18.2 课时1 勾股定理的逆定理课件 2025-2026学年沪科版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过回顾勾股定理的条件与结论，交换后提出“两边平方和等于第三边平方的三角形是否为直角三角形”的问题，构建与勾股定理的互逆知识支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以严谨证明培养推理能力，结合古埃及结绳画直角、网格三角形判定等实例发展几何直观，通过勾股数辨析强化抽象能力。采用“问题探究-例题解析-练习巩固”教学方法，总结判定三步法，助力学生提升逻辑思维与应用意识，教师可高效开展教学。

18.2 课时1 勾股定理的逆定理 沪科版八年级数学下册 第18章 勾股定理 M A T H 22002 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理. M A T H 22002 新课导入 前面我们学习了勾股定理，同学们能说一说它的条件和结论吗？ 如果一个三角形是直角三角形， 那么这个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 条件 结论 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这么三角形是直角三角形. 条件和结论交换，还成立吗？ 条件 结论 M A T H 22002 探究新知 那么这个三角形是直角三角形. 两边的平方和 逆 命 题 它是真命题吗？你能证明吗？ 如果三角形 等于第三边的平方， 勾股定理 (毕达哥拉斯定理)： 直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方. M A T H 22002 探究新知 已知： 求证： C'A'=b C B A A' B' C' b a c b a 且 a2+b2=c2 在△ABC中， AB=c， BC=a， CA=b， △ABC是直角三角形 证明： 作△A'B'C'， 使 ∠C'=90°， B'C'=a， 则有 A'B'2 = a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A'B'2 =c2 ∵ 边长取正值 ∴ A'B'=c 在△ABC和△A'B'C'中 BC=B'C'=a CA=C'A'=b AB=A'B'=c ∵ ∴ △ABC ≌ △A'B'C' ∴ ∠ C= ∠ C’ ∴ ∠C= 900 （直角三角形的定义） （SSS） (全等三角形对应角相等） ∴ △ABC是直角三角形 c M A T H 22002 探究新知 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，用钉子将第 1 个与第 13 个结钉在一起，拉紧绳子，再在第 4 个和第 8 个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角. 你知道为什么吗？ 点击播放 思考 M A T H 22002 用圆规、直尺作△ABC，使 AB = 5，AC = 4，BC = 3. 思考 量一量∠C，它是 90°吗？ A B C 这个三角形三边有什么关系吗？ 32 + 42 = 52 直角三角形 满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形吗？ M A T H 22002 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b， 则A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 +b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A′B′2 =c2 则A′B′=c 在△ABC与△A′B′C′中 ∴△ABC≌△A′B′C′，则∠C= ∠C′=90° ∴ △ABC是直角三角形 A B C A′ B′ C′ M A T H 22002 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角. 特别说明： M A T H 22002 探究新知 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形. 两边的平方和 勾股定理的逆定理 如果三角形 等于第三边的平方， a2 + b2 = c2， 即 如果三角形的三边长a、b、c 满足 C B A b c a 几何语言： ∴ △ABC 是直角三角形， ∵ 在△ABC中， a2+b2=c2 且 ∠C=90° (勾股定理的逆定理) M A T H 22002 探究新知 例 1 根据下列三角形的三边 a，b，c 的值，判断 △ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出那条边所对的角是直角. (1) a＝25，b＝24，c＝7 解(1)：∵ ∴ b2+c2＝a2 ∴ △ABC是直角三角形， b2+c2＝ a2＝625 242+72 ＝625， 最大边a所对角是直角. 只要看两条较小边的平方和 方法规律： 由勾股定理的逆定理， 判断三角形是不是直角三角形， 最大边的平方. 是否等于 (2) a＝7，b＝8，c＝11 a2+b2＝ ∴ a2+b2≠c2 ∴ △ABC 不是直角三角形 解(2)： ∵ c2＝121 72+82 ＝113， M A T H 22002 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 42 + 7.52 = 8.52 △ABC 的三边长满足 AC2 + BC2 = AB2，则∠C 为多少度？ 思考 M A T H 22002 已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 . 求证 △ABC 是直角三角形. 证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°． 根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 . 因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c. 所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. 因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形. 在△ABC 和△A'B'C'中， BC = a = B'C' ， AC = b = A'C' ， AB = c = A'B' ， A C B b a c A′ C′ B′ b a M A T H 22002 例1 根据下列三角形的三边长a,b,c的值,判断△ABC是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角. (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=7,b=8,c=11. 解(1)∵ 72+242=252 ∴ a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形,最大边c所对的角是直角. (2)最大边是c=11，c2=121 a2 +b2 =72 +82 =113.∴ a2+b2≠c2 ∴△ABC不是直角三角形. M A T H 22002 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数.比如：3，4，5；5，12，13. M A T H 22002 探究新知 能够成为 (1) a=25，b=20，c=15 (2) a=13，b=14，c=15 (4) a：b：c=3：4：5 是 是 不是 是 ∠A=90° ∠B=90° ∠C=90° (3) a=1，b=2，c= 1、下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 三个正整数， 像上面的 25、20、15 这三个数，我们称之为 勾股数. 直角三角形 三条边长度的 称为勾股数. 知识拓展： 但直角三角形的三边长 勾股数必能成为直角三角形的三条边长， 不一定是勾股数. M A T H 22002 探究新知 2、下列各组数据中，是勾股数的是（ ）. A. 1， ， B. 0.3，0.4，0.5 C. 4，5，6 D. 3，4，5 D (1) 勾股数必须同时满足 三个正整数， 能够成为 直角三角形 三条边长度的 称为勾股数. 注意： 两个条件： ① 三个数都是正整数. ② 两个较小数的平方和等于最大数的平方. (2) 如果 a，b，c是一组勾股数， (n是正整数) 也是一组勾股数. 那么 na，nb，nc 常见的勾股数： 3，4，5 ； 5，12，13 ；8，15，17 ；7，24，25. M A T H 22002 在 △ABC 中， a2 + b2 = c2， ∴ ∠C = 90°. 几何语言： B C b c a A 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 M A T H 22002 练一练 给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来说明方桌面的角是直角？ 【教材P59练习 T2】 量出方桌面两条邻边（长和宽）和相对顶点间的距离（对角线的长度），计算其两邻边长的平方和与对角线长度的平方，若相等，则桌面的角是直角，否则不是. M A T H 22002 1. 不是 不是 是 M A T H 22002 M A T H 22002 探究新知 例 2 已知：在 △ABC 中，三条边长分别为 a=n2-1，b＝2n，c＝n2+1 (n＞1) . 求证： △ABC为直角三角形. ∴ △ABC是直角三角形 证明： ∵ a2+b2＝ (n2-1)2+(2n)2 ＝n4-2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2 c2 (勾股定理的逆定理) ＝(n2+1)2 ∴ a2+b2＝c2 M A T H 22002 探究新知 2、如图，在正方形网格中，小正方形的边长为 1，A、B、C 为格点(格子线的交点) (1) 判断 △ABC 的形状，并说明理由； (2) 求 AB 边上的高. D M A T H 22002 练一练 1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形. 【教材P59练习 T1】 （1）a = 2，b = 3，c = 4. （2）a = 9，b = 7，c = 12. （3）a = 25，b = 20，c = 15. （ ） （ ） （ ） 22 + 32 = 13 ≠ 42 不是 72 + 92 = 130 ≠ 122 不是 152 + 202 = 625 = 252 是 M A T H 22002 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： 找：找三角形的最长边. 1 3 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 2 算：计算最长边的平方与另两边的平方和. 方法 M A T H 22002 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形. 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 M A T H 22002 $