12.3 证明 同步练习 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦“证明”核心，分层设计基础巩固（8题）、能力提升（2题）、综合应用（4题）三级梯度，通过命题辨析到图形推理的进阶路径，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|命题概念、真假判断、逆命题|选择填空结合反例辨析（如用-3,2说明假命题）| |能力提升|简单推理应用|条件结论开放性设计（如选2条件证1结论）| |综合应用|复杂图形证明、多条件探究|多情境变式与逻辑链构建（如平行线中角关系拓展）|

12.3 证明 一．选择题（共4小题） 1．下列命题是假命题的是（　　） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3 3．下列命题的逆命题一定成立的是（　　） ①对顶角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③若a＝b，则|a|＝|b|； ④若x＝3，则x2﹣3x＝0． A．①②③ B．①④ C．②④ D．② 4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共4小题） 5．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式　 　 ，它是　 　 命题（“真”或“假”）． 6．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是　 　 命题（填“真”或“假”）． 7．要说明命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，反例a的值可以是　 　 （写出一个即可）． 8．写出命题“如果mn＝1，那么m、n互为倒数”的逆命题：　 　 ． 三．解答题（共6小题） 9．如图，已知：点A、B、C在一条直线上． （1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件：　 　 ． 结论：　 　 ． （2）证明你所构建的是真命题． 10．如图，在△AFD和△CEB中，点 A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC． 请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程． 条件为：　 　 （填序号）． 结论为：　 　 （填序号）． 11．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． （1）如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程． 小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°． 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整． 证明：∵EF∥CD（已知） ∴∠BEF＝　 　 （ 　 　 ） ∵∠B+∠BDG＝180°（已知） ∴BC∥　 　 （ 　 　 ） ∴∠CDG＝　 　 （ 　 　 ） ∴∠BEF＝∠CDG（等量代换） （2）拓展：如图，请你从三个选项①DG∥BC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． ①条件：　 　 ，结论：　 　 （填序号）． ②证明：　 　 ． 12．如图，从①∠1+∠2＝180°，②∠3＝∠A，③∠B＝∠C，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知 　 　 ，求证：　 　 ．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 13．问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　 ． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 14．如图，有如下三个论断：①AD∥BC，②∠B＝∠C，③AD平分∠EAC． （1）请从这三个论断中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果…那么…”的形式写出来．（写出所有的真命题，不要说明理由）（2）请你在上述真命题中选择一个进行证明． 已知：　 　 求证：　 　 证明：　 　 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．【解答】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题为假命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故原命题为真命题； ③相等的角不一定是对顶角，故原命题为假命题； ④互补的角不一定是邻补角，故原命题为假命题． 故选：C． 2．【解答】解： 在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选：B． 3．【解答】解：①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，错误； ②同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，正确； ③若a＝b，则|a|＝|b|，逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，错误； ④若x＝3，则x2﹣3x＝0，逆命题为：若x2﹣3x＝0，则x＝3，错误． 故选：D． 4．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题； ②两直线平行，同位角相等；②假命题； ③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题； 真命题的个数为0， 故选：A． 二．填空题（共4小题） 5．【解答】解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，它是真命题， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；真． 6．【解答】解：命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，如a＝1，b＝﹣1，是假命题； 故答案为：假． 7．【解答】解：∵命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题， ∴a≤0， ∴反例a的值可以是﹣1（答案不唯一）， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 8．【解答】解：命题“如果mn＝1，那么m、n互为倒数”的逆命题是如果m、n互为倒数，那么mn＝1， 故答案为：如果m、n互为倒数，那么mn＝1． 三．解答题（共6小题） 9．【解答】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2； 结论：③∠A＝∠E， 故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E； （2）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E． 10．【解答】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一） 已知：如图，在△AFD和△CEB中，点 A、E、F、C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：DF＝BE． 证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， ∴在△AFD和△CEB中， ， ∴△AFD≌△CEB（SAS）， ∴DF＝BE． 故答案为：①②④；③ 11．【解答】（1）证明：∵EF∥CD（已知）， ∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B+∠BDG＝180°（已知）， ∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）； （2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD（答案不唯一）， 结论：DG平分∠ADC， ②证明：∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD， ∵∠B＝∠BCD， ∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC． 故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等； （2）①、①③；②， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD， ∵∠B＝∠BCD， ∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC． 12．【解答】答案一：已知①②，求证：③， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠C； 答案二：如图，已知①③，求证：②， 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠3＝∠D， ∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∴∠3＝∠A； 答案三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠3＝∠A， ∴∠3＝∠D， ∴AD∥EF， ∴∠1+∠2＝180°． 13．【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 14．【解答】（1）解：如果①②，那么③； 如果①③，那么②； 如果②③，那么①； （2）①已知：AD∥BC，∠B＝∠C，求证：AD平分∠EAC； 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠DAE＝∠DAC， ∴AD平分∠EAC； ②已知：AD∥BC，AD平分∠EAC， 求证：∠B＝∠C； 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C， ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC， ∴∠B＝∠C； ③已知：∠B＝∠C，AD平分∠EAC， 求证：AD∥BC； 证明：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C， ∴∠EAC＝2∠B， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC． 故答案为：AD∥BC，∠B＝∠C； AD平分∠EAC； ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠DAE＝∠DAC， ∴AD平分∠EAC 学科网（北京）股份有限公司 $