5.2简单的轴对称图形（第2课时 认识线段的轴对称性）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦线段的轴对称性，涵盖垂直平分线的定义、性质及尺规作图。通过回顾等腰三角形和轴对称性质，以“线段是否为轴对称图形”设问导入，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于采用“折纸感知—观察猜想—推理证明—总结应用”探究流程，结合几何直观和推理意识，如通过折纸发现线段对称轴，用全等证明垂直平分线性质。课堂小结系统梳理知识与方法，助力学生提升逻辑推理能力，也为教师提供完整教学方案。

5.2 简单的轴对称图形 第 2 课 时 认识线段的轴对称性 第五章 图形的轴对称 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解线段是轴对称图形，能准确找出其对称轴；掌握线段垂直平分线的定义，能用规范几何语言表述；理解并熟记线段垂直平分线的性质，能完成简单推理、计算与说理；熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，理解作图依据. 经历“折纸感知—观察猜想—推理证明—总结应用”的探究过程，积累几何探究活动经验；通过动手操作、合作交流、规范说理，提升几何直观、逻辑推理和语言表达能力；体会数形结合、转化、从特殊到一般的数学思想. 在自主探究中获得数学成功体验，激发几何学习兴趣；感受轴对称在生活中的应用价值，培养严谨治学、规范表达的数学素养. 图形 等腰三角形 （腰与底边不等） 等边三角形 定义 两边相等的三角形 三边都相等的三角形 　特　　征 关系 轴对称图形（3条） 等边对等角 三线合一 各内角都是60º 轴对称图形（1条） 等边对等角 三线合一 等边三角形一定是等腰三角形， 等腰三角形不一定是等边三角形. 知识回顾 1.等腰三角形与等边三角形性质 知识回顾 1. 下列各图中，可看作轴对称图形的是( ) A B C D B 2.线段是轴对称图形吗？如果是，对称轴与这条线段有什么关系？ 性质1：成轴对称的两个图形全等，即对应线段相等、对应角相等 性质2：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 轴对称的性质有哪些？ 练一练 A B A A′ 如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我们如何验证呢？不折叠图形你能得出它的对称轴吗？ 作出一对对称点的垂直平分线，就得到它的对称轴。 导入新课 新知探究 探究点1 探究线段的轴对称性 做一做 动手折纸 拿出画有线段AB的纸片，将线段沿某条直线对折，使线段两个端点A、B完全重合. （1）线段AB对折后能完全重合， 说明线段是轴对称图形； （2）折痕与线段AB的位置关系：垂直且平分； A B A A B 新知探究 探究点1 探究线段的轴对称性 议一议 如图，线段AB，线段本所在直线也是它的一条对称轴，我们通常研究垂直并且平分线段的这条对称轴. A B （3）它的对称轴的特点? 线段AB的对称轴垂直且平分线段AB。 A B 归纳结论： 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴. 新知探究 探究点2 线段垂直平分线 议一议 注意：垂直平分线是直线，不是射线、不是线段；必须同时满足垂直、平分两个条件. A B 线段垂直平分线的定义: 如图： 如果直线MN⊥AB，垂足为O，且AO=BO， 直线MN是线段AB的垂直平分线. M N 0 定义：垂直于一条线段， 并且平分这条线段的直线， 叫作这条线段的垂直平分线(简称“中垂线”)。 尝试•思考 探究点3 探究垂直平分线的性质 议一议 如图，直线是线段AB的垂直平分线，点C是上的任意一点.在线段AB上画出以直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′. CD= CD' 理由如下： ∵点D和D'关于对称轴 l 对称，交线段AB于点E， ∴ DE= D′E，∠CED=∠CED=90° 在△CED和△CED′中， ∵ ∴ △CED≌△CED'(SAS) ∴ CD=CD'。 E (1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系?说说你的理由. A B C D D′ 新知探究 探究点3 探究垂直平分线的性质 议一议 (2) 当点D与点A重合时，点D′位于什么位置? 点D'与点B重合。 CD=CD'。 （4）改变点C的位置，点F事对称轴上另一个点，结论还成立吗? E A B C D D′ （3）此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗? 由此你能得到什么结论? F 结论还成立，FA=FB 新知探究 探究点3 探究垂直平分线的性质 归一归 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线的性质: 几何语言： 因为MN是线段AB的___________，且C为MN上任意一点 垂直平分线 所以______=______ AC BC M A B N C 新知探究 探究点3 探究垂直平分线的性质 议一议 线段垂直平分线 ∵ PA = PB， ∴点 P在 AB 的垂直平分线上. M A B N P Q PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ∴点 P在 AB 的垂直平分线上. ∵ PA = PB， 几何语言： 几何语言： 逆向思考 新知探究 探究点4 作线段的垂直平分线 画一画 如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线? A B 作出已知线段AB的垂直平分线 假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题 这条直线与AB的交点是AB的中点，且与AB垂直，直线上的点到线段AB两端距离相等。 (1)这条直线有什么特征? (2)如何确定这条直线上的两个点? 提示：需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作。 新知探究 探究点4 作线段的垂直平分线 画一画 如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线? A B 方法2： ①确定垂直平分线上的两个点； ②连接两点确定垂直平分线。 方法1： ①确定线段AB的中点； ②过线段AB的中点作它的垂线。 作出已知线段AB的垂直平分线 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。 新知探究 探究点4 作线段的垂直平分线 议一议 如果只用尺规呢?试一试 画一画 如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线? A B 作出已知线段AB的垂直平分线 作法： 1.分别以点A和点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D ； 2.作直线CD。 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。 C D 新知探究 探究点4 作线段的垂直平分线 议一议 如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线? A B 作出已知线段AB的垂直平分线 C D 请你说说这样作的道理。 理由如下： 连接AC，AD，BC，BD， 由作图得： AC=BC，AD=BD ∴△ACD≌△BCD，（SSS） ∴∠ACD=∠BCD; 又∵△ACB是等腰三角形， ∴ CD垂直平分AB. 典例分析 例1：如图，已知直线l 和l 上的一点P，如何用尺规作l 的垂线，使它经过点P? 能说明你的作法的道理吗? 作法： 1.以P点为圆心，以任意长为半径画圆，交 l 于A、B两点； 2.分别以点A和点B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D ； 3.作直线CD。 ∴直线CD即为过点P 的直线l 的垂线。 C D 典例分析 例2：如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数． 解：， ， 又 ， ， 是腰的垂直平分线， ， ， ． 新知巩固 1.如图，己知AB是线段CD上的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED的长是多少? 解： ∵AB是线段CD上的垂直平分线，E是AB上的一点 ∴ED=EC （线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∵EC=7cm ∴ED=7cm。 课本Ｐ130页 随堂练习 新知巩固 2.画一条线段PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线. P Q 作法： 1.分别以点P和点Q 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点A和B ； 2.作直线CD。 直线 AB 就是线段PQ的垂直平分线。 课本Ｐ130页 随堂练习 A B 拓展提升 1．如图，在中，．   (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D（要求保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的周长   （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长: ， ∵， ∴的周长为：． （1）解：如图所示：直线即为所求； 真题感知 1．（2025·商洛校考）如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 作法：如图， （1）分别以A、B为圆心， 以大于的长为半径画弧， （2）过两弧交点作直线，与交于点P， ∴点P即为所求. 真题感知 2.（2025.江宁校考）如图所示，已知，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，要求：在边上确定一点，使得． 解：作线段的垂直平分线， 交于点P，则， ， 如图所示，点P即为所求： 真题感知 3.（2025.宁波校考）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，点C即为所求． 知 识 总 结 （1）线段是轴对称图形，一条对称轴是它的垂直平分线. （2）垂直平分线定义：垂直且平分线段的直线. （3）核心性质： 线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等. （4）会用尺规作线段的垂直平分线. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）几何探究方法： 动手操作→观察猜想→推理验证→归纳应用. （2）几何学习方法： 抓定义、记性质、规范语言、数形结合. （3） 解题技巧： 看到垂直平分线，直接联想线段相等，进行等量代换. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）垂直平分线是直线，不是线段、射线. （2）必须同时满足垂直、平分两个条件，缺一不可. （3）性质定理的条件和结论要清楚. （4）尺规作图时，画弧半径必须大于线段长的一半. （5）不能仅凭PA=PB，就判定点P是线段中点. 课后练习 A B 2.画一条线段 AB，用尺规将它四等分。 解：已知：线段AB。 求作：将线段AB四等分。 作法: (1)分别以点A和点B为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D； (2)连接CD 交AB 于点O，点O是线段 AB的中点； (3)用同样方法作出线段AO 的中点G 和BO 的中点H(如图所示) 。 教材p133页 习题5.2 课后练习 7.如图，在△ABC中，AB≠AC，线段AM是它的一条中线，点P是线段AM上的一点，你认为PB与PC相等吗? 如果AB=AC 呢? 为什么? 解:不相等。 如果AB= AC，那么PB= PC。 因为此时△ABP 与△ACP 关于AP 所在的直线对称， 所以PB= PC。 教材p134页 习题5.2 课后练习 8.在线段 AB 的垂直平分线上任取两个不同的点M，N，则∠MAN和∠MBN之间有什么关系?为什么? 解: ∠MAN=∠MBN 。 理由： 由题意容易得到△MAN 和△MBN 关于线段AB 的垂直平分线对称，所以∠MAN=∠MBN 。 教材p134页 习题5.2 A B M N 谢谢聆听 $