2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试题

**基本信息** 以2025年春节档影片选片、牛顿切线法等真实情境与数学史素材为载体，覆盖数列、导数、概率统计等高二核心知识，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|排列组合、等差数列、导数几何意义、独立性检验|第6题结合春节档影片选片，考查分步计数原理与分类讨论思想| |填空题|3题/15分|二项式定理、切线方程、概率递推|第14题质点移动问题，融合数列递推与概率最值，体现模型意识| |解答题|5题/77分|等比数列证明、全概率公式、导数单调性与零点、复杂概率模型、牛顿切线法|第19题引入牛顿切线法，通过数学史素材考查导数应用与逻辑推理，呼应科学探究素养|

2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 2．已知等差数列的前项和为，若，则公差为（    ） A． B． C． D．1 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是函数的导函数，若的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．在处的切线斜率大于0 B．是的极大值点 C．在区间上先单调递增后单调递减 D．在区间上一定存在最大值 5．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 6．2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（   ） A．36 B．60 C．100 D．70 7．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 8．已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（   ） -1 0 1 A． B． C． D． 10．用模型去拟合一组数据，设，将其变换后得到线性回归方程，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 13．若直线是曲线的切线，则________. 14．如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. 记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为，则______，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列的首项是3，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 16．一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 17．设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 18．有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 19．牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若的零点为r，，试用牛顿切线法求r的2次近似值； (2)已知，数列为的牛顿数列. （ⅰ）设，且，求的解析式； （ⅱ）设数列满足，且，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 2．已知等差数列的前项和为，若，则公差为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前n项和公式有，进而有，结合求公差. 【详解】由，则，即， 所以，则， 由，则. 故选：C 3．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 4．已知是函数的导函数，若的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．在处的切线斜率大于0 B．是的极大值点 C．在区间上先单调递增后单调递减 D．在区间上一定存在最大值 【答案】C 【详解】对于A，通过的图象可知， 所以在处的切线斜率大于0，因此本选项说法正确； 对于B，通过的图象可知， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以是的极大值点，因此本选项说法正确； 对于C，当时，设的零点为， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在区间上先单调递减后单调递增，因此本选项说法不正确； 对于D，由上分析，当时，先单调递增接着单调递减， 然后再单调递增，最后再单调递减，且函数连续不断， 所以函数一定有最大值，最大值为中最大的函数值，因此本选项说法正确. 5．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【分析】根据独立性检验的概念可得正确的选项. 【详解】因为，所以在显著性水平下， 没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的， 故选：B 6．2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（   ） A．36 B．60 C．100 D．70 【答案】D 【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理及排列数和组合数的计算即可求解. 【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《哪吒之魔童闹海》中选择一部， 小华从剩余的4部中选择两部，此时共有种方案， 若两人所选影片中，《哪吒之魔童闹海》相同， 则两人从剩余5部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《哪吒之魔童闹海》相同， 相同的影片为5部中1部，有种选择， 再给小华从剩余4部中选择一部，有种选择， 故共有种方案， 综上，共有70种方案. 故选：D． 7．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 参考公式：， A． B．由散点图知变量和负相关 C．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】A 【分析】选项 A ：通过直接计算样本均值验证正确；选项 B ：观察数据可知数据呈现正相关趋势；选项 C ：根据相关系数 接近 1 表示强相关，接近 0 表示弱相关判定；选项 D：正确回归方程需根据公式计算，从而做出判定. 【详解】对于选项 A：计算样本均值：，，故选项 A 正确； 对于选项 B：观察数据：当 从 1 增加到 7 时， 从 2 增加到 9，整体呈递增趋势，表明 和 正相关，而非负相关，故选项 B 错误； 对于选项 C ：相关系数 的绝对值 越接近 1，表示线性相关程度越强；越接近 0，表示线性相关程度越弱.选项 C 的描述恰好相反，故选项 C 错误； 对于选项 D ：，，正确回归方程为 ，而选项 D 给出的方程为 ，不匹配，故选项 D 错误. 故选： A. 8．已知连续型随机变量，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合函数的单调性，和必过的点，再通过函数的中心对称性进行证明，即可作出判断. 【详解】由连续型随机变量，根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 但函数，即表示正态分布密度函数与及轴围成的面积， 显然有，且函数是递增函数，故AC错误； 由于，可猜想的图象关于点对称， 再进行证明，即证， 所以的图象关于点对称，故B正确，D错误； 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（   ） -1 0 1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所有离散型随机变量每个取值对应概率之和等于1列出方程求出，再根据期望和方差及其性质的计算公式以及性质即可逐一判断选项． 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 所以，， 所以，. 故选：ABD 10．用模型去拟合一组数据，设，将其变换后得到线性回归方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用非线性转化为线性，即可求线性回归方程，通过系数对比即可得判断. 【详解】由两边取自然对数得：， 由变换后得到线性回归方程， 则，即，故AD正确，BC错误； 故选：AD. 11．已知，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基本不等式判断A；由结合二次函数的单调性、指数函数的单调性判断B；构造函数，利用导数判断CD. 【详解】对于A：（当且仅当时，取等号）， 即，故A错误； 对于B：， 则，故B正确； 对于C：，构造函数， ， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D： ，构造函数， ， ，即函数在上单调递增； ，即函数在上单调递减； 即，则，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点睛：解决CD选项时，关键在于将双变量变为单变量，利用导数得出其单调性，进而证明不等式. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____. 【答案】-5 【分析】由题意可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知二项式 的展开式共有 6 项，故， 则二项式的通项公式为， 令，故含的项的系数为， 故答案为：-5 13．若直线是曲线的切线，则________. 【答案】 【分析】设切点为，根据导数求切线斜率，进而求出切线方程，即可建立的关系式. 【详解】设切点为， 因，则斜率为，则切线方程为， 即， 又切线方程为，则，，得，. 故答案为： 14．如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为，移动2个单位的概率均为. 记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为，则______，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为，则的最大值是______. 【答案】 5 【分析】第一空：由，即可得解；第二空：注意到，由二项分布概率公式得表达式，结合导数求得其最大值即可. 【详解】第一空：由于， 故从原点0移动到数字4的方法种数为，即； 第二空：设第次移动个单位，其中， 所以， 所以中有三个2，两个1， 所以， 求导得， 而， 从而在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值是. 故答案为：5；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列的首项是3，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知变形得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，利用分组求和以及公式法即可得到结果. 【详解】（1）证明：由，得， 又． 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ，， 16．一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设A=“这位教授迟到”；B1=“乘飞机”；B2=“乘动车”；B3=“乘非机动车”，根据全概率公式，即可求得答案； （2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】（1）设“这位教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“乘非机动车”， 则， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：. 17．设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值，无极大值． (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）利用导数分析单调性和极值即可； （2）先利用导数分析的单调性得到最小值，再由函数有零点，得到，然后结合函数的单调性分析即可； 【详解】（1）当时，，则的定义域是， ， 令，得或 (舍去)． 当x变化时，，变化情况如下表所示： x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 函数在处取得极小值，无极大值． （2）由可得， 令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值为， 若函数有零点，则，解得. 当时，函数在上单调递减． 又，，所以函数在上有一个零点； 当时，函数的最小值为正数，所以函数在上没有零点． 综上，当时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点． 18．有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或9. 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和古典概型概率公式计算即得； （2）先将所求事件分成两种互斥事件：①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回；②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，分别利用组合数公式求其概率，再运用概率加法公式即可； （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为： . （2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件： ①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：； ②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为： . 故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为. （3）依题意，， 由，解得，即， 故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9. 19．牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若的零点为r，，试用牛顿切线法求r的2次近似值； (2)已知，数列为的牛顿数列. （ⅰ）设，且，求的解析式； （ⅱ）设数列满足，且，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、切线方程，即可得出结果； （2）（ⅰ）结合导数的几何意义即可得到，从而得解； （ⅱ）利用（ⅰ）中的结论可得，证明为等比数列，结合所得结论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论. 【详解】（1）因为，所以，时，，， 所以在处切线：，令，则得，所以， ，所以在处切线：，令，则得， 所以r的2次近似值为； （2）（ⅰ），所以，所以， 所以在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则，所以，所以. （ⅱ）因为，所以， 所以，因为，所以，所以，则， 所以数列为公比为2的等比数列，数列为公比为的等比数列， 令，则，当时，， 所以在上单调递减，所以，所以， 因为，所以，即， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $