求解得到m的值． 【详解】（1）将代入一次函数，得 ，解得， 故． 将代入反比例函数，得 ，解得， ∴反比例函数关系式为． 联立方程，得 ，即，解得． 对应，故． （2）①设直线解析式为． 把代入，得， ∴， ∴直线解析式为， 令，得，即（时）． 与反比例函数联立，得， 整理得，即． 解得，， ∴， 故． ∴． 因为在左侧，在右侧时（）， ∵， ∴，即，， ∴，解得， ∴，． 此时直线方程为． 如图，过点D作轴交直线于点F，则， ∴， ． ②由①知． 反比例函数上点，其中． 点关于直线的对称点为． ∴ 分三种情况讨论直角三角形： 若，则，即 代入化简得， 因式分解为，在内无解． 若，则，即 代入化简得， 因式分解为，在内得． 若，则，即 代入化简得， 解得，其中满足． 经检验，和均使三角形构成直角三角形． ∴或． 18．(1) (2)①直线解析式为；②存在，或 【分析】（1）函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案； （2）①设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案； ②设，当时，过点作轴，于于，利用，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题． 【详解】（1） 解：函数的图象过点和两点， 可得：， 解得：， （2）解：由（1）可知，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 由知反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作轴与交于点， 则点的坐标为， ， ， ， 解得:舍去， 点的坐标为， 将直线沿轴向左平移得直线， 设直线的解析式为， 将代入， 可得：， ， 直线解析式为； 设点的坐标为， 当时， 如下图所示，过点作轴，于于， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 当时，则， ， 解得或负值舍去， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 根据题意知， 综上：点的坐标为或． 19．(1)， (2)4 (3)或 (4) 【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得的值，再将代入，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）根据图象进行判断，的图象在的图象下方即可； （4）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 故答案为：；． （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴, 故答案为：4． （3）解：当或时， 的图象在的图象下方，即， 故答案为或． （4）解：设点的坐标为， 过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴，解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 20．(1) (2)①；②存在，或 【分析】本题考查了反比例函数综合、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）①根据求解；②根据勾股定理分别表示的三边长，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴点， 代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：①平移后点、、、的坐标分别为：、，、， 则平移后点的横坐标为3，代入反比例函数解析式可得， ∴， 同理平移后点的纵坐标为2，代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴，，； ∴ ； ②由①知点，， 设点， 则，，， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，无解； 当时，，解得； ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $