精品解析：广东省东莞市南城区2025-2026 学年九年级下学期二模数学试卷

2025—2026学年九年级第二学期二模教学质量自查 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟。 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分. 每小题只有一个选项符合题意） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 2. 家具中会用到许多榫（sǔn）卯结构，比如燕尾榫．如右图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其主视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：由图可得主视图为： ． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵对于科学记数法，当 时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，， ∴将的小数点向左移动位，得到原数为． 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 在平面直角坐标系中，点先向右平移再向下平移可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移方向确定平移后横纵坐标的范围，再逐一判断选项，即可作答． 【详解】解：设平移后点的坐标为， ∵点坐标为，且点先向右平移，再向下平移， ∴平移后点的横坐标增大，纵坐标减小， 即，， 观察四个选项的点的坐标，符合题意只有． 6. 将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（ ）个这样的正五边形． A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．设正五边形的两边交于点O，求出正五边形的外角为，可得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，设正五边形的两边交于点O， 正五边形的外角为， ∴， ∵， ∴要完成这一圆环还需要个这样的正五边形． 故选：B 7. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出箭尺每小时匀速上升，以为时间起点，设经过小时后，箭尺读数为，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得至，读数从变成了，至，读数变成了，水匀速地从供水壶流到箭壶， ∴箭尺每小时匀速上升， ∴以为时间起点，设经过小时后，箭尺读数为， ∴当箭尺读数为时，即， 解得． ∴经过8小时后，指示时间为． 8. 在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先理解题意，把代入，求出，然后根据，求出，再结合四个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设， 把代入，得， 解得， ∴， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∴当时，则， 观察四个选项，得p的值可以是． 9. 如图，菱形的对角线，，交点为O，点F在上，且，过点F作交于点E．则的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出菱形的面积及的面积，由及菱形对角线互相平分求出与的比值，再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：菱形的对角线，， 菱形的面积， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 12. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 13. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算，设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可，两者之间的两个对应关系：（）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，熟练掌握两个关系是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为， 根据题意得， 解得， ∴． 故答案为：6 14. 如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，3，6，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点C的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出表格，然后找出符合题意的情况，利用概率公式法求解即可． 【详解】解：根据题意列表求和如下： 1 3 6 1 2 4 7 3 4 6 9 6 7 9 12 ∵点P经过两次运动后到达点C，且转动一圈为5次， ∴点P两次运动的数字和为2或7或12， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有4种， ∴点P经过两次运动后到达点C的概率是． 15. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，已知，且则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长,交于点,过点作,根据平行线的性质可知，进而根据等边对等角以及等腰三角形的性质可知，的长度，根据勾股定理即可求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长,交于点,过点作, 在平行四边形中, , ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴, , ∴, ∴, ∴, ∵， ∴，, ∴, ∴ ∴, ∴, ∴． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ①， ， 解得， ②， ， 解得， ． 17. 某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表： 投篮训练成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 b 乙 a 8 （1）补全条形统计图； （2）表中______，______． （3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛． 【答案】（1）见解析 （2）8，9 （3）甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛答案不唯一，言之有理即可 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，平均数，中位数，方差的意义．关键是掌握这些知识进行解答． （1）根据平均数求出甲第5次、乙第3次的成绩，补全条形统计图； （2）按照中位数和众数的定义解答即可； （3）根据平均数，中位数，众数以及方差判断即可． 【小问1详解】 解：第5次甲的成绩：（个）， 第3次乙的成绩：（个）， 补全条形统计图： ； 【小问2详解】 解：把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8， ； 甲的成绩为：5，6，8，9，9， ∴， 故答案为：8，9； 【小问3详解】 解：甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛（答案不唯一，言之有理即可）． 18. 某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格． 【答案】25元 【解析】 【分析】根据“用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个”列出方程，进而求解即可． 【详解】解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，由题意得： ， 解得； 经检验：是原方程的解， 答：每个A种挂件的价格为25元． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质可得，设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，过A作轴于K，过作轴于L，通过证明，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴ 将代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 设点，则点， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，舍）， ∴． 【小问3详解】 解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为， ∴ 设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为， 过作轴于K，过作轴于L，如图： 则，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 20. 【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． （1）求的度数； （2）求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形性质和三角形内角和，算出的度数； （）通过三角函数和勾股定理，构造直角三角形求出线段的长度． 【小问1详解】 解：∵，为等腰三角形， ∴， 根据三角形内角和为， ， 答：的度数为； 【小问2详解】 解：如图 ，过点作于点， 在中，∵，， ∴，  ， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 答：鼓的厚度约为． 21. 在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： （1）如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； （2）老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则图2中四边形的形状是_____；若图2中，则该四边形的周长为______； （3）在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求线段的长度． 【答案】（1）平行四边形； （2）菱形，20； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再得到，可判断四边形是菱形，根据勾股定理求出菱形的边长，则可求菱形周长； （3）作交于点，当四边形是矩形，则，可得，解得，再根据可得答案． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可知， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，即， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，，， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， 连接，交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴该四边形的周长为 ； 【小问3详解】 解：由题意可知，， 作交于点，如图： ， 由（2）得，， ， 四边形是矩形， ∴， ， 解得：， ∴， ∴线段的长度为． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． 【初步尝试】 （1）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规图1和图2中分别作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． ①；② 【深入研究】 （2）已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该二次函数的图象所过的象限随m的取值变化而变化，直接根据m的取值范围写出函数图象所经过的象限（写出所有可能情况）． 【答案】（1）作图见详解； （2）①见解析；②当时，此时图象经过一、二、四象限；当时，此时图象经过三、四象限；当或时，此时图象经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图象经过一、二、三、四象限 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据直线和与坐标轴的交点坐标，得出交点到原点的距离与和的关系，尺规作图即可求解； （2）①当时，，根据方程根的情况，即可求证；②根据m的范围，当时，时，或时，时，四种情况分别讨论画出抛物线，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，直线即为所求；如图2，直线即为所求； 一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B， ，， ①一次函数， 其图象分别与x轴、y轴交于点，， 以为圆心，为半径画圆弧，交x轴负半轴上一点，连接这一点与点，即为直线； ②一次函数， 其图象分别与x轴、y轴交于点，， 以为圆心，为半径画圆弧，交y轴正半轴上一点，以为圆心，（作的垂直平分线）为半径画圆弧，交x轴负半轴上一点，连接这两点，即为直线； 【小问2详解】 ①证明：， 当时，， ，， 当时，即，方程有两个相等的实数根； 当时，即，方程有两个不相等的实数根； 不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②当时，， 抛物线与y轴的交点为， 若抛物线与y轴正半轴相交，则， 设，即是的函数， 当时，，解得或， 抛物线开口向上， 当或时，， 当或时，抛物线与y轴正半轴相交； 当时，经过原点； 当时，抛物线与y轴负半轴相交； 情况一：当时，开口向上，与x轴交点的横坐标，，， 如图，此时图象经过一、二、四象限； 情况二：若抛物线与x轴只有一个交点时，则，解得，那么抛物线开口向下，与x轴交点的横坐标为1， 如图，此时图象经过三、四象限， 情况三：当或时，开口向下，与x轴交点的横坐标，，， 如图，图象经过一、三、四象限， 情况四：当时，开口向下，与x轴交点的横坐标，，， 如图，图象经过一、二、三、四象限， 综上所述：当时，此时图象经过一、二、四象限；当时，此时图象经过三、四象限；当或时，此时图象经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图象经过一、二、三、四象限． 23. 扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． （1）已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； （2）连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形性质，平行线分线段成比例等知识点． （1）根据的长与的长相等和扇形弧长公式，求出，再利用扇形面积公式求解． （2）①记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，关键是表示出各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得，再利用等腰三角形求出，根据平行线分线段成比例知． 【小问1详解】 解：由题可知， ， ， ， ， ， 解得，故， ∴ ． 【小问2详解】 ①如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接， 由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，， 且， 再由对称性可知， 同样是等腰直角三角形，，， ， ， Q是中点也是中点， 由已知得， ， ， 且， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得或， 由题可知， 故 ． ②如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H， 由于所在的圆与所在的圆内切于点F， ， 由①知， ， ， ， ， ， ，再由知是等腰直角三角形， ， ， ， ， 由是等腰三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级第二学期二模教学质量自查 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟。 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分. 每小题只有一个选项符合题意） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 家具中会用到许多榫（sǔn）卯结构，比如燕尾榫．如右图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其主视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点先向右平移再向下平移可能移动到下列哪个点的位置（ ） A. B. C. D. 6. 将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（ ）个这样的正五边形． A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 7. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数（） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为（ ） A. B. C. D. 8. 在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 9. 如图，菱形的对角线，，交点为O，点F在上，且，过点F作交于点E．则的面积为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 8 10. 二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知整式分解因式的结果为，则______． 12. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 13. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 14. 如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，3，6，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点C的概率是_____． 15. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，已知，且则的长为______． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 解不等式组： 17. 某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表： 投篮训练成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲 8 b 乙 a 8 （1）补全条形统计图； （2）表中______，______． （3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛． 18. 某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 20. 【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． （1）求的度数； （2）求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 21. 在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： （1）如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； （2）老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则图2中四边形的形状是_____；若图2中，则该四边形的周长为______； （3）在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求线段的长度． 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． 【初步尝试】 （1）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规图1和图2中分别作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． ①；② 【深入研究】 （2）已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该二次函数的图象所过的象限随m的取值变化而变化，直接根据m的取值范围写出函数图象所经过的象限（写出所有可能情况）． 23. 扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． （1）已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； （2）连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $