专题01 一元一次方程（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 一元一次方程（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断各式是否是方程 题型02 列方程 题型03 等式的性质 题型04 判断是否是一元一次方程 题型05 判断是否是一元一次方程解 题型06 解一元一次方程 题型07 绝对值方程 题型08 已知一元一次方程的解求参数 题型09 一元一次方程解的关系 题型10 一元一次方程的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的相关概念 能准确识别一元一次方程的定义，明确“元”“次”的含义；理解方程的解的定义，掌握“逢解代入”的验证方法；能区分方程与整式、等式的差异。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，考查对一元一次方程定义的辨析，易忽略“整式方程”“未知数次数为1”的核心条件。 等式的基本性质 熟练掌握等式的两条基本性质，能运用性质对等式进行正确变形；理解等式变形的等价性，能判断等式变形的正误。 基础必考点，是解方程的核心依据，常结合解方程步骤考查，易在“除以不为0的数”的条件上设置易错点。 一元一次方程的解法 熟练掌握“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的标准解题步骤；能根据方程特点灵活调整步骤，规范书写解题过程；掌握检验方程解的正确性的方法。 高频核心考点，占分比约30%-40%，必考解答题，易在去分母漏乘、去括号变号、移项不变号、系数化为1时符号处理上设置易错点。 含参数的一元一次方程 能根据一元一次方程的定义确定参数的取值范围；已知方程的解，能代入求解参数的值；能对含参数方程的解的情况进行分类讨论。 高频易错点，常出现在选择题、填空题的压轴位置，易忽略“最高次项系数不为0”的分类讨论条件。 一元一次方程的实际应用（和差倍分问题） 能准确识别和差倍分问题中的等量关系，掌握“设未知数—列代数式—找等量关系—列方程”的基本流程；能解决基础的和差倍分、比例分配类问题。 基础应用必考点，常出现在选择题、填空题，是应用题的入门题型，易在“比……多/少”“是……的几倍”的数量关系转换上出错。 一元一次方程的实际应用（行程问题） 熟练掌握行程问题的核心公式（路程=速度×时间），能区分相遇、追及、航行/飞行等不同行程场景；能通过画线段图辅助分析等量关系，列出对应的一元一次方程。 高频应用考点，常出现在解答题，易在“相向/同向”“顺流/逆流”的速度关系、路程差的分析上设置难点。 一元一次方程的实际应用（工程与销售问题） 掌握工程问题的核心等量关系（工作总量=工作效率×工作时间），能解决合作类工程问题；掌握销售问题中的进价、售价、利润、利润率、折扣等核心概念，能准确识别销售场景中的等量关系列方程。 高频综合应用考点，常出现在解答题，贴近生活实际，易在利润率的计算、折扣的转换、工作总量的单位“1”处理上出错。 知识点01 方程 定义：含有未知数的等式叫做方程. 注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数. 知识点02 方程的解、解方程 1．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2．解方程：求方程的解的过程． 知识点03 一元一次方程概念 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 特点： 1. 只含有一个未知数x； 2. 未知数x的次数都是1； 3. 等式两边都是整式。 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子)结果仍得等式. 性质1：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 知识点05 一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 知识点06 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值。 知识点07 列一元一次方程解应用题的步骤 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点08 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1. 行程问题：路程=速度×时间 2. 顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3. 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 4. 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价 5. 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量 6. 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数 题型一 判断各式是否是方程 解｜题｜技｜巧 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数． 【典例1】下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 列方程 解｜题｜技｜巧 （1）定未知数：选直接所求或关联紧密的量为x。 （2）抓关键词：“比”“共”“余”等提示运算关系。 （3）列等式：根据题意将文字转为数学表达式。 【典例1】根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【变式1】若a，b两数的平方和为0，则a，b两数的关系表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 等式的性质 解｜题｜技｜巧 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 【典例1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】下列等式变形，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 题型四 判断是否是一元一次方程 解｜题｜技｜巧 一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程； ②其次是必须只含有一个未知数； ③未知数的指数是1； ④分母中不含有未知数． 【典例1】下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为__________． 【变式2】若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____． 题型五 判断是否是一元一次方程解 解｜题｜技｜巧 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【典例1】若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 【变式1】整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【变式2】已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 题型六 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程 (1) (2) 【变式2】解方程：． 题型七 绝对值方程 解｜题｜技｜巧 1. 拆情况讨论：按定义分正负两种情形（|A|=a ⇒ A=±a）。 2.去绝对符号：每种情况去掉“||”，加括号变号或不变。 3. 独立求解：分别解每个不含绝对值的新方程。 4. 检验解效性：代入原式验证是否使绝对值为非负数。 5. 舍无效解：排除导致矛盾（如负数等正数）的结果。 6. 多变量处理：含多个绝对值时分段讨论临界点（零点）。 【典例1】已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【变式1】阅读材料∶ 我们知道，在数轴上，点，分别表示数，，则，两点之间的距离例如：数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是根据以上材料，解答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离是若这个距离是，则_____． (3)若数轴上表示的点到表示和的点的距离之和是，求的值． 【变式2】先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 题型八 已知一元一次方程的解，求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确已知条件 一元一次方程的形式（如含未知数 `x` 和某个参数 `k`）； 该方程的一个具体解（例如 `x = a`）。 2. 代入求解 - 把解 `x = a` 直接代入原方程，替换掉所有的 `x`； - 此时方程变为仅含参数的等式，通过运算即可求出参数的值。 【典例1】若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A．3 B．0 C． D．8 【变式1】若是关于x的方程的解，则的值为_________． 【变式2】已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 题型九 一元一次方程解的关系 解｜题｜技｜巧 1. 发现两方程的关系； 2.通过已知条件求出未知量的值； 3.通过两个方程的关系求出最终答案。 【典例1】若方程和的解相同，则a的值为______． 【变式1】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 题型十 一元一次方程的应用 解｜题｜技｜巧 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【典例1】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1480元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 6 25 标价（元/个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【变式1】A、B两地相距1200千米，甲车和乙车均从A地开往B地，且知甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍． (1)乙车的速度是 千米/小时，甲车从A地到B地用 小时，乙车从A地到B地用 小时． (2)若两车同时出发从A地开往B地，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ (3)若两车均从A地开往B地，且乙车先出发5小时，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ 【变式2】某服装厂专门安排160名工人手工缝制衬衣，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个，那么应安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数，羊价各几何？”其大意是：几个人合伙买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．问合伙人数，羊价各是多少？设合伙人数为x，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 3．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元一次方程，则_______． 5．阅读下面解方程的过程回答问题． 解方程：． 解：移项，得．（1） 合并同类项，得．（2） 系数化为1，得．（3） (1)上述解方程的过程中，最早出现错误的步骤是第________步； (2)请写出正确的解题过程 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．七年级手工社27名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形16个或圆形22个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程，则下列判断正确的是（    ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉、淇淇都不正确 C．嘉嘉正确，淇淇不正确 D．嘉嘉不正确，淇淇正确 9．已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________． 10．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 12．方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 13．如图是2026年2月份的月历，2月1日是星期日，本月共有28天．定义“U型”、“十字型”两种阴影图形，每种图形均可覆盖其中五个数字（图形可上下左右移动，也可重叠覆盖）．设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若“十字型”最下面的数字恰好能填补“U型”上面中间的空缺位置，则的值可能是（） A．216 B．166 C．136 D．116 14．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为_______． 15．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断各式是否是方程 题型02 列方程 题型03 等式的性质 题型04 判断是否是一元一次方程 题型05 判断是否是一元一次方程解 题型06 解一元一次方程 题型07 绝对值方程 题型08 已知一元一次方程的解求参数 题型09 一元一次方程解的关系 题型10 一元一次方程的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的相关概念 能准确识别一元一次方程的定义，明确“元”“次”的含义；理解方程的解的定义，掌握“逢解代入”的验证方法；能区分方程与整式、等式的差异。 基础必考点，常出现在选择题、填空题，考查对一元一次方程定义的辨析，易忽略“整式方程”“未知数次数为1”的核心条件。 等式的基本性质 熟练掌握等式的两条基本性质，能运用性质对等式进行正确变形；理解等式变形的等价性，能判断等式变形的正误。 基础必考点，是解方程的核心依据，常结合解方程步骤考查，易在“除以不为0的数”的条件上设置易错点。 一元一次方程的解法 熟练掌握“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的标准解题步骤；能根据方程特点灵活调整步骤，规范书写解题过程；掌握检验方程解的正确性的方法。 高频核心考点，占分比约30%-40%，必考解答题，易在去分母漏乘、去括号变号、移项不变号、系数化为1时符号处理上设置易错点。 含参数的一元一次方程 能根据一元一次方程的定义确定参数的取值范围；已知方程的解，能代入求解参数的值；能对含参数方程的解的情况进行分类讨论。 高频易错点，常出现在选择题、填空题的压轴位置，易忽略“最高次项系数不为0”的分类讨论条件。 一元一次方程的实际应用（和差倍分问题） 能准确识别和差倍分问题中的等量关系，掌握“设未知数—列代数式—找等量关系—列方程”的基本流程；能解决基础的和差倍分、比例分配类问题。 基础应用必考点，常出现在选择题、填空题，是应用题的入门题型，易在“比……多/少”“是……的几倍”的数量关系转换上出错。 一元一次方程的实际应用（行程问题） 熟练掌握行程问题的核心公式（路程=速度×时间），能区分相遇、追及、航行/飞行等不同行程场景；能通过画线段图辅助分析等量关系，列出对应的一元一次方程。 高频应用考点，常出现在解答题，易在“相向/同向”“顺流/逆流”的速度关系、路程差的分析上设置难点。 一元一次方程的实际应用（工程与销售问题） 掌握工程问题的核心等量关系（工作总量=工作效率×工作时间），能解决合作类工程问题；掌握销售问题中的进价、售价、利润、利润率、折扣等核心概念，能准确识别销售场景中的等量关系列方程。 高频综合应用考点，常出现在解答题，贴近生活实际，易在利润率的计算、折扣的转换、工作总量的单位“1”处理上出错。 知识点01 方程 定义：含有未知数的等式叫做方程. 注意：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数. 知识点02 方程的解、解方程 1．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2．解方程：求方程的解的过程． 知识点03 一元一次方程概念 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 特点： 1. 只含有一个未知数x； 2. 未知数x的次数都是1； 3. 等式两边都是整式。 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子)结果仍得等式. 性质1：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 知识点05 一元一次方程的解法 （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。 （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1） （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。 （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。 知识点06 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值。 知识点07 列一元一次方程解应用题的步骤 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点08 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1. 行程问题：路程=速度×时间 2. 顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3. 和差倍分问题：增长量=原有量×增长率 4. 利润问题：商品利润=商品售价-商品进价 5. 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，各部分劳动量之和=总量 6. 银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金×利率×期数 题型一 判断各式是否是方程 解｜题｜技｜巧 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数． 【典例1】下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是等式，故不是方程，不符合题意； B．，是等式但不含未知数，故不是方程，不符合题意； C．，不是等式，故不是方程，不符合题意； D．是等式且含有未知数x，故是方程，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列各式中，不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，方程是含有未知数的等式，需同时满足两个条件：含有未知数和是等式，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 选项A、B、C均含有未知数且是等式，符合定义； 选项D含有未知数但不是等式，不符合定义． 故选：D． 【变式2】下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义．根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，该选项不符合题意； B、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； C、是等式且含有未知数，满足方程的定义，该选项符合题意； D、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； 故选：C． 题型二 列方程 解｜题｜技｜巧 （1）定未知数：选直接所求或关联紧密的量为x。 （2）抓关键词：“比”“共”“余”等提示运算关系。 （3）列等式：根据题意将文字转为数学表达式。 【典例1】根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，根据题意，将文字描述转化为代数方程即可． 【详解】解：x的3倍表示为，与7的差表示为，根据条件，此差等于11， 因此方程为， 故答案为：． 【变式1】若a，b两数的平方和为0，则a，b两数的关系表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列方程，解题的关键是理解“平方和”的数学含义． a，b两数的平方和即先平方，再求和，据此列式即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式2】第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程． 【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得 ， 故选：C． 题型三 等式的性质 解｜题｜技｜巧 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 【典例1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断各选项变形是否正确，即可找出错误选项.等式的基本性质为：等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘(或除以同一个不为0的数)，等式仍然成立． 【详解】解：A、，等式两边同时除以不为0的，可得，变形正确，不符合题意； B、，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C、，等式两边同时乘，应得，原变形错误，符合题意； D、，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意． 【变式1】下列等式变形，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：根据等式的基本性质判断各选项 A，，等式两边同时减，可得，A变形正确； B，若，当时，作为分母无意义，且当时，由可得，B变形错误； C，，等式两边同时乘，可得，符合等式性质，C变形正确； D，，分式有意义可得，等式两边同时乘，可得，D变形正确． 【变式2】已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 【答案】C 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数或者式，等式仍成立，据此判断即可． 【详解】解：两边都减去，得， ∵等式可变形为， ∴， ∴． 题型四 判断是否是一元一次方程 解｜题｜技｜巧 一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程； ②其次是必须只含有一个未知数； ③未知数的指数是1； ④分母中不含有未知数． 【典例1】下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且所含未知数的项的最高次数为1的整式方程”，逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵ 选项A中，方程含未知数的项最高次数为2，不符合一元一次方程定义，∴A不符合题意. ∵ 选项B中，方程不是整式方程，不符合一元一次方程定义，∴B不符合题意. ∵ 选项C中，方程含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴C不符合题意. ∵ 选项D中，方程只含一个未知数，所含未知数的项最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义，∴D符合题意. 【变式1】若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为__________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入方程求解即可 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，解得 ， 将代入原方程得：， 移项合并同类项得 ， 系数化为1得 . 【变式2】若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____． 【答案】2 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为1，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程， ∴未知数x的次数为1，即， 解得：． 题型五 判断是否是一元一次方程解 解｜题｜技｜巧 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 【典例1】若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键． 任写一个符合条件的一元一次方程即可． 【详解】解：这个方程可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 【变式2】已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 题型六 解一元一次方程 解｜题｜技｜巧 解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. （2）移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （3）去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. （4）去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1求解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式1】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项，系数化为1，即可得到答案； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 【变式2】解方程：． 【答案】 【分析】先去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 题型七 绝对值方程 解｜题｜技｜巧 1. 拆情况讨论：按定义分正负两种情形（|A|=a ⇒ A=±a）。 2.去绝对符号：每种情况去掉“||”，加括号变号或不变。 3. 独立求解：分别解每个不含绝对值的新方程。 4. 检验解效性：代入原式验证是否使绝对值为非负数。 5. 舍无效解：排除导致矛盾（如负数等正数）的结果。 6. 多变量处理：含多个绝对值时分段讨论临界点（零点）。 【典例1】已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 【变式1】阅读材料∶ 我们知道，在数轴上，点，分别表示数，，则，两点之间的距离例如：数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是根据以上材料，解答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示和的两点之间的距离是若这个距离是，则_____． (3)若数轴上表示的点到表示和的点的距离之和是，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值的几何意义，解一元一次方程； （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解； （2）根据题意得出，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，分三种情况讨论，化简绝对值，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是 故答案为：． （2）解：依题意 ∴或 解得：或 故答案为：或． （3）解：依题意， 当时， 解得： 当时，，此方程无解， 当时， 解得： 综上，或． 【变式2】先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 【答案】(1)或 (2)①；②． 【分析】（1）首先认真审题，根据绝对值的意义去绝对值，化为一元一次方程即可求解； （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为为，解得； 当时，原方程可化为为，解得； ∴原方程的解是或； （2）解：∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程有解； 故答案为：①；②． 题型八 已知一元一次方程的解，求参数 解｜题｜技｜巧 1. 明确已知条件 一元一次方程的形式（如含未知数 `x` 和某个参数 `k`）； 该方程的一个具体解（例如 `x = a`）。 2. 代入求解 - 把解 `x = a` 直接代入原方程，替换掉所有的 `x`； - 此时方程变为仅含参数的等式，通过运算即可求出参数的值。 【典例1】若关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A．3 B．0 C． D．8 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴，即， 解得． 【变式1】若是关于x的方程的解，则的值为_________． 【答案】 【分析】把解代入方程，解方程求得a值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故． 【变式2】已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程概念的应用，根据一元一次方程的定义，需满足未知数的最高次数为1且一次项系数不为0，据此列条件求解m的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 题型九 一元一次方程解的关系 解｜题｜技｜巧 1. 发现两方程的关系； 2.通过已知条件求出未知量的值； 3.通过两个方程的关系求出最终答案。 【典例1】若方程和的解相同，则a的值为______． 【答案】 【分析】解方程得出方程的解，把得到的解代入方程，就得到一个关于的方程，从而求出的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入得， 故答案为：． 【变式1】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． 【变式2】已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程、相反数的定义，先求解第二个方程，再根据相反数的定义得到第一个方程的解，代入第一个方程即可求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 解得，， ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入， 得， 即， ∴， 故选：C． 题型十 一元一次方程的应用 解｜题｜技｜巧 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系. 设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）. 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系. 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程. 解：解所列出的方程，求出未知数的值. 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【典例1】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1480元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的2倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 6 25 标价（元/个） 10 40 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方80个，数独棋40个 (2)该商店共获利360元 【分析】（1）设该商店购进数独棋x个，则购进魔方个，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该商店购进数独棋的个数），再将其代入中，即可求出该商店购进魔方的个数； （2）利用总利润每个魔方的销售利润购进魔方的个数每个数独棋的销售利润购进数独棋的个数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设数独棋x个，则商店购进魔方个， 根据题意得， 解得：， ∴商店购进魔方（个）， 答：该商店购进魔方80个，数独棋40个； （2）解：由题意得，商店共获利： （元）， 答：该商店共获利360元． 【变式1】A、B两地相距1200千米，甲车和乙车均从A地开往B地，且知甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍． (1)乙车的速度是 千米/小时，甲车从A地到B地用 小时，乙车从A地到B地用 小时． (2)若两车同时出发从A地开往B地，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ (3)若两车均从A地开往B地，且乙车先出发5小时，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ 【答案】(1)60；；20 (2)在乙车开出小时或小时时两车相距100千米 (3)乙车开出小时或小时或小时时两车相距100千米 【分析】（1）根据甲车速度和乙车速度的倍数关系求出乙车速度，再分别利用总路程除以甲、乙两车速度，求行驶时间； （2）设乙车开出x小时时两车相距100千米，分情况根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）设乙车开出y小时时两车相距100千米，分情况根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：乙车的速度是： (千米/小时)； 甲车从A地到B地用的时间为：(小时)； 乙车从A地到B地用的时间为： (小时)； （2）解：设乙车开出x小时时两车相距100千米， 若甲车到达地之前与乙车相距千米，根据题意可得， 解得：． 若甲车到达地后与乙车相距千米，根据题意可得， 解得：． 答：在乙车开出小时或小时时两车相距100千米； （3）解：设乙车开出y小时时两车相距100千米． 若甲车未出发，根据题意得， 解得； 若甲车已出发，且乙车在甲车的前方，根据题意可得， 解得：， 若甲车已出发，且甲车在乙车的前方，根据题意可得， 解得：； 综上所述，乙车开出小时或小时或小时时两车相距100千米． 【变式2】某服装厂专门安排160名工人手工缝制衬衣，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个，那么应安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 【答案】120名 【分析】设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身，根据缝制的衣袖和衣身的数量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身， 由题意得， 解得， 答：应安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：选项A，当时，与无意义，因此该变形错误． 选项B，∵，等式两边同时除以，∴可得，因此变形得到错误． 选项C，∵，等式两边同时乘以，∴可得，因此变形得到错误． 选项D，∵，∴，由，等式两边同时除以，可得，变形正确． 2．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数，羊价各几何？”其大意是：几个人合伙买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．问合伙人数，羊价各是多少？设合伙人数为x，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据羊价不变这一等量关系，用两种不同方式表示羊价，进而列出方程，即可作答． 【详解】解：设合伙人数为， ∵每人出5钱，差45钱， ∴羊价为钱， ∵每人出7钱，差3钱 ∴羊价为钱， ∵羊价相等， ∴， 故选：D 3．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，求出每个一元一次方程的解即可做出判断，熟练掌握一元一次方程的解法并正确求解是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，符合题意； 故选：． 4．已知是关于的一元一次方程，则_______． 【答案】 【分析】依据一元一次方程的定义，确定二次项系数为0且一次项系数不为0，进而求出的值即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，因此可得：且． 由，得，解得或． 由，得，解得． 因为和均不等于，都符合条件， 所以． 5．阅读下面解方程的过程回答问题． 解方程：． 解：移项，得．（1） 合并同类项，得．（2） 系数化为1，得．（3） (1)上述解方程的过程中，最早出现错误的步骤是第________步； (2)请写出正确的解题过程 【答案】(1)（1） (2)见解析 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤进行判断即可； （2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：移项时没有改变和的符号，因此最早出现错误的步骤是第（1）步； （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．下列方程的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对选项A，∵，移项，得，与选项变形不符，∴A错误； 对选项B，∵，去括号，得，与选项变形不符，∴B错误； 对选项C，∵，等式两边同时除以，得，与选项变形不符，∴C错误； 对选项D，∵，等式两边同时乘去分母，得，变形正确，∴D正确． 7．七年级手工社27名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形16个或圆形22个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意确定做长方形和做圆形的人数，进而表示出两类部件的总个数，再结合配套要求列出方程即可． 【详解】解：∵分配名同学做长方形，总共有27名同学， ∴做圆形的同学人数为 名， ∴每节课做长方形的总个数为，做圆形的总个数为， ∵一个圆柱需要1个长方形搭配2个圆形，恰好配套时圆形总数是长方形总数的2倍， ∴可得方程 ． 8．如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．嘉嘉说：根据小长方形的长相等可列方程；淇淇说：根据大长方形的宽相等可列方程，则下列判断正确的是（    ） A．嘉嘉、淇淇都正确 B．嘉嘉、淇淇都不正确 C．嘉嘉正确，淇淇不正确 D．嘉嘉不正确，淇淇正确 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程； 分别根据小长方形的长相等，大长方形的宽相等列出相应的方程即可． 【详解】解：根据小长方形的长相等可列方程； 根据大长方形的宽相等可列方程； 所以嘉嘉正确，淇淇不正确， 故选：C． 9．已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，核心是先求解方程得到含参数的解的表达式，再根据解为非负整数且是整数的条件，确定的所有可能取值，最后计算这些整数的和． 【详解】解：解关于的一元一次方程，得， ∵方程的解是非负整数，且为整数， ∴是非负整数， 又分子为4， ∴， ∴为正整数， ∴是4的正约数，4的正约数为1、2、4， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 则符合条件的整数的和为； 故答案为：． 10．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，根据绝对值的性质可得即，再根据的范围，及方程有三个整数解，来判断上述两个绝对值方程的解得情况，从而得出的值． 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 12．方程的解是（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将所求式子进行变形，再根据解一元一次方程的解题方法计算即可得解，正确将所求式子进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 13．如图是2026年2月份的月历，2月1日是星期日，本月共有28天．定义“U型”、“十字型”两种阴影图形，每种图形均可覆盖其中五个数字（图形可上下左右移动，也可重叠覆盖）．设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若“十字型”最下面的数字恰好能填补“U型”上面中间的空缺位置，则的值可能是（） A．216 B．166 C．136 D．116 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及月历中数字的排列规律，熟练掌握月历中数字“上下相邻差7、左右相邻差1”的规律，并结合数字的实际取值范围验证解的合理性是解题的关键．设“十字型”最下面的数字为，根据月历中“上下相邻数差7，左右相邻数差1”的规律，分别写出“十字型”和“U型”覆盖的五个数，求出与的表达式，得到的关系式，再结合的正整数性与月历数字范围（）验证选项． 【详解】解：设“十字型”最下面的数为， ∵十字型的五个数为，，，，， ∴， ∵“十字型”最下面的数字恰好能填补“U型”上面中间的空缺位置，U型的五个数为，，，，， ∴， ∴， 对选项A：， 解得， ∵是正整数，U型数为（29,30,31超出月历范围）， ∴故A项错误； 对选项B：， 解得， ∵是正整数，U型数为，十字型数为，均在1~28范围内， ∴故B项正确； 对选项C：， 解得， ∵是正整数，不构成十字型数， ∴故C项错误； 对选项D：，(超出月历范围）， ∴故D项错误． 故选：B． 14．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 15．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①782；②居民甲家的年用气量为300立方米； (2)居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费． （1）①利用应缴燃气费居民甲家的年用气量，即可求出结论； ②设居民甲家的年用气量为x立方米，根据居民甲家一年的燃气费为1050元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据燃气收费标准，用含a的代数式表示出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费，二者作差后，即可求出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴应缴燃气费782元． 故答案为：782； ②设居民甲家的年用气量为x立方米， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：居民甲家的年用气量为300立方米； （2）解：根据题意得： 未申请政策前一年的燃气费为 （元）； 申请政策后一年的燃气费为 （元）， ∴（元）． 答：居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $