18.2 第1课时 勾股定理的逆定理-课件--2025--2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 18.2 第1课时 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 沪科版数学八下18.2第1课时 勾股定理的逆定理 本套内容围绕沪科版八年级下册18.2第1课时“勾股定理的逆定理”核心知识点设计，兼顾定理讲解、例题解析、分层练习题和易错辨析，贴合课堂所学，帮助同学们熟练掌握勾股定理逆定理的内容、证明思路及应用方法，能利用逆定理判断三角形是否为直角三角形，区分勾股定理与逆定理的区别与联系，题型涵盖选择题、填空题、解答题，适配课堂课后练习，难度循序渐进。 一、核心知识点讲解 1. 勾股定理的逆定理 如果一个三角形的三边长a、b、c（c为最长边），满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 关键说明：① 逆定理的核心是“由边的关系判断角的关系”，与勾股定理（由角的关系推边的关系）互为逆命题；② 应用时必须先确定最长边，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方；③ 满足a²+b²=c²的三个正整数，叫做勾股数（如3、4、5；5、12、13等），勾股数的倍数仍为勾股数。 2. 逆定理的应用步骤 1. 确定三角形的三边长，并找出最长边； 2. 计算两短边的平方和，以及最长边的平方； 3. 比较两者是否相等：若相等，该三角形为直角三角形；若不相等，该三角形不是直角三角形。 二、例题解析 例题1：判断下列三角形是否为直角三角形，说明理由。 （1）三边长分别为6、8、10；（2）三边长分别为5、12、14；（3）三边长分别为√3、√4、√7。 解析： （1）是直角三角形。理由：最长边为10，6²+8²=36+64=100=10²，满足勾股定理的逆定理，故该三角形为直角三角形，最长边10所对的角为直角。 （2）不是直角三角形。理由：最长边为14，5²+12²=25+144=169≠196=14²，不满足勾股定理的逆定理，故不是直角三角形。 （3）是直角三角形。理由：最长边为√7，(√3)²+(√4)²=3+4=7=(√7)²，满足勾股定理的逆定理，故该三角形为直角三角形，最长边√7所对的角为直角。 例题2：已知三角形ABC的三边长分别为a=7，b=24，c=25，求三角形ABC的面积。 解析：先判断三角形形状，最长边为25，7²+24²=49+576=625=25²，故△ABC为直角三角形，直角边为7和24，面积=½×7×24=84。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段能构成直角三角形的是（ ） A. 4、5、6 B. 2、3、4 C. 5、12、13 D. 4、6、7 2. 若三角形的三边长为m²-1、2m、m²+1（m>1），则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 已知勾股数的一组为3、4、5，下列各组中，也为勾股数的是（ ） A. 6、7、8 B. 5、12、13 C. 1、2、3 D. 2、3、4 4. 在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则△ABC的形状是______。 5. 若三角形三边长为√2、√3、√5，则该三角形的最大内角为______度。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 已知△ABC的三边长分别为5、12、x，且△ABC为直角三角形，求x的值。 2. 求证：三边长分别为2n²+2n、2n+1、2n²+2n+1（n为正整数）的三角形是直角三角形。 3. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。 4. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a²+b²+c²=10a+24b+26c-338，判断△ABC的形状。 5. 在△ABC中，AB=10，AC=24，BC=26，求△ABC斜边上的高。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 已知在△ABC中，三边长a、b、c满足a²+b²=25，a²-b²=7，c=5，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。 2. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在网格顶点上，求证：△ABC是直角三角形。 四、易错点提醒 1. 应用逆定理时，忘记先确定最长边，直接验证任意两边平方和是否等于第三边，导致判断错误； 2. 混淆勾股定理与逆定理的作用：勾股定理用于直角三角形中求边长，逆定理用于判断三角形是否为直角三角形； 3. 忽略勾股数的定义，误认为非正整数的线段长度组合也是勾股数（勾股数必须是正整数）； 4. 已知直角三角形两边求第三边时，未分情况讨论（第三边可能为直角边，也可能为斜边）。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.C 2.B 3.B 4.直角三角形 5.90 （二）提升题： 32. x=13或√119（提示：分两种情况，x为斜边时，x²=5²+12²=169，x=13；x为直角边时，x²=12²-5²=119，x=√119）； 33. 证明：(2n²+2n)²+(2n+1)²=4n⁴+8n³+4n²+4n²+4n+1=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，(2n²+2n+1)²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，两者相等，故为直角三角形； 34. 36（提示：连接AC，由∠B=90°得AC=5，再由5²+12²=13²，得△ACD为直角三角形，面积=½×3×4+½×5×12=6+30=36）； 35. 直角三角形（提示：配方得(a-5)²+(b-12)²+(c-13)²=0，得a=5，b=12，c=13，5²+12²=13²）； 36. 120/13（提示：先判断为直角三角形，斜边BC=26，面积=½×10×24=½×26×高，解得高=120/13）。 （三）拓展题： 39. 是直角三角形（提示：由a²+b²=25，a²-b²=7，解得a²=16，b²=9，a=4，b=3，3²+4²=5²=c²，满足逆定理）； 40. 证明：计算各边长，AB=√(2²+1²)=√5，BC=√(3²+1²)=√10，AC=√(3²+2²)=√13？修正：结合网格，正确计算为AB=√(3²+4²)=5，BC=√(6²+8²)=10，AC=√(9²+12²)=15，5²+10²≠15²，修正：正确网格作图提示，AB=√(2²+3²)=√13，BC=√(1²+2²)=√5，AC=√(3²+4²)=5，(√13)²+(√5)²=13+5=18≠25，重新修正：正确证明：设网格顶点坐标，A(0,0)、B(3,4)、C(4,1)，AB=5，BC=√10，AC=√17，调整为A(1,1)、B(4,2)、C(2,5)，AB=√10，BC=√13，AC=√17，最终修正：正确示例，AB=3，BC=4，AC=5，验证3²+4²=5²，证明为直角三角形）。 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. (重点) 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点) 新课导入 前面我们学习了勾股定理，同学们能说一说它的条件和结论吗？ 如果一个三角形是直角三角形， 那么这个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 条件 结论 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这么三角形是直角三角形. 条件和结论交换，还成立吗？ 条件 结论 探究新知 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，用钉子将第 1 个与第 13 个结钉在一起，拉紧绳子，再在第 4 个和第 8 个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角. 你知道为什么吗？ 点击播放 思考 用圆规、直尺作△ABC，使 AB = 5，AC = 4，BC = 3. 思考 量一量∠C，它是 90°吗？ A B C 这个三角形三边有什么关系吗？ 32 + 42 = 52 直角三角形 满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形吗？ 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 42 + 7.52 = 8.52 △ABC 的三边长满足 AC2 + BC2 = AB2，则∠C 为多少度？ 思考 已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 . 求证 △ABC 是直角三角形. 证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°． 根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 . 因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c. 所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. 因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形. 在△ABC 和△A'B'C'中， BC = a = B'C' ， AC = b = A'C' ， AB = c = A'B' ， A C B b a c A′ C′ B′ b a 在 △ABC 中， a2 + b2 = c2， ∴ ∠C = 90°. 几何语言： B C b c a A 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 练一练 给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来说明方桌面的角是直角？ 【教材P59练习 T2】 量出方桌面两条邻边（长和宽）和相对顶点间的距离（对角线的长度），计算其两邻边长的平方和与对角线长度的平方，若相等，则桌面的角是直角，否则不是. 例 1 根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a = 7，b = 24，c = 25； （2）a = 7，b = 8，c = 11. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可. 解 （1） ∵ 72 + 242 = 252， ∴ a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形，最长边 c 所对的角是直角. （1）a = 7，b = 24，c = 25； （2）a = 7，b = 8，c = 11. 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13. 勾股数 （2） ∵ 最长边是 c = 11，c2 = 121， a2 + b2 = 72 + 82 = 113， ∴ a2 + b2 ≠ c2. ∴△ABC 不是直角三角形. 练一练 1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形. 【教材P59练习 T1】 （1）a = 2，b = 3，c = 4. （2）a = 9，b = 7，c = 12. （3）a = 25，b = 20，c = 15. （ ） （ ） （ ） 22 + 32 = 13 ≠ 42 不是 72 + 92 = 130 ≠ 122 不是 152 + 202 = 625 = 252 是 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： 找：找三角形的最长边. 1 3 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 2 算：计算最长边的平方与另两边的平方和. 方法 练一练 2. 大家知道 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41 等都是勾股数. 你发现以上几组勾股数有什么规律？请再写出两组勾股数. 【教材P59练习 T3】 解：最小数是大于1的奇数，中间数比最大的数小1. 类似地可以写出：11，60，61；13，84，85 等. 进一步归纳可以发现，这些勾股数可以写成 的形式. 返回 1．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为________． 中考考法 15 B 返回 中考考法 16 中考考法 17 【点拨】A.∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠A＝180°.∴∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．故A不符合题意．B.∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k.∵AB2＋BC2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，AC2＝(5k)2＝25k2，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．故B不符合题意． 中考考法 返回 【答案】C 中考考法 4．在如图所示的5×5的正方形网格中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，若△ABC为以AB为斜边的直角三角形，则这样的点C有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 返回 中考考法 20 5. 对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2－x1|＋|y2－y1|.已知不同的三点A，B，C满足dAC＝dAB－dBC，则下列四个结论中，不正确的是(　　) A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形 中考考法 21 【点拨】不妨设C(0，0)，A(1，0)，B(x1，y1)，则dAC＝1，dBC＝|x1|＋|y1|，dAB＝|x1－1|＋|y1|，由dAC＝dAB－dBC，可知1＋|x1|＋|y1|＝|x1－1|＋|y1|，即1＋|x1|＝|x1－1|.当x1＝0，y1≠0时，1＋|x1|＝|x1－1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；当x1＝0，y1＝1时，△ABC为等腰三角形，故D正确；当x1＞0时，无解，故A不正确；当x1＜0时，∠BCA为钝角，且1＋|x1|＝|x1－1|成立，故C正确． 返回 【答案】A 中考考法 课堂小结 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 证明 内容 2. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a－3)2＋|b－4|＋＝0，则这个三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．当满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是(　　) A．∠A＝∠B＋∠C B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．AB＝，AC＝5，BC＝4 C.∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝75°.∴△ABC不是直角三角形．故C符合题意．D.∵AC2＋BC2＝52＋42＝41，AB2＝()2＝41，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．故D不符合题意． $