专题04 圆柱与圆锥全章5大题型（期末复习讲义）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 圆柱与圆锥（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 圆柱的侧面积、表面积计算 题型02 圆柱与圆锥的体积计算 题型03 等底等高圆柱与圆锥的关系应用 题型04 组合体的表面积和体积 题型05 求不规则物体体积（排水法） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆柱的侧面积 能熟练运用 或 求侧面积 基础必考点，常与表面积结合。注意侧面积展开是矩形 圆柱的表面积 能熟练运用 求表面积 高频考点，易漏掉底面积或重复计算 圆柱的体积 能熟练运用 求圆柱体积 核心公式，常与排水法、熔铸问题结合 圆锥的体积 能熟练运用 求圆锥体积 必考公式，注意乘 等底等高圆柱与圆锥的体积关系 理解等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍，会利用此关系求未知量 高频考点，常以填空、选择或简单计算出现 等积变形（熔铸、倒置、旋转） 能解决形状改变但体积不变的问题（如熔铸、倒水、旋转图形） 压轴题型，考查体积守恒思想 注水、排水问题 能利用排水法求不规则物体体积，或通过注水时间求流量 综合应用题，常与圆柱容器结合 说明：本专题常用 的近似值3.14，或直接保留 。注意单位换算，尤其是体积单位与容积单位的转换（1L = 1000 cm³）。 知识点01 圆柱的认识 圆柱由两个底面（圆形）和一个侧面（曲面）组成。两个底面之间的距离叫做高（h）。 圆柱的侧面展开是一个矩形，矩形的长等于底面圆的周长 ，宽等于圆柱的高 。 知识点02 圆柱的侧面积和表面积 1．侧面积 2．表面积 ·示例：圆柱底面半径3cm，高5cm。侧面积 cm²；表面积 cm²。 ·易错点：圆柱的表面积包括侧面积和两个底面积，注意是 而不是 实际问题中，如无盖水桶、通风管等，需要根据情况减去一个或两个底面积。  知识点03 圆柱的体积 ·示例：圆柱底面半径4cm，高10cm，体积 cm³。 ·易错点：公式中 不要算成 ；体积单位是立方单位（cm³、m³），注意与容积单位（L、mL）的换算：1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³。 知识点04 圆锥的认识 圆锥由一个底面（圆形）和一个侧面（曲面）组成，顶点到底面圆心的距离叫做高（h） 圆锥的侧面展开是一个扇形。 知识点05 圆锥的体积 公式推导：通过等底等高的圆柱与圆锥容器装水实验可知，圆锥体积等于等底等高圆柱体积的 。 ·示例：圆锥底面半径6cm，高10cm，体积 cm³ ·易错点：计算圆锥体积时，千万不要漏掉 、 注意区分圆锥的底面半径和高，不要混淆母线。 知识点06 等底等高圆柱与圆锥的体积关系 圆柱体积 = 3 × 圆锥体积 圆锥体积 = × 圆柱体积 若等底等体积，圆锥的高 = 3 × 圆柱的高 若等高等体积，圆锥的底面积 = 3 × 圆柱的底面积 ·示例：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积是 cm³，则圆锥体积是 cm³； 若圆锥体积是 cm³，则圆柱体积是 cm³。 知识点07 等积变形（体积不变） 1．熔铸问题：将一种形状的物体熔化成另一种形状，体积不变。 2．倒置（倒水）问题：将液体从一个容器倒入另一个容器，液体体积不变。 3．旋转问题：平面图形绕某边旋转一周形成立体图形，求体积。 解法：利用体积相等列方程。如：圆柱体积 = 长方体体积，圆锥体积 =圆柱体积等。 知识点08 注水、排水问题（排水法求体积） 1．排水法：将不规则物体浸没在水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。 上升部分体积 = 容器底面积 × 水面上升高度 2． 注水问题：已知注水速度和时间，求水的体积或容器深度。 ·示例：一个圆柱形水槽底面半径10cm，放入一个铁块后水面上升2cm， 铁块体积 = cm³ 题型一 圆柱的侧面积、表面积计算 解｜题｜技｜巧 已知条件 侧面积 底面积 r, h d, h C, h 易｜错｜点｜拨 易错点拨：实际问题要判断是否加底面积。如：烟囱、通风管只算侧面积；无盖水桶算一个底面积加侧面积。 【典例1】（2026六年级下·上海·专题练习）把下面每块长方形铁板卷成一个空心圆柱，（    ）卷成的圆柱最粗． A．B． C． D． 【典例2】（2026六年级下·上海·专题练习）如图所示，一个长方形绕其一边旋转一周得到圆柱，分为图1或图2两种情况．下面说法正确的是（ ） A．绕着长方形的边长旋转得到圆柱1． B．绕着长方形的边长旋转得到圆柱2． C．长方形的边长是图1圆柱的底面周长． D．长方形的边长是图2圆柱的高． 【典例3】（2026六年级下·上海·专题练习）甲、乙两人分别利用一张长30厘米、宽25厘米的纸用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱（ ） A．高一定相等 B．侧面积一定相等 C．侧面积和高都相等 D．侧面积和高都不相等 【典例4】（2026六年级下·上海·专题练习）这个圆柱（如图所示）是由下面（ ）长方形纸卷成的． A．B．C． D． 【变式1】（2026六年级下·上海·专题练习）上下两个面都是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026六年级下·上海·专题练习）选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ） A．甲和① B．甲和② C．乙和① D．乙和③ 【变式3】（2026六年级下·上海·专题练习）张师傅要在下面的几张铁皮中选两张，做一个无盖的圆柱形水桶，选择错误的是（ ） A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④ 【变式4】（25-26六年级下·上海·期中）一个圆柱的高是，它的底面积是，那么它的侧面积是_____．（保留） 【变式5】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）将一个宽和长分别为2厘米和3厘米的长方形，绕着长方形的一条边旋转一周形成一个圆柱，这个圆柱的表面积是______．（结果保留） 题型二 圆柱与圆锥的体积计算 解｜题｜技｜巧 圆柱： 圆锥： 已知体积求高或半径时，先代入公式再解方程。 【典例1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，把一个底面周长为4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加64平方厘米，原来这个圆柱的体积是___________（保留）． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）长为的矩形绕着其一边所在的直线旋转得到的圆柱侧面积为，则该圆柱的体积为___．（保留） 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）一个瓶子的容积为，瓶内装着一些水，当瓶子正放时，瓶内水的高度20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm，瓶内水的体积是_______． 【典例4】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26六年级下·上海·阶段检测）把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是（   ）立方分米． A．12.56 B．50.24 C．25.12 D．100.48 【变式2】（2026六年级下·上海·专题练习）水是生命之源，节约用水是我们每个公民的职责，一名学生去洗手，走时忘记关掉水龙头．若该水龙头内管直径为，水流速度为，那么十分钟浪费水的体积________． 【变式3】（2026六年级下·上海·专题练习）如图，一个直角三角形，两条直角边分别是和．以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥．这个圆锥的底面直径是（    ）． A．8 B．6 C．4 D．3 【变式4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆锥的体积是，它的底面积是，它的高是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2026六年级下·上海·专题练习）如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（  ） A． B． C． D． 题型三 等底等高圆柱与圆锥的关系应用 解｜题｜技｜巧 牢记：（等底等高） 条件 结论 等底等高，圆柱体积已知 圆锥体积 = 圆柱 ÷ 3 等底等高，圆锥体积已知 圆柱体积 = 圆锥 × 3 等底等体积 圆锥的高 = 圆柱的高 × 3 等高等体积 圆锥的底面积 = 圆柱的底面积 × 3 【典例1】（2026六年级下·上海·专题练习）把底面直径为的圆锥沿高切开后，表面积增加了，则圆锥的体积为__．（取） 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）如果圆锥的底面半径为，高为，那么圆锥的体积是_____．（保留） 【典例3】（2026六年级下·上海·专题练习）用一张圆心角是72度，面积是62.8平方厘米的扇形纸片卷成一个大的圆锥，这个圆锥底面面积是________平方厘米． 【典例4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【变式1】（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的，如果圆柱的体积和圆锥的体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海金山·期末）一个底面半径为，高为的圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25六年级下·上海青浦·期末）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕旋转一周，经过的空间形成了立体图形，此时甲和乙形成的立体图形的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25六年级下·上海普陀·期末）四个立体图形如图所示，给出这四个立体图形体积之间的关系：①，②，③，④．这四个关系式中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【变式5】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，阴影部分绕轴旋转一周得到的立体图形的体积为______．（结果保留） 题型四 组合体的表面积和体积 解｜题｜技｜巧 组合体是由多个基本立体图形（圆柱、圆锥、长方体、正方体等）组合而成的几何体。求组合体的表面积和体积时，需要分析组合方式： 体积：各部分的体积之和（或差），遵循体积可加性。 表面积：各部分的表面积之和，但要减去重叠部分（接触面不计算在外表面中）。 类型 图示说明 表面积处理方法 体积处理方法 圆柱+圆锥（如粮仓） 圆锥在圆柱上方 表面积 = 圆柱侧面积 + 圆柱一个底面积 + 圆锥侧面积（注意重叠面不重复算） 体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积 圆柱+圆柱（大小圆柱叠加） 小圆柱放在大圆柱上 表面积 = 大圆柱侧面积 + 大圆柱一个底面积 + 小圆柱侧面积 + 小圆柱上底面积（减去重叠圆环） 体积 = 大圆柱体积 + 小圆柱体积 圆柱挖去圆锥（如钻头） 圆柱内部挖掉一个圆锥 表面积 = 圆柱外表面积 + 内壁（圆锥侧面积） 体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 多个长方体组合 堆积或挖空 从整体考虑，减去接触面 直接求和或求差 答｜题｜模｜板 1. 识图拆分：将组合体分解成若干个基本立体图形（圆柱、圆锥、长方体等），标出它们的尺寸（半径、高、边长）。 1. 判断重叠：找出各部分的接触面，这些面在组合体的外表面中不出现，计算表面积时要减去。 1. 计算体积：分别计算每个基本图形的体积，然后相加（或相减）。 1. 计算表面积： · 先分别计算每个基本图形的完整表面积； · 再减去重叠部分的面积（每个接触面算两次，需减去一次）； · 注意：若图形有“挖空”情况，内部暴露的面要加上。 1. 统一单位：确保所有尺寸单位一致，最终结果按要求换算。 1. 检查：体积是否合理（各部分体积之和），表面积是否漏掉内壁或重复。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 漏算或重复算接触面积 画图标注接触面，接触面不算在外表面，需减去两个接触面的面积（如果两个图形原来都有那个面） 圆锥与圆柱叠加时，混淆底面 圆锥与圆柱重叠的圆面不暴露，只计算圆柱的一个底（或圆锥的底面不出现） 挖空问题忘记加内壁面积 挖空后，内部空腔的表面也要算入总表面积（例如圆柱内部挖去圆锥，内壁是圆锥的侧面） 体积计算时漏掉 圆锥体积务必乘 单位不统一 例如cm和m混用，先换算再计算 【典例1】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）陀螺在我国至少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留） 【典例2】（2026六年级下·上海·专题练习）建新小学为了让学生更多的了解航天事业，科技社团在老师的指导下准备用塑料板制作小“火箭”模型，小火箭的主体部分是由圆柱和圆锥两部分组成，要求圆锥的高是圆柱的．（如图） (1)首先制作了“火箭”模型的上部分圆锥形（如图）． 接下来制作圆柱部分的侧面和一个底面，侧面应该设计成什么样子？请把圆柱侧面展开的示意图画在下面，并标出相关数据．（接头处忽略不计） (2)要解决“火箭”模型的体积是多少立方厘米．下面是三位同学的做法，你认为谁的正确，请在同学名字后面打“√”． 请你选择一种正确的方法，写出解题思路．我选择的是（ ）方法． 【典例3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【变式1】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个陀螺的上端可近似地看作一个圆锥，下端可近似地看作一个圆柱，结构示意图如图所示．已知、分别是圆柱上、下底面的圆心，，底面半径为2，则该陀螺的体积为（结果保留）（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，一个容器的高与地面垂直，用的水刚好把这个容器装满，如果水深，那么这个容器里有______L水． 【变式4】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个直角三角形，两条直角边分别为3和4，斜边为5． (1)如图1，如果以3的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是多少？（结果保留π） (2)由面积相等可计算，三角形斜边上的高为多少？ (3)如图2，如果以斜边所在的直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少？（结果保留π） 【变式5】（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 题型五 求不规则物体体积（排水法） 解｜题｜技｜巧 排水法是一种利用液体体积来测量不规则物体体积的方法。其原理是：物体完全浸没在液体中时，排开液体的体积等于物体自身的体积。 · 适用对象：不规则形状的物体（如石块、铁块、土豆等），无法直接通过公式计算体积。 · 常用容器：圆柱形、长方体等规则形状的容器，便于计算液体体积。 常｜用｜公｜式 · 若物体完全浸没且没有溢出，则上述公式成立。 · 若物体未完全浸没（如漂浮），则排水体积不等于物体体积，此时不能直接用此法。 解｜题｜步｜骤 1. 明确容器形状：确定容器的底面积公式（圆面积 或长方形面积 ）。 1. 记录初始水深：记下放入物体前的水面高度 。 1. 记录放入后水深：将物体完全浸没（用细线拴住或直接放入），记下此时水面高度 。 1. 计算上升高度：（若水溢出，则需用溢出体积法，另作讨论）。 1. 计算物体体积： 1. 单位换算：若体积单位需要转换为升或毫升（1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³）。 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图所示，玻璃容器的底面直径为，它的里面装有部分水，水中浸没着一个高的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了，这个铅锤的底面积是多少？ 【典例2】（24-25六年级下·上海·阶段测试）李明把拳头浸没在装满水的容器中，溢出水的体积可能是（   ） A．2毫升 B．2升 C．升 【变式1】（25-26六年级·上海·期末预测）求下面假山的体积是多少？ 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中．这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是__________立方厘米． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（2026六年级下·上海·专题练习）选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ） A．甲和① B．甲和② C．乙和① D．乙和③ 2．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形．这个圆柱的高是底面直径的（ ）倍． A． B． C． D． 3．（2026六年级下·上海·专题练习）一个茶杯（如下图），茶杯的中部有一条装饰带，茶杯的直径为厘米，这条装饰带宽5厘米，这条装饰带的面积是多少平方厘米？ 4．25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个圆柱的底面半径为，高，则该圆柱的体积为______．（结果保留π） 5.（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是______． 6.（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026六年级下·上海·专题练习）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26六年级下·上海青浦·阶段检测）现用一块长为米，宽为8米的铁皮不重叠地卷成一个圆柱的侧面，并盖上两块圆形铁片组成一个圆柱，则这个圆柱的体积是______立方米．（保留） 9．（24-25六年级下·上海宝山·期末）底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积______．（取3.14） 10．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆锥体，底面直径是6厘米，高是10厘米．沿着高把圆锥切开，一个横截面的面积是________平方厘米． 11．（24-25六年级下·上海闵行·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面周长为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为________．（取3.14） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2026六年级下·上海·专题练习）如图，圆柱形容器的底面半径是10厘米，高是20厘米，里面盛有一部分水，其中盛水部分与空的部分高度的比是．（取） (1)这个容器还能盛多少升水？（得数保留一位小数） (2)给这个容器的整个侧面贴上一张保护膜，你认为这张保护膜可以是什么形状？尺寸是多少？（可以用文字或画图说明，接缝处忽略不计．） 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）小杰买了一瓶橙汁（满瓶），可以将这瓶橙汁的底部看成是一个圆柱体，当小杰喝了部分之后，剩余的部分如图1所示，他将这瓶果汁倒置，剩余的部分如图2所示，他喝了________橙汁． 3.（2026六年级下·上海·专题练习）一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上（如图），小浩哲发现它正好是一半露出水面．请试着求一求这根木头与水接触的面积有多少平方厘米？（结果保留） 4.（2026六年级下·上海·专题练习）如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸的宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米．你知道制作一个这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 5．（24-25六年级下·上海松江·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是_____． 6.（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的，圆锥形容器的水面高度降至原高度的（此时水面半径为圆锥底面半径的），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过______分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完． 2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 3.（2026六年级下·上海·专题练习）明明要用三个面积相等的长方形围成圆柱的侧面（见下面示意图），再配上合适的底面就成为了圆柱（以水平方向的边作为圆柱底面周长）．哪一个长方形围成的圆柱体积最大呢？ (1)明明用表格进行了研究，请你帮他把表格补充完整． 图形 长（） 宽（） 圆柱体积（） ① 1 ② 2 ③ 4 (2)围成体积最大的长方形是（ ）． (3)观察上表你有什么发现？把你的发现写在下面空白处． 4.（24-25六年级下·上海闵行·期末）某施工场地有一条宽的道路需要用石子临时铺设，在另一处有一个圆锥形石堆，石堆的底面积是，石堆的高是．现在准备安排若干辆卡车去运回这堆石子来铺设道路． (1)用这堆石子在这条宽的道路上铺厚的路面，能铺这条道路多少？（结果保留两位小数） (2)一辆型卡车从施工场地出发前往石堆所在地，出发1.5小时后，一辆型卡车也从施工场地出发前往石堆所在地，当这辆型卡车又行驶1.2小时到达石堆所在地时，型卡车行驶的路程比施工场地与石堆所在地路程的少，已知型卡车与型卡车的速度比为，求施工场地与石堆所在地之间的路程是多少？ (3)在（2）的条件下，所有车辆均在施工场地，已知型卡车每辆满载可装石子，D型卡车每辆满载可装石子，每辆型卡车每油费0.6元，每辆型卡车每油费0.75元，现在施工场地有足够多的型卡车和型卡车，为了确保运石总油费支出最少，并且能够将石子全部运回施工场地铺路，应该怎样派卡车？ 5.（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．（π取） (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米? (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图2），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积．如果设这个圆柱体底面的半径为r，高为h，体积为V，那么这个长方体的长=______，宽=_____，所以圆柱体的体积______． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的图形如图3所示，求这个截后的体积是多少立方厘米? 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆柱与圆锥（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 圆柱的侧面积、表面积计算 题型02 圆柱与圆锥的体积计算 题型03 等底等高圆柱与圆锥的关系应用 题型04 组合体的表面积和体积 题型05 求不规则物体体积（排水法） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆柱的侧面积 能熟练运用 或 求侧面积 基础必考点，常与表面积结合。注意侧面积展开是矩形 圆柱的表面积 能熟练运用 求表面积 高频考点，易漏掉底面积或重复计算 圆柱的体积 能熟练运用 求圆柱体积 核心公式，常与排水法、熔铸问题结合 圆锥的体积 能熟练运用 求圆锥体积 必考公式，注意乘 等底等高圆柱与圆锥的体积关系 理解等底等高时圆柱体积是圆锥的3倍，会利用此关系求未知量 高频考点，常以填空、选择或简单计算出现 等积变形（熔铸、倒置、旋转） 能解决形状改变但体积不变的问题（如熔铸、倒水、旋转图形） 压轴题型，考查体积守恒思想 注水、排水问题 能利用排水法求不规则物体体积，或通过注水时间求流量 综合应用题，常与圆柱容器结合 说明：本专题常用 的近似值3.14，或直接保留 。注意单位换算，尤其是体积单位与容积单位的转换（1L = 1000 cm³）。 知识点01 圆柱的认识 圆柱由两个底面（圆形）和一个侧面（曲面）组成。两个底面之间的距离叫做高（h）。 圆柱的侧面展开是一个矩形，矩形的长等于底面圆的周长 ，宽等于圆柱的高 。 知识点02 圆柱的侧面积和表面积 1．侧面积 2．表面积 ·示例：圆柱底面半径3cm，高5cm。侧面积 cm²；表面积 cm²。 ·易错点：圆柱的表面积包括侧面积和两个底面积，注意是 而不是 实际问题中，如无盖水桶、通风管等，需要根据情况减去一个或两个底面积。  知识点03 圆柱的体积 ·示例：圆柱底面半径4cm，高10cm，体积 cm³。 ·易错点：公式中 不要算成 ；体积单位是立方单位（cm³、m³），注意与容积单位（L、mL）的换算：1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³。 知识点04 圆锥的认识 圆锥由一个底面（圆形）和一个侧面（曲面）组成，顶点到底面圆心的距离叫做高（h） 圆锥的侧面展开是一个扇形。 知识点05 圆锥的体积 公式推导：通过等底等高的圆柱与圆锥容器装水实验可知，圆锥体积等于等底等高圆柱体积的 。 ·示例：圆锥底面半径6cm，高10cm，体积 cm³ ·易错点：计算圆锥体积时，千万不要漏掉 、 注意区分圆锥的底面半径和高，不要混淆母线。 知识点06 等底等高圆柱与圆锥的体积关系 圆柱体积 = 3 × 圆锥体积 圆锥体积 = × 圆柱体积 若等底等体积，圆锥的高 = 3 × 圆柱的高 若等高等体积，圆锥的底面积 = 3 × 圆柱的底面积 ·示例：一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱体积是 cm³，则圆锥体积是 cm³； 若圆锥体积是 cm³，则圆柱体积是 cm³。 知识点07 等积变形（体积不变） 1．熔铸问题：将一种形状的物体熔化成另一种形状，体积不变。 2．倒置（倒水）问题：将液体从一个容器倒入另一个容器，液体体积不变。 3．旋转问题：平面图形绕某边旋转一周形成立体图形，求体积。 解法：利用体积相等列方程。如：圆柱体积 = 长方体体积，圆锥体积 =圆柱体积等。 知识点08 注水、排水问题（排水法求体积） 1．排水法：将不规则物体浸没在水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。 上升部分体积 = 容器底面积 × 水面上升高度 2． 注水问题：已知注水速度和时间，求水的体积或容器深度。 ·示例：一个圆柱形水槽底面半径10cm，放入一个铁块后水面上升2cm， 铁块体积 = cm³ 题型一 圆柱的侧面积、表面积计算 解｜题｜技｜巧 已知条件 侧面积 底面积 r, h d, h C, h 易｜错｜点｜拨 易错点拨：实际问题要判断是否加底面积。如：烟囱、通风管只算侧面积；无盖水桶算一个底面积加侧面积。 【典例1】（2026六年级下·上海·专题练习）把下面每块长方形铁板卷成一个空心圆柱，（    ）卷成的圆柱最粗． A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱的认识及特征、 圆柱的展开图 【分析】本题考查了圆柱的展开图、圆柱的认识及特征．圆柱的侧面展开图为一个长方形或正方形，这个长方形或正方形的一条边就是圆柱的底面周长，圆柱越粗，圆柱的底面面积就越大，同时底面圆的直径也最大，即周长就越长．将选项中的长方形铁板以长或者宽为底面周长，找出具有最长边的图形即可． 【详解】解：比较可知，四个图形中最长边是时， 所以卷成的圆柱底面面积最大，即圆柱最粗． 故选：C． 【典例2】（2026六年级下·上海·专题练习）如图所示，一个长方形绕其一边旋转一周得到圆柱，分为图1或图2两种情况．下面说法正确的是（ ） A．绕着长方形的边长旋转得到圆柱1． B．绕着长方形的边长旋转得到圆柱2． C．长方形的边长是图1圆柱的底面周长． D．长方形的边长是图2圆柱的高． 【答案】D 【知识点】圆柱的认识及特征 【分析】本题考查的圆柱的认识及特征，平面图形的旋转体，一个长方形绕其宽旋转一周得到圆柱，圆柱的高就是长方形的宽，圆柱的底面半径就是长方形的长；一个长方形绕其长旋转一周得到圆柱，圆柱的高就是长方形的长，圆柱的底面半径就是长方形的宽；据此分析解答即可． 【详解】解：∵长方形的长为a，宽为b； 长方形旋转成圆柱的过程为： 绕边长旋转得到图1圆柱：此时是圆柱的高，是底面半径． 绕边长旋转得到图2圆柱：此时是圆柱的高，是底面半径． A．绕边长旋转得到的是图2圆柱，不是图1，错误，故本选项不符合题意； B．绕边长旋转得到的是图1圆柱，不是图2，错误，故本选项不符合题意； C．图1圆柱的底面半径是，底面周长是，不是，错误，故本选项不符合题意； D．图2圆柱是绕边长b旋转得到的，因此b是它的高，正确，故本选项符合题意； 故答案为：D． 【典例3】（2026六年级下·上海·专题练习）甲、乙两人分别利用一张长30厘米、宽25厘米的纸用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱（ ） A．高一定相等 B．侧面积一定相等 C．侧面积和高都相等 D．侧面积和高都不相等 【答案】B 【知识点】 圆柱的展开图、 圆柱的侧面积 【分析】用一张长30厘米、宽25厘米的纸用两种不同的方法围成一个圆柱体，即这两个圆柱体的底面周长分别为纸张的长30厘米、宽25厘米；则底面周长为30厘米的圆柱体，高为25厘米，侧面积为：（平方厘米）；底面周长为25厘米的圆柱体，高为30厘米，侧面积为：（平方厘米），据此可解出本题． 【详解】解：A．围成的圆柱高分别为30厘米和25厘米，故此选项错误； B．围成的圆柱侧面积都为平方厘米，侧面积相等，故此选项正确； C．围成的圆柱侧面积相等，高并不相等，故此选项错误； D．围成的圆柱侧面积相等，高并不相等，故此选项错误． 【典例4】（2026六年级下·上海·专题练习）这个圆柱（如图所示）是由下面（ ）长方形纸卷成的． A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】 圆柱的展开图、 圆柱的侧面积 【详解】本题考查了圆的周长、长方形的概念及特点、圆柱的展开图、圆柱的认识及特征，根据题意，用一张长方形纸卷成一个底面直径是、高是的圆柱，那么圆柱的底面周长等于长方形的长，圆柱的高等于长方形的宽；根据圆的周长公式求出圆柱的底面周长，再从四个选项中找出符合条件的长方形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【分析】解：长方形的长：， 长方形的宽：； 所以这个圆柱是由长、宽的长方形纸卷成的， 故选：． 【变式1】（2026六年级下·上海·专题练习）上下两个面都是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱的认识及特征 【分析】本题主要考查了圆柱的特征，掌握圆柱的上下两个面都是圆形是解题的关键． 根据圆柱的特征解答即可． 【详解】解：由题意分析得： 上下两个面都是圆形． 故答案为：D． 【变式2】（2026六年级下·上海·专题练习）选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ） A．甲和① B．甲和② C．乙和① D．乙和③ 【答案】A 【知识点】 圆柱的展开图 【分析】制作一个圆柱形容器，说明要选一个正方形（或长方形）和一个圆形铁皮，而且所选的正方形（或长方形）的一条边和圆的周长相等即可达到要求，关键算出圆的周长；逐一分析四个选项里的组合，找出不能成立的选项． 【详解】A．甲的边长是，①的周长是，，所以不能做成圆柱形的容器； B．甲的边长是，②的周长是，，所以能做成圆柱形的容器； C．乙的宽是，①的周长是，，所以能做成圆柱形的容器； D．乙的长是，③的周长是，，所以能做成圆柱形的容器． 【变式3】（2026六年级下·上海·专题练习）张师傅要在下面的几张铁皮中选两张，做一个无盖的圆柱形水桶，选择错误的是（ ） A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高．根据圆的周长公式：或，把数据代入公式求出两个圆的周长，然后把两个圆的周长与两个长方形的长和宽进行比较即可． 【详解】解：①号圆的周长：（分米） ②号圆的周长：（分米） 所以，可以选择①和④，②和③，②和④． 所以选择错误的是①和③． 【变式4】（25-26六年级下·上海·期中）一个圆柱的高是，它的底面积是，那么它的侧面积是_____．（保留） 【答案】 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】先根据圆柱底面积即圆的面积求出底面半径，再根据圆柱侧面积公式计算即可． 【详解】解：设圆柱底面圆的半径为， 根据圆的面积公式可得， 解得， 圆柱的侧面积为． 【变式5】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）将一个宽和长分别为2厘米和3厘米的长方形，绕着长方形的一条边旋转一周形成一个圆柱，这个圆柱的表面积是______．（结果保留） 【答案】 或 【知识点】 圆柱的表面积 【分析】本题需分两种情况讨论，即分别绕长方形不同的边旋转得到圆柱，再根据圆柱表面积公式计算即可得到结果 【详解】解：分两种情况计算： ① 绕长度为厘米的边旋转时，圆柱的底面半径厘米，高厘米， 圆柱表面积 ② 绕长度为厘米的边旋转时，圆柱的底面半径厘米，高厘米， 圆柱表面积 ． 题型二 圆柱与圆锥的体积计算 解｜题｜技｜巧 圆柱： 圆锥： 已知体积求高或半径时，先代入公式再解方程。 【典例1】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，把一个底面周长为4厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加64平方厘米，原来这个圆柱的体积是___________（保留）． 【答案】 【知识点】 圆柱的体积 【分析】先根据圆柱底面周长求出底面半径，再由拼成近似长方体后表面积增加的部分求出圆柱的高，最后利用圆柱体积公式计算体积．本题主要考查了圆柱的切拼、圆的周长公式、长方形面积公式以及圆柱体积公式的应用，熟练掌握这些公式及切拼后表面积的变化特点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得 ， 解得厘米． 圆柱的高厘米． 圆柱的体积立方厘米． 故答案为： ． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）长为的矩形绕着其一边所在的直线旋转得到的圆柱侧面积为，则该圆柱的体积为___．（保留） 【答案】 或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形、 圆柱的体积 【分析】本题圆柱的知识，解题的关键是分两种情况讨论，矩形绕不同边旋转所得圆柱的底面半径和高不同，先根据圆柱侧面积公式求出矩形另一边长，再根据圆柱体积公式计算两种情况的体积即可． 【详解】解：设矩形的另一边长为，分两种情况计算： ①绕边长为的边所在直线旋转， ∴圆柱的高，底面半径， ∵圆柱侧面积公式， ∴ 解得：； ∵圆柱体积公式为：， ∴； ②绕边长为的边所在直线旋转， ∴圆柱的高，底面半径， ∵圆柱侧面积公式， ∴， 解得 ， ∵圆柱体积公式为：， ∴， 故答案为：或． 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）一个瓶子的容积为，瓶内装着一些水，当瓶子正放时，瓶内水的高度20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm，瓶内水的体积是_______． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、 圆柱的体积 【分析】本题考查了圆柱体的容积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设溶液的体积为，根据溶液的体积+空余部分的体积，列方程求解即可． 【详解】设溶液的体积为，那么空余部分的体积为， 依题意得：， ， 即瓶内溶液的体积为； 故答案是． 【典例4】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长、圆锥母线长等于扇形半径的关系列等式求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为， ∵圆锥的底面周长等于其侧面展开扇形的弧长， ∴ 化简等式得 ，即 ∴． 【典例5】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积、求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 设母线长为，底面圆半径为，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出与的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为 ， ∴底面积为， ∴ ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍。 【变式1】（25-26六年级下·上海·阶段检测）把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是（   ）立方分米． A．12.56 B．50.24 C．25.12 D．100.48 【答案】B 【知识点】 圆柱的体积、正方体、长方体的认识及特征 【分析】正方体内削出的最大圆柱的底面直径和高都等于这个正方体的棱长，由此利用圆柱的体积公式即可解答． 【详解】解： (立方分米) 体积是立方分米． 【变式2】（2026六年级下·上海·专题练习）水是生命之源，节约用水是我们每个公民的职责，一名学生去洗手，走时忘记关掉水龙头．若该水龙头内管直径为，水流速度为，那么十分钟浪费水的体积________． 【答案】 【知识点】 圆柱的体积 【详解】解：根据题意得：， 因此，十分钟浪费水的体积为． 【变式3】（2026六年级下·上海·专题练习）如图，一个直角三角形，两条直角边分别是和．以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥．这个圆锥的底面直径是（    ）． A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】本题考查圆锥的形成原理．直角三角形绕一条直角边旋转时，旋转轴所在的直角边成为圆锥的高，另一条直角边成为圆锥的底面半径，据此求解即可． 【详解】解：∵形成的圆锥的高是，底面半径是， ∴这个圆锥的底面直径是． 故答案为：A． 【变式4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆锥的体积是，它的底面积是，它的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】本题考查圆锥体积公式的应用．根据圆锥的体积公式，可得高，代入数据计算即可． 【详解】解：由圆锥的体积公式得， 高． 故选：D． 【变式5】（2026六年级下·上海·专题练习）如图，四边形中，，，则将它以为轴旋转后所得分别以、为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为，下面圆锥的侧面积为，即可得出答案． 【详解】解：两个圆锥的底面圆相同， 可设底面圆的周长为， 上面圆锥的侧面积为：，下面圆锥的侧面积为：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 故选：C． 题型三 等底等高圆柱与圆锥的关系应用 解｜题｜技｜巧 牢记：（等底等高） 条件 结论 等底等高，圆柱体积已知 圆锥体积 = 圆柱 ÷ 3 等底等高，圆锥体积已知 圆柱体积 = 圆锥 × 3 等底等体积 圆锥的高 = 圆柱的高 × 3 等高等体积 圆锥的底面积 = 圆柱的底面积 × 3 【典例1】（2026六年级下·上海·专题练习）把底面直径为的圆锥沿高切开后，表面积增加了，则圆锥的体积为__．（取） 【答案】157 【知识点】 圆锥的认识及特征、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】先根据把底面直径为的圆锥沿高切开后，表面积增加了，求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式进行计算即可． 【详解】解：（平方厘米）， （厘米）， （立方厘米）， 答：圆锥的体积是157立方厘米． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）如果圆锥的底面半径为，高为，那么圆锥的体积是_____．（保留） 【答案】 【知识点】 圆锥的认识及特征、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆锥体积的计算，根据圆锥体积的计算公式：，代入计算即可． 【详解】解：圆锥的体积． 【典例3】（2026六年级下·上海·专题练习）用一张圆心角是72度，面积是62.8平方厘米的扇形纸片卷成一个大的圆锥，这个圆锥底面面积是________平方厘米． 【答案】12.56 【知识点】 圆的面积、 圆锥的认识及特征、 圆的周长、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题主要考查了扇形与圆锥的展开图之间的转化，计算比较复杂，需要先求出扇形的弧长也就是圆锥的底面周长这一个中间量，通过扇形面积和圆心角求出扇形半径，再求弧长，弧长等于圆锥底面周长，从而求出底面半径，最后计算底面面积． 【详解】解：由扇形面积公式 得 ，即 ， 所以 ，，， 扇形弧长 ．此弧长即为圆锥底面周长， 设底面半径为 ，则 ，即 ， 解得 ， 底面面积 ． 故答案为：12.56． 【典例4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆柱的体积、 圆锥的认识及特征、 圆柱的侧面积、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆锥与圆柱的计算，近似数与有效数字，解题的关键是理解题意，正确计算． （1）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积即可得出答案； （2）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的底面积为， 所以由可得：， 所以， 圆锥侧面积：， ， 圆柱侧面积： ， 总面积； 答：至少需要的塑料． （2）解：圆柱体积：， 圆锥体积：． 注水量：， 答：最大注水量大约为． 【变式1】（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的，如果圆柱的体积和圆锥的体积相等，那么圆柱的高是圆锥高的（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据题意可设圆柱的底面半径为，则圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，再根据圆柱的体积和圆锥的体积相等进行列式求解即可． 【详解】解：∵一个圆柱的底面周长是圆锥底面周长的， ∴设圆柱的底面半径为，则圆锥的底面半径为；圆柱的高为，圆锥的高为， ∵圆柱的体积和圆锥的体积相等， ∴， ∴， ∴圆柱的高是圆锥高的． 【变式2】（25-26七年级下·上海金山·期末）一个底面半径为，高为的圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】根据圆锥的体积公式底面积高计算即可． 【详解】解：根据题意，该圆锥的体积是． 【变式3】（24-25六年级下·上海青浦·期末）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕旋转一周，经过的空间形成了立体图形，此时甲和乙形成的立体图形的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比的应用、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆柱与圆锥体积的关系，解题的关键是正确理解题意． 根据题意可知，甲和乙形成的立体图形为等底等高的圆锥和圆柱，从而可得体积之比． 【详解】解：根据题意可知，甲和乙形成的立体图形为等底等高的圆锥和圆柱， ∴甲和乙形成的立体图形的体积之比是， 故选：． 【变式4】（24-25六年级下·上海普陀·期末）四个立体图形如图所示，给出这四个立体图形体积之间的关系：①，②，③，④．这四个关系式中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积计算，根据圆锥与圆柱的体积计算公式分别计算图四幅图的体积即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴，，，， ∴正确的有①②④， 故选；D． 【变式5】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，阴影部分绕轴旋转一周得到的立体图形的体积为______．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】观察图形可知，阴影部分是由一个大直角三角形减去一个小直角三角形得到的，绕轴旋转一周后得到的立体图形是一个大圆锥挖去一个小圆锥，利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】解：由图可知，阴影部分绕轴旋转一周得到的立体图形的体积等于底面半径为，高为的圆锥体积减去底面半径为，高为的圆锥体积 题型四 组合体的表面积和体积 解｜题｜技｜巧 组合体是由多个基本立体图形（圆柱、圆锥、长方体、正方体等）组合而成的几何体。求组合体的表面积和体积时，需要分析组合方式： 体积：各部分的体积之和（或差），遵循体积可加性。 表面积：各部分的表面积之和，但要减去重叠部分（接触面不计算在外表面中）。 类型 图示说明 表面积处理方法 体积处理方法 圆柱+圆锥（如粮仓） 圆锥在圆柱上方 表面积 = 圆柱侧面积 + 圆柱一个底面积 + 圆锥侧面积（注意重叠面不重复算） 体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积 圆柱+圆柱（大小圆柱叠加） 小圆柱放在大圆柱上 表面积 = 大圆柱侧面积 + 大圆柱一个底面积 + 小圆柱侧面积 + 小圆柱上底面积（减去重叠圆环） 体积 = 大圆柱体积 + 小圆柱体积 圆柱挖去圆锥（如钻头） 圆柱内部挖掉一个圆锥 表面积 = 圆柱外表面积 + 内壁（圆锥侧面积） 体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 多个长方体组合 堆积或挖空 从整体考虑，减去接触面 直接求和或求差 答｜题｜模｜板 1. 识图拆分：将组合体分解成若干个基本立体图形（圆柱、圆锥、长方体等），标出它们的尺寸（半径、高、边长）。 1. 判断重叠：找出各部分的接触面，这些面在组合体的外表面中不出现，计算表面积时要减去。 1. 计算体积：分别计算每个基本图形的体积，然后相加（或相减）。 1. 计算表面积： · 先分别计算每个基本图形的完整表面积； · 再减去重叠部分的面积（每个接触面算两次，需减去一次）； · 注意：若图形有“挖空”情况，内部暴露的面要加上。 1. 统一单位：确保所有尺寸单位一致，最终结果按要求换算。 1. 检查：体积是否合理（各部分体积之和），表面积是否漏掉内壁或重复。 易｜错｜点｜拨 易错点 正确做法 漏算或重复算接触面积 画图标注接触面，接触面不算在外表面，需减去两个接触面的面积（如果两个图形原来都有那个面） 圆锥与圆柱叠加时，混淆底面 圆锥与圆柱重叠的圆面不暴露，只计算圆柱的一个底（或圆锥的底面不出现） 挖空问题忘记加内壁面积 挖空后，内部空腔的表面也要算入总表面积（例如圆柱内部挖去圆锥，内壁是圆锥的侧面） 体积计算时漏掉 圆锥体积务必乘 单位不统一 例如cm和m混用，先换算再计算 【典例1】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）陀螺在我国至少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一．小刚有一个底面直径是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积是多少立方厘米？（结果保留） 【答案】立方厘米 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 组合体的体积 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可求解． 【详解】解： ． 答：这个陀螺的体积是立方厘米． 【典例2】（2026六年级下·上海·专题练习）建新小学为了让学生更多的了解航天事业，科技社团在老师的指导下准备用塑料板制作小“火箭”模型，小火箭的主体部分是由圆柱和圆锥两部分组成，要求圆锥的高是圆柱的．（如图） (1)首先制作了“火箭”模型的上部分圆锥形（如图）． 接下来制作圆柱部分的侧面和一个底面，侧面应该设计成什么样子？请把圆柱侧面展开的示意图画在下面，并标出相关数据．（接头处忽略不计） (2)要解决“火箭”模型的体积是多少立方厘米．下面是三位同学的做法，你认为谁的正确，请在同学名字后面打“√”． 请你选择一种正确的方法，写出解题思路．我选择的是（ ）方法． 【答案】(1)图见详解 (2)丽丽：√；聪聪√；丽丽；12560立方厘米（答案不唯一） 【知识点】 圆柱的展开图、 组合体的表面积、 圆锥的认识及特征 【分析】（1）观察“火箭”模型可知，圆锥和圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱的，也就是说圆柱的高是圆锥的3倍，用圆锥的高乘3求出圆柱的高；已知底面直径是20厘米，根据圆的周长公式，求出圆柱的底面周长；圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；据此画出圆柱侧面展开的示意图，并标出相关数据； （2）丽丽：根据圆柱、圆锥的体积公式，分别计算出圆柱、圆锥的体积，再相加，即是“火箭”模型的体积，方法正确；聪聪：因为圆锥与圆柱等底，圆锥的高是圆柱的，那么圆锥的体积是圆柱体积的；先根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，然后用圆柱的体积乘求出圆锥的体积，再相加，即是“火箭”模型的体积，方法正确；英英：用圆锥的底面积乘圆锥的高，不是“火箭”模型的体积，方法错误．选择丽丽的方法．解题思路： “火箭”模型的体积圆柱的体积圆锥的体积，根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，代入数据计算求解． 【详解】（1）解：圆柱的高：（厘米） 圆柱的底面周长：（厘米） 圆柱的侧面展开图如下图： （2）我认为丽丽和聪聪的做法正确． 我选择的是丽丽的方法． 解题思路： （立方厘米） 答：“火箭”模型的体积是12560立方厘米． 我选择的是聪聪的方法． 解题思路： （立方厘米） 答：“火箭”模型的体积是12560立方厘米． 【典例3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）下面图形的体积（结果保留）． 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 组合体的体积 【分析】本题考查了圆锥的体积，圆柱的体积，熟练掌握圆锥的体积公式，圆柱的体积公式是解题的关键． 根据圆锥和圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：， 答：图形的体积为． 【变式1】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查圆柱的计算，认识立体图形． （1）根据蒙古包的横切面判断即可； （2）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积和即可； （3）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第②幅图绕其轴旋转一周而成； 故答案为：②； （2）解：圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， ． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要毛毡； （3）解：这顶蒙古包的容积． 【变式2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个陀螺的上端可近似地看作一个圆锥，下端可近似地看作一个圆柱，结构示意图如图所示．已知、分别是圆柱上、下底面的圆心，，底面半径为2，则该陀螺的体积为（结果保留）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆柱的体积、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查圆柱、圆锥的体积，该陀螺的体积等于上面圆锥的体积与下面圆柱的体积之和，由此可解． 【详解】解：， ， 底面半径， 该陀螺的体积为：， 故选A． 【变式3】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）如图，一个容器的高与地面垂直，用的水刚好把这个容器装满，如果水深，那么这个容器里有______L水． 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】观察图形可知，该容器由上面的圆柱和下面的圆锥组成，且圆柱与圆锥等底等高．根据容器的总容积为，利用圆柱和圆锥的体积公式建立方程求出底面积．当水深时，水的体积等于圆锥的体积加上高为的圆柱的体积，据此计算即可求解． 【详解】解：设容器的底面积是 圆锥的体积为： 水深时水的体积为： ． 【变式4】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个直角三角形，两条直角边分别为3和4，斜边为5． (1)如图1，如果以3的边所在直线为轴旋转一周，得到的圆锥体积是多少？（结果保留π） (2)由面积相等可计算，三角形斜边上的高为多少？ (3)如图2，如果以斜边所在的直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是多少？（结果保留π） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系、 组合体的体积 【分析】（1）三角形绕着直角边所在直线旋转一周得到圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； （2）等积法求出斜边的高即可； （3）直角三角形绕着斜边所在直线旋转一周，得到两个扣在一起的圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案； 【详解】（1）解：根据题意， 绕着长为的边所在直线旋转一周得到一个圆锥， 其底面半径为，高为， 圆锥体积 ． （2）直角三角形面积有两种计算方式： 两直角边乘积的一半： 斜边与斜边上高乘积的一半： 联立得：， 解得． （3）解：根据题意， 绕着长为的边所在的直线旋转一周时， 得到的是一个由两个底面半径相等，但高不相等的圆锥扣在一起组成的几何体； 体积为． 【变式5】（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 【答案】(1)要定制的外部包裹材料 (2)粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦 【知识点】 组合体的表面积、 组合体的体积 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关计算公式是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和即可； （2）根据圆锥和圆柱体的体积公式，求出一个粮囤的体积，进而求出一个粮囤的囤粮的质量，再用总质量除以一个粮囤的囤粮的质量，即可得出结果． 【详解】（1）解：圆柱和圆锥的底面圆的半径为：， ∴圆柱和圆锥的侧面积之和为：； 故要定制的外部包裹材料； （2）， ， （个）； 答：粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦． 题型五 求不规则物体体积（排水法） 解｜题｜技｜巧 排水法是一种利用液体体积来测量不规则物体体积的方法。其原理是：物体完全浸没在液体中时，排开液体的体积等于物体自身的体积。 · 适用对象：不规则形状的物体（如石块、铁块、土豆等），无法直接通过公式计算体积。 · 常用容器：圆柱形、长方体等规则形状的容器，便于计算液体体积。 常｜用｜公｜式 · 若物体完全浸没且没有溢出，则上述公式成立。 · 若物体未完全浸没（如漂浮），则排水体积不等于物体体积，此时不能直接用此法。 解｜题｜步｜骤 1. 明确容器形状：确定容器的底面积公式（圆面积 或长方形面积 ）。 1. 记录初始水深：记下放入物体前的水面高度 。 1. 记录放入后水深：将物体完全浸没（用细线拴住或直接放入），记下此时水面高度 。 1. 计算上升高度：（若水溢出，则需用溢出体积法，另作讨论）。 1. 计算物体体积： 1. 单位换算：若体积单位需要转换为升或毫升（1 L = 1000 cm³，1 mL = 1 cm³）。 【典例1】（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图所示，玻璃容器的底面直径为，它的里面装有部分水，水中浸没着一个高的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了，这个铅锤的底面积是多少？ 【答案】 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查圆锥及圆柱的体积计算公式及二者之间的关系，熟练掌握圆锥与圆柱二者之间的关系是解题的关键． 根据铅锤的体积等于水下降的体积，利用下降的圆柱的体积公式和圆锥的公式求解即可． 【详解】解：∵铅锤的体积等于水下降的体积， ∴铅锤的体积为：， ∴铅锤的底面积为：， 答：铅锤的底面积是． 【典例2】（24-25六年级下·上海·阶段测试）李明把拳头浸没在装满水的容器中，溢出水的体积可能是（   ） A．2毫升 B．2升 C．升 【答案】C 【知识点】 不规则物体的体积算法 【分析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，关键是根据生活经验确定李明拳头的体积． 根据不规则物体体积的测量方法，把不规则物体放入盛满水的容器中，溢出水的体积就等于这个不规则物体的体积．再根据生活经验可知，李明拳头的体积小于2立方分米．据此解答即可． 【详解】解：李明拳头的体积大约2立方分米，即200立方厘米． 200立方厘米升， 答：溢出水的体积大约是升． 故选：C． 【变式1】（25-26六年级·上海·期末预测）求下面假山的体积是多少？ 【答案】900立方厘米 【知识点】 不规则物体的体积算法 【分析】根据“不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度”，据此进行计算即可． 【详解】解：假山的体积是：（立方厘米）． 答：假山的体积是900立方厘米． 【点睛】本题主要考查了求不规则物体的体积，结合长方体的体积的计算方法是解题的关键． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）一个正方体容器，边长为20厘米，倒入5升水，再把一块石头没入水中．这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是__________立方厘米． 【答案】1000 【知识点】 不规则物体的体积算法 【分析】本题考查了求不规则物体的体积，熟练掌握长方体的体积计算公式是解题的关键．根据题意，能够将石头的体积转化为上升的水的体积即可求解． 【详解】5升立方厘米， （立方厘米）， 故答案为：1000． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（2026六年级下·上海·专题练习）选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ） A．甲和① B．甲和② C．乙和① D．乙和③ 【答案】A 【知识点】 圆柱的展开图 【分析】制作一个圆柱形容器，说明要选一个正方形（或长方形）和一个圆形铁皮，而且所选的正方形（或长方形）的一条边和圆的周长相等即可达到要求，关键算出圆的周长；逐一分析四个选项里的组合，找出不能成立的选项． 【详解】A．甲的边长是，①的周长是，，所以不能做成圆柱形的容器； B．甲的边长是，②的周长是，，所以能做成圆柱形的容器； C．乙的宽是，①的周长是，，所以能做成圆柱形的容器； D．乙的长是，③的周长是，，所以能做成圆柱形的容器． 2．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形．这个圆柱的高是底面直径的（ ）倍． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆柱的展开图 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆的周长公式：，据此解答即可． 【详解】解：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形．那么这个圆柱的底面周长和高相等，由圆周率的意义，圆周率（），所以这个圆柱的高是底面直径的倍． 3．（2026六年级下·上海·专题练习）一个茶杯（如下图），茶杯的中部有一条装饰带，茶杯的直径为厘米，这条装饰带宽5厘米，这条装饰带的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【知识点】 圆柱的侧面积 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面积，掌握圆柱的侧面积是解题的关键。 直接运用圆柱的侧面积求解即可。 【详解】解：由题意可得：（平方厘米）． 答：这条装饰带的面积是平方厘米． 4．25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个圆柱的底面半径为，高，则该圆柱的体积为______．（结果保留π） 【答案】90π 【知识点】 圆柱的体积 【分析】根据圆柱体积公式，圆柱体积等于底面积乘高，代入已知半径和高计算即可． 【详解】解：圆柱的底面积为 ， 圆柱的体积为 ． 5.（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是______． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的全面积，解题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：，其中是底面半径，是母线长． 根据圆锥的全面积等于圆锥的底面圆的面积与圆锥的侧面积之和即可得． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的底面圆的面积为， 这个圆锥的侧面积为， 则这个圆锥的全面积为， 故答案为：． 6.（24-25六年级下·上海宝山·期末）一个圆锥的母线为，底面圆的直径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积底面周长母线长． 先求出圆锥的底面周长，然后根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的直径为，则底面周长， 则圆锥侧面积为． 故选：A． 7．（2026六年级下·上海·专题练习）如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径r与扇形半径R之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】从图中可知，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，其中扇形的弧长是以半径为R的圆周长的，圆锥的底面周长是半径为r的圆的周长，根据圆的周长公式，代入数据，求出圆的半径r与扇形半径R之间的关系． 【详解】解：根据题意得，， ∴． 故选：C． 8.（25-26六年级下·上海青浦·阶段检测）现用一块长为米，宽为8米的铁皮不重叠地卷成一个圆柱的侧面，并盖上两块圆形铁片组成一个圆柱，则这个圆柱的体积是______立方米．（保留） 【答案】或 【知识点】 圆柱的侧面积、 圆柱的体积 【分析】分类讨论，分别以长或宽为底面周长进行讨论． 【详解】解：①以长为底面周长，宽米为圆柱的高， 则底面半径为：（米）， 则圆柱的体积为：（立方米） ②以宽米为底面周长，长米为圆柱的高， 则底面半径为：（米）， 则圆柱的体积为：（立方米）． 9．（24-25六年级下·上海宝山·期末）底面周长为的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形状如图所示，则截后的体积______．（取3.14） 【答案】62.8 【知识点】截一个几何体、 圆柱的体积 【分析】本题主要考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键，难点是再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体．先求出圆柱体底面圆的半径为：（厘米），再将截后的几何体倒过来拼成一个圆柱体，则拼成圆柱体的高为：，然后利用圆柱的体积公式求出所拼成的圆柱体的体积，进而可得截后几何体的体积． 【详解】解：∵圆柱体的底面圆的周长为， ∴该圆柱体底面圆的半径为：，再取一个截后的几何体，用两个这样的几何体拼成一个圆柱体，则拼成圆柱体的高为：， ∴所拼成的圆柱体的体积为：， ∴截后几何体的体积为：． 故答案为：62.8． 10．（2026六年级下·上海·专题练习）一个圆锥体，底面直径是6厘米，高是10厘米．沿着高把圆锥切开，一个横截面的面积是________平方厘米． 【答案】30 【知识点】 圆锥的认识及特征 【分析】本题考查了圆锥的截面面积，沿着高把圆锥切开，横截面是一个以底面直径为底、高为圆锥高的三角形，再根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：圆锥沿着高切开后，一个横截面是三角形，其底等于底面直径6厘米，高等于圆锥高10厘米． 根据三角形面积公式，面积底高（平方厘米）． 故答案为：30． 11．（24-25六年级下·上海闵行·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面周长为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为________．（取3.14） 【答案】/144度 【知识点】扇形的周长和面积、 圆锥的认识及特征 【分析】本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式．根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2026六年级下·上海·专题练习）如图，圆柱形容器的底面半径是10厘米，高是20厘米，里面盛有一部分水，其中盛水部分与空的部分高度的比是．（取） (1)这个容器还能盛多少升水？（得数保留一位小数） (2)给这个容器的整个侧面贴上一张保护膜，你认为这张保护膜可以是什么形状？尺寸是多少？（可以用文字或画图说明，接缝处忽略不计．） 【答案】(1)升 (2)长方形；长厘米，宽20厘米（答案不唯一） 【知识点】 圆柱的展开图、 圆柱的侧面积、 圆柱的体积 【分析】（1）根据圆柱体积底面积高，求出容积，将容积看作单位“1”，容积空余部分对应分率还能盛水量； （2）圆柱侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长圆柱底面周长，长方形的宽圆柱的高，据此分析． 【详解】（1）解： （立方厘米） 4396立方厘米升 答：这个容器还能盛升水． （2）解：（厘米） 答：这张保护膜可以是一张长厘米，高20厘米的长方形．（或底厘米，高20厘米的平行四边形，其他形状画图并标上数据也可，答案不唯一．） 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）小杰买了一瓶橙汁（满瓶），可以将这瓶橙汁的底部看成是一个圆柱体，当小杰喝了部分之后，剩余的部分如图1所示，他将这瓶果汁倒置，剩余的部分如图2所示，他喝了________橙汁． 【答案】 【知识点】 圆柱的容积 【分析】本题考查了关于圆柱的应用题，解答此题关键是明确喝掉的橙汁的体积的计算方法．由图形可得小杰喝了的橙汁的体积等于图2中空余部分的体积，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：小杰喝了， 答：小杰喝了的橙汁． 故答案为： 3.（2026六年级下·上海·专题练习）一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上（如图），小浩哲发现它正好是一半露出水面．请试着求一求这根木头与水接触的面积有多少平方厘米？（结果保留） 【答案】平方厘米 【知识点】 圆柱的表面积 【分析】由于木头一半浸入水中，与水接触的面积由两部分组成：一是圆柱侧面积的一半；二是两个半圆形底面的面积（合起来为一个整圆），最后将两部分相加，即可得到总接触面积． 【详解】解：， 底面半径：， 接触水的面积：， 答：这根木头与水接触的面积有 平方厘米． 4.（2026六年级下·上海·专题练习）如图是一卷家用生活卫生纸，已知纸的宽度是10厘米，中间硬纸轴的直径是3.5厘米．你知道制作一个这样的卫生纸至少需要多少平方厘米的硬纸板来制作纸轴吗？（接缝处忽略不计） 【答案】109.9平方厘米 【知识点】 圆柱的表面积 【详解】本题考查圆柱的侧面积，利用圆柱的侧面积公式求解即可． 【分析】解：由题意得， （平方厘米） 答：制作一个这样的卫生纸至少需要109.9平方厘米的硬纸板来制作纸轴． 5．（24-25六年级下·上海松江·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”．已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】4 【知识点】求圆锥侧面积、求弧长 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式，代入计算即可． 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于 8 ，则， ∴半径为，弧长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为：4． 6.（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积、 圆锥的认识及特征、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】（1）根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长即可求出答案； （2）根据圆锥的体积公式计算即可， 本题考查了圆锥的计算和圆锥的体积，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 【详解】（1）解：（1）根据题意，得： 解得， 答：该圆锥形环保纸杯的底面直径d为； （2） 答：该圆锥形环保纸杯的体积为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的，圆锥形容器的水面高度降至原高度的（此时水面半径为圆锥底面半径的），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过______分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完． 【答案】11 【知识点】 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题主要考查了圆锥的体积公式以及列代数式，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式． 利用圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】解：假设圆锥底面圆半径为，则19分钟后圆锥底面圆半径为， 根据题意得，开始时圆锥中水的体积为， 19分钟后剩下水的体积为， ∴19分钟漏掉的水的体积为， ∴圆锥容器漏水速度为， ∴圆锥中剩下的水漏完所需时间为（分钟）， 根据19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的， ∴圆柱中所剩的水漏完所需时间为19分钟， （分钟）， 所以，当圆锥形容器中的水漏完后，再过11分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完． 故答案为：11． 2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆心角、求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 3.（2026六年级下·上海·专题练习）明明要用三个面积相等的长方形围成圆柱的侧面（见下面示意图），再配上合适的底面就成为了圆柱（以水平方向的边作为圆柱底面周长）．哪一个长方形围成的圆柱体积最大呢？ (1)明明用表格进行了研究，请你帮他把表格补充完整． 图形 长（） 宽（） 圆柱体积（） ① 1 ② 2 ③ 4 (2)围成体积最大的长方形是（ ）． (3)观察上表你有什么发现？把你的发现写在下面空白处． 【答案】(1)50.24；25.12；12.56 (2)① (3)当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面周长越长，围成圆柱的体积就越大 【知识点】 圆柱的体积 【分析】（1）图中长方形的长相当于围成圆柱底面圆的周长，根据长方形的长求出圆柱的底面半径，再计算出圆柱的底面积，圆柱的体积底面积×高； （2）根据表格找出围成体积最大的长方形； （3）图中三个圆柱的侧面积相等，①的底面周长>②的底面周长>③的底面周长，圆柱①的体积>圆柱②的体积>圆柱③的体积；据此解答． 【详解】（1）解：①半径： 体积： ②半径： 体积： ③半径： 体积： 图形 长（） 宽（） 圆柱体积（） ① 1 ② 2 25.12 ③ 4 12.56 （2）解：由表格可知，长方形①的体积最大． （3）解：分析可知，当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面周长越长，围成圆柱的体积就越大． 4.（24-25六年级下·上海闵行·期末）某施工场地有一条宽的道路需要用石子临时铺设，在另一处有一个圆锥形石堆，石堆的底面积是，石堆的高是．现在准备安排若干辆卡车去运回这堆石子来铺设道路． (1)用这堆石子在这条宽的道路上铺厚的路面，能铺这条道路多少？（结果保留两位小数） (2)一辆型卡车从施工场地出发前往石堆所在地，出发1.5小时后，一辆型卡车也从施工场地出发前往石堆所在地，当这辆型卡车又行驶1.2小时到达石堆所在地时，型卡车行驶的路程比施工场地与石堆所在地路程的少，已知型卡车与型卡车的速度比为，求施工场地与石堆所在地之间的路程是多少？ (3)在（2）的条件下，所有车辆均在施工场地，已知型卡车每辆满载可装石子，D型卡车每辆满载可装石子，每辆型卡车每油费0.6元，每辆型卡车每油费0.75元，现在施工场地有足够多的型卡车和型卡车，为了确保运石总油费支出最少，并且能够将石子全部运回施工场地铺路，应该怎样派卡车？ 【答案】(1)能铺这条道路米； (2)施工场地与石堆所在地之间的路程是千米 (3)需要辆型卡车，辆型卡车费用最小. 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分数的四则混合运算、 圆柱与圆锥体积的关系 【分析】本题考查了圆锥体积计算，比例的应用，百分数的应用，方程的应用，根据题意列出式子是解题的关键； （1）根据圆锥的体积公式进行计算，进而根据道路的体积等于石堆的体积列出方程，解方程，即可求解； （2）设总路程为千米，根据题意得出型卡车行驶的路程为：根据型卡车行驶的路程得出，解方程求得千米时，进而求得路程； （3）分别求得和型卡车的油费，为了最小化油费，应优先使用型卡车，再根据石子体积，除以型卡车满载石子体积，得出卡车的数量，即可求解． 【详解】（1）解：石堆的体积立方米 而计算铺设道路所需的体积（体积 道路宽度 铺设厚度 道路长度）： 则道路长度：米 答：能铺这条道路米； （2）解：设总路程为千米， 型卡车的总行驶时间为：小时； 设型卡车的速度为千米时，则型卡车的速度为千米时，型卡车的行驶时间为小时， 根据题意，型卡车行驶的路程为：， 型卡车行驶的路程为：，即， 即， 解得：千米时， 千米， 答：施工场地与石堆所在地之间的路程是千米. （3）解：依题意，型卡车：立方米车；型卡车：立方米车，总石子体积：立方米． 型卡车的油费：元车， 型卡车的油费：元车， 每立方米石子的油费：型卡车：元立方米， 型卡车：元立方米， ∵， 为了最小化油费，应优先使用型卡车． ， ∴需要辆型卡车，辆型卡车费用最小． 此时总费用为：， 而派辆型卡车的总费用为：， ∴辆型卡车，辆型卡车费用最小符合题意； 答：需要辆型卡车，辆型卡车费用最小. 5.（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 【答案】任务一：；任务二：见详解；任务三：方案B利用率更高 【知识点】 圆柱的展开图、 圆柱的体积 【分析】该题考查了圆柱的体积和展开图，圆面积，理解题意是解题的关键． 任务一：设圆柱底面圆半径为，根据题意可得，得出，根据圆柱的体积公式求解即可． 任务二：方案A：根据题意可得，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，则，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可；如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可． 【详解】解：任务一：设圆柱底面圆半径为， 根据题意可得， 即， 解得：， 则这个圆柱形容器的体积． 任务二：方案A：根据题意可得， 故圆柱形容器的高， 该圆柱形容器的体积， 示意图如下： 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则， 故圆柱形容器的高， 示意图如下： 该圆柱形容器的体积， ， 故以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大． 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； 如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； ∵， 故方案B利用率更高． 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．（π取） (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米? (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图2），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积．如果设这个圆柱体底面的半径为r，高为h，体积为V，那么这个长方体的长=______，宽=_____，所以圆柱体的体积______． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的图形如图3所示，求这个截后的体积是多少立方厘米? 【答案】(1)平方厘米 (2)，， (3)立方厘米 【知识点】 圆柱的体积、 不规则物体的体积算法、 圆的面积 【分析】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提． （1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可； （2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可； （3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得， ， 解得， 圆的面积为（平方厘米）， 答：这个圆的面积是平方厘米； （2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径， 由于长方体的体积为长宽高， 所以圆柱的体积为， 故答案为：，，； （3）设圆柱底面半径为厘米，则， 解得， 所以截后的体积为 （立方厘米）， 答：截后的体积为立方厘米． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $