第四章 平行四边形【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 平行四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+23个题型讲练+真题实战练 共56题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 多边形截角后的边数问题 题型二 多边形对角线的条数问题 题型三 对角线分成的三角形个数问题 题型四 多边形内角和问题 题型五 多边形截角后的内角和问题 题型六 多边形外角和的实际应用 题型七 多边形内角和与外角和综合 题型八 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 题型十一 线段问题(旋转综合题) 题型十二 面积问题(旋转综合题) 题型十三 角度问题(旋转综合题) 题型十四 中心对称图形规律问题 题型十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十六 已知两点关于原点对称求参数 题型十七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十八 利用平行四边形性质和判定证明 题型十九 平行四边形性质和判定的应用 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题 题型二十一 与三角形中位线有关的证明 题型二十二 反证法证明中的假设 题型二十三 用反证法证明命题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点四 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 多边形截角后的边数问题 【例1】（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【变式】（24-25八年级下·河北唐山·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 题型讲练二 多边形对角线的条数问题 【例2】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 【变式】（24-25八年级下·山东滨州·月考）一个多边形的内角和等于，它有_____条对角线 题型讲练三 对角线分成的三角形个数问题 【例3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 【变式】（24-25八年级下·全国·单元复习）过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 题型讲练四 多边形内角和问题 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分．若，，，求的度数． 题型讲练五 多边形截角后的内角和问题 【例5】（23-24八年级下·辽宁铁岭·月考）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 【变式】（2024·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 题型讲练六 多边形外角和的实际应用 【例6】（25-26八年级下·全国·周测）如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 题型讲练七 多边形内角和与外角和综合 【例7】（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知边形的内角和为：． (1)五边形的内角和为____________； (2)已知一个边形的内角和是它的外角和的2倍，求的值； (3)一个边形的内角和可以是吗？如果可以，求出的值；如果不可以，请说明理由． 【变式】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个边形有个内角都等于，且另一个内角相邻的外角也等于，求的值． 题型讲练八 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例8】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，连接．分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是________． 题型讲练九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【例9】（25-26八年级下·湖北荆门·月考）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【变式】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______． 题型讲练十 坐标与旋转规律问题 【例10】（2026八年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 题型讲练十一 线段问题(旋转综合题) 【例11】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 【变式】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 题型讲练十二 面积问题(旋转综合题) 【例12】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．    【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤ +mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 题型讲练十三 角度问题(旋转综合题) 【例13】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．给出下面四个旋转角的度数：①；②；③；④．其中能使为直角三角形的旋转角的度数为（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图1，在中，，，点为边上的一点，将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接． (1)求的度数； (2)当，时，求、的长； (3)如图2，取中点，连接，交于点，试探究线段、的数量关系和位置关系，并说明理由． 题型讲练十四 中心对称图形规律问题 【例14】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________. 【变式】（2024·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 题型讲练十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例15】（25-26八年级下·山西朔州·月考）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【变式】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是______． 题型讲练十六 已知两点关于原点对称求参数 【例16】（25-26八年级下·全国·周测）已知点和点关于原点对称，则的值为_____． 【变式】（25-26八年级下·四川达州·期末）下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 题型讲练十七 利用平行四边形的判定与性质求解 【例17】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 【变式】（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，一块四边形的玻璃，，不小心把部分打碎，现在只测得，，，．试根据测得的数据求出的长为________． 题型讲练十八 利用平行四边形性质和判定证明 【例18】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点．求四边形的面积． 题型讲练十九 平行四边形性质和判定的应用 【例19】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点．      (1)求直线，的函数解析式； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，，点，均为轴上的动点，且点在点的上方，．当时，求点的坐标及的最小值； (3)如图3，点是轴上一点，点是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 题型讲练二十 与三角形中位线有关的求解问题 【例20】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 题型讲练二十一 与三角形中位线有关的证明 【例21】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F，四边形GEHF是菱形． (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明理由． (2)若，，则菱形GEHF的面积为________． 【变式】（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 题型讲练二十二 反证法证明中的假设 【例22】（25-26八年级下·山西太原·期中）用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 题型讲练二十三 用反证法证明命题 【例23】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③ 【变式】（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知正整数x，y满足，且满足不等式组． (1)请用反证法证明：； (2)求所有符合条件的正整数对． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 5．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，交于点O，平分，，．则（1）_____，（2）_____． 6．（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______． 7．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点在上，，平分，，则与之间的距离为______． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 9．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 平行四边形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+23个题型讲练+真题实战练 共56题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 多边形截角后的边数问题 题型二 多边形对角线的条数问题 题型三 对角线分成的三角形个数问题 题型四 多边形内角和问题 题型五 多边形截角后的内角和问题 题型六 多边形外角和的实际应用 题型七 多边形内角和与外角和综合 题型八 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 题型十一 线段问题(旋转综合题) 题型十二 面积问题(旋转综合题) 题型十三 角度问题(旋转综合题) 题型十四 中心对称图形规律问题 题型十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十六 已知两点关于原点对称求参数 题型十七 利用平行四边形的判定与性质求解 题型十八 利用平行四边形性质和判定证明 题型十九 平行四边形性质和判定的应用 题型二十 与三角形中位线有关的求解问题 题型二十一 与三角形中位线有关的证明 题型二十二 反证法证明中的假设 题型二十三 用反证法证明命题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点二 平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 知识点三 平行四边形的判定定理 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点四 三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五 直角三角形斜边上中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 【易错点拨】 三角形的中位线，直角三角形斜边上中线定理常常结合在一起进行考查. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 多边形截角后的边数问题 【例1】（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 【变式】（24-25八年级下·河北唐山·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 题型讲练二 多边形对角线的条数问题 【例2】（25-26八年级下·湖北荆州·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．七边形的三角剖分方法有（    ）种． A．14 B．42 C．28 D．35 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割．根据题意列举即可． 【详解】解：如图，共有42种： 故选：B． 【变式】（24-25八年级下·山东滨州·月考）一个多边形的内角和等于，它有_____条对角线 【答案】20 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、多边形对角线条数的公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，先求出多边形的边数，再利用多边形对角线条数的公式计算即可得． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 所以它的对角线的条数为， 故答案为：20． 题型讲练三 对角线分成的三角形个数问题 【例3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、一元一次方程的应用等知识点，掌握从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形是解题的关键． 设多边形的边数为n，再根据多边形对角线的特点列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形性质，从一个顶点出发作对角线，最多分成个三角形． 由题意可得，，解得：． 故答案为：2028． 【变式】（24-25八年级下·全国·单元复习）过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 题型讲练四 多边形内角和问题 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由三角形内角和定理得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决． 本题主要考查多边形内角和、三角形内角和定理，将所求角度和转化为多边形内角和是解题的关键． 【详解】解：连接，如图． ， ． 即． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分．若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 根据五边形的内角和等于，结合，，，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，根据三角形内角和为进一步求得的度数． 【详解】解：∵多边形是五边形， ． ，，， ． 平分，平分， ． 在中，． 题型讲练五 多边形截角后的内角和问题 【例5】（23-24八年级下·辽宁铁岭·月考）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 【答案】或或 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【变式】（2024·浙江杭州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【答案】9或10或11 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 题型讲练六 多边形外角和的实际应用 【例6】（25-26八年级下·全国·周测）如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：米． 故选：C． 【变式】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查三角形外角的性质及多边形的外角和，根据题意，利用三角形外角得出，然后利用多边形外角和求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型讲练七 多边形内角和与外角和综合 【例7】（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知边形的内角和为：． (1)五边形的内角和为____________； (2)已知一个边形的内角和是它的外角和的2倍，求的值； (3)一个边形的内角和可以是吗？如果可以，求出的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)540 (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）代入到边形的内角和公式即可求解； （2）根据边形的内角和以及外角和公式列出方程，即可求出的值； （3）设一个边形的内角和是，根据边形的内角和公式列出方程，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：五边形的内角和为； （2）解：∵一个边形的内角和是它的外角和的2倍， ∴， 解得； （3）解：设一个边形的内角和是， 则， 解得， ∵是整数， ∴不符合题意，舍去， ∴一个边形的内角和不可以是． 【变式】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）已知一个边形有个内角都等于，且另一个内角相邻的外角也等于，求的值． 【答案】 【详解】解：∵一个边形有个内角都等于， ∴对应的个外角的度数为：， ∵另一个内角相邻的外角等于， ∴， 解得． 题型讲练八 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例8】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，连接．分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限交于点，连接．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于H，取的中点M，连接，根据直角三角形斜边上中线的性质可得是等边三角形，因此，由作图过程可得，，求出，是等边三角形，得到，根据，，得到垂直平分，因此，通过勾股定理求得，从而，进而依次求得第2次、第3次、第4次发现每4次一个循环，据此求解即可． 【详解】解：过点A作轴于H，取的中点M，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵轴，点M是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由作图过程可得，，， ∴，是等边三角形， ∵， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴第1次旋转得到C点的对应点为， 第2次旋转得到C点的对应点为， 第3次旋转得到C点的对应点为， 第4次旋转得到C点的对应点为， 第5次旋转得到C点的对应点为， ∴每4次旋转是一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点C的坐标为． 【变式】（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故答案为：． 题型讲练九 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 【例9】（25-26八年级下·湖北荆门·月考）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先求出点A的坐标，设，根据两点距离公式得到，解方程得到或；过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，由旋转的性质可得，证明，得到，则，同理可得，． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴或； 如图所示，过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得，；    综上所述，点C的坐标为或或； 故答案为：或或． 题型讲练十 坐标与旋转规律问题 【例10】（2026八年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 【变式】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、、…，在x轴上，，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：由图象知点、、、…，在x轴上， ∵， ∴， ∴，，，…， 即点、、、…，中相邻两点间的距离均为6， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型讲练十一 线段问题(旋转综合题) 【例11】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．取的中点，连接，设交于点，在中，由勾股定理得到，由旋转可知：，从而，，由，可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在中，当在一条直线上时，有最大值为． 【详解】解：取的中点，连接，设交于点， 在中，， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 当在一条直线上时，有最大值， ∴线段的最大值为． 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 题型讲练十二 面积问题(旋转综合题) 【例12】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．    【答案】 【分析】先进行把绕点逆时针旋转，，绕点逆时针旋转，根据性质可以得出，继而利用勾股定理可得，利用面积即可求解． 【详解】如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应            ∵，，， ∴旋转后与重合，与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴点，，三点共线，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 在，由勾股定理得：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤ +mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确； ②过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC＝90°，根据S△BDC＝BD•CH，由垂线段最短判断出②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，分K落在△ABD的边上、内部、外部讨论即可判断③正确． 【详解】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′， 则△ABC′≌△ACD， ∴AC′＝AD，BC′＝CD， ∵∠DAC′＝60°， ∴△AC′D是等边三角形， ∴C′D＝AD， 在△BC′D中，BC′+BD＞C′D， ∴CD+BD＞AD， 当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线， ∴CD+BD＝AD， 故①正确； ②如图2，过点C作CH⊥BD于H， 则∠BHC＝90°， ∴S△BDC＝BD•CH， 由垂线段最短知，CH≤CD， ∴S△BDC≤BD•CD， 故②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK， 由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°， ∴△BDK是等边三角形， （推导等边三角形的面积公式如下： S△ABC=） ∴S△BDK＝ ， ∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质）， 当K落在△ABD外部时，S△ABK＝S△BDC≤BD•CD， 即S△ABK≤mn， ∴S△ABD<S△ABK+S△BDK≤ +mn， 当K落在AD边上时， S△ABD= S△ABK+S△BDK≤ +mn， 当K落在△ABD内部时， 过点B、D分别作BN⊥AK于N，DM⊥AK于M，设AK与BD交于点O， S△ABD=S△BDK+S△ABK+S△ADK =m2+AK·BN+AK·DM=m2+AK（BN+DM） ∵BO≥BN，OD≥DM， ∴S△ABD≤m2+AK（OB+OD）=m2+mn 故③正确； 综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个， 故选：A． 题型讲练十三 角度问题(旋转综合题) 【例13】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．给出下面四个旋转角的度数：①；②；③；④．其中能使为直角三角形的旋转角的度数为（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为． 当点在的延长线上时，如图所示，则． 当点在的延长线上时，如图所示，则旋转角的度数为． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即是直角三角形， 综上所述，则旋转角的度数为或或， 故选． 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图1，在中，，，点为边上的一点，将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接． (1)求的度数； (2)当，时，求、的长； (3)如图2，取中点，连接，交于点，试探究线段、的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)；，证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定． （1）由旋转可知，即可得出， （2）由旋转，可知，，故，利用勾股定理即可得出的长，过作于，再由，可得出，在中即可求出：，利用勾股定理即可得出的长； （3）如图，延长到点，使，记和的交点为点，利用可证得：可得，，故，结合，可得出：．利用可证得：，即可得出：，，即可证得． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∵， ∴； （2）∵，， ∴，． 由旋转，可知，， ∴， ∴． 过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）与有如下关系：，．理由如下： 如图，延长到点，使， ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． 又由旋转知， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型讲练十四 中心对称图形规律问题 【例14】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，.已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，点的对称性质，结合题意，依次求得点，，，，，，的坐标，从而发现该题的规律，求得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点关于点的对称点， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， ∵点关于点的对称点为，，， ∴， 此时点与点重合． ∵， ∴与点重合， 故 ， 答案为：． 【变式】（2024·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2n﹣1A2nB2n（n是正整数）的顶点A2n的坐标是（　　） A．（4n﹣1，﹣） B．（4n﹣1，） C．（4n+1，﹣） D．（4n+1，） 【答案】A 【分析】首先根据等边三角形的性质得出点A1，B1的坐标，再根据中心对称性得出点A2， 点A3，点A4的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为 ，B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1＝3，纵坐标是-， ∴点A2的坐标是， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3＝5，纵坐标是， ∴点A3的坐标是， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5＝7，纵坐标是-， ∴点A4的坐标是， …， ∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n的坐标是 ． 故选：A． 题型讲练十五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例15】（25-26八年级下·山西朔州·月考）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 【变式】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的性质和勾股定理等知识，熟知中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质可得A、C、D三点共线，，，再利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴A、C、D三点共线，，， 则在直角三角形中，， ∴； 故答案为：2. 题型讲练十六 已知两点关于原点对称求参数 【例16】（25-26八年级下·全国·周测）已知点和点关于原点对称，则的值为_____． 【答案】3 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解分式方程，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标分别互为相反数．由于点和点的纵坐标已满足互为相反数，因此只需处理横坐标的关系． 【详解】解：设点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ． 由关于原点对称，得 ． 化简得 ． 注意到 ， ． 代入方程得 ． 设 ，则 ． 移项得 ，即 ， 解得 ． ， 得 ， 即 ， 解得． 经检验，当 时，分母 且 ， 故 成立． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·四川达州·期末）下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】判断每个命题的真假：①由等式得，与结论矛盾；②由对称点坐标求和，计算；③极差为时可能为或；④计算化简后等式成立. 【详解】∵命题①：==，∴，即，与结论矛盾，故为假命题； ∵命题②：点与关于原点对称，∴且，解得，，∴，故为假命题； ∵命题③：数据2，4，x，的极差为7，最小值可能为或，最大值可能为或. 若为最大值，则，；若为最小值，则，；其他情况极差不为7，∴或，故为真命题； ∵命题④：，与右边相等，故为真命题； ∴真命题为③④． 故选D. 题型讲练十七 利用平行四边形的判定与性质求解 【例17】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，点E是上一点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点F．当E为中点时，的长度为__________． 【答案】 【分析】过点B作于点H，设与交于点M，先证明四边形是平行四边形，得到，然后求出和的长，可得的长，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：过点B作于点H，设与交于点M， 沿折叠得到， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，一块四边形的玻璃，，不小心把部分打碎，现在只测得，，，．试根据测得的数据求出的长为________． 【答案】 【分析】过作，交于，结合得平行四边形，可得，长，度数，利用结合求出，进而由三角形外角性质得，即可得，得出，最后由即可得出． 【详解】解：如图，过点作，交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型讲练十八 利用平行四边形性质和判定证明 【例18】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点．求四边形的面积． 【答案】12 【分析】由于，易证，则，从而证明四边形是平行四边形，则，推出，最终证得，再求解即可． 【详解】解：， ． 是的中点， ． 在与中， ， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ，，， ， ． 题型讲练十九 平行四边形性质和判定的应用 【例19】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点．      (1)求直线，的函数解析式； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，，点，均为轴上的动点，且点在点的上方，．当时，求点的坐标及的最小值； (3)如图3，点是轴上一点，点是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线：，直线： (2)，的最小值为 (3)，，， 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先通过，求出，确定点，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点，得出，从而确定当，，共线时，的值最小，最小值为，即可求解； （3）分四种情况进行讨论，第一种情况：当为边，点在点的下方时；第二种情况：当为对角线时；第三种情况：当为边，点在点的右方时；第四种情况：当为边，点在点的左方时，分别画出图形并求解即可． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 直线：，直线：； （2）由（1）得：，，，． ， ． ． 如图所示，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点． ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当，，共线时，的值最小，最小值为， 点的坐标，的最小值为； （3）， ，， 第一种情况：如图所示，当为边时，点在点的下方时， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点在直线上，且， 此时； 第二种情况：如图所示，当为对角线时，取线段的中点，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，连接， 四边形是菱形， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 此时； 第三种情况：如图所示，当为边，点在点的右方时，在轴正半轴上取，过点作，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 此时； 第四种情况：如图所示，当为边，点在点的左方时，在轴负半轴上取，过点作，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 此时； 综上所述，，，，． 【变式】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）90；（2）；（3）15930元 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及旋转的性质解答，即可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，，先证明，可得，再证明，可得，然后根据垂直平分，可得，由勾股定理可得，从而得到的长度，即可； （3）把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P，可得点N，M，A，D四点共线，再证明，可得，分别在和中，利用勾股定理可得，，可得，可求出四边形的面积，取的中点Q，连接，则，证明四边形，均是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 故答案为：90 （2）如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的边长为； （3）如图，把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P， 由旋转的性质得：， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点N，M，A，D四点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 取的中点Q，连接，则， ∵， ∴， ∴四边形，均是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/， ∴这块生物基地种植花卉的总费用为元． 题型讲练二十 与三角形中位线有关的求解问题 【例20】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，则、是的中位线，可证四边形是平行四边形，再证明出，得到，进而得出，即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 题型讲练二十一 与三角形中位线有关的证明 【例21】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F，四边形GEHF是菱形． (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明理由． (2)若，，则菱形GEHF的面积为________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到，；由三角形中位线定理可得，，即得到，可证明四边形是平行四边形，可得，由菱形的性质可得，即可得结论； （2）分别求出 、的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：． 理由如下：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． ∵四边形是菱形， ， ，即． （2）解：，， ． ，，分别是对角线上的四等分点， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴菱形的面积． 【变式】（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 题型讲练二十二 反证法证明中的假设 【例22】（25-26八年级下·山西太原·期中）用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【答案】 【分析】了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：反面是． 因此用反证法证明若，则时，应假设． 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】B 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中每一个内角都小于． 题型讲练二十三 用反证法证明命题 【例23】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理，反证法，解题的关键是掌握以上性质． ①证明，即可得出结论； ②根据，得出相等的角，然后利用三角形内角和定理进行求解即可； ③利用反证法进行证明即可； ④过点作于点，过点作于点，根据全等三角形的性质以及面积得出，根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， 由①得，， ∴，且， ∴， ∴平分， 故④正确； ③假设平分， ∴， 由④得平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴， ∴，与矛盾， ∴平分不成立， 故③错误； 综上，正确选项为：①②④， 故选：B． 【变式】（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知正整数x，y满足，且满足不等式组． (1)请用反证法证明：； (2)求所有符合条件的正整数对． 【答案】(1)见解析 (2)和 【分析】本题考查反证法，解不等式组； （1）利用反证法设，进而求出与条件矛盾，假设不成立解答即可； （2）根据（1）中结论得到x为1、2、3、4、5，分别代入求出y值解答即可． 【详解】（1）证明：假设， 则， ∴，即，解得， 但根据，当时，，这与矛盾， ∴假设不成立， ∴； （2）解： ∵x，y为正整数，，且由（1）知， ∴x的可能值为1、2、3、4、5， （Ⅰ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解； （Ⅱ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解； （Ⅲ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解； （Ⅳ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解， ∴正整数对符合条件； （Ⅴ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解， ∴正整数对符合条件； ∴综上所述，所有符合条件的正整数对为和． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ , ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (AAS)， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③符合题意； 综上可知，结论①③符合题意． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据余角的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，说明①正确；证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，判断②正确；根据，，，即可得出，判断③错误；根据勾股定理得出，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ， ， 在平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵在平行四边形中，， ∴， ，， ， ，故③错误； ∵在平行四边形中，， ∴， ， ∵， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点E作于点G，由平分线得出，由平行四边形的性质得出，，，，证出，则，，证出，则，由勾股定理得出，证明四边形为平行四边形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作于，过点E作于点G，如图所示： 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 【答案】或 【分析】延长交于点，交于点，由题意可得，，，，分两种情况：当时，当时，根据平行线的性质得出角的关系，进而得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：延长交于点，交于点， 由题意可得，，，， 当时， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得； 当时， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上，满足条件的的值为或． 5．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，交于点O，平分，，．则（1）_____，（2）_____． 【答案】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得邻角互补，结合已知条件求出的度数，进而得到的度数； （2）利用角平分线的定义和平行线的性质证明是等边三角形，求出的长，作高利用勾股定理求出高，最后利用平行四边形面积公式计算即可 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ∴，， ， 又， ，即， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， 在中，， 是等边三角形， ， ， ， 如图，过点作于点， 则， ， ． 6．（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，涉及到了平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理等内容． 先根据轴对称的性质得到点的坐标为，，求得，，利用勾股定理得到，从而得到，再根据三角形全等得到，即可求解． 【详解】解：设与的交点为，如图， ∵点C与点E关于x轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴， 在平行四边形中，，， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴，即． 7．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点在上，，平分，，则与之间的距离为______． 【答案】 【分析】过点作于点， 通过平行四边形的性质结合角平分线的性质得到， ， 证明， 得到， 在中，根据勾股定理列式计算即可求得的长，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即与之间的距离为． 8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． (3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得 ，进而得 ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由 得 ，推出 为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出 为 的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出 ，求得 ，从而算出 的横坐标． 【详解】（1）解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ （2）解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 （3）解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 9．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ (3)如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；过点B作轴于点R，求出，得到，则，据此求出的长即可得到答案； （2）设运动时间为，可证明轴，求出，根据，即，得到，解方程即可得到答案； （3）取点，过点P作交x轴于点K，连接，可证明是等边三角形，得到，可证明四边形是平行四边形，，得到，则可证明，得到，据此可求出，，则相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度，故． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点R， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：设运动时间为， 由（1）可得， ∴轴， 由题意得，，则， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴从运动开始，需经或，才能使； （3）解：如图所示，取点，过点P作交x轴于点K，连接， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵轴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度， ∴． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）延长交于点，先证明，再得到垂直平分，然后由等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可； （2）①延长交于点，过点作于点，连接，根据等腰三角形的判定结合等量代换即可证明；②可设，则，则，那么，由题意可得，，则由勾股定理得，列出方程求解得到，则，，再由三角形的中位线定理得到，即可求解平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵中，， ∴， ∵点E为边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∴； ②由（1）得， ∴ ∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， 由（1）知，而， ∴ ∴ ∴的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $