精品解析：甘肃酒泉市敦煌中学等校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试题

2026年高一下学期学情检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】与角终边相同的角的集合是． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【详解】由已知，，，可得， 因，可得满足条件的三角形有2个． 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为和在上均单调递增，所以在上单调递增． 所以， 故的值域为． 5. 已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（ ） A. 8个 B. 6个 C. 4个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据中最小数据为，得到，再由百分位数的计算方法，求得，进而得到的可能取值的个数，即可求解. 【详解】因为数据中最小数据为，可得且， 将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有，共6个. 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆．已知周长为32的满足，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由及正弦定理，得． 因为的周长为32，即， 所以． 所以的面积． 7. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【解析】 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 8. 已知平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为三个力平衡， 所以，所以． 所以， 设与夹角为，则． 因为，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 B. 若是第四象限角，则 C. 若，则或 D. 若向量，则“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，若是第二象限角，则 ， 所以 ． 当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角． 所以是第一象限角或第三象限角，故A正确． 对于B，若是第四象限角，则．因为，所以 ，故B正确． 对于C，若，则 ，所以或或，故C错误． 对于D，因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线， 即解得且， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．故D正确． 10. 有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则． 因为与的中位数都是， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． ，故C错误． 由已知得． 因为，所以， 去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的和为， 所以由 ， 所以余下8个数据的方差 所以，故D正确． 11. 已知为边长为2的等边三角形，为的中点，点为外一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算、数量积等知识判断各选项． 【详解】对于A,，故A正确． 对于B，由A知，，则，故B错误． 对于C，由题意得，，则向量在向量方向上的投影向量为 ，故C正确． 对于D，因为，所以三点共线，且，所以． 又因为，所以． 因为，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，所以， 则与向量方向相同的单位向量的坐标为． 13. 已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以， 因为函数在区间上有零点，所以，则，所以的最小值为． 14. 在中，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得出，代入已知等式求得，然后由余弦定理求解． 【详解】因为，所以由正弦定理，得，所以． 因为，所以． 所以，即． 又因为，所以， 整理得，即． 因为，所以，所以． 所以，即． 由余弦定理，得， 解得． 因为，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）化简； （2）若，且，求及的值． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案. （2）利用（1）的结果和同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果. 【详解】（1）． （2）因为，所以， 所以． 所以． 因为，所以，所以，即． 所以． 16. 设是两个不共线的向量，． （1）若向量与向量共线，求的值； （2）若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，根据系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【小问1详解】 因为向量与向量共线，则存在实数，使得， 所以解得． 【小问2详解】 因为，且与的夹角为， 所以 所以当时，取得最小值． 17. 近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； （3）已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 【答案】（1） （2）分 （3）平均数，方差 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即得； （2）先确定中位数所在的区间，然后根据频率分布直方图中中位数的求法，即可得答案； （3）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． 【小问2详解】 设中位数为．由，，所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． 【小问3详解】 第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 18. 在中，角的对边分别为，且 ． （1）求角的值； （2）若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； （3）若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． ，． 【小问2详解】 ，， 由，得． ，． 平分，． ， ； ． 【小问3详解】 ，，即，得 ． ， ，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立． ， 即的面积最大值为． 19. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象相邻对称轴之间的距离是，得到，求得，再由将的图象向左平移个单位长度，根据函数为偶函数求解； （2）分别求得函数的单调递增区间和单调递减区间，再根据函数在区间上不单调求解； （3）根据，求得，令，由恒成立转化为恒成立求解． 【小问1详解】 因为函数图象相邻对称轴之间的距离是， 所以，所以，所以，解得， 所以． 将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 因为函数为偶函数，所以． 因为，所以，所以． 【小问2详解】 令，解得； 令，解得． 故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为, 因为，所以函数在区间上单调递增， 又因为函数在区间上不单调，所以， 即实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，所以，所以． 令，则恒成立， 等价于恒成立． 函数 是关于的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点． 由二次函数图象的性质可知，要使恒成立， 只需 解得，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一下学期学情检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（ ） A. 8个 B. 6个 C. 4个 D. 1个 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆．已知周长为32的满足，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 7. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 8. 已知平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 B. 若是第四象限角，则 C. 若，则或 D. 若向量，则“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件 10. 有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为边长为2的等边三角形，为的中点，点为外一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为___________． 13. 已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________． 14. 在中，，则的长为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）化简； （2）若，且，求及的值． 16. 设是两个不共线的向量，． （1）若向量与向量共线，求的值； （2）若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 17. 近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； （3）已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 18. 在中，角的对边分别为，且 ． （1）求角的值； （2）若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； （3）若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 19. 已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $