专题01 分式（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题01 分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 分式、最简分式、最简公分母 题型02 分式有无意义的条件 题型03 分式的值为0的条件 题型04 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型05 分式的混合运算 题型06 分式化简求值 题型07 分式方程的定义 题型08 解分式方程 题型09 根据分式方程根的情况求参数 题型10 分式方程的实际应用 题型11 分式运算有关的规律性问题 题型12 分式方程有关的规律性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与有意义条件 理解分式的定义，能判断分式有无意义及分式值为零的条件 基础必考点，常以填空题或选择题形式考查分母不为零及分子为零的条件 分式的基本性质与约分、通分 掌握分式的基本性质，能熟练进行约分、通分，化为最简分式 高频易错点，容易忽略符号变化或因式分解不彻底，常出现在化简求值题中 分式的乘除与乘方 能准确进行分式的乘法、除法及乘方运算，并化为最简结果 中档计算题常考，需注意运算顺序及结果化简，易与加减运算混淆 分式的加减（同分母与异分母） 掌握同分母分式加减法则，能正确进行异分母分式的通分与加减运算 综合计算题中的核心步骤，常与分式方程、化简求值结合，易错点是最简公分母找错 分式方程的解法 理解分式方程的概念，掌握去分母化为整式方程的方法，并检验根 期末必考点，常以解答题形式出现，易忽略检验增根，导致失分 分式方程的应用 能根据实际问题列出分式方程，并求解检验，解决行程、工程、销售等问题 压轴题型之一，常考列方程及检验合理性，易在等量关系建立和增根检验上出错 复习建议： · 分层复习：可以按照此列表的顺序进行复习，从“概念”到“运算”再到“应用”，层层递进，巩固基础。 · 重点突破：针对“分式运算”和“分式方程应用”这两个核心大题考点，需要进行专项训练，提升熟练度和准确率。 · 规避失误：时刻牢记“分式值为零的条件”和“解分式方程必须检验”这两个最容易失分的关键环节，养成良好解题习惯。 知识点01 分式的概念与相关条件 定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义。 三个重要条件： 1. 分式有意义：分母 ≠ 0 2. 分式无意义：分母 = 0 3. 分式值为0：分子 = 0 且 分母 ≠ 0 知识点02 分式的基本性质 性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。 示例： = = （分子分母同乘2） = = x-1（分子分母同除以x+1，前提x ≠ -1） 易错点： 1. “都”字漏掉：只乘分子或只乘分母。 2. “同一个”弄错：分子乘2，分母乘3，改变分式值。 3. “不为0”忽略：同乘的整式可能为0导致错误。 4. 符号处理错误：分子分母同时变号时混淆。如 = 。 知识点03 分式的约分与最简分式 约分：利用分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式（不能再约分）。 约分步骤： 1. 系数：约去系数的最大公约数。 2. 字母：约去相同字母的最低次幂。 3. 多项式：先分解因式，再找公因式。 示例： = （系数约3，a约a2，b约b2） = = （先分解因式再约去x-2） 易错点： 1. 只约系数忘约字母，或只约字母忘约系数。 2. 分子或分母是多项式时未分解因式直接约分。 3. 约分不彻底，结果不是最简分式。 4. 误以为 = 0，实际等于1（x+y ≠ 0时）。 知识点04 分式的通分 通分：将几个异分母分式化为同分母分式的过程，通常取最简公分母。 最简公分母的确定： 1. 系数：取各分母系数的最小公倍数。 2. 因式：取各分母所有因式的最高次幂。 示例： - 分式 与 的最简公分母为6x2 - = 与 的最简公分母为(x+1)(x-1) 易错点： 1. 找最简公分母时遗漏因式或系数求错。 2. 通分后分子忘乘相应的倍数。 3. 将分母扩大时，分子未同步扩大。 知识点05 分式的运算 1. 分式的乘除: ; = 示例： = 2. 分式的加减: ; 示例： - = ; + = 3. 分式的混合运算 按先乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行。 易错点： 1. 分数线有括号作用：分子是多项式时，相减忘加括号。如 - = = ，若写 = 错误。 2. 约分时对分式整体结构认识不清，只约部分。 3. 结果未化为最简分式。 4. 乘除运算中，除法转化为乘法时忘取倒数。 知识点06 分式方程的概念与解法 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2、分式方程的解法 (1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根； (3)检验，把解得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果最简公分母不为0，则它是原分式方程的根． 3、分式方程的增根(1).增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程分母为0，就会产生增根．也就是说增根是分式方程转化后的整式方程的根，而不是原分式方程的根． (2).分式方程的增根有两个特征： ①增根使分母为0； ②增根是分式方程化成的整式方程的根． 易错点： 1. 漏乘不含分母的项：方程中若有常数项，去分母时容易漏乘。 2. 忘记检验：检验是解分式方程的必要步骤，否则可能混入增根。 3. 增根概念不清：增根是使最简公分母为0的解，不是原分式方程的解，必须舍去。 4. 分子是多项式时去分母括号错误：如 = 2去分母得x-1=2x，而不是x-1=2。 知识点07 分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤（审、设、列、解、验、答）： 1. 审：分析题意，找等量关系。 2. 设：设未知数（直接设或间接设）。 3. 列：根据等量关系列方程。 4. 解：解分式方程。 5. 验：检验是否是原方程的解 + 是否符合实际意义。 6. 答：写答案。 常见模型： 类型 基本关系 等量参考 行程问题 路程=速度×时间 时间相等、路程相等 工程问题 工作量=效率×时间 工作量常设为1 利润问题 利润=售价-进价 单价相等、总价相等 购物问题 总价=单价×数量 数量相等、总价相等 示例（工程问题）： 甲队单独完成工程需60天。甲队先做20天，剩下的甲乙合作24天完成。求乙队单独完成需多少天？ 解：设乙队单独完成需x天。 解得x=90，经检验符合题意。 易错点： 1. 忽略双重检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际（如人数为整数、时间正数等）。 2. 单位不统一：如速度单位千米/小时与时间单位分钟混用。 3. 等量关系找错：特别是工程问题中“合作时间”与“单独工作时间”混淆。 知识点08 分式方程增根与无解问题（拓展） 增根：去分母后整式方程的解使最简公分母为0，不是原方程的解。 无解：两种情况—— 1. 去分母后的整式方程无解； 2. 整式方程有解，但所有解都是增根。 已知增根求参数步骤： 1. 化分式方程为整式方程。 2. 令最简公分母=0，得增根的值。 3. 将增根代入整式方程求参数。 示例： 若关于x的方程 + = 1有增根x=3，求a。 - 去分母得整式方程，将x=3代入可求a。 易错点： 1. 混淆“有增根”和“无解”：无解包含但不限于有增根的情况。 2. 未考虑最简公分母的多个零点（可能多个增根）。 题型一 分式、最简分式、最简公分母 解｜题｜技｜巧 分式分母含字母；最简分式分子分母无公因式，需约分；最简公分母取各分母系数最小公倍数与所有因式最高次幂的积，通分前先分解分母，避免漏乘或重复。 【典例1】代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】分式与的最简公分母是________． 题型二 分式有无意义的条件 解｜题｜技｜巧 分式有意义则分母不为零；无意义则分母为零，不考虑分子；根据分母列方程或不等式求解，注意分母为多项式时需整体考虑，不能只取部分因式为零，结果要检验。 【典例1】当分式有意义时，满足的条件是________． 【变式1】若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【变式2】请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 题型三 分式的值为0的条件 解｜题｜技｜巧 分式值为0需分子为零且分母不为零；先令分子等于0解方程，再代入分母检查是否非零，若分母为零则舍去该解，注意分子分母有公因式时先约分再判断，避免增根。 【典例1】若分式的值为零，则______． 【变式1】分式时，_________． 【变式2】若分式的值为0，则x的值是______． 题型四 利用分式的基本性质判断分式值的变化 解｜题｜技｜巧 分式分子分母同乘非零整式值不变；判断变化看分子分母运算是否对应，排除乘零情况；可代入特殊值快速验证，注意符号变化与整体倍分关系，避免只看部分忽略整体。 【典例1】下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【变式2】把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 题型五 分式的混合运算 解｜题｜技｜巧 先算乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意通分与约分，结果化为最简分式或整式；运算中可先分解因式再约分，避免盲目通分，最后检验分母是否为零。 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型六 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 先化到最简分式，再代入数值；代入时注意分母不为零，负数添括号，整体代入可简化；条件如x+y=3可变形后代入，避免复杂计算，结果需约分，检验是否合理。 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【变式1】，求代数式的值． 【变式2】以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． 题型七 分式方程的定义 解｜题｜技｜巧 分母中含未知数的方程是分式方程；判断看分母字母是否未知，注意分母可为零但方程中需排除增根，整式方程与分式方程区别在于分母，解前先找最简公分母。 【典例1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型八 解分式方程 解｜题｜技｜巧 去分母乘最简公分母化为整式方程，解后必须检验代入最简公分母是否为零；零则增根舍去；注意符号变化与移项，避免漏乘常数项，无解情况包括整式方程无解或解全为增根。 【典例1】解方程： (1) (2) 【变式1】解分式方程： (1)； (2)． 【变式2】当_____时，与互为相反数． 题型九 根据分式方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 先将分式方程化为整式方程，解用参数表示，再根据根的正负、整数或增根条件列不等式或方程；注意分母不为零与增根排除，常需分类讨论，最后检验参数范围。 【典例1】若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式1】若关于x的方程无解，则m的值是（   ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【变式2】关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 题型十 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 审题设未知数，根据等量关系列分式方程，解后双重检验：是否满足方程且符合实际意义；注意单位统一与结果合理性，常涉及工程、行程或销售问题，答案要带单位。 【典例1】小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． (1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． (2)有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 【变式1】高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 【变式2】商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 题型十一 分式运算有关的规律性问题 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，寻找重复模式，通常含裂项相消或循环规律；将复杂分式拆成简单分式差，累加时中间项抵消，注意首尾项与分母变化，归纳通项公式，验证n=1时成立。 【典例1】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【变式1】设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A．4049 B．4051 C． D． 题型十二 分式方程有关的规律性问题 解｜题｜技｜巧 观察方程形式，常发现根与系数或序号关系，先解前几个特例找规律，猜想通解表达式；验证时代入方程，利用分式方程解法，注意增根与定义域，可归结为数列或递推问题。 【典例1】已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】现有一列数：，，， ，，（为正整数），规定， ，， 若．则的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为．则用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 4．如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 5．已知，那么__________． 6．若分式的值为零，则x的值是______． 7．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： …………① …………② …………③ …………④ 乙同学： ……………………① ……………………② ………………………………③ ……………………④ (1)老师发现这两位同学的解答都有错误；甲同学的解答从第 步开始出现错误（填序号）；乙同学的解答从第 步开始出现错误（填序号）； (2)请给出此题正确解答过程． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 11．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 12．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 14．若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 15．定义新运算“”：，如果，那么的值为_____． 16．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？ 17．为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是14000元和7000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.4倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多300本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 分式、最简分式、最简公分母 题型02 分式有无意义的条件 题型03 分式的值为0的条件 题型04 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型05 分式的混合运算 题型06 分式化简求值 题型07 分式方程的定义 题型08 解分式方程 题型09 根据分式方程根的情况求参数 题型10 分式方程的实际应用 题型11 分式运算有关的规律性问题 题型12 分式方程有关的规律性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念与有意义条件 理解分式的定义，能判断分式有无意义及分式值为零的条件 基础必考点，常以填空题或选择题形式考查分母不为零及分子为零的条件 分式的基本性质与约分、通分 掌握分式的基本性质，能熟练进行约分、通分，化为最简分式 高频易错点，容易忽略符号变化或因式分解不彻底，常出现在化简求值题中 分式的乘除与乘方 能准确进行分式的乘法、除法及乘方运算，并化为最简结果 中档计算题常考，需注意运算顺序及结果化简，易与加减运算混淆 分式的加减（同分母与异分母） 掌握同分母分式加减法则，能正确进行异分母分式的通分与加减运算 综合计算题中的核心步骤，常与分式方程、化简求值结合，易错点是最简公分母找错 分式方程的解法 理解分式方程的概念，掌握去分母化为整式方程的方法，并检验根 期末必考点，常以解答题形式出现，易忽略检验增根，导致失分 分式方程的应用 能根据实际问题列出分式方程，并求解检验，解决行程、工程、销售等问题 压轴题型之一，常考列方程及检验合理性，易在等量关系建立和增根检验上出错 复习建议： · 分层复习：可以按照此列表的顺序进行复习，从“概念”到“运算”再到“应用”，层层递进，巩固基础。 · 重点突破：针对“分式运算”和“分式方程应用”这两个核心大题考点，需要进行专项训练，提升熟练度和准确率。 · 规避失误：时刻牢记“分式值为零的条件”和“解分式方程必须检验”这两个最容易失分的关键环节，养成良好解题习惯。 知识点01 分式的概念与相关条件 定义：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义。 三个重要条件： 1. 分式有意义：分母 ≠ 0 2. 分式无意义：分母 = 0 3. 分式值为0：分子 = 0 且 分母 ≠ 0 知识点02 分式的基本性质 性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。 示例： = = （分子分母同乘2） = = x-1（分子分母同除以x+1，前提x ≠ -1） 易错点： 1. “都”字漏掉：只乘分子或只乘分母。 2. “同一个”弄错：分子乘2，分母乘3，改变分式值。 3. “不为0”忽略：同乘的整式可能为0导致错误。 4. 符号处理错误：分子分母同时变号时混淆。如 = 。 知识点03 分式的约分与最简分式 约分：利用分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式（不能再约分）。 约分步骤： 1. 系数：约去系数的最大公约数。 2. 字母：约去相同字母的最低次幂。 3. 多项式：先分解因式，再找公因式。 示例： = （系数约3，a约a2，b约b2） = = （先分解因式再约去x-2） 易错点： 1. 只约系数忘约字母，或只约字母忘约系数。 2. 分子或分母是多项式时未分解因式直接约分。 3. 约分不彻底，结果不是最简分式。 4. 误以为 = 0，实际等于1（x+y ≠ 0时）。 知识点04 分式的通分 通分：将几个异分母分式化为同分母分式的过程，通常取最简公分母。 最简公分母的确定： 1. 系数：取各分母系数的最小公倍数。 2. 因式：取各分母所有因式的最高次幂。 示例： - 分式 与 的最简公分母为6x2 - = 与 的最简公分母为(x+1)(x-1) 易错点： 1. 找最简公分母时遗漏因式或系数求错。 2. 通分后分子忘乘相应的倍数。 3. 将分母扩大时，分子未同步扩大。 知识点05 分式的运算 1. 分式的乘除: ; = 示例： = 2. 分式的加减: ; 示例： - = ; + = 3. 分式的混合运算 按先乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行。 易错点： 1. 分数线有括号作用：分子是多项式时，相减忘加括号。如 - = = ，若写 = 错误。 2. 约分时对分式整体结构认识不清，只约部分。 3. 结果未化为最简分式。 4. 乘除运算中，除法转化为乘法时忘取倒数。 知识点06 分式方程的概念与解法 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2、分式方程的解法 (1)去分母，把分式方程转化为整式方程； (2)解这个整式方程，求得方程的根； (3)检验，把解得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果最简公分母不为0，则它是原分式方程的根． 3、分式方程的增根(1).增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程分母为0，就会产生增根．也就是说增根是分式方程转化后的整式方程的根，而不是原分式方程的根． (2).分式方程的增根有两个特征： ①增根使分母为0； ②增根是分式方程化成的整式方程的根． 易错点： 1. 漏乘不含分母的项：方程中若有常数项，去分母时容易漏乘。 2. 忘记检验：检验是解分式方程的必要步骤，否则可能混入增根。 3. 增根概念不清：增根是使最简公分母为0的解，不是原分式方程的解，必须舍去。 4. 分子是多项式时去分母括号错误：如 = 2去分母得x-1=2x，而不是x-1=2。 知识点07 分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤（审、设、列、解、验、答）： 1. 审：分析题意，找等量关系。 2. 设：设未知数（直接设或间接设）。 3. 列：根据等量关系列方程。 4. 解：解分式方程。 5. 验：检验是否是原方程的解 + 是否符合实际意义。 6. 答：写答案。 常见模型： 类型 基本关系 等量参考 行程问题 路程=速度×时间 时间相等、路程相等 工程问题 工作量=效率×时间 工作量常设为1 利润问题 利润=售价-进价 单价相等、总价相等 购物问题 总价=单价×数量 数量相等、总价相等 示例（工程问题）： 甲队单独完成工程需60天。甲队先做20天，剩下的甲乙合作24天完成。求乙队单独完成需多少天？ 解：设乙队单独完成需x天。 解得x=90，经检验符合题意。 易错点： 1. 忽略双重检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际（如人数为整数、时间正数等）。 2. 单位不统一：如速度单位千米/小时与时间单位分钟混用。 3. 等量关系找错：特别是工程问题中“合作时间”与“单独工作时间”混淆。 知识点08 分式方程增根与无解问题（拓展） 增根：去分母后整式方程的解使最简公分母为0，不是原方程的解。 无解：两种情况—— 1. 去分母后的整式方程无解； 2. 整式方程有解，但所有解都是增根。 已知增根求参数步骤： 1. 化分式方程为整式方程。 2. 令最简公分母=0，得增根的值。 3. 将增根代入整式方程求参数。 示例： 若关于x的方程 + = 1有增根x=3，求a。 - 去分母得整式方程，将x=3代入可求a。 易错点： 1. 混淆“有增根”和“无解”：无解包含但不限于有增根的情况。 2. 未考虑最简公分母的多个零点（可能多个增根）。 题型一 分式、最简分式、最简公分母 解｜题｜技｜巧 分式分母含字母；最简分式分子分母无公因式，需约分；最简公分母取各分母系数最小公倍数与所有因式最高次幂的积，通分前先分解分母，避免漏乘或重复。 【典例1】代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 【变式1】下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“分子与分母没有公因式的分式是最简分式”，对各选项分别判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：分母无法分解因式，分子与没有公因式，不能约分，所以是最简分式． 对选项B：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项C：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项D：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 【变式2】分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可． 【详解】解：分式与的分母系数分别为和，最小公倍数为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，因此最简公分母是． 题型二 分式有无意义的条件 解｜题｜技｜巧 分式有意义则分母不为零；无意义则分母为零，不考虑分子；根据分母列方程或不等式求解，注意分母为多项式时需整体考虑，不能只取部分因式为零，结果要检验。 【典例1】当分式有意义时，满足的条件是________． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，根据条件列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义， 分母， 解得． 【变式1】若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 【变式2】请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据分式有意义的条件列式，求解后选取符合条件的的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 使在实数范围内有意义的的值可以为． 题型三 分式的值为0的条件 解｜题｜技｜巧 分式值为0需分子为零且分母不为零；先令分子等于0解方程，再代入分母检查是否非零，若分母为零则舍去该解，注意分子分母有公因式时先约分再判断，避免增根。 【典例1】若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 故答案为． 【变式1】分式时，_________． 【答案】 【分析】直接利用分式的值为，则分子为，且分母不为，进而得出答案． 【详解】解：分式， ，且， 解得． 【变式2】若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为即分子为且分母不为，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为，则且， 解得． 题型四 利用分式的基本性质判断分式值的变化 解｜题｜技｜巧 分式分子分母同乘非零整式值不变；判断变化看分子分母运算是否对应，排除乘零情况；可代入特殊值快速验证，注意符号变化与整体倍分关系，避免只看部分忽略整体。 【典例1】下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与分式乘方运算，根据相关运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 【变式1】若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 【变式2】把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【详解】解：将、同时扩大为原来的3倍后，得到新分式， 所以新分式的值与原分式相等，即分式的值不改变． 题型五 分式的混合运算 解｜题｜技｜巧 先算乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意通分与约分，结果化为最简分式或整式；运算中可先分解因式再约分，避免盲目通分，最后检验分母是否为零。 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可； （2）先把括号内合并，再将除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘多项式计算，再合并同类项即可； （2）根据分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先对分母因式分解得到，以此确定最简公分母，将两个分式通分后合并分子，再对分子因式分解并约去分子分母的公因式，最终得到最简分式； （）先把括号内的转化为分母为的分式，与合并化简，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，最后约去公因式得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 先化到最简分式，再代入数值；代入时注意分母不为零，负数添括号，整体代入可简化；条件如x+y=3可变形后代入，避免复杂计算，结果需约分，检验是否合理。 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【变式1】，求代数式的值． 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 【变式2】以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)解答过程见解析，值为10 【分析】（1）根据第②步分子相减时，去括号没有改变符号可得答案. （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解：上面的计算过程从第②步开始出现错误. （2）解： ， 当或时，分式无意义，取， 则原式. 题型七 分式方程的定义 解｜题｜技｜巧 分母中含未知数的方程是分式方程；判断看分母字母是否未知，注意分母可为零但方程中需排除增根，整式方程与分式方程区别在于分母，解前先找最简公分母。 【典例1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式1】下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 【变式2】在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 题型八 解分式方程 解｜题｜技｜巧 去分母乘最简公分母化为整式方程，解后必须检验代入最简公分母是否为零；零则增根舍去；注意符号变化与移项，避免漏乘常数项，无解情况包括整式方程无解或解全为增根。 【典例1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，当时， ∴原分式方程无解； （2）解：， ， ， ， ， 经检验，当时， ∴是分式方程的解． 【变式1】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的根． （2）解： 去分母得到， 解得， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． 【变式2】当_____时，与互为相反数． 【答案】 【分析】根据相反数的定义可得，解分式方程并检验即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母并展开得：， 解得：， 把代入得， ∴当时，与互为相反数． 题型九 根据分式方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 先将分式方程化为整式方程，解用参数表示，再根据根的正负、整数或增根条件列不等式或方程；注意分母不为零与增根排除，常需分类讨论，最后检验参数范围。 【典例1】若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，用含的代数式表示，再根据方程的解为正数且分母不为零，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：给方程两边同乘去分母，得 ， 整理得， 解得． ∵方程的解为正数，且分式方程分母不能为零， ∴ 解第一个不等式得，解第二个不等式得， ∴的取值范围是且． 【变式1】若关于x的方程无解，则m的值是（   ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，再结合增根条件求解m即可． 【详解】解：原方程整理，得， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 展开整理得， ∵原分式方程无解， ∴，即， 将代入， 得， 解得， 因此选：C． 【变式2】关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 将关于y的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴或或， 解得或或或或或， 又∵分式方程的增根是， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴符合条件的整数a的和为． 题型十 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 审题设未知数，根据等量关系列分式方程，解后双重检验：是否满足方程且符合实际意义；注意单位统一与结果合理性，常涉及工程、行程或销售问题，答案要带单位。 【典例1】小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． (1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． (2)有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 【答案】(1)小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为 (2)小李跑步的速度至少为 【分析】（1）设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）先求出小李骑自行车出发所用的时间，从而得出从出发到上班所用的时间，设小李跑步的速度为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则． 答：小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为． （2）解：小李骑自行车出发所用的时间为． 因为小李每天出发的时间都相同， 所以从出发到上班所用的时间为． 设小李跑步的速度为． 由题意，得， 解得． 答：小李跑步的速度至少为． 【变式1】高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 【答案】(1)乙工程队的施工速度快 (2)若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程 【分析】（1）设乙队单独施工需x个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立分式方程求解； （2）设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设乙队单独施工需x个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，且， ∴乙工程队的施工速度快； （2）解：设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 答：若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程． 【变式2】商场购进A、B两种儿童玩具，每个A玩具进价比每个B玩具进价多2.5元，用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍． (1)求A、B两种玩具进价分别为多少元？ (2)若A玩具每个售价为13元，B玩具每个售价为9.5元，商场购进B玩具的数量比购进A玩具的数量的2倍还多4个，两种玩具全部售出后，商场要使总的利润超过120元，则最少购进A玩具多少个？ 【答案】(1)A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元 (2)17个 【分析】（1）设B玩具进价为元，则A玩具进价为元，结合用200元购进A玩具的数量是用75元购进B玩具数量的2倍，再建立方程求解即可； （2）设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，结合总的利润超过120元，再建立不等式求解即可. 【详解】（1）解：设B玩具进价为元，则A玩具进价为元， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴A种玩具进价为10元，B种玩具的进价为7.5元． （2）解：设购进A玩具个，则购进B玩具数量为个，由题意得： 解得 的最小值是17 所以最少购进A玩具17个． 题型十一 分式运算有关的规律性问题 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，寻找重复模式，通常含裂项相消或循环规律；将复杂分式拆成简单分式差，累加时中间项抵消，注意首尾项与分母变化，归纳通项公式，验证n=1时成立。 【典例1】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值． 【详解】解：∵， ∴ 以为循环节3次一循环，周期为 ∵， ∴． 【变式1】设，则的整数部分等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整数问题的综合应用．由于， 由此可以得到， 然后即可求出的整数部分． 【详解】解：当，3，…，2011， 因为， 所以， ， …， ， ． 于是有， 故的整数部分等于4． 故选：A． 【变式2】对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A．4049 B．4051 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；通过计算发现对于正数 ，有 ．将所求和的项配对，其中 到 与 到 形成2024对，每对和为1，再加上单独的 ，即可得到总和． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 所求和的项中， 到 与 到 对应成对，共2024对（ 从2到2025），每对和为1， ∴ 这些对的和为 ． 又 ∵ ， ∴ 总和为 ． 故选：C． 题型十二 分式方程有关的规律性问题 解｜题｜技｜巧 观察方程形式，常发现根与系数或序号关系，先解前几个特例找规律，猜想通解表达式；验证时代入方程，利用分式方程解法，注意增根与定义域，可归结为数列或递推问题。 【典例1】已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 【变式1】对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④． 【详解】解：∵， 当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴ ，故④错误， 综上，正确的有2个． 故选：C． 【变式2】现有一列数：，，， ，，（为正整数），规定， ，， 若．则的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，通过计算，，，，并观察规律得到是解题的关键． 根据条件， ，， ，求出，，， 由此得出，根据，化简在解方程即可求出n的值． 【详解】 ， ，， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ； ， 故选：C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握“分式是分母中含有字母的代数式”是解题的关键． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母，以此区分分式与整式． 【详解】解：选项A：分母为，含有字母，是分式； 选项B：分母为，是常数，不是分式； 选项C：分母为，是常数，不是分式； 选项D：分母为，是常数，不是分式； 故选：A． 2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为．则用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：A． 3．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分子分母都约去公因式即可． 【详解】解：∵， 分子分母同时除以， ∴． 故选：C． 4．如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质．将和都变为原来的一半代入分式，计算新分式的值并与原分式比较. 【详解】解：， 即分式的值变为原来的2倍 故选：B． 5．已知，那么__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即． 6．若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 7．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： …………① …………② …………③ …………④ 乙同学： ……………………① ……………………② ………………………………③ ……………………④ (1)老师发现这两位同学的解答都有错误；甲同学的解答从第 步开始出现错误（填序号）；乙同学的解答从第 步开始出现错误（填序号）； (2)请给出此题正确解答过程． 【答案】(1)②，① (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据异分母分式的加法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：甲同学的解答从第②步开始出现错误，错误原因是后一个分式通分时，分子漏乘；乙同学的解答从第①步开始出现错误，错误原因是后一个分式分母变为原分母的相反数，整个分式的符号未改变， 故答案为：②，①； （2）解： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则及完全平方公式的应用，根据相关法则逐一计算各选项判断正误即可． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故A选项正确； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B选项错误； ∵完全平方公式为， ∴，故C选项错误； ∵分式的乘方，分子分母分别乘方， ∴，故D选项错误． 故选：A． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，解一元一次不等式． 先通过去分母求解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零的条件，列不等式求参数范围． 【详解】解：， 去分母，得， 解得：； ∵分式方程的解为正数， ∴， 即， 在分式方程中，分母，， 即， 故，得出， 综上，的取值范围是且． 故选：D． 10．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 11．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 12．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 14．若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，先解分式方程，用表示，再根据为非负数和分母不为零求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（），得， 化简得， 移项得， 解得． 由，得，即； 由，得，即． 故的取值范围是且 故答案为：且． 15．定义新运算“”：，如果，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新运算的定义，将方程 转化为分式方程求解，并检验分母是否为零即可． 【详解】解：由题意，． 解得 ． 检验：当 时，分母 ，符合要求． 故答案为：． 16．某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？ 【答案】0.6万平方米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积是x万平方米，则实际每天绿化的面积是万平方米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 即原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 17．为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是14000元和7000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.4倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多300本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 【答案】“红色教育”的订购单价是14元，“传统文化”经典读本的单价是10元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设“传统文化”经典读本的单价是元，则“红色教育”经典读本的单价是元． 由题意得：， 化简得：， ， 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． “红色教育”的订购单价是元． 答：“红色教育”的订购单价是14元，“传统文化”经典读本的单价是10元． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $