甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期高一数学月考模拟卷

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过向量运算、立体几何与三角函数的梯度设计，检测湘教版必修二第1-4章知识的综合应用，体现空间观念与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量概念、复数运算、柱体识别|如第1题辨析向量共线条件，夯实基础| |多项选择|3/18|三角函数性质、异面直线夹角|如第9题结合图像平移与单调性，考查数学思维| |填空|3/15|复数纯虚数、向量与面积比|第13题通过向量关系求面积比，体现数学眼光| |解答题|5/77|二面角、三角形面积最值|第18题多面体线面角与距离计算，第19题面积周长最值，综合检测空间想象与运算能力|

临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学月考模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与不是共线向量 【答案】C 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合同角关系求，再利用二倍角公式求即可. 【详解】因为，，所以，所以，则，所以，所以.故选：A. 3．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算求出，的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为，所以，则，， 故，故选：C． 4．如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据柱体的定义逐一判断即可. 【详解】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 5．在矩形中，，，，点F在边上.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点F在边上，可设，.根据可求得的值，用和表示出和，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 ∵点F在边上，∴设，. ∵，∴，∴. ∵，∴. 故选：B. 6．设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果. 【详解】由题设，所以，因为，则，又因为，则， 又，所以，解得．故选：B 7．如图，已知P为菱形外一点，且平面为的中点，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，依题意可证两两垂直，进而可以建立空间直角坐标系，假设边长，分别求出平面的法向量，然后进行运算即可. 【详解】如图，设与交于点O，连接． ∵四边形为菱形，为的中点，． 为的中点，． 平面平面． 两两垂直． 以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 设，则 ， ，结合图形可知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量 则，即令，则所以． ，又二面角为锐角， ， ．故选：D． 8．在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，所以有，，由三角形为锐角三角形，可得，由正弦定理可得有，最后由即可得答案. 【详解】解：由可得: , 所以，又因为，所以， 所以，，又因为三角形为锐角三角形， 所以，所以，在三角形ABC中，由正弦定理可得：， 即，故有， 因为，所以，所以，所以， 又因为边上的高，所以.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．在区间上单调递减 【答案】ABD 【分析】首先化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，求出结合正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】对A，， 由周期公式可得,A正确； 对B，因为,故为对称中心，B正确； 对C，的图象向左平移个单位得到，C错误; 对D，当，， 根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.故选：ABD. 10．如图，直三棱柱中，，，，是上的点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，异面直线，夹角的余弦值为 C．平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】由线面垂直证线线垂直即可判断A；根据异面直线所成角的求法即可判断B；由切割图易判断C；将侧面图展开，可得当，，共线时，有最小值，由勾股定理即可判断D. 【详解】因为，，且，所以平面，又平面，故，故A正确； 与的夹角即为异面直线，夹角，故异面直线，夹角的余弦值为,B错误； 由图知，平面将三棱柱截成四棱锥和三棱锥，一个五面体和一个四面体，C正确； 将平面和平面展开，展开为一个平面，如下图，当，，共线时，的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11．在三角形ABC中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，，，则 D．若三角形ABC外接圆的半径为2，且，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，设，以向量为基底表示向量，根据共线求出即可判断A正确；对于B，由的位置求出，即可判断 B正确；对于C，由得，再利用数量积求模即可判断C不正确；对于D，由题意利用正弦定理求得或，由此判断D正确. 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故B正确；对于C，， 所以， 所以，故C不正确； 对于D，设三角形ABC的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，， 当时，由可得 ， 所以，当且仅当时等号成立， 则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，，且为纯虚数，则实数___________ 【答案】 【分析】利用共轭复数的定义先得到，化简，然后利用纯虚数的定义即可求解 【详解】由可得， ∵， ∴， ∵为纯虚数， ∴，即.故答案为： 13．设点О在三角形ABC的内部，且，则的面积与三角形ABC的面积之比为____________. 【答案】 【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算得到，从而推得，再利用平行线分线段成例得到，由此得解. 【详解】如图，过作平行四边形，连接，过点作，过点作， ， ，即， 故三点共线，且， 又，，， ，， ， .故答案为：. 14．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，则该几何体的体积为__________.    【答案】 【分析】如图，根据面面垂直的判定定理可得平面平面，由面面垂直的性质可得平面，结合棱柱与棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】设分别为的中点，连接， 因为，所以，且， 又平面，所以平面， 由平面，得平面平面， 由，所以， 设中点为，连接，则，又平面平面， 平面，所以平面.又，所以. 故几何体的体积为. 故答案为：    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知， (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得的值，将平方，整理计算，即可得到答案. （2）根据条件可得的值，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 则，所以 （2）由与垂直，得， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 16．（15分）已知函数的最大值为1， (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【详解】（1） ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. （2）由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； （3）由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 17．（15分）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用复数的运算法则、模长公式及几何意义计算即可； （2）利用共轭复数的概念及复数的四则运算计算即可. 【详解】（1）设，，，由题意：① 计算，得② ①②联立，解得，得. （2）， 所以且，解得. 18．（17分）多面体中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且． (1)求与平面所成角； (2)求平面与平面所成二面角的大小； (3)求侧棱到侧面的距离． 【答案】(1)45°． (2)60°． (3)． 【分析】（1）取的中点D，连接，由面面垂直性质定理以及线面角的概念得到即为所求，求出即可； （2）取中点，证得为侧面与底面所成二面角的平面角，在中，解出即可； （3）过作于，先证平面，再解三角形即可. 【详解】（1）（1）取的中点D，连接， ∵.，∴， ∵平面底面，平面底面，平面，∴底面， ∴为与底面所成的角， ∵且，∴. 即与平面ABC所成角为. （2）取中点，则， ∵，∴，∴， 连接，∵底面，∴在平面上的射影为， ∴，∴为侧面与底面所成二面角的平面角. 在等腰中，，∴， 在中，，∴， 在中，， ∴，即侧面与底面所成二面角的大小为. （3）过作于，∵底面，底面，∴， ∵平面底面，平面底面， ∴平面， 在中，，，∴， ∴，即侧棱到侧面的距离为. 19．（17分）已知三角形ABC中，角所对的边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，求三角形ABC面积的最大值以及周长的最大值. 【答案】(1) (2)三角形ABC面积的最大值为，周长的最大值为 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理即可求得答案； （2）由题意利用余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式可得面积的最大值；再用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得三角形周长的最大值. 【详解】（1）依题意得，， 由正弦定理，得， 所以， 因为，所以. （2）由得，，即， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形ABC的面积， 所以三角形ABC面积的最大值为. 又， 所以，当且仅当时，等号成立， 故三角形ABC的周长为， 故三角形ABC周长的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学月考模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与不是共线向量 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在矩形中，，，，点F在边上.若，则（  ） A． B． C． D． 6．设，且，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知P为菱形外一点，且平面为的中点，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．在区间上单调递减 10．如图，直三棱柱中，，，，是上的点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，异面直线，夹角的余弦值为 C．平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D．的最小值是 11．在三角形ABC中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，，，则 D．若三角形ABC外接圆的半径为2，且，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，，且为纯虚数，则实数___________ 13．设点О在三角形ABC的内部，且，则的面积与三角形ABC的面积之比为____________. 14．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，则该几何体的体积为__________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知， (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角． 16．（15分）已知函数的最大值为1， (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 17．（15分）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. 18．（17分）多面体中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且． (1)求与平面所成角； (2)求平面与平面所成二面角的大小； (3)求侧棱到侧面的距离． 19．（17分）已知三角形ABC中，角所对的边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，求三角形ABC面积的最大值以及周长的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学月考模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.下列说法中，正确的是() A.若|a,则a>b B.若1aHb,则a=b C.若a=b,则allb D.若a≠b,则a与b不是共线向量 2.已知xe(0.cosx=号则2x() tan 2x B c.4 D.-24 7 3.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,beR,则a+bi=() A. B.5 c. 2 D.5 4 4.如图所示的几何体中，柱体有(. ① ② ③ ④ ⑤ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,DE=)Dc,点F在边BC上若而丽-}，则花D示-（) A骨 B:3 c.3 D3 6.设ae0写e0且aa-tam 1 cos6,则() A.3a-B- B.20-B-I C.a+0-月 D.2atp- 7,如图，己知P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点，则二 面角C-BF-D的正切值为() D A. B.3 c.3 D.25 6 3 3 8.在锐角三角形ABC中，sinB+sinC-sin(B+C)=√2 sinBsinC,AC=2,则AC边上的高的取值 范围是() A.（1,22) B.1,V2) c.(（2,22) D.(1,2) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin2x+V3cos2x,则() A.f(x)的最小正周期为π B.∫(x)的一个对称中心坐标为 o c.f(y)的图象可由函数g()=2sin2x的图象向左平移个单位得到 12 D.f(x)在区间 π7π 1212 上单调递减 10.如图，直三棱柱ABC-AB,C中，AB=4,AC=3,BC=AA=5,M是BB上的点，则下列 结论正确的是() C A A.AC⊥AM B.若M是BB的中点，异面直线A4,CM夹角的余弦值为5 C.平面AB,C将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D.AM+MC的最小值是√1O6 11.在三角形ABC中，点D,M分别满足AB=3AD,BC=2MC,AM与CD相交于点F,则下 列说法中正确的是() A.AF=FM B.SAAD:S△wc=1:3 C.若AB=4,AC=2,∠BAC=60°，则M=V5+2√3 D.若三角形ABC外接圆的半径为2，且BC=2,则AB.AC的最大值为6+4v3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数=a+立，子9-4，且受为纯速数，则实数a 13.设点O在三角形ABC的内部，且3OA+2OB+3OC=0,则△AOC的面积与三角形ABC的面积 之比为 14.如图，由直三棱柱ABC-AB,C和四棱锥D-BBCC构成的几何体中， ∠BAC=∠B,AC1=90°，BC=2AB=2BB=4,B,D=BD=CD=CD=V17,则该几何体的体积为 D M 4 C 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知a=1,1b=√2 (0)若与5的夹角为，求a+20: (2)若a-b与a垂直，求a与的夹角， 1615分)已知西数f倒=m(+引4n(:)+caa的最大值为1， (1)求常数a的值： (2)求函数∫(x)的单调递减区间： (3)求使f(x)20成立的x的取值集合 17.(15分)设实部为正数的复数z,满足z=V10,且复数(1+21)=在复平面上对应的点在第一、 三象限的角平分线上 (1)求复数z: (②)若+m-(m∈R)为纯虚数，求实数m的值 1+i 18.(17分)多面体ABC-AB,C1中，A4∥BB,∥CC1,平面AB,C1∥平面ABC,平面AACC⊥底 面ABC,BC=2,AC=23,∠ABC=90°，A4⊥AC,且A4=AC. C 6} (1)求A4与平面ABC所成角： (2)求平面AABB,与平面ABC所成二面角的大小； (3)求侧棱BB,到侧面A4CC的距离. 19.(17分)已知三角形ABC中，角AB,c所对的边分别为ab,c,且SimB+sin2C =sinA+sin BsinC sin A sinA (1)求角A的大小； (2)若a=2√5，求三角形ABC面积的最大值以及周长的最大值.临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高一数学月考模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.下列说法中，正确的是() A.若|ab,则a>b B.若|a=b,则a=b C.若a=b,则alb D.若a≠b,则a与b不是共线向量 【答案】C 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的 正误 【详解】对于A,向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A 错误。 对于B,两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误 对于C,若a=b,则a,b必定共线，故a/b,故C成立. 对于D,当a≠b时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故a与b可以为共线向量，故D错误. 故选：C 4 2.已知x∈(0，元)，cosx5,则1● =() tan 2x 7 A·24 7 B.-24 24 4 C. 7 D.-7 【答案】A 【分析】由条件结合同角关系求sinx,tanx,再利用二倍角公式求tan2x即可. 3 【详解因为xeQ列.cosx=手：所以x0, 5 3 4 2tanx 24 所以tan2x= 1-an2x7,所以、1 故选：A. tan 2x 24 3.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,beR,则a+bi=() A.月 B.√5 C.v5 D,4 【答案】C 【分析】由复数的四则运算求出a,b的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为0+2i=1-M,所以-2a+i=1-,则a=6=-1, +6-止 ,故选：C 4.如图所示的几何体中，柱体有（). ① ② ③ (4 ⑤ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】根据柱体的定义逐一判断即可。 【详解】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱.有2个柱体， 故选：B 5.在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,DE=号DC,点F在边BC上若D.=,则AEDF= () B 7 C. 3 D. 【答案】B 【分析】由点F在边BC上，可设B证=元AD,入∈[0，)，根据D.亚-可求得2的值，用 和AD表示出AE和DF,结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 :点F在边BC上，∴.设BF=BC=AD,元∈[O, :而亚-行而F=0(丽+)=而丽+=D=A=写 :BF=AD 3 DE=DC, 2 征F-38+0(号而孤+子而子币2：子。子 故选：B 6.设a∈ 且tana-tan= cosB' 则() A.3a-B- B.2a-B=I C.3a+B= 2 D.2a+B= 2 【答案】B 【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果 【详解】由题设sina_sinp_sinccosp-cosasinp sin(a-B) 1 所以 cosa cosB cosacosβ cosacosβ a-B)=cosa,因为ag0 则casa>0,又因为Be0号 则a-B 又sin(a-B)=cosa=sin π 2 所以a-B=-a,解得2a-月-故选：B 2 7.如图，已知P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F为PC的中点， 则二面角C-BF-D的正切值为() D B A. 3 B. 3 c. D.2 6 4 3 3 【答案】D 【分析】设BDO⌒AC=O,依题意可证AC,BD,OF两两垂直，进而可以建立空间直角坐标 系，假设边长，分别求出平面CBF,BFD的法向量，然后进行运算即可. 【详解】如图，设BD与AC交于点O,连接OF 四边形ABCD为菱形，∴.O为AC的中点，AC L BD. F为PC的中点，∴.OF∥PA. :PA⊥平面ABCD,∴.OF⊥平面ABCD. ∴.OB,OC,OF两两垂直. 以O为原点，OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. D r 设PA=AD=AC=1,则BD=√5 a90ac时5o0x-5小 c（50小m5》 结合图形可知，OC为平面BDF的一个法向量， 设平面BCF的一个法向量n=(x,y,z) 5,1 =0,即 2x+2= 2 令x=1,则y=√3，z=3所以n=,V5,V5). =0 1 -x- z=0 2 2 v21 ·C0S<, >= ，又二面角C-BF-D为锐角， .sin(n,OC)=1-cos2(n,OC)= 27 1 .tan(n,OC)= sin(n,0C)_2√5 故选：D cos(n,OC) 3 8.在锐角三角形ABC中，sin2B+sin2C-sin2(B+C)=√2 sinBsinC,AC=2,则AC边上的 高的取值范围是() A.(1,22) B.(1,) c.（N2,22) D.(1,2) 【答案】D 【分析由题意可得A买，所以有B+C=4，C=。-B,由三角形ABC为锐角三角 4 可得T<B< 由正弦定理可得有AB=√20+1)(W2,2√2)，最后由 4 tan B h=AB.sin AB即可得答案， 42 【详解】解：由sin2B+sinC-sin2(B+C)=V2 sinBsinC可得：b2+c2-a2=√2bc, 所以cos4+cd-=5,又因为Ae0,受，所以4 2bc2bc 2 所以B+C=3头，C=3江-B,又因为三角形1BC为锐角三角形， 4 4 0<C 3沉-B< 4 所以 0<B<T 之，所以子<B<受，在三角形ABC中，由正弦定理可得 AC AB 4 sin B sinC 2 2 AB 即sinB Sin(3π_B1’故有AB=S ,2sn3-9)2(em8+os-20+L 4 sin B sin B 因为T<B<” 4 所以anB>1,0<8<1,所以1<1+L。<2,所以5<4B<25, tan B tan B 又因为AC边上的高h=4B.sin-54B,所以hEL,2).故选：D 42 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin2x+V3cos2x,则() A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的一个对称中心坐标为 C.f(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象向左平移”个单位得到 12 π7π D.f(x)在区间 12'12 上单调递减 【答案】ABD 【分析】首先化简f(x)=2sin 2x+π 根据周期公式即可判断A,代入检验即可判断B, 通过三角函数的平移原则即可判断C,求出2x+ π3π 32’2 结合正弦函数的单调性即可判 断D 【详解】对A,f(x)=sin2x+V3cos2x=2sin 2x+ 3 由周期公式可得T=2亚=元，A正确： 对.因为(}-2（子-0，故0为对称,B正确 对C,g(x)=2sin2x的图象向左平移 个单位得到y=2sim2x+石) 12 C错误； 对D,当x∈ 2 π7π 根据正弦函数y=sinx的图象与性质可知，f(x)在 元7π 1212 单调递减，故D正确.故选：ABD 10.如图，直三棱柱ABC-ABC中，AB=4,AC=3,BC=AA=5,M是BB,上的点， 则下列结论正确的是() A.AC⊥AM B.若M是BB的中点，异面直线AA,CM夹角的余弦值为5 C.平面AB,C将三棱柱截成一个五面体和一个四面体 D.A,M+MC的最小值是√106 【答案】ACD 【分析】由线面垂直证线线垂直即可判断A;根据异面直线所成角的求法即可判断B:由切 割图易判断C:将侧面图展开，可得当A,M,C共线时，AM+MC有最小值，由勾股定 理即可判断D 【详解】因为AA4⊥AC,BA⊥AC,且AA⌒BA=A,所以AC⊥平面AAB,B,又AMC平 面AAB,B,故AC⊥AM,故A正确： BB与CM的夹角即为异面直线AA,CM夹角，故异面直线AA,CM夹角的余弦值为V5B 5 错误； C B M 由图知，平面AB,C将三棱柱截成四棱锥B,-ACCA和三棱锥B-ABC,一个五面体和一个 四面体，C正确： A B C M B 将平面AABB和平面CCBB展开，展开为一个平面，如下图，当A,M,C共线时， AM+MC的最小值为√106，故D正确. 故选：ACD. 11.在三角形ABC中，点D,M分别满足AB=3AD,BC=2MC,AM与CD相交于点F, 则下列说法中正确的是() F B M A.AF=FM B.S△MFD:SAMEC=1:3 C.若AB=4,AC=2,∠BAC=60°，则AM=V5+2V5 D.若三角形ABC外接圆的半径为2，且BC=2,则AB.AC的最大值为6+4V5 【答案】ABD 【分析】对于A,设AF=AM,以向量AB,AC为基底表示向量DF,FC,根据DF,FC共 线求出2即可判断A正确：对于B,由D,M,F的位置求出S△MD:SAMEC=1:3,即可判断B 正确：对于C,由BC=2MC,得AM=(AB+AC),再利用数量积求模即可判断C不正确： 对于D,由题意利用正弦定理求得A=交或A= 5π ,由此判断D正确。 6 6 【详解】对于A,BC=2MC,则M为BC的中点，故AM=AB+AC, 设AF=1AM,因为AB=3AD, 则-亚-和--s=丽+c与8=（丽+c。 =c-征=c-=AC-行号4d=号 由DF,F乙共线， -行》-子子解将=分所uF-号仙，故A正确 对于B,M为BC的中点，故S.c=)S.AM,S.m= 2 2 1 又AB=3AD,所以So3Saav=5SaCw, 所5o名…藏B正：对于C-而+和列 6 所以-a西+2西.c+c}子442x42x27, 所以AM=万，故C不正确： 对于D,设三角形ABC的三边分别为a,b,c,依题意得a=2, 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得=4，所以s山4= 1 sin A 由A∈(0，)，得A=刀或A=5 6 6 当A-g时，.C=cb os4=-5 6 b0, 当A=兀时，由BC=2可得 6 BC2=AB2+AC2-24BAC CosA 4=AB2+AC2-BAC(23)B AC 4 所以ABAC 2-5,当且仅当AB=4C时等号成立， =6+4,故D正确. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数名=a+2i,云，=3+4i,且三为纯虚数，则实数a= 【路案】 【分析】利用共轭复数的定义先得到，=3-4，化简三，然后利用纯虚数的定义即可求解 【详解】由z2-3+4i可得z2=3-4i, z1=a+2i, &2=8+2i-g+2i6+03a-8+6+4a.30=86+4a. z23-4i(3-4i)3+4i) 25 25 25 :互为纯虚数， 22 (3a-8=0 25 即a=8故答案为： 8 6+4a 3 3 25 ≠0 13.设点O在三角形ABC的内部，且3OA+2OB+3OC=0,则△AOC的面积与三角形ABC 的面积之比为 【答案】 【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算得到2OB=-3OD,从而推得BR=4OR,再利 用平行线分线段成例得 0S1 BT=4,由此得解 【详解】如图，过A,O,C作平行四边形AOCD,连接OD,过点 O作OS⊥AC,过点B作BT⊥AC, :30A+20B+30C=0, 20B=-3(0A+0C),即20B=-30D, 故B,O,D三点共线，且2OB=3OD, 又OD=2OR,∴.OB=3OR,.BR=4OR, :OS⊥AC,BT⊥AC,∴.OS/1BT, OS OR 1 BTBR4' LOS.AC S.AOC:SABC 4 故答案为：4 2 BT·AC 14.如图，由直三棱柱ABC-AB,C1和四棱锥D-BBCC构成的几何体中， ∠BAC=∠B,AC=90°，BC=2AB=2BB=4,BD=BD=CD=CD=√17，则该几何体的体 积为 B B A 【答案】 28V5 【分析】如图，根据面面垂直的判定定理可得平面DEE,⊥平面BBCC,由面面垂直的性质 可得DH⊥平面BB,C,C,结合棱柱与棱锥的体积公式计算即可求解 【详解】设E,E1分别为BB,CC的中点，连接DE,DE,EE, 因为BD=BD=CD=CD=V17,所以DE⊥BB,DE⊥CC,且EE1⊥CC, 又DE∩EE,=E,DE、EEc平面DEE,所以CC⊥平面DEE, 由CC,C平面BB,CC,，得平面DEE,⊥平面BB,CC, 由BB=CC=2,DC=DC=V17,所以DE=DE=VW7)》-1P=4, 设EE,中点为H,连接DH,则DH⊥EE,又平面DEE,O平面BB,C,C=EE, DHc平面DEE,所以DH⊥平面BB,CC.又EE,=BC=4,所以DH=√42-22=23 故几何体的体积为r=ym4G+nc=x25x2+子kx2528道 故答案为： 28W5 3 B E B A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知āF1,1b=V2 (0若ā与6的夹角为。求a+2万1： (2)若a-b与a垂直，求a与6的夹角. 【答案】(1)√9-2√2 @ 【分析】(1)根据数量积公式，可得ab的值，将a+2b平方，整理计算，即可得到答案 (2)根据条件可得a·b的值，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】1)因为a1,16-点，a与6的夹角为受， 所以a6-aom子-k个}要 则a+2=(@+4a-6+(2=|d-22+46=9-22,所以a+26=V9-2W2 (2)由a-b与a垂直，得(a-万-a=回-.i=1-a-b=0, ab 所以a·b=1,则cos<a,b> 12 1×5 2 因为<a,b>∈0，，所以<a5牙，即a与6的夹角为 4 16（15分)已知函数f)-mx+引}sm(名》casx+的最大值为1。 (1)求常数a的值： (2)求函数f(x)的单调递减区间： (3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合. 【答案】(1)a=-1 +2 4π +2kn k∈Z ③)x2k≤x 2r+2km,k∈Z 【分析】(1)利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为y=Asin(ox+p)的 形式，最后根据三角函数的性质可得a的值： 2)利用正弦函数的单调性得2加+号≤x+君≤2+受，（低∈Z),求解x即可： 6 (3)利用整体思想，借助三角函数y=snx的图象与性质即可解不等式. 【详】)国=n+引+m-副 +cosx+a 6》 =sin xcos+cosxsin+sin xcos-cos xsin+cosx+a 6 6 6 6 =√3sinx+cosx+a =2sinx+ +a, 6 因为sinx+二的最大值为l,且函数f(x)的最大值为1， 6 所以2×1+a=1,解得a=-1. 2)由(D可知f()-2snx+}1 由2km+号sx+s2km+3,(keZ) 2 6 2 解得2a+号≤≤2+暂，（化eZ, 所以函数∫(x)的单调递减区间 +2k,4+2km,(keZ: L3 3 8》曲e0,得2+君}120，即m+引号 所以2a+后≤x+名≤2版+g,(keZ☑， 6 6 解得2≤x≤2a+经.(keZ) 因此，f(x)≥0成立的x的取值范围是 2km≤r<2亚+2km,keZ 3 17.(15分)设实部为正数的复数z,满足z=V10,且复数(1+2i)z在复平面上对应的点在 第一、三象限的角平分线上. (①)求复数z: 2)若云+m-(m∈R)为纯虚数，求实数m的值. 1+i 【答案】(1)z=3-i: (2)m=-5. 【分析】(1)利用复数的运算法则、模长公式及几何意义计算即可： (2)利用共轭复数的概念及复数的四则运算计算即可. 【详解】(1)设z=a+bi,a,b∈R,a>0,由题意：a2+b2=10① 计算(1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=a-2b+(2a+b)i,得a-2b=2a+b② ①②联立，解得a=3,b=-1得z=3-i. 2-3四-0-34f 1+i 2 所以3+"2=0且1-”0，解得m=-5 18.(17分)多面体ABC-AB,C中，AA∥BB∥CC1,平面A,B,C∥平面ABC,平面AACC⊥ 底面ABC,BC=2,AC=2N5,∠ABC=90°，AA⊥AC,且AA=AC. B I)求AA与平面ABC所成角： (2)求平面A,ABB,与平面ABC所成二面角的大小； (3)求侧棱BB,到侧面AACC的距离. 【答案】(1)45°. (2)60°. o号6 【分析】(1)取AC的中点D,连接AD,由面面垂直性质定理以及线面角的概念得到∠AAC 即为所求，求出即可： (2)取AB中点E,证得∠AED为侧面AABB与底面ABC所成二面角的平面角，在 Rt△ADE中，解出即可： (3)过B作BH⊥AC于H,先证BH⊥平面AACC,再解三角形即可. 【详解】(1)(1)取AC的中点D,连接AD, AA=AC.,.AD⊥AC, ,平面AACC⊥底面ABC,平面AACC⌒底面ABC=AC,ADC平面AACC,∴.AD⊥ 底面ABC, .∠AAC为AA与底面ABC所成的角， :AA=AC且AA⊥AC,.∠AAC=45 即AA与平面ABC所成角为45°. (2)取AB中点E,则DE∥BC, :∠ABC=90°，.CB⊥AB,.DE L AB, 连接AE,,AD⊥底面ABC,.AE在平面ABC上的射影为DE, .AE⊥AB,∴.∠AED为侧面AABB,与底面ABC所成二面角的平面角 在等腰Rt△AAC中，AC=2√5，∴.AD=V5, 在Rt△ABC中，BC=2,.DE=1, 在R△ADE中，an∠AED=4D-V, DE ∴.∠AED=60°，即侧面AABB,与底面ABC所成二面角的大小为60 (3)过B作BH⊥AC于H,,AD⊥底面ABC,BHC底面ABC,.AD⊥BH, ,平面AACC⊥底面ABC,平面AACC∩底面ABC=AC,BH⊥AC .BH⊥平面AACC, 在Rt△ABC中，AC=25,BC=2,.AB=22, .BH= B:BC-名6，即侧棱BB到侧面A4CC的距离为26. AD B 19.(17分)已知三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2B+sin2C =sin 4+sin Bsin C sinA sin A (1)求角A的大小： (2)若a=2√5，求三角形ABC面积的最大值以及周长的最大值. 【答案】01-=号 (2)三角形ABC面积的最大值为3√5，周长的最大值为6√5 【分析】(1)利用正弦定理角化边再结合余弦定理即可求得答案： (2)由题意利用余弦定理结合基本不等式可得bc≤12，利用三角形面积公式可得面积的最 大值；再用余弦定理结合基本不等式求得b+c≤4√3，即可求得三角形周长的最大值 【i详解】1)依题意sinB+sinC=sin4+sin Bsin C得，sn'B+sin2C=sin'A+sin Bsin C, sin A sin A 由正弦定理，得b2+c2=a2+bc, 所以cosA=+c2-a21 2be 因为4e(0,所以4-号 (2)由a2=b2+c2-2 bccos A得，12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤12， 当且仅当b=c=25时，等号成立， 所以三角形ABc的面积5csm4=怎es3V5, 4 所以三角形ABC面积的最大值为3√5. 又12=2+c2-bc=(b+c2-3bc≥b+c2-3b+gb+c2 4 4 所以b+c≤4V5,当且仅当b=c=25时，等号成立， 故三角形ABC的周长为a+b+c≤6W5, 故三角形ABC周长的最大值为6√5，