广东深圳市多校2025-2026学年高二下学期第二阶段质量监测数学试题

2025-2026学年度第二学期高二年级第二阶段质量监测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座 位号填写在答题卡上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+cosx,则f'(0)=() A.0 B.1 C.2 D.3 2.己知随机变量X的分布列如下表：若E(X)=0,则D(3X-2)=() X -2 0 1 2 1 1 6 3 2 7 A. B.5 C.7 D.21 3 3.设函数f(x)在定义域内可导，y=∫(x)的图象如图所示，则导函数y=∫'(x)的图象可 能是() 试卷第1页，共4页 4.在(x+y)(x-2y)的展开式中，x2y2的系数为() A.120 B.80 C.40 D.-40 5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻， 则不同排列方式共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 6.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行 辅助检测依照以往数据，任一观众私自携市应援物品的概率为}，若观众确实携带，安检 4 门亮灯提示的概率为了：若观众没有携带，安检门依旧 10 的概率因误检其他物品而亮灯 提示若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为() A.5 4 B C. D.} 7.已知函数f(x)=ahx- r-2x存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（） A.(0,+∞) B.(-1,+o) C.[0,+o) D.[-1,+oo) 8.已知函数∫(x)是定义域为R的奇函数，∫'(x)是f(x)的导函数，f(1)=0,当x<0时， f'(x)+3f(x)>0,则不等式f(x)<0的解集为() A.(-0,-1)U(0,1) B.(-1,0)U(0,1) C.(-0,-1)U(1,+∞) D.(-1,0)U1,+w) 试卷第2页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9.关于(x-1)的展开式，下列结论正确的是() A.展开式中共有9项 B.第3项为28x C.各项系数的和为256 D.二项式系数的最大值为70 10.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X(单位：g)服从正态分布 Nuo),且P(K<148P(x≤1图)写从该流木线上随机持取4件产品。这4件产 品中质量X在区间[14,18]上的件数记为5，则() A.u=16 BP04sxs1图-月 C.P(5=1)=27 D.E(5)=3 64 1.已知函数f()=+-是， ,则() A.f(x)在区间(0，+o)上单调递增 B.f(x)恰有两个零点 C.不等式f(x)<f(1-x)的解集为{x0<x< 2 D.若f(m+∫(n)=0,则m2+n2的最小值为2 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分。 12.若C2-1=C0+C0,则正整数n的值为 13.已知函数f(x)=x-x,曲线f(x)经过点P(1,0)的切线方程为 14.某人工智能博览会有4个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙两人各自从中随机选择2个去 参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X,则X的数学期望为 试卷第3页，共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.己知函数f(x)=x+2+bx+在x=1处有极值，且f1)=10. (1)求ab的值： (2)求f(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值. 16.已知在 2x-) neN)的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是 5 (1)求n的值： (2)求展开式中的常数项： (3)求展开式中的有理项， 17.设甲袋中有3个白球，2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和m个黑球 (m∈N),这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为？ (1)求m的值： (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概 率 (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的 是白球或黑球的概率 18.甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮.已知甲、乙每 21 次投篮命中的概率分别为亏行规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2 分 (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率： (2)记一局比赛中乙投篮次数为X,求X的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局 的概率 19.已知函数f(x)=nx-2(x-1)(m∈R) (1)讨论函数f(x)的单调性： ②证明：当)<m<2时，f)<3-h4, (3)若不等式f(x)+e--x≥0对x∈L,+o)恒成立，求实数m的取值范围 试卷第4页，共4页《2025-2026学年度第二学期高二年级第二阶段质量监测》参考答案 题号 1 2 4 6 7 8 9 10 答案 C 0 D B B D ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1.C 【详解】由f(x)=e2x+cosx,求导得f'(x)=2e2x-simx, 所以f'(0)=2. 2.D 【分析】先求出m,的值，再求出D(X)的值，最后根据方差的性质即可得答案。 1 m+n=2 〔1 = 6 【详解】由题意 -2+041 ,解得1 +2m=0 = 3 所以D()会（(R=4写0+1兮4合子 63 7 所以D6X-2)=9D(0=9×321. 故选：D 3.A 【分析】根据原函数图象，利用原函数递增f'(x)>0；原函数递减f"(x)<0可判断结果. 【详解】由原函数图象可得， 当x<0时，原函数单调递增，导函数恒为正值； 当x>0时，函数f(x)在(0，+∞)上是先减后增再减，其导数值的符号为负、正、负： 结合选项可得，只有A选项满足 故选：A. 4.D 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，(x-2y)展开式的通项公式为： I1=C5x-(-2y)=C5(-2)x-y* 令k=3,可得T,=Cx2(-2y)=-80x2y,此时与x+y相乘可得x3y的系数为-80： 答案第1页，共11页 令k=2,可得T=Cx3(-2y)}=40x3y2,此时与x+y相乘可得x2y的系数为40： 所以x3y的系数为-80+40=-40. 5.B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列， 有3！种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位 置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5 名同学共有：3x2×2=24种不同的排列方式， 故选：B 6.B 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件A:该观众私自携带应援物品；事件B:安检门亮灯提示， 则P(-专P4)-青P(国-P叫aa-0P(®=P4PBA+P团PBA 3 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为P(AB), 14 所以P(AB)= P(AB)P(A)P(BH)33_2 P(B) P(B) 631 25 故选B. 7.A 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数f)=anx式-2x的定义域为0吗，号酒数为f)-兰-2 函数存在单调递增区间，等价于存在x>0使得"(x)>0 因为x>0,所以)=a--2>0等价于--2x+a>0→a>x2+2x《>0. 即a>x2+2x在x>0上有解. 对g(x)=x2+2x配方得g(x)=(x+1)2-1,g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0 要使a>g(x)在x>0上有解，只需a>0, 因此a的取值范围是(0，+o) 答案第2页，共11页 8.D 【分析】当x<0时，'(x)+3∫(x)>0,可得8(x)=xf(x)在(-o,O)上单调递增，结合函 数f(x)是定义域为R的奇函数，f(I)=0,从而得到不等式，求出答案 【详解】令g(x)=xf(x),则g(x)=3x2f(x)+xf(x)=x2[3f(x)+f(x)], 由题意知当x<0时，g'(x)>0,故g(x)在(-o,0)上单调递增， 因为函数∫(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(-x)=-f(x), 所以g(-x)=(-x)3f(-x)=x3f(x)=g(x), 所以g(x)是定义域为R的偶函数， 所以8(x)在(0，+∞)上单调递减， 又因为f(1)=0,所以f(-1)=-f(1)=0, 所以8(1)=8(-1)=0， 所以当x∈(-n,-1)时，8(x)=xf(x)<0,则f(x)>0; 当x∈(-1,0)时，8(x)=xf(x)>0,则f(x)<0: 当x∈(0,1)时，8(x)=xf(x)>0,则f(x)>0: 当x∈(1，+0)时，8(x)=xf(x)<0,则f(x)<0. 则不等式f(x)<0的解集为(-1,0)U(1,+0): 故选：D 9.ABD 【详解】对于A,二项式(x-1)3的展开式中共有8+1=9项，故A正确： 对于B,第3项为T4=Cx.(-1)=28x,故B正确： 对于C,令x=1,得各项系数的和为1-1)=0，故C错误； 对于D,二项式系数的最大值为C=70,故D正确. 答案第3页，共11页 10.ABD 【分析】由正态分布对称性可判断AB;由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由PX≤1阁-名得P0X>19=1令专 故P(X<14)=P(X>18), 由正态分布的对称性可知u=14,18=16,A正确： 2 B选项，P14≤X≤18)=1-PK>18PX<14年B正确： 3 c选项，白题应得~(4》故P(5=)=c心子月) 3,C错误： D选项，B(传)=4×33，D正确 4 11.ABD 【分析】函数f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o),关于原点对称，且函数f(x)为偶函数， 对于函数求导可判断A项，由单调性及∫(I)=O可判断B项，由偶函数及单调性可判断C, D项. 【详解】函数f)=m时+子的定义域为（∞00+o),关于原点对称 H()创小()守@)，所以数因为锅商数， 对于A项，当x20时，了)=n+2- 2 对其求号相了)-+2x+子>0，所以()在区间0+回)上单调道增，故A项正确： 对于B项，因为f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0, 根据偶函数的性质可知，f(-1)=∫(1)=0，所以∫(x)恰有两个零点，故B项正确： 对于C项，因为f(x)为偶函数，且在(0，+o)上单调递增， 所以f(x)<f(1-x)等价于f()<f1-x), 得州<1-，两边平方得x<2, 1 而函数f()的定义域为(a0小(0+).所以f(y<f1-)的解集为(a.0小0号》， 答案第4页，共11页 故C项错误； 对于D项，因为f(m)+f(n)=0,且f(x)为偶函数， 得f()+f()=0,即f()=-f(: // 1 又因为（在区间(0，+o)上单调递增，所以叫=前，得叫=1， 则2+n2≥2w1=2,当且仅当=风=1时取等号，所以2+的最小值为2，故D项正 确. 12.1或4 【详解】因为C1+C%=C%,所以原等式可化为C-=C, 所以2n-1=n或(2n-1)+n=11,解得n=1或n=4, 因此正整数n的值为1或4. 18.-2x-2或=+} 【分析】求导，设切点Q(,m-m),求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线 过P(1,0),将P(1,0)代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解。 【详解】f'(x)=3x2-1, 则设切点为Q(,3-）,k=f'(m)=32-1 可得过点2的切线方程为y-（m-m)=(3m2-1)(x-m), 代入点P(1,0)的坐标有0-（m2-m)=(（3m2-1)1-m), 整理为-m(m+1)0-1)+(32-1)-1上0， 因式分解为(2r2-m-1)(m-1)=0, 即(2m+1)(m-1)2=0, 答案第5页，共11页 解得m=1或=- 2 ①当m=1时，所求切线方程为y=2(x-1), 整理为y=2x-2: ②当m=号时.所求切线方程为（合)-任儿+母》。 11 整理为y=一 4 故曲线冈经过点P10)的切线方程为y一2x-2或)=冬+片 故答案为：y=2x-2或y=-1x+1 一x+ 44 14.3 【分析】首先确定X的所有可能取值，分别计算X取每个值的概率，再将X的取值与对应 概率代入公式计算即可. 【详解】X为被参观的场馆个数，可能取值为2,3,4， 甲乙各选2个场馆，总的选法为CC?=6×6=36种， X=2(两人选的场馆完全相同)：共C=6种，故Px=2)=6= 366 X=3(两人恰好有1个共同场馆)：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2 个中选1个，共CCC=24种，故P(x=3)=24_2 363 61 X=4(两人选的场馆完全不同)：共C=6种，故P(X=4)= 366 BX)=2×+3×2+4×1-3. 2， 636 15.(1)a=4,b=-11 (2)最大值为46，最小值为10 【分析】(1)由f(1)=10得到a,b的等式，由f(x)=x+ax2+bx+a在x=1处有极值得到 f'(1)=0,通过联立方程组求出a,b,经验证得到4，b的值 (2)利用导数求出单调性，利用单调性得到f(x)的最大值和最小值. 【详解】(1)（)=1十a+b+a=10（1),……1分 f'(x)=3x2+2x+b,f'(I)=3+2a+b=0(2),… .…2分 答案第6页，共11页 联立（1)、(2)解得a=-3,b=3,a=4,b=-11, … 4分 当a=-3,b=3时，代入f'(x)=3x2-6x+3=3(x-)≥0恒成立， 所以原函数不存在极值，此组值舍去.所以a=4,b=-l1. 6分 (2)当a=4,b=-11时，f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),7分 当<-或x>1时()>0，f(内)单调递增，8分 3 当-号<1时。f<0刊单调道藏. 9分 又因为x∈[-1,3]所以f(-1)）=30,(1)=10f(3)=46,11分 所以f(x)的最大值为46，最小值为10. .…13分 16.(1)6 (2)60 (3)64x6;240x2;60:x3 【分析】(1)利用已知条件列出关于的组合数方程求解即可： (2)写出展开式的通项公式，令x的指数为0求出参数r,再代回通项计算出常数： (3)问根据通项公式令x的指数为整数，结合取值范围算出所有符合条件的？值，再分别 计算出对应的每一项 【详解】(1)由题意得 0m≥2， C1 2分 22 则有n(n-1)n-15,解得n=6.… 4分 2 2》x.=c2"(ya=gfr1j:克1j2cg号. 1 6分 令6-3e0台=47分 故常数项：(-1)22C分=4×15=60；9分 (3)有理项指数为整数6-∈Z且0≤r≤6且r∈N,得r=0,2,4,6…l1分 2 当r=0时：（-1）25Cgx6=64x6,12分 当r=2时：(-1)224C%x3=240x3, 13分 答案第7页，共11页 当r=4时：(（-1)422Cx°=60， .14分 当r=6时：(-1)°2Cgx3=x3 15分 17.(1)3: o号 【分析】(1)利用古典概率公式列式求解。 (2)利用条件概率公式求解， (3)利用全概率公式求解 【详解】(1)由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为} 3 1 得3+3+m3 2分 所以m=3 4分 (2)从甲袋中取出两球，事件A=“第一个球是白球， 事件B=“第二个球是红球”5分 则)-A=3,p4)-AA1 A10 A015' PB1④=P4A)2 P()9’8分 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为 99分 (3)从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为A,A,A,从乙袋取出的是白 球或黑球的事件为C,… 10分 则W-品后P)品青 11分 cW6Pc40-后gPcA-6 .13分 由全概率公式得 P(C)=P(A)P(CA)+P(A)P(CIA)+P(A)P(C1A)= 37131717 10105521025 所以从乙袋取出的是自球或黑球的概率号 15分 18@会 o(到-8 答案第8页，共11页 3)4 81 【分析】(1)根据独立事件概率的乘法公式即可求解： (2)先确定X的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； (3)先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出。 【详解】(1)记A为甲第i投篮命中，记B为乙第i投篮命中，1分 则甲6：0获胜的概率， 月=PA=4P)P4)-子号8 4分 (2)一局比赛中乙投篮次数为X可能取值有0,1,2,5分 224 则P(X=0)=P(AA)=P(A)P(A)=×= 339 6分 Px-)P44U4马)-P4国P国)Pa号g8分 Px==Pj=na-兮5君 9分 所议()-18合8 6-18 ..10分 (3)甲6：0获胜概率=27 11分 甲40歌米月=44国列子村寺 12分 甲2：0获胜概率=P446U464专X子4分 记事件C为局比赛中甲获班，则P9)-8+克号2。 2727"93 15分 由慰意知，进行5局比赛甲获胜的局数X~B5 2 16分 所以P(X≥3) +c+c 64 17分 19.(1)若m≤0，函数f(x)在定义域(0，+∞)内单调递增： 若>0，函数f(x)在0， 1 内单调递增，在 -,0内单调递减. 2m 27m (2)证明见详解 【分析】(1)求导，分类讨论参数的正负性，结合导数的符号判断原函数单调性： 答案第9页，共11页 （2)根据（1)冲单词性可得了)s了()-h2-1.令1=2e4:&01-11 利用导数证明不等式： (3)令h(x)=f(w)+e1-x,x≥1，根据端点效应可得m 2,并代入检验即可 【详解】(1)由题意可知：f)的定义域为(0，+o),且(y)=2m=1-2,…1分 x 若m≤0，则f(x)=1-2>0,可知函数f在定义域(0，+网)内单调递增；…2分 若m>0,令f(四)>0，解得0<<：令f(<0,解得x> 1 2m 21m 可知函数f)在0 内单调递增，在+o内单调递减：……4分 综上所述：若≤0，函数f(x)在定义域(0，+∞)内单调递增； 若m>0,函数f在0之】 内单调递增，在 1 2 21m 内单调递减5分 3)当}<m<2时，可知函数在到07 内单调递增， 2 在品+内单调运减。 .6分 则f(x)≤f八2m) 71） =2-ln-1, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分 令1=me0.80=i-h-1,则g0-1}分0 在t∈(（们，4)内恒成立，8分 可知g(t)在(（1,4)内单调递增，则g(t)<g(4)=3-血4，.9分 所以当mK2时，f<3-血4.10分 (3)令h(x)=x)+e1-x=xlnx-2(x2-x+e-x,x≥1,11分 原题意等价于不等式h(x)之0对x∈[1，+o)恒成立，… 12分 因为H(x)=lnx-2m(2x-1)+e-1,且h(1)=0, 则0=-2m+120,解得m号 … 13分 若m≤行令n()=N(),x≥1，则()=是4m+e, 1 1 令R(四=n(国.1，则严e在-)内举词诺塔， 答案第10页，共11页 可得F(x)之F()=0,可知F(x)在[1，十∞)内单调递增，14分 则F(x)≥F(1)=2-4m20,即1(x)≥0， 可知n(x)在[1，+o)内单调递增，则n(x)≥n(1)=-2+1≥0，即h(x)≥0， 可知h(x)在[1，+o)内单调递增，则h(x)≥h(1)=0,符合题意； 16分 综上所述：实数m的取值范围为 17分 答案第11页，共11页