精品解析：河北唐山市丰润区2024-2025学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

丰润区2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ） A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间 C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 6. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 7. 已知向量，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______. 13. 若复数为虚数单位，，则 ______ 14. 化简__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 16. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求边上的高． 18. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； （3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰润区2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知某扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形弧长和面积公式求解. 【详解】设该扇形半径为，圆心角为， 则，解得. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，所以. 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】根据向量坐标减法法则，， 则. 4. 如图，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知： . 5. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ） A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间 C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【解析】 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 6. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则的虚部为1. 7. 已知向量，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且同向，即， 所以“且”是“”的必要不充分条件. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据共轭复数的定义分析判断，对于B，分别求出两复数的模进行判断，对于C，直接计算进行判断，对于D，直接计算判断. 【详解】对于A，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，为实数，所以C不正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BD 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案. 【详解】对于A，在中，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据向量的加法及减法法则，再应用数量积运算律可逐一判断． 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则得，， 则，A选项正确； 因为，且，不相等，所以C选项错误； 又， 所以，B选项正确； 因为不一定为0，且，不一定相等，所以D选项错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则的周长为______. 【答案】9 【解析】 【分析】由题知，进而结合题意得，，再根据余弦定理解方程即可得答案. 【详解】解因为，所以， 又因为， 所以，又为锐角，所以， 由余弦定理得，解得或， 因为当时，，此时一定不是钝角，故舍去. 所以，所以的周长为. 故答案为：9 13. 若复数为虚数单位，，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到复数对应点，设，由，得到，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数，所以复数对应复平面内的点， 设，则复数对应复平面内的点， 由，可得， 在复平面内，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，如图所示， 所以． 故答案为：． 14. 化简__________． 【答案】 【解析】 【详解】. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即求； （2）利用正弦定理即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可知： , 【小问2详解】 在中，由正弦定理可知：， 即： . 16. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解； （2）利用复数相等得到关于的方程组，从而得到关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由复数的几何意义知：满足条件的点的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为，小圆半径为， 故所求面积为. （2）因为， ，且， 所以，所以且， 故， 因为，， 所以当时，有最小值为， 所以范围为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，的面积为，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，推得，代入消元计算即得所求式的值； （2）由的面积推得，结合（1）的结论求出，利用余弦定理求得，根据三角形面积公式即可求得边上的高. 【小问1详解】 由和余弦定理， 可得：， 化简得，则得， 故； 【小问2详解】 由可得， 由（1）已得，解得， 由余弦定理， ，解得， 设边上的高边上的高为， 则由，解得， 故边上的高为. 18. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积. （2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. 【小问2详解】 设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； （3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算列方程，然后角化边，根据余弦定理求出角的大小. (2)在三个三角形中分别用余弦定理找出，的关系式解方程即可. (3)方法一：先确定点的位置分两种情况进行分析，根据余弦定理和面积关系找到的关系即可；方法二：由面积公式求出，再分点与点在直线的异侧与同侧两种情况讨论，设，利用正弦定理表示出线段的长度，再计算可得. 【小问1详解】 因为所以， 角化边可得：， 整理可得， 又因为， 又因为为三角形的内角，所以. 【小问2详解】 在中由余弦定理可得：， 整理得：； 在中由余弦定理可得：， 在中由余弦定理可得：， 又因为，所以， 又因为，所以， 解方程组：，解得或， 所以或. 【小问3详解】 方法一：因为点满足，所以点在的外部， 设，，， 当在直线的异侧时， 在中由余弦定理有：， 又因为的面积为，即，所以， 所以， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 所以， 整理得： ， 又因为， 所以， 整理得：，即， 又因为 所以即， 所以； 当在直线的同侧时， 分别在，，，中用余弦定理及的面积为 依然可以得出， 又因为， 即 整理得：，又因为， 所以， 即， 所以. 综上所述的值为或 方法二：因为的面积为，所以，所以， 若点与点在直线的异侧，设， 则，，， 在中由正弦定理，所以，； 在中由正弦定理，所以，； 所以 ； 若点与点在直线的同侧，设， 则，，， 在中由正弦定理，所以，； 在中由正弦定理，所以，； 所以 ； 综上可得的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $