期末真题百练通关39大易错题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦期末39大易错题型，以88道期中期末真题为载体，系统梳理统计与概率、分式、因式分解等核心模块，构建"概念-性质-应用"递进式知识链，强化数学思维与应试能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|13题（期中真题）|调查方式选择、数据描述与图表应用|从调查方法到数据处理，形成完整统计分析链条| |分式|21题（阶段检测）|概念辨析、运算条件与符号法则|从分式识别到变形运算，突出易错点突破| |因式分解|10题（期末）|方法识别、公因式提取与错误判断|遵循"定义-方法-应用"逻辑，强化分解规范性| |整式乘除|20题（期中）|幂的运算、公式应用与整式乘除|以幂的运算法则为核心，构建整式运算体系| |方程组|8题（期中）|定义辨析、解法选择与实际应用|从概念到解法，体现模型思想与应用意识| |平行线|16题（期末）|角的识别、平行判定与平移作图|围绕三线八角，强化空间观念与推理能力|

期末真题百练通关（88题39大易错题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全面调查与抽样调查（共2小题） 题型二 总体、个体、样本、样本容量（共2小题） 题型三 抽样调查的可靠性（共2小题） 题型四 选择合适的统计图（共3小题） 题型五 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 题型六 根据已知数据求频数/频率（共2小题） 题型七 分式的判断（共2小题） 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 题型九 求使分式变形成立的条件（共3小题） 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 题型十五 分式的乘方（共2小题） 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 题型十八 公因式的识别（共2小题） 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 题型二十二 同底数幂的乘法（共3小题） 题型二十三 幂的乘方（共3小题） 题型二十四 积的乘方（共3小题） 题型二十五 同底数幂的除法（共3小题） 题型二十六 整式的乘法（共3小题） 题型二十七 整式的除法（共2小题） 题型二十八 判断能否利用平方差公式/完全平方式计算（共3小题） 题型二十九 二元一次方程（组）的定义（共2小题） 题型三十 二元一次方程（组）的解（共2小题） 题型三十一 选择合适的方法解二元一次方程（共2小题） 题型三十二 根据实际问题列方程（组）（共2小题） 题型三十三 对顶角的识别（共2小题） 题型三十四 三线八角的识别（共2小题） 题型三十五 用数学常识解释常见生活现象（共2小题） 题型三十六 生活中的平移现象（共2小题） 题型三十七 图形的平移（共2小题） 题型三十八 根据已知条件判定两直线平行（共3小题） 题型三十九 画图问题（共3小题） 题型一 全面调查与抽样调查（共2小题） 1．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．检测一批灯泡的使用寿命 B．调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C．调查某校七（1）班学生的身高情况 D．调查全国中学生课外阅读量 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列调查中，最适合抽样调查的是（   ） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 题型二 总体、个体、样本、样本容量（共2小题） 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）某市为了解96000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中4000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是(    ) A．96000名初中毕业生的身高是总体 B．每名初中毕业生的身高是个体 C．4000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查 4．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）“俭以养德”是中华民族的优秀传统．某中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行统计，关于这次调查，下列说法正确的是（    ） A．本次调查属于普查 B．50名学生的一周的零花钱数额是总体 C．每一名学生是样本 D．每一名学生一周的零花钱数额是个体 题型三 抽样调查的可靠性（共2小题） 5．（2026·重庆·模拟预测）为了解某校初中学生的周末文化学习情况，以下抽样调查中，样本最具代表性的是（    ） A．从毕业年级随机抽取50名学生 B．三个年级每班随机抽取5名学生 C．从艺体特长生中随机抽取50名学生 D．从八年级随机抽取一个班的学生 6．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列抽样调查中，样本的选取方式合适的是（   ） A．为了解某市青少年的近视情况，选取该市初一年级的学生进行调查 B．为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对10名正在健身的老人进行调查 C．为了解某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的50名同学进行调查 D．为了解某校学生的每日睡眠时长，选取该校学籍尾数为5的学生进行调查 题型四 选择合适的统计图（共3小题） 7．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2025第十五届全运会上，广东代表团发挥出色，共获得43块金牌、46块银牌和42块铜牌．要想清楚地表示出广东体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（   ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．以上统计图均可以 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）近年来我国国内生产总值增长率的变化情况如下： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 增长率 若想根据表中数据制成统计图，以便清楚看出这几年来国内生产总值增长率变化情况，应选取（   ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上均不能选 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）深圳作为现代化国际大都市，拥有众多标志性建筑．下表列出了四大标志性建筑的当前高度（单位：米），若需直观比较各建筑的高度差异，最适合使用的统计图是（    ） 建筑名称 平安金融中心 京基100大厦 中国华润大厦 地王大厦 高度（米） 599 442 393 384 A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．都可以 题型五 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 10．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是_____． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）在某校一次针对60名学生的英语测试中，成绩优秀的占45%．在扇形图中，表示这部分学生的扇形圆心角的度数是____________；表示成绩良好的学生的扇形圆心角的度数是，则成绩良好的学生有____________名． 题型六 根据已知数据求频数/频率（共2小题） 12．（25-26七年级下·全国·单元测试）一次数学测验成绩（单位：分）如下：81，65，42，98，89，100，89，77，那么分数大于80分的频数为________，占________． 13．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）“ ”（汗水是成功的润滑剂）在这个句子所有英文字母中，字母出现的频率是______． 题型七 分式的判断（共2小题） 14．（24-25八年级下·四川内江·阶段检测）在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有______，是整式的有______．（请填写序号） 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 16．（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）若要使有意义，则的取值范围是______． （2）若要使无意义，则的值是______． 17．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段检测）当时，分式没有意义，则_____． 18．（25-26七年级下·全国·周测）当___________时，分式的值为0． 题型九 求使分式变形成立的条件（共3小题） 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 20．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 21．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级上·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 26．（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）分式，的最简公分母是______； （2）分式，，的最简公分母是______． 27．（2023七年级下·浙江·专题练习）分式，，的最简公分母是_______． 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 28．（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______； （5）______． 29．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则__________． 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 30．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算______． 31．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为________． 题型十五 分式的乘方（共2小题） 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 34．（2026·安徽合肥·一模）解分式方程：． 35．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）解下列分式方程： (1) (2) 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 36．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·云南玉溪·期末）下列由左边到右边的式子变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型十八 公因式的识别（共2小题） 38．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 40．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（19-20七年级上·上海闵行·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 42．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 43．（23-24七年级下·河北沧州·期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 44．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十二 同底数幂的乘法（共3小题） 46．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是___． 47．（25-26七年级下·山东聊城·期中）计算________． 48．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，求的值为______． 题型二十三 幂的乘方（共3小题） 49．（25-26七年级下·湖南·期中）计算：_____． 50．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，，则______． 51．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，则、、之间的大小关系为______（用“”连接）． 题型二十四 积的乘方（共3小题） 52．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：___________． 53．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算的结果是______． 54．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，则a的值为______． 题型二十五 同底数幂的除法（共3小题） 55．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如果 有意义，那么应满足的条件是_____． 56．（25-26七年级下·广东茂名·期中）______． 57．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 题型二十六 整式的乘法（共3小题） 58．（25-26七年级下·广东深圳·期中）__________． 59．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果为__________ 60．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若代数式可化为，则________． 题型二十七 整式的除法（共2小题） 61．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 62．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________． 63．（25-26七年级下·江西抚州·期中）某中学宣传栏是一个长方形，它的面积为，长为，则这个宣传栏的周长为_____． 题型二十八 判断能否利用平方差公式/完全平方式计算（共3小题） 64．（25-26七年级下·重庆·期中）下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 65．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 66．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 题型二十九 二元一次方程（组）的定义（共2小题） 67．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列式子中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 68．（25-26七年级下·河南许昌·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①；②；③；④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 题型三十 二元一次方程（组）的解（共2小题） 69．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 70．（25-26七年级下·山东烟台·期中）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A．B．C． D． 题型三十一 选择合适的方法解二元一次方程（共2小题） 71．（23-24七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 72．（25-26七年级下·山东威海·期中）解方程组： (1)(2)(3) 题型三十二 根据实际问题列方程（组）（共2小题） 73．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 74．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 题型三十三 对顶角的识别（共2小题） 73．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 74．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 题型三十四 三线八角的识别（共2小题） 75．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 76．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段检测）根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 题型三十五 用数学常识解释常见生活现象（共2小题） 77．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 78．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，工人准备从河岸的点出发向河对岸搭桥，、、、是计划的四种搭桥方案，其中，若要使搭建的桥梁最短，则应该沿线段________进行桥梁搭建．（填“”“”“”或“”） 题型三十六 生活中的平移现象（共2小题） 79．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 80．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）生活中下列现象可以看作平移的是（    ） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张纸对折 题型三十七 图形的平移（共2小题） 81．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A．B． C． D． 82．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A．B． C． D． 题型三十八 根据已知条件判定两直线平行（共3小题） 83．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 84．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 85．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，有下列4个结论：①；②；③；④中．则正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 题型三十九 画图问题（共3小题） 86．（25-26七年级下·河北保定·期中）下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 87．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）如图，在方格纸上有一线段和一点C． (1)过点C画出与平行的直线； (2)过点C画出与垂直的直线． 88．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）2026年4月23日是第32个世界读书日，今年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，这让我们更加深刻地认识到，阅读不仅是个人成长的阶梯，更是连接过去与未来、个体与世界的桥梁．某县中小学广泛开展爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查了40名学生（每人只选一种），收集数据整理后，绘制出以下统计表： 活动形式 征文 演讲 知识竞答 其他 人数 8 12 16 4 请根据统计表绘制扇形统计图． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，，先化简，再计算当时，求该式子的值． 5．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）解二元一次方程组 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，，． (1)若，则的度数为多少？ (2)若，求的值． $ 期末真题百练通关（88题39大易错题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全面调查与抽样调查（共2小题） 题型二 总体、个体、样本、样本容量（共2小题） 题型三 抽样调查的可靠性（共2小题） 题型四 选择合适的统计图（共3小题） 题型五 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 题型六 根据已知数据求频数/频率（共2小题） 题型七 分式的判断（共2小题） 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 题型九 求使分式变形成立的条件（共3小题） 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 题型十五 分式的乘方（共2小题） 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 题型十八 公因式的识别（共2小题） 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 题型二十二 同底数幂的乘法（共3小题） 题型二十三 幂的乘方（共3小题） 题型二十四 积的乘方（共3小题） 题型二十五 同底数幂的除法（共3小题） 题型二十六 整式的乘法（共3小题） 题型二十七 整式的除法（共2小题） 题型二十八 判断能否利用平方差公式/完全平方式计算（共3小题） 题型二十九 二元一次方程（组）的定义（共2小题） 题型三十 二元一次方程（组）的解（共2小题） 题型三十一 选择合适的方法解二元一次方程（共2小题） 题型三十二 根据实际问题列方程（组）（共2小题） 题型三十三 对顶角的识别（共2小题） 题型三十四 三线八角的识别（共2小题） 题型三十五 用数学常识解释常见生活现象（共2小题） 题型三十六 生活中的平移现象（共2小题） 题型三十七 图形的平移（共2小题） 题型三十八 根据已知条件判定两直线平行（共3小题） 题型三十九 画图问题（共3小题） 题型一 全面调查与抽样调查（共2小题） 1．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（    ） A．检测一批灯泡的使用寿命 B．调查北京市七年级学生每日睡眠时间 C．调查某校七（1）班学生的身高情况 D．调查全国中学生课外阅读量 【答案】C 【分析】普查适合调查范围小，人数少，调查无破坏性的情况，结合各选项的实际情况判断即可. 【详解】解：A选项，检测灯泡使用寿命具有破坏性，不适合普查； B选项，北京市七年级学生数量多，范围广，不适合普查； C选项，某校七(1)班学生人数少，范围小，适合普查； D选项，全国中学生数量多，范围广，不适合普查. 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列调查中，最适合抽样调查的是（   ） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 【答案】D 【分析】根据调查范围大小、结果准确性要求选择调查方式， 一般来说，范围小、易调查、结果要求准确；事关安全的调查适合普查，调查范围广、工作量大的调查适合抽样调查，逐个分析选项． 【详解】解：∵ 选项A中某校足球队员人数少，适合全面调查， ∴A不符合题意； ∵ 选项B中检查旅客违禁物品事关公共安全，必须逐一检查，适合普查， ∴B不符合题意； ∵ 选项C中某班学生人数少，适合全面调查， ∴C不符合题意； ∵ 选项D中调查对象是全国中小学生，范围广、人数多，工作量大，适合抽样调查， ∴D符合题意． 题型二 总体、个体、样本、样本容量（共2小题） 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）某市为了解96000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中4000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是(    ) A．96000名初中毕业生的身高是总体 B．每名初中毕业生的身高是个体 C．4000名学生是样本容量 D．本次调查属于抽样调查 【答案】C 【分析】本题考查统计相关概念，需要区分总体、个体、样本、样本容量和抽样调查的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：本题考查对象是96000名初中毕业生的身高，因此96000名初中毕业生的身高是总体，A叙述正确，不符合题意． ∵个体是总体中每一个考查对象，因此每名初中毕业生的身高是个体，B叙述正确，不符合题意． ∵样本容量是样本中包含的个体的数目，是一个数值，本题样本容量为，名学生的身高才是样本，因此C叙述错误，符合题意． ∵本次调查只抽取了部分毕业生进行分析，因此属于抽样调查，D叙述正确，不符合题意． 4．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）“俭以养德”是中华民族的优秀传统．某中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行统计，关于这次调查，下列说法正确的是（    ） A．本次调查属于普查 B．50名学生的一周的零花钱数额是总体 C．每一名学生是样本 D．每一名学生一周的零花钱数额是个体 【答案】D 【详解】解：∵本次调查只抽取了50名学生，没有调查全部对象，∴不属于普查，A错误； ∵本次调查的总体是全校所有学生一周的零花钱数额，50名学生一周的零花钱数额是本次调查的样本，∴B错误； ∵样本是抽取的50名学生每人一周的零花钱数额，不是学生本身，∴C错误； ∵个体是每一名学生一周的零花钱数额，符合定义，∴D正确． 题型三 抽样调查的可靠性（共2小题） 5．（2026·重庆·模拟预测）为了解某校初中学生的周末文化学习情况，以下抽样调查中，样本最具代表性的是（    ） A．从毕业年级随机抽取50名学生 B．三个年级每班随机抽取5名学生 C．从艺体特长生中随机抽取50名学生 D．从八年级随机抽取一个班的学生 【答案】B 【分析】本题考查抽样调查样本的代表性，判断标准是样本是否能全面反映总体（某校全体初中学生）的特征，覆盖总体各部分的样本才具备代表性． 【详解】∵ 本题总体是某校全体初中学生，抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，能反映总体真实情况． ∴ A仅抽取毕业年级，C仅抽取艺体特长生，D仅抽取八年级一个班，样本都只覆盖总体的特定群体，存在偏向性，不具备代表性；B对三个年级每班随机抽取学生，样本覆盖所有年级和不同班级，能反映全体初中学生的周末文化学习情况，因此样本最具代表性． 6．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列抽样调查中，样本的选取方式合适的是（   ） A．为了解某市青少年的近视情况，选取该市初一年级的学生进行调查 B．为了解某社区老年人的健康状况，在该社区随机对10名正在健身的老人进行调查 C．为了解某校学生每周课余体育锻炼时间，选取该校体育社团中的50名同学进行调查 D．为了解某校学生的每日睡眠时长，选取该校学籍尾数为5的学生进行调查 【答案】D 【分析】本题考查抽样调查中样本选取的原则，需判断样本是否具有代表性与广泛性，依据该原则逐一分析选项即可． 【详解】解：A．仅选取初一年级学生，无法代表该市所有青少年，样本选取不合适，故A选项不符合题意； B．仅调查正在健身的老人，这类老人健康状况可能优于社区普通老人，样本不具代表性，选取不合适，故B选项不符合题意； C．仅选取体育社团同学，他们的锻炼时间与普通学生有差异，无法代表全体学生，样本选取不合适，故C选项不符合题意； D．选取学籍尾数为5的学生，属于系统抽样，每个学生被选中的概率相同，样本能代表该校全体学生，选取合适，故D选项符合题意； 故选：D． 题型四 选择合适的统计图（共3小题） 7．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2025第十五届全运会上，广东代表团发挥出色，共获得43块金牌、46块银牌和42块铜牌．要想清楚地表示出广东体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（   ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．以上统计图均可以 【答案】A 【分析】掌握不同统计图的特点是解题关键．根据题目要求，结合各统计图的作用判断即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚表示出部分占整体的百分比，能体现各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，条形统计图只能清楚反映每个项目的具体数量，折线统计图用来反映数据的变化趋势， ∴适合绘制扇形统计图． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）近年来我国国内生产总值增长率的变化情况如下： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 增长率 若想根据表中数据制成统计图，以便清楚看出这几年来国内生产总值增长率变化情况，应选取（   ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上均不能选 【答案】A 【详解】解：扇形统计图只能表示部分占总体的百分比，无法直接体现变化趋势； 条形统计图只能表示每个项目的具体数目，不突出变化； 折线统计图可以清楚表示数据的增减变化情况， 应选取折线统计图， 故选A． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）深圳作为现代化国际大都市，拥有众多标志性建筑．下表列出了四大标志性建筑的当前高度（单位：米），若需直观比较各建筑的高度差异，最适合使用的统计图是（    ） 建筑名称 平安金融中心 京基100大厦 中国华润大厦 地王大厦 高度（米） 599 442 393 384 A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．都可以 【答案】A 【分析】本题考查选择恰当统计图解决实际问题，熟记各个统计图的意义和优点是解决问题的关键． 问题要求直观比较四个建筑的高度差异，条形统计图通过条形的长度直接显示数值大小，最适合比较不同类别的数据，从而得到答案． 【详解】解：∵条形统计图用于比较不同类别的数据，能清晰显示高度差异；折线统计图适用于趋势变化，扇形统计图适用于比例关系， ∴选择条形统计图， 故选：A． 题型五 求扇形统计图的圆心角（共2小题） 10．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，并绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是_____． 【答案】/108度 【分析】先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用乘以B类别户数占总户数的比例即可得． 【详解】解：∵被调查的总户数为（户）， ∴B类别户数为（户）， 则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）在某校一次针对60名学生的英语测试中，成绩优秀的占45%．在扇形图中，表示这部分学生的扇形圆心角的度数是____________；表示成绩良好的学生的扇形圆心角的度数是，则成绩良好的学生有____________名． 【答案】 20 【分析】本题考查了扇形统计图的相关计算，掌握扇形圆心角的度数与对应部分的占比的关系是解题的关键． 扇形圆心角度数由乘以相应百分比得到；学生人数由总人数乘以扇形圆心角度数占的比例计算． 【详解】解：优秀学生的扇形圆心角度数为； 良好的扇形圆心角为，则良好的学生人数为（名）． 故答案为162；20． 题型六 根据已知数据求频数/频率（共2小题） 12．（25-26七年级下·全国·单元测试）一次数学测验成绩（单位：分）如下：81，65，42，98，89，100，89，77，那么分数大于80分的频数为________，占________． 【答案】 5 62.5% 【分析】本题考查了频数的概念，掌握频数的概念是解题的关键． 频数是指数据在某个范围内出现的次数，用该频数除以总数可得其所占百分比． 【详解】解：成绩数据为：． 其中分数在分以上的有，共个．总成绩数为， 因此频数为，占． 故答案为：，． 13．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）“ ”（汗水是成功的润滑剂）在这个句子所有英文字母中，字母出现的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查了求频率；需要计算句子中所有英文字母的总数和字母出现的次数，然后求频率． 【详解】解：句子“ ”中，英文字母总数为：有个字母，有个字母，有个字母，有个字母，有个字母，总字母数为． 字母出现的位置：中有次，中有次，共次． 因此频率为． 故答案为：． 题型七 分式的判断（共2小题） 14．（24-25八年级下·四川内江·阶段检测）在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在式子、、、、、、中，分式有、、、，共4个， 故选：B． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有______，是整式的有______．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 题型八 分式有意义/无意义，值为0的条件（共3小题） 16．（25-26八年级上·全国·课前预习）（1）若要使有意义，则的取值范围是______． （2）若要使无意义，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义与无意义的条件； （1）根据分式有意义可得，再进一步求解即可； （2）根据分式无意义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段检测）当时，分式没有意义，则_____． 【答案】 【分析】将代入可得，再根据分式的分母等于0即可得． 【详解】解：将代入分式得：， 分式没有意义， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式无意义，熟练掌握分式无意义的条件是解题关键． 18．（25-26七年级下·全国·周测）当___________时，分式的值为0． 【答案】0 【分析】分式的值为的条件是分子为且分母不为，所以需要先令分子等于求出可能的值，再代入分母验证分母是否不为． 【详解】解：要使分式的值为，需满足： ①分子为： 因式分解得：， 解得或． ②分母不为： ，解得：． 综合以上两个条件，舍去， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点分式的值为的条件，解题关键是牢记“分式值为时，分子为且分母不为”，避免只考虑分子而忽略分母的限制． 题型九 求使分式变形成立的条件（共3小题） 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 20．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出的取值范围． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出的符号是解题关键． 21．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 题型十 分式变形的符号法则（共2小题） 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变是解题关键． 逐个选项运用分式的基本性质和符号法则，判断变形是否正确． 【详解】解：A、∵ ，∴A正确，符合题意； B、∵ ，∴B错误，不符合题意； C、∵ 的分子分母同乘以得，∴C错误，不符合题意； D、∵ ，∴D错误，不符合题意． 故选：A． 23．（22-23八年级上·北京东城·期末）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键． 题型十一 最简分式的识别（共2小题） 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：，，，只有是最简分式， ∴其中最简分式有1个． 25．（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 题型十二 最简公分母的识别（共2小题） 26．（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）分式，的最简公分母是______； （2）分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①确定系数：确定各分母中系数的最小公倍数；②确定因式：分母中所有因式的最高次幂的积． （1）根据确定最简公分母的方法求解即可； （2）根据确定最简公分母的方法求解即可． 【详解】解：（1）分式，的最简公分母是； 故答案为： （2）分式，，的最简公分母是， 故答案为： 27．（2023七年级下·浙江·专题练习）分式，，的最简公分母是_______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义即可解答． 【详解】解：分式、、的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式． 题型十三 异分母分式相加减（共2小题） 28．（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1）先通分化为同分母，再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可； （5）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 29．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的通分与部分分式分解，掌握通分后通过比较分子的系数建立方程，直接获取系数关系是解题的关键． 通过部分分式分解，将等式右边通分后分子与左边分子比较系数，得到关于和的方程，直接得出的值 【详解】解：右边通分：， 与左边分母相同，故分子相等： 展开右边： 比较等式两边的系数，左边的系数为 4，右边为，因此：． 故答案为：4． 题型十四 整式与分式相加减（共2小题） 30．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 31．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 题型十五 分式的乘方（共2小题） 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 化简后与选项对照即可． 【详解】解：， 故选：C． 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘方及乘法运算，熟练掌握分式的乘方及乘法运算法则是解题关键，应用分式的乘方及乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型十六 解分式方程忘记验根（共2小题） 34．（2026·安徽合肥·一模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【详解】解：两边同乘以得， ， 解得， 检验：当时， ， 为分式方程增根， 故原分式方程无解． 35．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后，再检验，即可得到分式方程的最终结果． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 经检验：是原方程的解， 所以，分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得， 解得， 经检验，当时，， 所以，是增根， 因此原分式方程无解． 题型十七 因式分解的识别（共2小题） 36．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 37．（25-26八年级上·云南玉溪·期末）下列由左边到右边的式子变形，不属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的识别． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A：，右边为与的积，属于因式分解； B：，右边为，即积的形式，属于因式分解； C：，右边为与的积，属于因式分解； D：，右边为与的差，非积的形式，不属于因式分解； 故选：D． 题型十八 公因式的识别（共2小题） 38．（25-26九年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 39．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 题型十九 判断能否利用公式法分解因式（共2小题） 40．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 41．（19-20七年级上·上海闵行·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 题型二十 判断因式分解时的错误步骤（共2小题） 42．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题1第二步，习题2第一步 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解纠错．熟练掌握平方差公式、完全平方公式分解因式，添括号法则，是解题的关键． （1）根据平方运算知习题1是从第二步开始出现错误的，根据添括号法则知习题2是从第一步开始出现错误的； （2）习题1运用平方差公式因式分解，习题2提负号运用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的， 习题2的解答过程是从第一步开始出现错误的； （2）解：因式分解：习题1： ； 习题2： ． 43．（23-24七年级下·河北沧州·期末）阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)四， (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用提取公因式法、公式法及换元法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则并会换元，是解题的关键． （1）从第二步到第三步运用了完全平方公式； （2）第四步分解因式不彻底，继续进行分解即可； （3）设，将原式转换为，去括号整理后运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】（1）解：第二步到第三步运用了完全平方公式， 故选：C； （2）解：张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第四步，正确的结果： 故答案为：四；； （3）解：设， ∴ 题型二十一 判断因式分解的结果是否正确（共2小题） 44．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解：提公因式法、公式法，根据提公因式法、公式法分解因式判断即可． 【详解】解：A．左边为乘积形式，右边展开为多项式，属于乘法运算而非因式分解，故此选项不符合题意；． B．左边变形为，提取公因式得，正确． C．，但可继续分解为，未彻底分解，故此选项不符合题意； D．右边为，虽等式成立，但未写成乘积形式（实际可分解为），故此选项不符合题意． 故选：B． 45．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键． 利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、不能分解，故此选项错误； 故选：B． 题型二十二 同底数幂的乘法（共3小题） 46．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是___． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 47．（25-26七年级下·山东聊城·期中）计算________． 【答案】 【详解】解：． 48．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，求的值为______． 【答案】 16 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将变形为，代入已知数值计算即可. 【详解】解：∵，， ∴ 题型二十三 幂的乘方（共3小题） 49．（25-26七年级下·湖南·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】按照幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘进行计算，注意保留原式的负号即可． 【详解】． 50．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运算对所求式子变形，将已知代入计算即可． 【详解】解：． 51．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，则、、之间的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【分析】利用幂的乘方将各数统一为相同底数，再比较指数大小得到结果． 【详解】解：， ，，且，当底数大于时，底数相同，指数越大，幂越大， ，即． 题型二十四 积的乘方（共3小题） 52．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：___________． 【答案】 【分析】先计算括号内的幂运算，再处理负号得，最后进行立方运算即可． 【详解】解： ． 53．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】利用同底数幂的逆运算法则和积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 54．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，则a的值为______． 【答案】 【分析】先根据积的运算法则对已知等式进行化简，再求解a的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型二十五 同底数幂的除法（共3小题） 55．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如果 有意义，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】根据零指数幂的定义，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ 解得． 56．（25-26七年级下·广东茂名·期中）______． 【答案】0 【详解】解：原式． 57．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型二十六 整式的乘法（共3小题） 58．（25-26七年级下·广东深圳·期中）__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数的乘积与同底数幂的乘积即可得到结果． 【详解】解：． 59．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果为__________ 【答案】 【详解】解：． 60．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若代数式可化为，则________． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式展开代数式，再与代数式比较可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十七 整式的除法（共2小题） 61．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可． 【详解】解：． 62．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________． 【答案】 【详解】 解：根据题意得代表的整式是 ． 63．（25-26七年级下·江西抚州·期中）某中学宣传栏是一个长方形，它的面积为，长为，则这个宣传栏的周长为_____． 【答案】 【分析】本题根据长方形的面积公式求出宣传栏的宽，再根据长方形的周长公式计算即可得到结果，考查整式除法与整式加减运算. 【详解】解：设长方形宣传栏的宽为， 由长方形面积公式 可得： 这个宣传栏的周长 ． 题型二十八 判断能否利用平方差公式/完全平方式计算（共3小题） 64．（25-26七年级下·重庆·期中）下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，一组项完全相同，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项B中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项C中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构要求，可以用平方差公式计算； 选项D中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算． 65．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）下列运算：①；②；③；④，可以运用平方差公式计算的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，符合平方差公式形式，故此项符合题意； ②，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ③，不符合平方差公式形式，故此项不符合题意； ④，符合平方差公式形式，故此项符合题意； 则能用平方差公式计算的有①④，共个． 66．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A．，用平方差公式计算，不符合题意； B．，用平方差公式计算，不符合题意； C．，可以用完全平方公式计算，符合题意； D．，用平方差公式计算，不符合题意； 题型二十九 二元一次方程（组）的定义（共2小题） 67．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列式子中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】即含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．中含有3个未知数，不是二元一次方程． B．是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，满足所有条件，是二元一次方程． C．中含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程． D．中项的次数为2，不是二元一次方程． 68．（25-26七年级下·河南许昌·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①；②；③；④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③中不是整式方程，不是二元一次方程组； ④是二元一次方程组； 综上可知，是二元一次方程组的是①②④． 题型三十 二元一次方程（组）的解（共2小题） 69．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将选项中的值代入方程，验证等式是否成立即可，成立的即为方程的解． 【详解】解：选项A：， ∴左边右边， 该组是方程的解，故本选项符合题意； 选项B： 左边 右边 该组不是方程的解，故本选项不符合题意； 选项C：， ∴左边右边， 该组不是方程的解，故本选项不符合题意； 选项D：， ∴左边右边， 该组不是方程的解，故本选项不符合题意． 70．（25-26七年级下·山东烟台·期中）实验中学举行“数学原创题目”竞赛，七一班的四个小组设计了4个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】采用代入验证法解题，将给定解代入方程组，若能同时使两个方程左右两边相等，则该组解就是方程组的解． 【详解】代入A选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入B选项，第一个方程左边右边，第二个方程左边右边，两个方程都成立，符合题意． 代入C选项，第二个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 代入D选项，第一个方程左边，右边，左边≠右边，不符合题意． 题型三十一 选择合适的方法解二元一次方程（共2小题） 71．（23-24七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)二，整体代入未添加括号 (3)见解析 【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可． 【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法； 根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法； （2）二，整体代入未添加括号； （3）解：由①得③ 将③代入②得，解得； 把代入③，即：，解得x＝2， 原方程组的解为：． 72．（25-26七年级下·山东威海·期中）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把方程②乘以4，再和方程①相加即可消元解答； （2）先把两个方程去分母，去括号，整理成标准形式，再用加减消元法可求解； （3）先把三个方程相加，可求出，，的和，然后用这个方程与其它方程相减即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （3）解：， ，得， 即， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为 题型三十二 根据实际问题列方程（组）（共2小题） 73．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：（1）∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； （2）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （3）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （4）∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角． 故选：D． 74．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 【答案】1 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．依次观察四个图形，判断与是否满足对顶角的定义． 【详解】解：图1中，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，故不是对顶角． 图2中，与有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，故是对顶角． 图3中，与有公共顶点，但的一边不是一边的反向延长线（有一条边不共线），故不是对顶角． 图4中，与没有公共顶点，故不是对顶角． 综上所述，是对顶角的图形只有1个． 题型三十三 对顶角的识别（共2小题） 73．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：（1）∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； （2）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （3）∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； （4）∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角． 故选：D． 74．（21-22七年级下·云南西双版纳·阶段检测）以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 【答案】1 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．依次观察四个图形，判断与是否满足对顶角的定义． 【详解】解：图1中，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，故不是对顶角． 图2中，与有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，故是对顶角． 图3中，与有公共顶点，但的一边不是一边的反向延长线（有一条边不共线），故不是对顶角． 图4中，与没有公共顶点，故不是对顶角． 综上所述，是对顶角的图形只有1个． 题型三十四 三线八角的识别（共2小题） 75．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 76．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段检测）根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 【答案】(1) (2) (3)；同旁内 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角判断，根据同位角，内错角，同旁内角定义逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：若直线，被直线所截，则和是同位角； 故答案为：； （2）解：若直线，被直线所截，则和是内错角； 故答案为：； （3）解：和是直线，被直线所截构成的同旁内角． 故答案为：；同旁内． 题型三十五 用数学常识解释常见生活现象（共2小题） 77．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短、两点之间线段最短以及直线的性质，根据垂线的性质：垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，分别分析三个现象即可得到结论． 【详解】解：①跳远成绩的测量，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用了“垂线段最短”的性质，符合题意． ②道路改道，是将弯曲的道路改为直路，缩短了路程，利用了“两点之间线段最短”的性质，不符合题意． ③木条固定，是用两个钉子将木条固定在墙上，利用了“两点确定一条直线”的性质，不符合题意． 78．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，工人准备从河岸的点出发向河对岸搭桥，、、、是计划的四种搭桥方案，其中，若要使搭建的桥梁最短，则应该沿线段________进行桥梁搭建．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，结合图形中 即可得出结论． 【详解】解：∵ ，则是点到直线的垂线段，根据垂线段最短的性质，即直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可得最短． ∴应该沿线段进行桥梁搭建． 题型三十六 生活中的平移现象（共2小题） 79．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列现象中属于平移的是（    ） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】B 【分析】本题根据平移的定义判断各选项，平移的定义为：平面内，将一个图形上所有点沿同一直线方向移动相同距离，不改变图形的形状，大小和方向． 【详解】解：∵ 平移不改变图形的形状，大小和方向，且图形上所有点移动方向，距离都相同， A 选项 温度计中液柱变化时，液柱的大小发生改变，不符合平移定义，错误； B 选项 升降电梯从一楼升到五楼，电梯整体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状大小方向均不变，符合平移定义，正确； C 选项 树叶随风飘落，运动方向不断变化，不符合平移定义，错误； D 选项 纸张沿中线对折是翻折变换，不是平移，错误； ∴ 答案选B． 80．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）生活中下列现象可以看作平移的是（    ） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张纸对折 【答案】C 【分析】本题考查平移的概念，平移是平面内图形沿某一方向移动一定距离，运动过程中图形的方向保持不变，所有点移动方向和距离都一致，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、荡秋千是绕固定点的旋转运动，图形方向不断改变，不符合平移定义； 选项B、书页翻动是绕书脊的旋转运动，图形方向改变，不符合平移定义； 选项C、中水平传送带上的物体沿水平方向移动，所有点移动方向相同，图形方向不变，符合平移定义； 选项D、纸对折是翻折变换，图形方向改变，不符合平移定义． 题型三十七 图形的平移（共2小题） 81．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 82．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的；A、B、D中的图案不是平移得到的． 题型三十八 根据已知条件判定两直线平行（共3小题） 83．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：若，则，故A选项不合题意；   若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不合题意； 若，则，故D选项不合题意． 84．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A、∵，符合内错角相等，两直线平行，∴，不符合题意． B、∵，不能判定，符合题意； C、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． D、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． 85．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，有下列4个结论：①；②；③；④中．则正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴，故③正确； ∵ ∴，故②正确； ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，正确结论的个数是3． 题型三十九 画图问题（共3小题） 86．（25-26七年级下·河北保定·期中）下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 87．（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）如图，在方格纸上有一线段和一点C． (1)过点C画出与平行的直线； (2)过点C画出与垂直的直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图形可知，点A向右移动3格，再向下移动1格到达点B，根据平行线的性质，点C向左移动3格，再向上移动1格得到点D，连接点D与点C并延长，此时； （2）从点C向左移动1格，再向下移动3格得到点E，连接点E与点C并延长，此时，垂足为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 88．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3，右，4 【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质； （1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形， 故答案为：3，右，4． 1．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）2026年4月23日是第32个世界读书日，今年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，这让我们更加深刻地认识到，阅读不仅是个人成长的阶梯，更是连接过去与未来、个体与世界的桥梁．某县中小学广泛开展爱国主义读书教育活动，某中学为了解学生最喜爱的活动形式，以“最喜爱的一种活动”为主题，进行随机抽样调查了40名学生（每人只选一种），收集数据整理后，绘制出以下统计表： 活动形式 征文 演讲 知识竞答 其他 人数 8 12 16 4 请根据统计表绘制扇形统计图． 【答案】见解析 【详解】解：征文活动，演讲，知识竞答，其他所占的百分比分别为： ，，，； 征文活动，演讲，知识竞答，其他所对应扇形的圆心角的度数分别为： ，，， 所绘制的扇形统计图为： 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式除单项式的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先因式分解，再将除法运算为乘法运算，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【分析】首先将原式中变形为，提取负号后将原式转化为含公因式的形式；接着提取公因式，对剩余多项式分组分解，先分组为，再分别提取公因式，最终分解为． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，，先化简，再计算当时，求该式子的值． 【答案】，当时，原式 【详解】解：∵，，， ∴ ， 当时，原式． 5．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）解二元一次方程组 【答案】 【详解】解： 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，，． (1)若，则的度数为多少？ (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）延长交于点．根据平行线的性质得到，，则．根据即可求出的度数； （2）由（1）得到．由平行线的性质得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以． （2）解：由（1）知． 因为， 所以， 所以． $