精品解析：广东珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年高二下学期5 月阶段监测数学试卷

珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年（下） 高二级5月阶段监测 数 学 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列的首项，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 84 D. 108 6. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 7. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（   ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为1 C. 的图象关于对称 D. 若方程的解为，则=1 11. 安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种 C. 若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种 D. 若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 若，则__________. 14. 已知数列的前项和为，满足，则 _______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）求的前项和. 16. 甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. （1）求取到优良产品的概率; （2）求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； （2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市广东实验中学金湾学校2025-2026学年（下） 高二级5月阶段监测 数 学 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列的首项，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的递推公式求数列的指定项. 【详解】因为，且， 所以， . 故选：D 2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，. 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为R. . 当或时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以排除B，C. 又当时，.所以排除A. 又当时，；当时，. 所以D选项符合. 4. 设x，，已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 P x y x 则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量分布列的性质得到，再利用“1”的代换，构造基本不等式求解． 【详解】由题意，得，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 5. 如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 84 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】分是否同色两类，再根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可. 【详解】若同色，则有种方法， 若不同色，则有种方法， 所以不同涂法的种数为种. 故选：C. 6. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 【答案】B 【解析】 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后参变分离可得在上恒成立，结合其单调性即可得解. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则，即在上恒成立， 由的解析式可知其在区间上单调递增， 所以，则，则的最大值为. 8. 已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算. 【详解】随机变量均服从两点分布， ，， 又， ，由条件概率公式， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的通项与前项和的关系式，可判断各个选项. 【详解】对于A：由  可得：， 因此，选项 A 正确： 对于B：由  可得： 因为 ，所以 ， 因此，选项 B 正确： 对于C：由  和 ，可得：， 则，故，因此，选项C错误； 对于D：由等差数列的前项和公式可得：， 由选项C可知：， 所以，因此，选项 D 正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（   ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为1 C. 的图象关于对称 D. 若方程的解为，则=1 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，求出的解集得递减区间；选项B，利用导数求出的极大值；选项C，求出，得到，则不是奇函数，从而的图象不关于对称；选项D，由，得到，通过因式分解得到， 解出，的值，从而得到的值. 【详解】选项A，，， 当时，，，故选项A正确； 选项B，当时，，在上单调递减； 当或时，，在和上是增函数. 则在处，取极大值，且极大值为，故选项B正确； 选项C，，，不是奇函数，的图象不关于对称，故选项C不正确； 选项D，，又，，， ，， ，，， 或，，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种 C. 若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种 D. 若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，不同的安排方法共有种，A错误； 对于B，恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有种，B正确； 对于C，4位老师的答疑日期都不相同的总排法种， 数学和物理老师答疑的日期相邻的排法有， 所以数学和物理老师答疑的日期不相邻的排法有种，C错误； 对于D，4位老师的答疑日期都不相同，且数学答疑必须排在物理答疑之前共有种安排方法，D正确； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据二项式定理，的通项为：， ，要找项，分为两部分： 中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为； 中的项，需要出现的项，此时，，乘以后为； 则的系数为 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出，进而求出，最后求出即可. 【详解】由，求导得， 则，解得， 即，故. 14. 已知数列的前项和为，满足，则 _______． 【答案】364 【解析】 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故答案为：364. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. （1）求和的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）应用的关系求数列的通项公式；应用等比数列基本量的计算可求得等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 设的前项和为， 所以. . 16. 甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. （1）求取到优良产品的概率; （2）求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【答案】（1）0.915 （2） 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【小问1详解】 设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. 【小问2详解】 取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可求的值； （2）分别令和求各项系数和，两式相加计算即可； （3）通过二项式的通项公式分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，，可得出，即可得解. 【小问1详解】 令，则，所以； 【小问2详解】 令，得①. 令，得②， 由①②，得， 所以. 【小问3详解】 的展开式通项为， 则，其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 ，由（2）知，， 所以． 18. 某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； （2）为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）28 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. 【小问2详解】 被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 19. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； （3）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以， 当时，恒成立， 所以函数在单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $