12.3证明（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 围绕“证明”主题，分层设计基础几何证明、综合题设选择、提升探究与新定义证明，梯度递进，强化推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一几何证明（命题改写、补充证明）、代数证明（基本命题）|侧重推理依据规范，如几何证明补充“已知求证”及理由| |综合层|几何题设选择（多条件组合证明）|突出条件关联分析，如从3个条件选2作题设证结论| |提升层|升级版几何探究（动态位置关系）、新定义代数证明（双减数等）|强化问题探究与创新应用，如几何中两角两边平行关系探究|

12.3证明 题型一 几何证明 1．（2025·灌云县·期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…，那么…”的形式：　　　　　　　　　　． （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，a⊥l，　　， 求证：　　． 2．（2026·南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫作证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 3．（2025·宿迁·期末）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 4．（2026·泰州·阶段检测）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 题型二 选择题设和结论进行几何证明 1．（2025·沭阳县·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C＝180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C＝180°”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（　　）， ∵AC∥BD， ∴∠A＝　　（　　）， ∴∠DBE+∠C＝180°（等量代换）． （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 2．（2025·高新区·校级月考）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　，结论是　　；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 3．（2025·兴化市·期末）如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知　　，求证：　　．（填“①”“②”或“③”） 证明： 4．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC． （1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 题型三 代数证明 1．（2026·盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 2．（2026·江苏·专题练习）证明：“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 3．（2025·海安市·校级期中）判断下列四个命题哪些是真命题，并对其中一个真命题进行证明． （1）如果|a|＝|b|，那么a＝b； （2）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且ab﹣ac＝b2﹣bc，那么这个三角形一定是等腰三角形． 4．（2026·江苏·专题练习）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 5．（2025·无锡·期末）我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 题型一 几何证明（升级版） 1．（2025·海陵区·校级月考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　　，图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　　； ②请选择一种情况写出证明过程； ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角　　． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 2．（2025·高新区·校级月考）问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为　　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 题型一 根据新定义进行代数证明 1．（2025·梁溪区·校级月考）若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”．将“双减数P”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N（P）．例如：四位正整数7564，∵7﹣5＝6﹣4＝2，且7≠6，∴7564是“双减数”，此时N（7564）＝75﹣64＝11． （1）判断“8631”是否是“双减数”？若是，请求出N（8631）的值；若不是，请说明理由． （2）命题“对于任意双减数A，N（A）都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 2．（2026·江苏·专题练习）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． （1）直接写出结果：36模 ；360模 ． （2）①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； （3）证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 3．（2026·江苏·专题练习）对于正数和，如果整数满足（且），定义一种能求出的新运算： ． 例如：因为，所以； （1）填空： ； （2）这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题： ， ， ； ②，该性质的证明过程如下： 设，则，． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3证明 题型一 几何证明 1．（2025·灌云县·期末）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…，那么…”的形式：　　　　　　　　　　． （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，a⊥l，　　， 求证：　　． 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）b⊥l，a∥b 【详解】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）证明：∵a⊥l，b⊥l（已知）， ∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定义）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：b⊥l，a∥b． 2．（2026·南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫作证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①， 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）， ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 3．（2025·宿迁·期末）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）证明详见解析；（2）同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）； （2）两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 4．（2026·泰州·阶段检测）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 【答案】详见解析 【详解】证明：∵，， 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 本题所用到的互逆命题：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 题型二 选择题设和结论进行几何证明 1．（2025·沭阳县·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C＝180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C＝180°”是一个真命题． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（　　）， ∵AC∥BD， ∴∠A＝　　（　　）， ∴∠DBE+∠C＝180°（等量代换）． （1）请帮助小明补全证明过程及推理依据； （2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等； （2）①③作为题设，②作为结论，即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题，证明详见解析 【详解】解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠DBE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DBE+∠C＝180°（等量代换）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等； （2）选取①③作为题设，②作为结论，即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DBE+∠C＝180°， ∴∠A＝∠DBE（等量代换）， ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）． 2．（2025·高新区·校级月考）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　　，结论是　　；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 【答案】（1）①，③（或③，①）；（2）证明详见解析． 【详解】解：（1）选择的条件是①，结论是③， 或：选择的条件是③，结论是①， 故答案为：①，③（或③，①）； （2）选择的条件是①，结论是③， 证明：∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）， ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（等量代换）． ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）； 选择的条件是③，结论是①， 证明：∵BE∥DF（已知）， ∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）， ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠2＝∠3（等角的余角性质）． 3．（2025·兴化市·期末）如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知　　，求证：　　．（填“①”“②”或“③”） 证明： 【答案】①②，③（答案不唯一），证明详见解析 【详解】答案一：已知①②，求证：③， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠C； 答案二：如图，已知①③，求证：②， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∴∠3＝∠A； 答案三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠3＝∠D， ∴AD∥EF， ∴∠1+∠2＝180°． 4．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC． （1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】（1）命题一：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2，真命题． 命题二：已知FD⊥AB，若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB，真命题． 命题三：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC，真命题； （2）证明详见解析 【详解】解：命题一：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2，真命题． 命题二：已知FD⊥AB，若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB，真命题． 命题三：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC，真命题； （2）选择命题一： 证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BDF＝∠BEG＝90°， ∴DF∥EG， ∴∠GEF＝∠DFE． 又∵EH∥BC， ∴∠HEF＝∠BFE， ∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE， ∴∠1＝∠2； 选择命题二： 证明：如图，延长EG、BC交于点M， ∵FD⊥AB， ∴∠BDF＝90°， 又∵EH∥BC， ∴∠2＝∠M， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠M， ∴FD∥EM， ∴∠MEB＝∠BDF， ∴EG⊥AB； 选择命题三： 证明：如图，延长EG、BC交于点M， ∵FD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BDF＝∠BEG＝90°， ∴DF∥EG， ∴∠1＝∠M， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠M， ∴EH∥BC． 题型三 代数证明 1．（2026·盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明详见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴原命题是真命题． 2．（2026·江苏·专题练习）证明：“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 【答案】证明详见解析 【详解】证明：设两个奇数为和（、都是整数）， 则， ∵、、都是偶数， ∴是奇数，即是奇数， ∴“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 3．（2025·海安市·校级期中）判断下列四个命题哪些是真命题，并对其中一个真命题进行证明． （1）如果|a|＝|b|，那么a＝b； （2）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且ab﹣ac＝b2﹣bc，那么这个三角形一定是等腰三角形． 【答案】（1）假命题；（2）真命题，证明详见解析；（3）真命题，证明详见解析 【详解】解：（1）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，原命题是假命题； （2）原命题是真命题， 证明：设较小的奇数为2n﹣1，较大的奇数为2n+1（n为整数）， ∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）] ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n， ∵n是整数， ∴两个连续奇数的平方差一定是8的倍数； （3）原命题真假命题， 证明：∵ab﹣ac＝b2﹣bc， ∴ab﹣ac﹣b2+bc＝0， ∴a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝0， ∴（a﹣b）（b﹣c）＝0， ∴a＝b或b＝c； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 4．（2026·江苏·专题练习）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】证明详见解析 【详解】解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数， 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 5．（2025·无锡·期末）我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除． 【答案】证明详见解析 【详解】（1）解：，满足的结果的个位数字为4，但， 若计算的结果的个位数字为4，则为假命题（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）； （2）证明：a、b、c为三个连续整数， 设， 则 ， ， 能被13整除． 题型一 几何证明（升级版） 1．（2025·海陵区·校级月考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　　，图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　　； ②请选择一种情况写出证明过程； ③由①得出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角　　． （2）应用③中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数． 【答案】（1）①互补；相等；②证明详见解析；③相等或互补；（2）20°和20°或55°和125° 【详解】解：（1）①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC+∠DEF＝180°， 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC＝∠DEF， 故答案为：互补，相等； ②证明：图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠1＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°； 图2中， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE， ∴∠ABC＝∠DEF； ③由①可得：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； （2）设一个角为x°，另一个角为y°， 当两角相等时，，解得：； 当两角互补时，，解得：， 综上，这两个角的度数分别为20°和20°或55°和125°． 2．（2025·高新区·校级月考）问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为　　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1）90°；（2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由详见解析； （3）∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由详见解析 【详解】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 题型一 根据新定义进行代数证明 1．（2025·梁溪区·校级月考）若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”．将“双减数P”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N（P）．例如：四位正整数7564，∵7﹣5＝6﹣4＝2，且7≠6，∴7564是“双减数”，此时N（7564）＝75﹣64＝11． （1）判断“8631”是否是“双减数”？若是，请求出N（8631）的值；若不是，请说明理由． （2）命题“对于任意双减数A，N（A）都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 【答案】（1）8631是“双减数”，此时N（8631）＝86﹣31＝55； （2）真命题，理由详见解析． 【详解】解：（1）∵8﹣6＝2，3﹣1＝2，8≠3， ∴8631是“双减数”，此时N（8631）＝86﹣31＝55； （2）真命题，理由如下： 设千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为a﹣2，个位数字为b﹣2，且a≠b， ∴“双减数”数为A＝1000a+100（a﹣2）+10b+（b﹣2）， ∴N（A）＝10a+（a﹣2）﹣[10b+（b﹣2）]＝11（a﹣b）， ∴N（A）能被11整数． 2．（2026·江苏·专题练习）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． （1）直接写出结果：36模 ；360模 ． （2）①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； （3）证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0，0；（2）②正确，证明详见解析；（3）证明详见解析 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1， 可以设，则， ∵能被3整除，10除以3余1， ∴模，即模； （3）证明：∵a模，b模， ∴设， ∴， ∴模， ∴能被整除， ∴模． 3．（2026·江苏·专题练习）对于正数和，如果整数满足（且），定义一种能求出的新运算： ． 例如：因为，所以； （1）填空： ； （2）这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题： ， ， ； ②，该性质的证明过程如下： 设，则，． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 【答案】（1）；（2）①，，；②证明详见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：①举例：当，，时， ∵，， ∴，， ∵，而， ∴“若，则”是假命题； ②证明：设，， ∴，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3证明 题型一 几何证明 1． 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）b⊥l，a∥b 【详解】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）证明：∵a⊥l，b⊥l（已知）， ∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定义）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：b⊥l，a∥b． 2． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①， 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）， ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 3． 【答案】（1）证明详见解析；（2）同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）； （2）两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 4． 【答案】详见解析 【详解】证明：∵，， 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 本题所用到的互逆命题：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 题型二 选择题设和结论进行几何证明 1． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等； （2）①③作为题设，②作为结论，即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题，证明详见解析 【详解】解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠DBE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠DBE+∠C＝180°（等量代换）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等； （2）选取①③作为题设，②作为结论，即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C＝180°，那么AC∥BD”是一个真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DBE+∠C＝180°， ∴∠A＝∠DBE（等量代换）， ∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）． 2． 【答案】（1）①，③（或③，①）；（2）证明详见解析． 【详解】解：（1）选择的条件是①，结论是③， 或：选择的条件是③，结论是①， 故答案为：①，③（或③，①）； （2）选择的条件是①，结论是③， 证明：∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）， ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（等量代换）． ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）； 选择的条件是③，结论是①， 证明：∵BE∥DF（已知）， ∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）， ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠2＝∠3（等角的余角性质）． 3． 【答案】①②，③（答案不唯一），证明详见解析 【详解】答案一：已知①②，求证：③， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠C； 答案二：如图，已知①③，求证：②， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∴∠3＝∠A； 答案三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠3＝∠D， ∴AD∥EF， ∴∠1+∠2＝180°． 4． 【答案】（1）命题一：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2，真命题． 命题二：已知FD⊥AB，若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB，真命题． 命题三：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC，真命题； （2）证明详见解析 【详解】解：命题一：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2，真命题． 命题二：已知FD⊥AB，若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB，真命题． 命题三：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC，真命题； （2）选择命题一： 证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BDF＝∠BEG＝90°， ∴DF∥EG， ∴∠GEF＝∠DFE． 又∵EH∥BC， ∴∠HEF＝∠BFE， ∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE， ∴∠1＝∠2； 选择命题二： 证明：如图，延长EG、BC交于点M， ∵FD⊥AB， ∴∠BDF＝90°， 又∵EH∥BC， ∴∠2＝∠M， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠M， ∴FD∥EM， ∴∠MEB＝∠BDF， ∴EG⊥AB； 选择命题三： 证明：如图，延长EG、BC交于点M， ∵FD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BDF＝∠BEG＝90°， ∴DF∥EG， ∴∠1＝∠M， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠M， ∴EH∥BC． 题型三 代数证明 1． 【答案】真命题，证明详见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴原命题是真命题． 2． 【答案】证明详见解析 【详解】证明：设两个奇数为和（、都是整数）， 则， ∵、、都是偶数， ∴是奇数，即是奇数， ∴“两个奇数的乘积仍为奇数”是真命题． 3． 【答案】（1）假命题；（2）真命题，证明详见解析；（3）真命题，证明详见解析 【详解】解：（1）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，原命题是假命题； （2）原命题是真命题， 证明：设较小的奇数为2n﹣1，较大的奇数为2n+1（n为整数）， ∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）] ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n， ∵n是整数， ∴两个连续奇数的平方差一定是8的倍数； （3）原命题真假命题， 证明：∵ab﹣ac＝b2﹣bc， ∴ab﹣ac﹣b2+bc＝0， ∴a（b﹣c）﹣b（b﹣c）＝0， ∴（a﹣b）（b﹣c）＝0， ∴a＝b或b＝c； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 4． 【答案】证明详见解析 【详解】解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数， 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 5． 【答案】证明详见解析 【详解】（1）解：，满足的结果的个位数字为4，但， 若计算的结果的个位数字为4，则为假命题（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）； （2）证明：a、b、c为三个连续整数， 设， 则 ， ， 能被13整除． 题型一 几何证明（升级版） 1． 【答案】（1）①互补；相等；②证明详见解析；③相等或互补；（2）20°和20°或55°和125° 【详解】解：（1）①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC+∠DEF＝180°， 图2中∠ABC与∠DEF数量关系为：∠ABC＝∠DEF， 故答案为：互补，相等； ②证明：图1中， ∵BC∥EF， ∴∠DEF＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠ABC+∠1＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°； 图2中， ∵BC∥EF， ∴∠BPE＝∠DEF， ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BPE， ∴∠ABC＝∠DEF； ③由①可得：如果两个角两边互相平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； （2）设一个角为x°，另一个角为y°， 当两角相等时，，解得：； 当两角互补时，，解得：， 综上，这两个角的度数分别为20°和20°或55°和125°． 2． 【答案】（1）90°；（2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由详见解析； （3）∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由详见解析 【详解】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 题型一 根据新定义进行代数证明 1． 【答案】（1）8631是“双减数”，此时N（8631）＝86﹣31＝55； （2）真命题，理由详见解析． 【详解】解：（1）∵8﹣6＝2，3﹣1＝2，8≠3， ∴8631是“双减数”，此时N（8631）＝86﹣31＝55； （2）真命题，理由如下： 设千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为a﹣2，个位数字为b﹣2，且a≠b， ∴“双减数”数为A＝1000a+100（a﹣2）+10b+（b﹣2）， ∴N（A）＝10a+（a﹣2）﹣[10b+（b﹣2）]＝11（a﹣b）， ∴N（A）能被11整数． 2． 【答案】(1)0，0；（2）②正确，证明详见解析；（3）证明详见解析 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1， 可以设，则， ∵能被3整除，10除以3余1， ∴模，即模； （3）证明：∵a模，b模， ∴设， ∴， ∴模， ∴能被整除， ∴模． 3． 【答案】（1）；（2）①，，；②证明详见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：①举例：当，，时， ∵，， ∴，， ∵，而， ∴“若，则”是假命题； ②证明：设，， ∴，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $