精品解析：广东珠海市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高二年级数学

珠海市第二中学2025—2026学年第二学期期中考试试题 高二年级数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 5 C. 1 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】用等差数列推论公式，若，则 【详解】因为 ，所以，故 3. 已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（ ） A. 65个 B. 55个 C. 47个 D. 35个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分构成等边三角形和非等边等腰三角形，两种情况讨论，结合列举法，即可求解. 【详解】若构成等边三角形，边长为1到5的三位数共5个，所以有个； 若构成等腰三角形，设腰长为，底边长为，其中且， 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 当时，，每种对应3个排列，共个； 由分类计数原理得，共有个. 4. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点以及定义求解即可. 【详解】双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此. 设焦点 ， ，已知点 在双曲线上， 则 ， ， 因此 ，得. 所以离心率为. 故选：C. 6. 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢 C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D. 该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先快后慢， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；      选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；    选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 故D正确. 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则有（ ） A. 事件、相互独立 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B，利用条件概率的定义与公式即可判断选项C、D. 【详解】对于A选项，由可得 ，，又， 所以，， 事件、不相互独立，故事件、不相互独立， 所以，选项A错误； 对于B选项，由A选项可知，事件、不相互独立，， ，， 所以，，所以，选项B错误； 对于选项C，由B选项可知，，， 所以，选项C错误； 对于选项D，由B选项可知，，， 所以，， 所以选项D正确. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，（），则 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性，可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，函数和有2个交点，结合图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】对于A，的定义域为，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以，当且仅当时成立， 所以，又在上单调递减， 所以，B正确； 对于C，令，则， 若函数有4个零点，则函数和有4个交点， 又的定义域为，且， 所以是偶函数，图像关于轴对称，当时， ， 所以原题意等价于当时，函数和有2个交点， 由A选项可知：当时， ，图像如图所示： 所以，C正确； 对于D，设， 则， 所以当时，，单调递增， 则，即， 若，（），不妨设， 则，且，在上单调递增， 所以，即，故D错误. 11. 现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（ ） A. 传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等 B. 当时，球在乙手中的概率为 C. 传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数 D. 设传球次后球在甲手中的概率为，则（） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，分别求得甲传给乙、丙、丁的概率，乙传给甲、丙、丁的概率，丙传给甲、乙、丁的概率，丁传给甲、乙、丙的概率，结合选项，利用全概率公式，以及等比数列的性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意得，甲传给乙、丙、丁的概率分别为，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，丁传给甲、乙、丙的概率分别为， 对于A，当时，球从甲开始传，球在甲手中可分为三种情况： 当甲乙甲，其概率为；当甲丙甲，其概率为； 当甲丁甲，其概率为，所以概率为， 当时，球从甲开始传，球在乙手中时，可分为两种情况： 当甲丙乙，其概率为； 当甲丁乙，其概率为； 所以概率为，两者概率不相等，所以A错误； 对于C，设传球次后，球在队成员手中的概率为， 根据全概率公式，可得是常数， 由选项可知当传球2次后球在队手中的概率为，所以C正确； 对于D，事件：传球次后，球在甲手中；：传球次后，球在乙手中； ：传球次后，球在队队员手中，则， 设次传球后，球在乙手中的概率为，由C项知球在甲手中的概率为， 球在队队员手中时，下一次传球后，有的概率传到乙手中， 根据全概率公式得 ，所以， 所以是首项为 公比为的等比数列， 可得，所以， 所以传球次后球在甲手中的概率为，所以D错误. 对于B，当时，可得，所以B正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求二项展开式中常数项为______. 【答案】135 【解析】 【详解】依题意，该二项式的通项公式为， 令，得，故 . 13. 把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由于表示配对的个数，由题意则可能取： ，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求． 【详解】由题意可能取： ，则 ，， 的分布列为： 0 1 2 4 14. 已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】构造,由条件推出得在单调递减，再利用二倍角公式化简原不等式,整理变形为，借助单调性得，结合定义域求出解集. 【详解】已知定义在上的函数满足， 即，两边同乘可得， 观察可知左边为，右边为， 构造辅助函数， 求导得， 所以在上严格单调递减. 对原不等式进行化简可得. 即，再两边同除以， 整理得，则， 又，则， 因此原不等式等价于. 因为在上严格单调递减，所以等价于. 因为定义域，解得，即不等式的解集为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或是演算步骤） 15. 已知正项数列的前项和为，且（）. （1）求证：数列是等差数列. （2）令，求数列的前项的和最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系式，把转化成关于的递推公式，因式分解，利用等差数列的定义即可证明； （2）求出的通项公式，利用等差数列的求和公式求出前项和的表达式，利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ，① 当，得，解得：， 当，得，② 得，， 化简得，，进而得到， ，又由为正项数列得，，故有， ，所以，， 故数列是等差数列，又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，易知为等差数列， 设的前项和为，故有 ， 根据二次函数的性质，的对称轴为， 因为为正整数，明显地，取或时，有最小值， 故最小值为， 所以数列前项的和最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点. （1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由. （2）判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由. （3）求直线与平面的距离. 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）不垂直，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证； （2）取的中点，连接，可证平面，得到，利用反证法及面面垂直的性质定理进行说明； （3）转化为求点与平面间的距离，根据（2）问建立合适空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为为中点， 所以且， 因为，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 又平面，所以平面， 因为，所以平面，所以， 所以，又，所以不垂直， 又，平面平面， 假设平面与平面垂直，则平面，， 与推出的不垂直相矛盾，所以平面与平面不垂直； 【小问3详解】 由（2）可知平面，，又平面， 则平面平面， 以为原点建立如上图所示空间直角坐标系，则， 所以，所以 ， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 所以直线与平面的距离为 17. 某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为. （1）求的值； （2）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元： ①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列； ②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？ 【答案】（1） （2）①的分布列如下： ②消费元时，选择抽奖优惠的平均返现金额更大，消费元时，选择八五折优惠的平均返现金额更大. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率公式列方程即可求解； （2）①先求出随机变量的所有取值，再根据超几何分布求出其概率，从而可求出分布列；②由分布列得到的数学期望，从而得到一次抽奖的期望返现，对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【小问1详解】 由题可得，抽奖箱内共有 个球，一次抽取2个球全是红球的概率为； 即，化简得到， 因为，解得. 【小问2详解】 ①的可能取值为，根据超几何分布的概率公式可得： ；； ；； 则的分布列如下： ②由①知的数学期望为 ， 则单次抽奖的期望返现为：元， 情况1：消费元 抽奖优惠：每满 元抽次，可抽次，总期望返现为 元， 八五折优惠：节省金额为 元， 由于，故消费元时，选择抽奖优惠的方式更划算； 情况2：消费元 抽奖优惠：每满 元抽次，可抽次，总期望返现仍然为 元， 八五折优惠：节省金额为元， 由于，故消费元时，选择八五折优惠的方式更划算. 18. 如图，顶点在原点的抛物线的焦点坐标为，点，在上. （1）求抛物线方程和的值； （2），为上两点，的重心在直线上. ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为.证明：点在定圆上运动. 【答案】（1）， （2）①证明见解析②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦点求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出； （2）①利用作差法及重心坐标公式证明即可； ②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程，求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动． 【小问1详解】 解：设抛物线方程为， 抛物线的焦点坐标为， 所以，解得， 因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． 【小问2详解】 ①设，， 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于， 所以在以为直径的定圆上． 19. 函数 （1）求曲线：在处的切线方程. （2）设 （ⅰ）当时，恒成立，求实数的取值范围. （ⅱ）当时，在上的所有零点从小到大依次为，，…，，…求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）（ⅰ）求导，分、两种情况，结合最值讨论求解； （ⅱ）先确定零点位置，通过放缩得，再令，利用导数可得时，，进而得到，再求和即可证明． 【小问1详解】 解：，，解得， 则函数的定义域为， ， 又，， 所以切线的斜率为，切点坐标为， 切线方程为，即； 【小问2详解】 （ⅰ），则， 因为，所以，，， 要使恒成立，即在上的最大值小于等于， 因为， 当时，，在上单调递减， 所以，满足恒成立； 当时，令，即，解得， 因为，所以存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，不满足恒成立， 综上，实数的取值范围是； （ⅱ）证明：，， 令，则， 又，则， 当时，， 所以在上单调递减，则， 即在上无零点，又由的最小正周期为， 则与的函数图像如下： 易知在上分别有零点， 即，又， 则， 令，， 则在上单调递增，， 故时，，又， 所以， 则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第二中学2025—2026学年第二学期期中考试试题 高二年级数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 5 C. 1 D. 9 3. 已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（ ） A. 65个 B. 55个 C. 47个 D. 35个 4. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 114 D. 124 5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6. 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢 C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D. 该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则有（ ） A. 事件、相互独立 B. C. D. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，（），则 11. 现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（ ） A. 传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等 B. 当时，球在乙手中的概率为 C. 传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数 D. 设传球次后球在甲手中的概率为，则（） 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求二项展开式中常数项为______. 13. 把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______. 14. 已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或是演算步骤） 15. 已知正项数列的前项和为，且（）. （1）求证：数列是等差数列. （2）令，求数列的前项的和最小值. 16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点. （1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由. （2）判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由. （3）求直线与平面的距离. 17. 某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为. （1）求的值； （2）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元： ①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列； ②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？ 18. 如图，顶点在原点的抛物线的焦点坐标为，点，在上. （1）求抛物线方程和的值； （2），为上两点，的重心在直线上. ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为.证明：点在定圆上运动. 19. 函数 （1）求曲线：在处的切线方程. （2）设 （ⅰ）当时，恒成立，求实数的取值范围. （ⅱ）当时，在上的所有零点从小到大依次为，，…，，…求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $