专题01一元一次方程寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型解析+强化题型突破)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题01一元一次方程寒假预习核心讲义 1.核心技能突破：精准拿捏一元一次方程的定义、标准形式，熟练掌握解题全步骤，轻松搞定和差倍分、行程、工程类基础应用题，告别“解方程难”“应用题无从下手”的困扰。 2. 思维方法升级：学会从实际问题中抽象出方程模型，掌握“化繁为简”的转化思想，让复杂方程一步步变成“x=a”的简单形式，提升逻辑解题能力。 3. 学习习惯养成：搭建方程与生活的关联认知，感受数学的实用价值；培养严谨的解题步骤意识，减少计算失误，为下学期数学学习筑牢基础、建立自信。 预习必备 知识点梳理 1.一元一次方程的概念 2.一元一次方程的解法 3.一元一次方程的实际应用 4.高频易错点辨析 . 常考题型 精讲精炼 1.判断是否为方程 2.列方程 3.已知方程的解,求参数 4.等式的性质 5.判断是否为一元一次方程 6.解一元一次方程:合并同类项及移项 7.解一元一次方程:去括号 8.解一元一次方程:去分母 9.已知一元一次方程的解,求参数 10.绝对值方程 11.一元一次方程的应用:和差倍分问题 12.一元一次方程的应用:行程问题 强化巩固 题型通关 (19题) 【知识点01.一元一次方程的概念】 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 标准形式：ax+b=0（其中a0，a、b为常数） 示例：2x−3=0是一元一次方程；+2=3（含分式）、x2+1=5（次数为 2）都不是。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（也叫根）。 验证方法：将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等。 【知识点02.一元一次方程的解法(核心步骤)】 解一元一次方程的基本思路：将方程逐步转化为x=a的形式，具体步骤如下（按顺序灵活使用）： 步骤 具体操作 注意事项 去分母 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 1. 不要漏乘不含分母的项 2.分子是多项式时，去分母后要加括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1. 括号前是 “−”，去括号后括号内各项要变号 2. 括号前有系数，要乘括号内每一项 移项 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 移项要变号（口诀：移项变号，不移不变） 合并同类项 分别合并左右两边的同类项 系数相加，字母及次数不变，化为ax=b（a0）的形式 系数化为 1 方程两边同时除以未知数的系数a（或乘​） 注意系数的正负，避免乘除混淆 【知识点03.一元一次方程的实际应用】 列方程解应用题的一般步骤： 1.审：审题，找出已知量、未知量及等量关系； 2.设：设未知数（直接设或间接设）； 3.列：根据等量关系列出一元一次方程； 4.解：解这个方程； 5.验：检验方程的解是否符合实际意义； 6.答：写出答案。 常见题型及等量关系： 题型 核心等量关系 和差倍分 倍数关系：A=m×B；和差关系：A±B=C 行程问题（匀速） 路程 = 速度 × 时间；相遇问题：S甲+S乙=S总； 追及问题：S快-S慢=S差 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间；总工作量常设为 1 【知识点04.高频易错点辨析】 易错点 易错示例 正确做法 移项忘变号 解方程 3x+2=5x−1时， 写成 3x+5x=−1+2 移项必须变号：3x−5x=−1−2 去分母漏乘常数项 解方程 −1= 时， 写成 3x−1=2x 两边乘 6，所有项都要乘：3x−6=2x 去括号符号错误 解方程 2−(x−3)=5时， 写成 2−x−3=5 括号前是 “−”，括号内变号：2−x+3=5 系数化为 1 时混淆乘除 解方程 −2x=4 时， 写成 x=4×2=8 两边除以系数−2：x=4÷(−2)=−2 【题型1.判断是否为方程】 【典例】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是解决本题的关键． 根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：，不是等式，故不是方程，不符合题意； B：，是不等式，不是等式，故不是方程，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，故不是方程，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，故是方程，符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 【题型2.列方程】 【典例】列方程：x的相反数与6的倒数的和为3 【答案】 【分析】本题考查了倒数与相反数的概念.此类题关键是抓住倒数和相反数的概念，根据题意，x的相反数是，6的倒数是，它们的和为3，由此列出方程. 【详解】解 ：根据题意得： 故答案为：. 【跟踪专练1】某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 【跟踪专练2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 【题型3.已知方程的解,求参数】 【典例】已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 【答案】B 【分析】本题考查了方程解的定义．已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练1】若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了方程的解的定义与整体代入的数学思想，熟练掌握方程的解的含义并灵活运用整体代入法是解题的关键．将方程的解代入原方程，得到关于、的等式，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 【题型4,等式的性质】 【典例】下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式两边同时加减同一数或式子，等式仍成立；同时乘或除以同一不为零的数，等式仍成立．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A. 若，两边加1得，符合等式性质，正确； B. 若，两边乘（）得，正确； C. 若，两边除以（）得，正确； D. 若，当时，和无意义，变形不成立，错误． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是 （用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解图形中的数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列得，整理即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， ∴， 即小长方形的长和宽的差是． 故答案为：． 【跟踪专练2】若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 【题型5.判断是否为一元一次方程】 【典例】已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程，根据定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义； 方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义； 方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义； 方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义； 综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个， 故选：B． 【跟踪专练1】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意得出且，据此可得的值．列出关于的方程是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 解得． 故答案为：5． 【跟踪专练2】已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（    ） A．1 B．或1 C．5 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，正确求出m的值是解题的关键． 由题得出，，即可求出m的值，再根据绝对值的性质即可求出a的值． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴， 解得或， 且， ∴， 代入， 即， ∴或， 解得或， 综上，的值为或5， 故选：D． 【题型6.解一元一次方程:合并同类项及移项】 【典例】方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，通过移项和系数化为1求解． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知方程的解为，则关于x的方程的解为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入方程中，解方程可求出的值，再把的值代入方程中，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 解得， 把代入方程中得， 解得， ∴关于x的方程的解为， 故选：A． 【跟踪专练2】方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 【详解】解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 【题型7.解一元一次方程:去括号】 【典例】若，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，通过去括号、移项和合并同类项等步骤求解． 【详解】解：∵ ， 去括号：， 合并常数项：， 移项：， ∴ ． 故 ， 故选：B． 【跟踪专练1】对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，即可求得的值． 【详解】解：由题意得：将可化为：， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：3． 【跟踪专练2】将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成若定义，例如，则中的值为（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 整理得：， 解得：， 故选：A． 【题型8.解一元一次方程:去分母】 【典例】将方程的两边同乘12，可得到，这种变形叫 ，其依据是 ． 【答案】 去分母 等式的基本性质2 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据方程的特点，两边同时乘12，对方程进行去分母处理，去分母的依据是等式的基本性质 【详解】解：， 去分母时，方程两边同时乘12，等式仍成立， 故答案为：去分母，等式的基本性质2． 【跟踪专练1】若与互为相反数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，互为相反数的两个数的和为0，则，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键． 根据“郡园方程”的定义，方程的解应为，同时题目给定解为 ，因此建立等式求解． 【详解】解：由“郡园方程”定义，解满足， ∴， ∵， 解得， ∵给定解为， ∴， 代入，得， 解得， 代入，得， 解得 ， 故， 故答案为：3． 【题型9.已知一元一次方程的解,求参数】 【典例】若关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 利用一元一次方程的解的定义，将代入方程，求解m的值． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 【跟踪专练2】如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 【题型10.解绝对值方程】 【典例】如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或5， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】关于的方程的解满足，则常数的值为 ． 【答案】或0/0或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程、方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据得出或3，然后分别代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或3， 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，m的值为或0． 故答案为：或0． 【题型11.一元一次方程的应用:和差倍分问题】 【典例】甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设甲班原有人数是x人，则乙班原有人数是人，根据从乙班调人到甲班后两班人数正好相等，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设甲班原有人数是x人，列出方程为， 故选：C． 【跟踪专练1】六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 【跟踪专练2】某校六年级有学生150人，其中男生人数的与女生人数的相等，六年级男、女生各有多少人？ 【答案】男生有90人，女生有60人 【分析】本题考查了分数的应用，解方程. 设男生有人，那么女生有人，再根据男生人数的与女生人数的相等，列出方程，即可解答． 【详解】解：设男生有人，那么女生有人． （人 答：六年级男生有90人，女生有60人． 【题型12.一元一次方程的应用:行程问题】 【典例】一艘轮船从甲码头顺流航行2h到达乙码头，又从乙码头逆流航行2.5h返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度．设水流的速度为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程在水流行船问题中的应用，需熟练掌握“顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系”是掌握本题的关键． 根据顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度 ，利用路程相等即往返路程相同建立方程即可． 【详解】解：∵一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头， 且这艘轮船在静水中的速度是， ∴甲码头到乙码头的路程为， ∵从乙码头逆流航行返回甲码头， ∴乙码头到甲码头的路程为， ∴可列方程为． 故答案为： ． 【跟踪专练1】一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车的速度增加，则所用的时间减少，则a、b的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了行程问题(一元一次方程的应用)，解题关键是准确列出方程求解． 设原来的速度和所用的时间为未知数，等量关系为：原来的速度×原来用的时间=提速后的速度×提速后的时间，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设原来的速度为x，所用的时间为y， ， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练2】一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【答案】学校到部队的路程是13千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程． 设学校到部队的路程是x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设学校到部队的路程是x千米， 根据题意得：， 解得， 答：学校到部队的路程是13千米． 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，则，不符合题意． B、若，则，不符合题意． C、若时， 才成立，符合题意． D、若，则，不符合题意． 故选：C． 2．若是关于的一元一次方程，则的取值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， 且 故选：A． 3．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 4．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．定义新运算：对于任意有理数a，b都有，如：．若，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，根据新运算的法则，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：1． 6．已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及解一元一次方程，解题的关键是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将代入原方程，转化为关于的一元一次方程求解． 根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的方程；对该方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出的值；将求出的值与选项对比，确定答案． 【详解】解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 即． 系数化为1： 故选：B． 7．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 8．关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及相反数的概念，熟练掌握一元一次方程的求解步骤并利用相反数的性质确定方程的解是解题的关键． 先求出方程的解，根据解互为相反数，得到方程的解，代入后解关于的方程即可． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为． 将代入，得，即， 解得， 故答案为：． 9．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解得含义． 根据题意，先化简题目中的式子，然后根据无论为何值，方程的解总是，可以求得、的值，代入计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 10．已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出，然后再根据方程的解为非正整数，可得，进而得出的值为，，分别求出的值求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且能整除5， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 11．小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解一元一次方程，代数式求值等知识点，根据已知条件推出与的值是解题的关键． 根据有意义，可得，进而推出，依据题意可得，于是可得或，然后分类讨论求出与的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 依据题意，可得：， ∴或， 当时，， ∵， ∴，，不符合题意， ∴； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 12．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 13．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 解答题 14．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 15．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 【答案】(1)父亲现在的年龄为56岁 (2)8年 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设现在儿子岁，根据父子年龄差始终不变列方程求解即可； （2）设再过年父子两人可以称为“百岁父子”，根据父子两人年龄和为100岁列方程求解即可． 【详解】（1）解：设现在儿子岁，则父亲岁． 根据题意，得， 解得， 答：父亲现在的年龄为56岁． （2）解：设再过年父子两人年龄和为100岁． 则 解得 答：再求再过8年成为“百岁父子”． 16．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义等知识，，掌握相关知识是解题的关键．首先求出方程的解为，根据相反数的定义得到方程的解为，代入求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解是， 把代入方程，得：， 解得：． 17．关于x的方程的解比方程的解大2． (1)求方程的解； (2)求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）首先去括号，移项、合并同类项可得的值； （2）根据（1）中的值可得方程的解为，然后把的值代入可得关于的方程，再解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 解得． （2）由题意，得方程的解为， 把代入方程，得， 所以， 解得． 18．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 【答案】(1)千米，分钟 (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，在此题中，要联系生活实际．同时要会用线段图在草稿上画出示意图，找到正确的等量关系列出方程． （1）设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米，根据路程÷速度=时间列方程求解； （2）要想8人都能赶上火车，应考虑尽量让车走的同时，人也在走，先用小汽车把第一批人送到离火车站较近的某一处，让第一批人步行，与此同时第二批人也在步行中；接着小汽车再返回接第二批人，使第二批人与第一批同时到火车站，据此求解． 【详解】（1）解：设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米， 根据题意得， 解得． （小时）， （分钟）， 答：这四个人步行的距离为千米；这8个人全部到达火车站所需时间为分钟． （2）解：方案：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内4个人送到某地方后，让他们下车步行，小汽车立即返回接出现故障汽车内的4个人，使得两批人员最后同时到达车站．两批人员步行的距离相同．如图，D为无故障汽车人员下车地点，C为故障汽车人员再次上车地点． 设，根据题意得， 解得． 所以（小时）， 所以（分钟）． 因为， 所以此方案可行． 19．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元一次方程寒假预习核心讲义 1.核心技能突破：精准拿捏一元一次方程的定义、标准形式，熟练掌握解题全步骤，轻松搞定和差倍分、行程、工程类基础应用题，告别“解方程难”“应用题无从下手”的困扰。 2. 思维方法升级：学会从实际问题中抽象出方程模型，掌握“化繁为简”的转化思想，让复杂方程一步步变成“x=a”的简单形式，提升逻辑解题能力。 3. 学习习惯养成：搭建方程与生活的关联认知，感受数学的实用价值；培养严谨的解题步骤意识，减少计算失误，为下学期数学学习筑牢基础、建立自信。 预习必备 知识点梳理 1.一元一次方程的概念 2.一元一次方程的解法 3.一元一次方程的实际应用 4.高频易错点辨析 . 常考题型 精讲精炼 1.判断是否为方程 2.列方程 3.已知方程的解,求参数 4.等式的性质 5.判断是否为一元一次方程 6.解一元一次方程:合并同类项及移项 7.解一元一次方程:去括号 8.解一元一次方程:去分母 9.已知一元一次方程的解,求参数 10.绝对值方程 11.一元一次方程的应用:和差倍分问题 12.一元一次方程的应用:行程问题 强化巩固 题型通关 (19题) 【知识点01.一元一次方程的概念】 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 标准形式：ax+b=0（其中a0，a、b为常数） 示例：2x−3=0是一元一次方程；+2=3（含分式）、x2+1=5（次数为 2）都不是。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（也叫根）。 验证方法：将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等。 【知识点02.一元一次方程的解法(核心步骤)】 解一元一次方程的基本思路：将方程逐步转化为x=a的形式，具体步骤如下（按顺序灵活使用）： 步骤 具体操作 注意事项 去分母 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 1. 不要漏乘不含分母的项 2.分子是多项式时，去分母后要加括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1. 括号前是 “−”，去括号后括号内各项要变号 2. 括号前有系数，要乘括号内每一项 移项 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 移项要变号（口诀：移项变号，不移不变） 合并同类项 分别合并左右两边的同类项 系数相加，字母及次数不变，化为ax=b（a0）的形式 系数化为 1 方程两边同时除以未知数的系数a（或乘​） 注意系数的正负，避免乘除混淆 【知识点03.一元一次方程的实际应用】 列方程解应用题的一般步骤： 1.审：审题，找出已知量、未知量及等量关系； 2.设：设未知数（直接设或间接设）； 3.列：根据等量关系列出一元一次方程； 4.解：解这个方程； 5.验：检验方程的解是否符合实际意义； 6.答：写出答案。 常见题型及等量关系： 题型 核心等量关系 和差倍分 倍数关系：A=m×B；和差关系：A±B=C 行程问题（匀速） 路程 = 速度 × 时间；相遇问题：S甲+S乙=S总； 追及问题：S快-S慢=S差 工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间；总工作量常设为 1 【知识点04.高频易错点辨析】 易错点 易错示例 正确做法 移项忘变号 解方程 3x+2=5x−1时， 写成 3x+5x=−1+2 移项必须变号：3x−5x=−1−2 去分母漏乘常数项 解方程 −1= 时， 写成 3x−1=2x 两边乘 6，所有项都要乘：3x−6=2x 去括号符号错误 解方程 2−(x−3)=5时， 写成 2−x−3=5 括号前是 “−”，括号内变号：2−x+3=5 系数化为 1 时混淆乘除 解方程 −2x=4 时， 写成 x=4×2=8 两边除以系数−2：x=4÷(−2)=−2 【题型1.判断是否为方程】 【典例】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】是关于x的一元一次方程，则m的取值范围 ． 【跟踪专练2】下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【题型2.列方程】 【典例】列方程：x的相反数与6的倒数的和为3 【跟踪专练1】某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【题型3.已知方程的解,求参数】 【典例】已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 【跟踪专练1】若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【跟踪专练2】已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【题型4,等式的性质】 【典例】下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练1】如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是 （用含a，b的式子表示） 【跟踪专练2】若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【题型5.判断是否为一元一次方程】 【典例】已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【跟踪专练2】已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（    ） A．1 B．或1 C．5 D．或5 【题型6.解一元一次方程:合并同类项及移项】 【典例】方程的解为 ． 【跟踪专练1】已知方程的解为，则关于x的方程的解为（    ） A．1 B． C． D．5 【跟踪专练2】方程：的解为 ． 【题型7.解一元一次方程:去括号】 【典例】若，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【跟踪专练1】对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 【跟踪专练2】将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成若定义，例如，则中的值为（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【题型8.解一元一次方程:去分母】 【典例】将方程的两边同乘12，可得到，这种变形叫 ，其依据是 ． 【跟踪专练1】若与互为相反数，则（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】规定关于x的一元一次方程的解为，称该方程是“郡园方程”，如：的解为，该方程是“郡园方程”．若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，则 ． 【题型9.已知一元一次方程的解,求参数】 【典例】若关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【跟踪专练1】已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【跟踪专练2】如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【题型10.解绝对值方程】 【典例】如果，那么 ． 【跟踪专练1】在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移2个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C． D．1 【跟踪专练2】关于的方程的解满足，则常数的值为 ． 【题型11.一元一次方程的应用:和差倍分问题】 【典例】甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【跟踪专练2】某校六年级有学生150人，其中男生人数的与女生人数的相等，六年级男、女生各有多少人？ 【题型12.一元一次方程的应用:行程问题】 【典例】一艘轮船从甲码头顺流航行2h到达乙码头，又从乙码头逆流航行2.5h返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度．设水流的速度为，则可列方程为 ． 【跟踪专练1】一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车的速度增加，则所用的时间减少，则a、b的关系是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若是关于的一元一次方程，则的取值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 3．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 4．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 5．定义新运算：对于任意有理数a，b都有，如：．若，则x的值为 ． 6．已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）． A．4 B． C．2 D． 7．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 8．关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 9．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 10．已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 11．小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则 ． 12．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 13．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 解答题 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日．若父子两人的年龄加起来是100岁，则称为“百岁父子”．已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲是儿子年龄的2倍，请解决如下问题： (1)现在父亲多少岁？ (2)再过几年，父子两人可以称为“百岁父子”？ 16．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 17．关于x的方程的解比方程的解大2． (1)求方程的解； (2)求m的值． 18．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 19．如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $