专题01分式及其基本性质同步讲义（知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题01分式及其基本性质同步讲义 【题型01 分式的判断】............................................3 【题型02 分式的规律性问题】......................................3 【题型03 按要求构造分式】........................................4 【题型04 分式无意义的条件】......................................4 【题型05 分式有意义的条件】......................................5 【题型06 分式值为零的条件】......................................5 【题型07 分式的求值】............................................5 【题型08 分式值为正(负)的取值范围】...............................6 【题型09 分式值为整数的整数值求解】..............................6 【题型10 分式变形的判断与条件】..................................6 【题型11 由分式的性质判断分式值的变化】..........................7 【题型12 分式分子分母的系数化归】................................7 【题型13 约分与最简分式】........................................8 【题型14 最简公分母与通分】......................................8 【 解答题5题】...................................................8 ★知识梳理★ 知识点01:分式的概念 1. 定义 形如 （A、B 是整式，且 B 中含有字母）的式子，叫做分式。 其中：A 叫做分式的分子 B 叫做分式的分母 2. 三要素（判断依据） 形式为 的商式 A、B 均为整式 分母 B 中必须含有字母（与整式的根本区别） 3. 有理式 整式与分式统称为有理式。 知识点02:分式有意义、无意义及值为零的条件 1. 分式有意义 分母 B0（分母的值不为 0）。 例：分式 有意义 ⟺x−20⟺x2 2. 分式无意义 分母 B=0（分母的值为 0）。例：分式 无意义 ⟺x−2=0⟺x=2 3. 分式的值为零 分子 A=0 且 分母 B0（两个条件需同时满足）。 例：分式 x的值为 0 ⟺⟺x=1 4. 重要提醒 (1)分式有无意义只与分母有关，与分子无关。 (2)讨论分式有意义 / 无意义时，必须对原分式讨论，不能先化简。 (3)无特殊说明时，默认分式有意义（即分母不为 0）。 知识点03:分式的基本性质 1. 内容 分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 2. 字母表示 3. 核心注意事项 (1)同时性：分子、分母必须同时乘（或除以）。 (2)同一性：乘（或除以）的必须是同一个整式。 (3)非零性：所乘（或除以）的整式 C 不能为 0（此为关键约束）。 4. 符号法则（性质推论） 改变分子、分母、分式本身任意两个的符号，分式的值不变。 知识点04:分式的约分（性质应用） 1. 定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，叫做约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 约分的目标：将分式化为最简分式或整式。 3. 约分步骤 (1)对分子、分母分别因式分解 (2)找出分子、分母的公因式 (3)约去公因式，得到最简分式 知识点05:分式的通分（性质应用） 1. 定义 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式，叫做通分。 2. 最简公分母 通分的关键是确定最简公分母，即取各分母所有因式的最高次幂的积。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列式子中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）． 【跟踪专练2】在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是_______． 【跟踪专练2】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知：，_____． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知三张卡片上分别写着，，（其中为变量），请从中任意选两张组成一个分式：______． 【跟踪专练2】《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为0．代数式____________． 【跟踪专练2】已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_____． 【跟踪专练3】下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则实数的取值范围是_____． 【跟踪专练1】若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分式有意义，x的取值范围是__________；分式的值为0，则x的值为__________． 【跟踪专练3】使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为零，则x的值为______． 【跟踪专练1】当时，下列分式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当__________时，分式的值等于零． 【跟踪专练3】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B．5 C． D．0 【题型7.分式的求值】 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】若，则分式的值为_____． 【跟踪专练3】下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【题型8.分式值为正(负)的取值范围】 【典例】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【跟踪专练1】若分式的值为正数，则的取值范围是_________． 【跟踪专练2】已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【跟踪专练3】已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【题型9.分式值为整数的整数值求解】 【典例】若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 【跟踪专练1】对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练2】能使分式值为整数的整数有______个． 【跟踪专练3】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【题型10.分式变形的判断与条件】 【典例】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则“？”所代表的分子是__________． 【跟踪专练2】下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】根据分式的基本性质填空：．______ 【题型11.由分式的性质判断分式值的变化】 【典例】将分式中的，的值同时扩大为原来的6倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【跟踪专练1】将x克蔗糖完全溶于y克水配制成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（    ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【跟踪专练2】若把分式（a、b均不为0且）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【跟踪专练3】在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【题型12.分式分子分母的系数化归】 【典例】不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【跟踪专练3】若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 【题型13.约分与最简分式】 【典例】给出下列3个分式：①，②，③．其中是最简分式有______（填写出所有符合要求的分式的序号）． 【跟踪专练1】下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：＝_____． 【跟踪专练3】若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【题型14.最简公分母与通分】 【典例】对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【跟踪专练1】把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【跟踪专练2】把分式进行通分时，最简公分母为____． 【跟踪专练3】已知，，，下列计算结果正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答题】 1．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 2．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 4．约分： (1)； (2)． 5．通分： (1)，； (2)，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01分式及其基本性质同步讲义 【题型01 分式的判断】............................................3 【题型02 分式的规律性问题】......................................4 【题型03 按要求构造分式】........................................6 【题型04 分式无意义的条件】......................................8 【题型05 分式有意义的条件】.....................................10 【题型06 分式值为零的条件】.....................................11 【题型07 分式的求值】...........................................13 【题型08 分式值为正(负)的取值范围】..............................15 【题型09 分式值为整数的整数值求解】.............................17 【题型10 分式变形的判断与条件】.................................19 【题型11 由分式的性质判断分式值的变化】.........................21 【题型12 分式分子分母的系数化归】...............................23 【题型13 约分与最简分式】.......................................24 【题型14 最简公分母与通分】.....................................26 【 解答题5题】..................................................29 ★知识梳理★ 知识点01:分式的概念 1. 定义 形如 （A、B 是整式，且 B 中含有字母）的式子，叫做分式。 其中：A 叫做分式的分子 B 叫做分式的分母 2. 三要素（判断依据） 形式为 的商式 A、B 均为整式 分母 B 中必须含有字母（与整式的根本区别） 3. 有理式 整式与分式统称为有理式。 知识点02:分式有意义、无意义及值为零的条件 1. 分式有意义 分母 B0（分母的值不为 0）。 例：分式 有意义 ⟺x−20⟺x2 2. 分式无意义 分母 B=0（分母的值为 0）。例：分式 无意义 ⟺x−2=0⟺x=2 3. 分式的值为零 分子 A=0 且 分母 B0（两个条件需同时满足）。 例：分式 x的值为 0 ⟺⟺x=1 4. 重要提醒 (1)分式有无意义只与分母有关，与分子无关。 (2)讨论分式有意义 / 无意义时，必须对原分式讨论，不能先化简。 (3)无特殊说明时，默认分式有意义（即分母不为 0）。 知识点03:分式的基本性质 1. 内容 分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 2. 字母表示 3. 核心注意事项 (1)同时性：分子、分母必须同时乘（或除以）。 (2)同一性：乘（或除以）的必须是同一个整式。 (3)非零性：所乘（或除以）的整式 C 不能为 0（此为关键约束）。 4. 符号法则（性质推论） 改变分子、分母、分式本身任意两个的符号，分式的值不变。 知识点04:分式的约分（性质应用） 1. 定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，叫做约分。 2. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 约分的目标：将分式化为最简分式或整式。 3. 约分步骤 (1)对分子、分母分别因式分解 (2)找出分子、分母的公因式 (3)约去公因式，得到最简分式 知识点05:分式的通分（性质应用） 1. 定义 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式，叫做通分。 2. 最简公分母 通分的关键是确定最简公分母，即取各分母所有因式的最高次幂的积。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列式子中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义，是解题的关键．分式是指分母中含有字母的式子，根据定义判断即可． 【详解】解：分式要求分母中含有字母， 选项A分母π是常数，选项C不是分式形式，选项D分母5是常数，均不符合分式定义； ∵选项B分母中含有字母x， ∴选项B是分式． 故选：B． 【跟踪专练1】某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，分式的表示，设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，可得逆流时船的实际速度为千米/时，再由路程不变即可列代数式． 【详解】解：设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此， ∵逆流时船的实际速度为千米/时， ∴由路程不变得从乙地返回甲地时间为， 故答案为：． 【跟踪专练2】在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式， 故，为分式， 故选B． 【跟踪专练3】下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个． 【答案】2 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x，，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式． 【题型2.分式的规律性问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】给出下面一列分式：，，，，根据规律，则这列分式中的第2022个分式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键． 第偶数个分式符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方，据此求解即可． 【详解】解：第偶数个式子符号为负，分母是第几个式子就是y是几次方，分子是第n个式子，就是x的次方， ∴第2022个分式是． 故答案为：． 【跟踪专练2】按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 【跟踪专练3】已知：，_____． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据非负式子和为0它们分别等于0求出，，再代入结合规律求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式 ， 故答案为：． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（    ）册． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解． 【详解】解：这种图书的库存量是：（册）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系． 【跟踪专练1】已知三张卡片上分别写着，，（其中为变量），请从中任意选两张组成一个分式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式是分母中含有字母的式子是解题的关键． 从三张卡片中任意选取两张，分别作为分子和分母，组成分式． 【详解】解：选取卡片上的数字或表达式组成分式时，分子和分母的顺序不同会得到不同的分式． 例如，选取卡片作为分子，卡片作为分母，可得到分式． 其他组合方式类似，但本题只需写出一个分式， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 【跟踪专练3】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【详解】解：∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选：B． 【跟踪专练1】已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为0．代数式____________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式值为零的条件以及乘方运算的知识点，掌握分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零的判定方法是解题的关键． 分式没有意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，据此求出和的值，再代入计算． 【详解】解：当时，分式没有意义，则分母，即，解得； 当时，分式值为0，则分子且分母，即且，解得且； 由满足， 所以， 则，故==1． 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义以及分式值为零的条件； 根据分式没有意义，分母为零；分式值为零，分子为零，分母不为零列式求出，，然后计算即可． 【详解】解：∵当时，该分式没有意义， ∴， ∴， ∵当时，该分式的值为0， ∴，此时， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当时，无意义 B．当时，无意义 C．当时，的值为0 D．当时，的值为负数 【答案】A 【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，无意义，符合题意； B、当时，无意义，不符合题意； C、当时，的值不存在，不符合题意； D、当时，的值为正数，不符合题意． 故选：A． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为： 【跟踪专练1】若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件，分母不能为零，进行列不等式求解，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴ ， 故选：C． 【跟踪专练2】分式有意义，x的取值范围是__________；分式的值为0，则x的值为__________． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 【跟踪专练3】使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案为：1． 【跟踪专练1】当时，下列分式中值为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，将代入各选项判断即可得到结果． 【详解】分式值为0需要满足分子为0，且分母不为0，将分别代入各选项： 选项A ∵分子，分母，分式无意义， ∴A不符合要求； 选项B ∵分子，分母，满足分式值为0的条件， ∴B符合要求； 选项C ∵分母，分式无意义， ∴C不符合要求； 选项D ∵分子， ∴分式值不为0， ∴D不符合要求． 【跟踪专练2】当__________时，分式的值等于零． 【答案】9 【分析】本题考查分式值为零的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：由分式的值为零，得 ： 且 ， ∴． 故答案为：9． 【跟踪专练3】若分式的值为0，则的值是（   ） A． B．5 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为为分子为零、分母不为零成为解题的关键． 根据分式为零的条件进行计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，解得：． 故选A． 【题型7.分式的求值】 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】将原式变形为，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确变形得出是解题关键． 【跟踪专练1】若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】若，则分式的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，利用分式的性质对分式变形是解题的关键． 由已知条件可得，然后整体代入所求分式化简即可解答． 【详解】解：由 ，得，即． 所以分式为 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐项求解即可． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意； C、当时， ∴，故选项正确，符合题意； D、A为整数值时，为整数值， ∴为整数值， ∴或或3或 ∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 【题型8.分式值为正(负)的取值范围】 【典例】若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案． 【详解】解：原式=， 当x≠1时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞-2且x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 【跟踪专练1】若分式的值为正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及分式的值为正，掌握分式的性质是解题关键．根据分母有意义的条件可得，再结合分母为正数的分式若要值为正数，则分子为正数，得出，即可求解． 【详解】解：为分母， ， 分母一定大于0， 若分式的值为正数，则， 解得， 故答案为：且． 【跟踪专练2】已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 【题型9.分式值为整数的整数值求解】 【典例】若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解． 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或， 解得：或， 故答案：6或． 【跟踪专练1】对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【详解】解：， ∵x为非正整数，分式的结果正整数， ∴x取值为，0， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 【跟踪专练2】能使分式值为整数的整数有______个． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【答案】B 【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【题型10.分式变形的判断与条件】 【典例】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，判断分式变形是否正确等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式的基本性质，即分子分母同时除以它们的公因式，且分子为多项式时不能随意拆分，逐一分析选项即可． 【详解】解：分子无公因式， 不能直接约去中的， 故A错误； 当时，， 故B错误； 的分子分母公因式为，同时除以得， 故C正确； 的公因式为，约去后得， 故D错误， 故选：C． 【跟踪专练1】若，则“？”所代表的分子是__________． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：，分子分母同时除以，故选项A正确，不符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项D正确，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练3】根据分式的基本性质填空：．______ 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 【题型11.由分式的性质判断分式值的变化】 【典例】将分式中的，的值同时扩大为原来的6倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的，分别替换为，再约分与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的6倍后变为， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：D． 【跟踪专练1】将x克蔗糖完全溶于y克水配制成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x、y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（    ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的性质，先根据题意将原式变为，再约分得出答案． 【详解】根据题意，得， 所以浓度不变． 故选：A． 【跟踪专练2】若把分式（a、b均不为0且）中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的9倍 D．不变 【答案】B 【分析】将分式中的a、b分别扩大为原来的3倍，代入计算后与原式比较即可确定变化情况 题目主要考查分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：原分式为， 将、均扩大为原来的3倍，即替换为和，得到新分式： 化简为： ∴分式的值扩大为原来的3倍， 故选B 【跟踪专练3】在①，②，③，④中，从左到右的变形正确的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质依次判断即可． 此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】①当时，才有， 故该变形错误； ②∵分式中， ∴， 故该变形正确； ③当时，才有， 故该变形错误； ④∵， ∴， 故该变形正确； 综上，正确的有②④． 故选：B 【题型12.分式分子分母的系数化归】 【典例】不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 【跟踪专练1】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【跟踪专练2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【跟踪专练3】若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是__________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 【题型13.约分与最简分式】 【典例】给出下列3个分式：①，②，③．其中是最简分式有______（填写出所有符合要求的分式的序号）． 【答案】①②/②① 【分析】根据最简分式的定义，即可求解． 【详解】解：①是最简分式， ②是最简分式， ③，原分式不是最简分式， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了最简分式，熟练掌握分子分母除了1之外没有其它公因式的分式是最简分式是解题的关键． 【跟踪专练1】下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 【跟踪专练2】化简：＝_____． 【答案】 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 【跟踪专练3】若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 【题型14.最简公分母与通分】 【典例】对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 【跟踪专练1】把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【跟踪专练2】把分式进行通分时，最简公分母为____． 【答案】12a2b 【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母． 【详解】解：分式的分母分别是3a、2、4ab， 最简公分母为12b． 故答案为：12b． 【点睛】本题考查了分式通分的最简公分母,熟练掌握最简公分母确定的基本原则是解题的关键． 【跟踪专练3】已知，，，下列计算结果正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】首先由幂的乘方的逆运算得到，得到，同理得到，然后分别利用分式的通分，因式分解分别变形代数求解判断即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∴ ，故②正确； ∴，故③正确； ∴ ∴ ∴当时，； 当时，，故④错误． 综上所述，计算结果正确的是①②③． 故选：A． 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算，分式的求值，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． 【解答题】 1．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 2．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据分式的基本性质判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴，且， ∴． 4．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 5．通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $