专题06 解三角形中的最值与范围问题8大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形中周长、面积等8类最值问题，通过分层题型构建从边到角、从基本量到几何量的完整求解体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周长最值|6题|含锐角三角形、已知面积等条件|正弦定理化角+三角函数有界性| |面积最值|7题|结合外接圆、四边形综合|余弦定理+基本不等式求积| |边长最值|3题|涉及中点、动态四边形|中线长公式+函数值域分析| |长度和差比|9题|角平分线、分点问题|角平分线定理+比例转化| |角的范围|5题|锐角三角形、多条件选择|三角恒等变换+内角和约束| |角平分线最值|3题|钝角三角形、角平分线长|张角定理+不等式放缩| |中线最值|5题|中点、锐角三角形条件|向量法/中线公式+范围控制| |正切值最值|3题|边角关系转化|正切公式+均值不等式|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06 解三角形中的最值和范围问题 题型归纳·内容导航 题型1周长的最值（范围）（常考点） 题型5转化为角的范围问题（重点) 题型2面积的最值（范围）（常考点） 题型6有关角平分线的最值（范围）（重点） 题型3求边长的最值（范围） 题型7有关中线的最值（范围）（重点） 题型4长度和差比的最值（范围）（常考点） 、 题型8求角的正切值的最值（范围） 题型通关·靶向提分 题型一周长的最值（范围）（共6小题） 1.(25-26高一下.广东深圳阶段检测)在ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin B sinC,若 a=3,求ABC周长的最大值为() A.3+V5 B.2√5 C.3+25 D.6 【答案】C 【详解】由正弦定理可得：a2-b2-c2=bc,cosA= 8+c2-d- 2bc Ae(0,,4=2n 3 方法一： 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2+b·c=9, 即(b+c2-bc=9. :bc≤ b+c 2 (当且仅当b=c时取等号)， 2 9=b+-bc≥b+e-（)-b+e 解得b+c≤2V3(当且仅当b=c时取等号)， :ABC周长L=a+b+c≤3+2√5， ABC周长的最大值为3+23. 1/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法二： 由C-骨B,则0<Bc行 3 根据正弦定理可知 =2V3, sinA sin B sinC 所以b+c=25sn8+snC=25sm8+sn(任-8j}=25sn8+}s25, 当且仅当B=C=2时，等号成立. 6 此时ABC周长的最大值为3+2V5. 2.(25-26高一下广东深圳期中)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围为() A.(1+W2,3+V2) B.(1+3,3+V3） C.(2+V2,3+3 D.1+V2,3+V5 【答案】C 【群样因为48C是悦角三角后，所以么8Ce0引 又4=2C,所以2C<受，所以C<行由4+8+C=,得B+C= 所以B=元-3C,所以π-3C< 2,解得C3交， 所以名c<晋 6 sinA sinB-sinc'c=1,A=2C,=c.sin4sin2C 由、 b =2cosC, sinC sinC besinsin(3C)sin3C-sinCeos2C+cosCsin2CcosC sinC sinC sinC sinC 所以ABC的周长为a+b+c=2cosC+4cos2C-1+1=4cos2C+2cosC. 令t=cosC,则t∈ 2’2 数-要 上单调递增， 当=5，=2+，当=5，=3+5， 2/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以=--e-3间 所以ABC周长的取值范围为2+√2,3+√5 3.(25-26高一下辽宁大连期中)在ABC中，角A,B为锐角， ABC的面积为4，且 cos2A+cos2B=2-sinC,则ABC周长的最小值为() A.4+2V2 B.42-4 C.4V2+4 D.22-2 【答案】C 【详解】由cos2A+cos2B=2-sinC,得1-sin2A+1-sinB=2-sinC,即 sin2A+sin2B=sinC. sinC sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B, sin2A+sin2B=sin Acos B+cos Asin B,sinA (sin A-cos B)+sinB (sin B-cos A)=0. 由于A,B为锐角，所以sinA>0,sinB>0, 所以sinA-cosB与sinB-cosA异号或sinA-cosB=sinB-cosA=0, sin A>cos B=sin sin A-cos B>0 2 若 inB-cosA<0,即 sin B<cos A=sin 飞A (2 又0<A< π 则0<A<, 0<B<, 0< I-B< 2 A>I-B A+B> 2 [sin A-cos B>0 所以 ，即 此不等式组无解，所以 不成立 B<-A sin B-cos<0 A+B< sin A-cos B<0. 同理可得 不成立 sin B-cosA>0 所以sinA-cosB=sinB-cosA=0, sin A=cos B=sin (-B ( 即 所以A+B=元，C=,即ABC为直角三角形. T-A 2 2 sin B=cos A=sin 由题意知， 2 absin C=4,即ab sin C=8,所以ab=8. 3/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以ABC的周长a+b+c=a+b+√a2+b2≥2ab+√2ab=42+4, 当且仅当a=b=22时，等号成立. 所以ABC周长的最小值为4V2+4. 4.(25-26高一下.上海期中)设向量a=(V3cosx,cosx),b=(sinx,cosx),函数f(x)=a.b. (1)求y=(x)的单调减区间： (2)在ABC中，若角A满足f A ,且边BC=25,求ABC周长的取值范围 3 2 【答案】(1)f(x)的单调减区间为 +,号+akeZ,245,65] 2π 6 【销解】①u-5oxan4wr-5m2rt1+g2x=2x+君r号 2 内好+2hs2x ≤证+2，keZ,解得君+a≤x≤号+m,keZ。 6 6 +k, 所以了()的单调减区间为。 2n+km,k∈Z. 3 因为0<4，所以4+名-受即4号 b C 己知BC=a=25,由正弦定理sinB-sinCsinA√5 4 2 所以b=4sinB,c=4sinC. 又C=元-A-B=2T-B,0<B<2 3 , 圆周长L=a+b+c=23+4sinB+4sin2B =2V5+4sinB+4x5 osB+4×2sinB 2 =25+6sinB+25cosB=25+45sm8+8 由好<8+君答，得m8+}1,所以45<≤65. 1 6 6 即ABC周长的取值范围是(4V5,6W5]。 5.(25-26高一下辽宁大连期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 4/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求角A的大小： (2)若D为BC中点，AD=13,b=3C,求边a: (3)若ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC的周长最大值. 【答案】a)4=行：2a=27,36 【详解】(1)因为b=acosC+5sin sinC 3 所以由正弦定理可得 sinB=sinA 在ABC中，B=元-(A+C), nsi(C)-sindcosC+cossinC=sindcosC -sinAsinC, 即cos4sinC= -sinAsinC, 因为Ce(0,π)，sinC≠0，所以tanA=√5， 因为A∈(0，m,所以A= 3； (2)因为0a6+4C列。 所以0-2aB+-2r+4aC+2 tccos4. e+h2+2 cbcos”s3 -C 32 又4D=3,所以=正c,所以c=2, 2 又因为a2=b2+c2-2 bccos4=9c2+c2-6c2cos7=7c2,所以a=2万. 3 (3)由正弦定理得a=b=c 4 sm4m8sC店，可得b=年 sinB,c= sinc, 4 4 ∴.a+b+c=2+ sinc=2+4 inB+4 3 （642, =23sinB+2cosB+2=4sin B+ 0<B< 因为48C是锐角三角形，且4=子，则 2 <C=2-B< 3 2 5/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 g8号0骨88台5m8r1.a+6e-2利，度c的 6 63’2 6 周长最大值为6. 6.(25-26高一下·天津武清·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b=6,2a-b=2ccosB, (1)求角C: (2)若点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2√5，求边长a的值； (3)求锐角ABC的周长的取值范围. 【答案】ac-骨@a=3:B0+3518+65 【详解】(1)已知2a-b=2 ccos B,由正弦定理边化角得： 2sin A-sin B=2sin C cos B, 因为A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cosBsin C, 代入上式化简得：2 sin BcosC=sinB, 在ABC中，sinB≠0，则cosC= 2 又ceo,因此C=及 3 (2)由CD是LACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD= 6 1 、π1 由面积关系SAc=SAACD+SARCD,代入可得：)bsin C=b:CD-sin+a~CD.sin孕 62 6 代入b=6C=号CD=25. 化简得： 330-3N5+5a,解得a=3. 2 (3)由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC=a2-6a+36, 因为ABC是锐角三角形，由余弦定理得： 045=0+c如2=36+a2-6a+36jr=a<2. +oi-cu+36>3. 故a∈(3,12)，则周长L=a+b+c=a+6+Va2-6a+36, 6/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易知L在(3,12)上单调递增，得Le(9+3V5,18+6√5)， 因此周长的取值范围为：(9+3V3,18+6√3)· 题型二面积的最值（范围）_（共7小题） 7.(25-26高一下江苏扬州期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 ABC的外接圆半径为2√2，且a2+c2=b2+√2ac,则ABC面积的最大值为() A.1+√2 B.3 C.4+4V2 D.16+8√2 【答案】C 【详解】因为a2+c2=b2+V2ac, 则由余弦定理得cosB=a+2-B-2】 2ac 2 因为B∈(0，，则B= 4 设ABC的外接圆半径为R,则R=2√2， 由正弦定理b。=2R得，6=2 Rsin=4N2×5=4, sin B 2 则a2+c2=b2+√2ac即为a2+c2=16+√2ac, 因为16+V2ac=a2+c2≥2ac,则acs,16 2-2=82+2, 当且仅当a=c时，等号成立， 1 则s,c,acsn8=a0×2+②x8=42+4 4 4 则ABC面积的最大值为4V2+4· 8.(25-26高一下.青海海东期中)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对 边，a=2,且(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为) A.√5 B.2 C.2W2 D.23 【答案】A 【详解】由正弦定理，将(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC角化边， 得(a+b)(a-b)=c(c-b),整理得b2+c2-a2=bc 由激定，有4：“会-行义4e动，故4-昏 将a=2代入b2+c2-a2=bc,得b2+c2-4=bc 由基本不等式b2+c2≥2bc,得bc+4≥2bc,解得bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号. 7/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 写角形面积besin4ebc3.日 2=4 -bc 2 因此，了≤5x4=5,即面积的最大值为5。 4 9.(25-26高一下.重庆期中)如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2,ABC为等边三角 形，则△BCD面积的最大值为() D B A.1+V5 B.2+V5 C.2 D.√5 【答案】B 【i详解】在△4DC中，设∠ADC=0,则S.oc=)×ADxCDsim0=2sin0. 2 由余弦定理知AC2=AD2+CD2-2AD.CDcos0=8-8cos0. 0c5c -AC2=23-23cos0. 又AD=CD=2,ABC为等边三角形 所以∠DAC=∠DCA,∠BAC=∠BCA,即LDAB=∠DCB 所以可通过SAS判断△ABD和△BCD全等 故5an-方5w-5c+5m)=n0-6cs9-5=2an0-}、5. 1 所以当0号-子即0-爱时，8m=2+5. 6 10.(多选)(25-26高一下·吉林长春期中)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为 a,b,C,且满足b+c=√3，acosB+(b+c)(asinB-1)=0，则下列说法正确的是() A.A=3 B.A=或4= 3 3 C.面积的最大值为35 D.周长的取值范围为 3 16 2,2vg 【答案】ACD 【详解】因为b+c=V3,且a cos B+(b+c(asin B-)=0, 8/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a cos B+3a sin B-b-c=0, 由正弦定理得sin Acos B+√3 sin Asin B-sinB-sinC=0, 所以sin Acos B+V3 sin Asin B-sinB-sin(A+B)=0, 整理得√5 sin Asin B-sinB-cos Asin B=0,而sinB>0, 故√5sinA-1-cosA=0,故5sinA-cosA=1, 所以(4君引分面4为三角形内角 故-<-<，所以A-及=，故A正确，B错误 6 66 66 而Sc=besin A,则s3bc 4 由基本不等式b+c≥2√bc(当且仅当b=c时取等号)，已知b+c=√5， 故5≥26c,解得bc≤（当且仅当b=c=5时取等号）. 4 2 因此5m=5x2-35,故c正确 4416 周长L=a+b+c=a+V3,由余弦定理a2=b2+c2-2 be cos A=b2+c2-bc, 故d-+d-流c=3-hc,雨0<c≤故好a< 4 5≤a<5,因此周长L=a+5的取值范围 35,25 2 2 11.(多选)(25-26高一下福建泉州阶段检测)如图，ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若a=b,且V3(acosC+ccos A)=2 bsin B,D是ABC外一点，DC=1, DA=3,则下列说法正确的是() B A.ABC是等边三角形 B.若AC=2√5，则A,B,C,D四点共圆 c.四边形ABCD面积最小值为55-3D.四边形4BCD面积最大值为55+3 2 2 【答案】AD 9/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 得V5.(sin AcosC+sin C cos A)=2sinB·sinB, 即V3sin(A+C)=V3sinB=2 sin B.sin B,又sinB≠0， 32sin B..sin 2 a=6B是等腰48C的底角，B∈0》， B-骨aBC是等边三角形，A正确： 对于B,若AB,C,D四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知∠D=2π，cOsD=-】 但由于DC=1DA=3,4C=25f,cosD-DC+D4-AC_P+3-(21 1 2.DA.DC 2×1×3 2 B错误； 对于C、D,设∠D=0,则AC2=DC2+DA-2DC.DA.cos0=10-6cos0, S△Mc= 3 40-6c0s0)=5535 3 4 22 os0.Scsin0. 所以四边形BCD的面积S=-Sc+5c号n6-35。 3 0s0+ 5V5 2 2 =3 C不正确，D正确. 12.(25-26高一下.河北期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 bcosC c(2sinA-cosB). (1)求C的大小； (2)若ABC为锐角三角形，且c=4,求ABC面积的取值范围. 【答案】aC=看或C-:2)Sce5,8+45 6 【详解】(1)由bcosC=c2sinA-cosB), 根据正弦定理，得sinBcosC=sinC(2sinA-cosB), 10/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2sinAsinC sinBcosC +cosBsinC sin(B+C)=sinA, 在ABC中，sinA+0,则sinC=2 1 又C∈(0，)，所以C=”或C= 5π 6 6 (2)因为ABC为锐角三角形，所以C=工， 6 a b =8 由正弦定理：sin4 sinB sinc=T o,即a=8sinA,b=8sinB, 2 inCinin1sindsin=16sinBsin -B〉 =16sinB-cosB+ 号sin846in28-45cos28+45=8sin2B-写}+45。 0<B< 2 又 ,解得<B< 5 2 0<A=2π-B< 6 2 <2B-，即<sm2B- s1,所以Sac∈85,8+45] 33 13.(25-26高一下广东江门期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 c=2. a诺C-子 ABC的周长等于6，求a,b. 2若ABC为锐角三角形，且ABC的面积s满足45s=a+c2-b2. 3 (i)求B; (ⅱ)求ABC面积的取值范围. 【答案】()a=2,b=2:(2)(i)B= (ii ,25 【详解】(1)因为c=2,且ABC的周长等于6，所以a+b=4, 因为C=刀 1 由余弦定理得4=a+b-2ab×2a2+-ab=(a+b°-3ab, 将a+b=4代入上式解得ab=4,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=(a+b2-4ab=0, 则a=b=2. 11/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(1)因为45s=a2+c2-2,所以s=5(a+c2-b,所以 4 2acsinB= …2 accosB, 4 又ABC是锐角三角形，所以0<B<, 所以cosB≠0， 所以tanB=V5,又B∈0， 2 所以B= 3 (i)因为c=2,B= 3所以S.c=)acsinB=V 2 20, sin4 sincoC≠0，所以，_2sin4 a sin C d sin C 2×2 cosC+ sinC sin C tan C 所以SABc= -+1 3 3 2 tan C 2tan C 2 0<C< 由 2 解得C∈工，） 所以tanC∈ 3 0< 2-C (6'2 3 5 所以 -+ -E ,25 2tanC 2 所以ABC面积的取值范围是 2g 3 题型三长度的最值（范围）（共3小题） 14.(25-26高一下.河南漯河期中)已知4，b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 acos B+√3 a sin B-b-c=0,ABC的面积为3，M为BC的中点，则AM的最小值为 【答案】√ 【详解】因为a cos B+√3 a sin B-b-e=0, 由正弦定理，得sin Acos B+√3 sin Asin B-sinB-sinC=0, 因为C=π-(A+B）,所以sinC=sinA+B), 则sin Acos B+√3 sin Asin B-sinB-sinA+B)=0, sin Acos B+3sin Asin B-sinB-sin A cos B-cos Asin B=0, 12/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即V√3 sin Asin B-sinB-cos Asin B=0,又因为sinB>0,所以V3sinA-1-cosA=0, 即m(4君引片因为04，所以名<4-名名.则4 < 6 石所以4=背： 66 因为ABC的面积为5，所以besin A=5,即5bc=V5,所以bc=4: 因为M为BC的中点，所以AM=AB+AC, 所以-(a国+C+2西C到+e2+c)≥2c+=c=3, 所以AM≥√5，当且仅当b=c时取等号，所以AM的最小值为√ B M 15.(25-26高一下江西南昌期中)如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC=√5， AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为() A.7+2V5 B.V7+2W3 C.7-2V6 D.√6+1 【答案】D 【详解】在ABC中，设LABC=0,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cOs0, 又AB=1,BC=V5,所以AC2=1+3-25c0s0=4-2V5cos0, 由题意，△ACD为等腰直角三角形，则CD2=AC2=4-2√5cos0, ∠BCD=T+LACB,则cosLBCD=coS 2 LACB =-sin∠ACB, 在ABC中，由正弦定理得AC sim6sn∠ACBsin∠ACB'所以sim∠ACB=sme AB AC' 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·coS∠BCD =3+4-2√3cos0-2xV3xCD× sin0 =7+2v3 sin0-2v3 cos0 AC =7+26sm0- 13/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当sim0-） =1时，BD2取得最大值，且为7+2V6=(6+1)2, 4 所以对角线BD的最大值为√+1. 16.(25-26高一下.山东菏泽.期中)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 且满足b2>a2+c2,√3a=2 bsinA,a+c=1,点D是边AC上一点，且AC=3CD,则BD的 最小值为() A.V21 B.V27 c.221 D.4V21 7 21 1 21 【答案】B 【详解】由题√5a=2 bsinA结合正弦定理可得：√3sinA=2 sin Bsin A, 因为si4>0,所以sinB=5 b2>a2+c2,“B为钝角，：B=2红 :AC=3CD,:AC=3DC,由爪型定理可得BD=2BC+BA 3 两边平方可得： D-(c+丽-号+号cm+ 421 4 2π12 90 9 39 122。 ac, 9 9 :a+c=1,.c=1-a, -+g--l-a-+ :当a=号时，丽取得最小值牙，即BD最小值为 2 21 题型四长度和差比的最值（范围）（共9小题） 17.(25-26高一下.安微宿州期中)已知ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D 为边BC上一点，且4D为∠84C的角平分线，若∠B4C-骨AD=5,则6+c最小值为() A.5 B.4 C.3 D.6 【答案】B 【详解】如图，：AD为角平分线，S。4Bc=S。4BD+S4DC, 14/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中 D 3ABAC-sn∠BC=ABAD-sm∠BD+4 CD∠4C 2 2 即besin60°=4 D.csin30°+4D.bsin30°， 2 11 11 化简得b+c=bC,∴+二=1，则b+c=(亿+c)+ =2++ +0≥4， b c b c) b c 当且仅当c=b=2时取等号，故b+c最小值为4. 18.(25-26高一下广西南宁期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 a=√5，b2+c2-bc=3,则b-c的取值范围是() A.(-1,1) B.(-1,1 C.(-V3,1) D.(-5,1 【答案】A 【详解】由已知得：b2+c2-bc=a2,即b2+c2-a2=bc, 所以m4会-宁又4引质以4-子 b a 3 由正弦定理得：sin B sinC sinA =2 π sin3 所以b=2sinB,c=2sinC=2sin 行+B-5cosB+snB b-c=2sin B-(3 cos B+sin B)=sin B-3 cos B=2sinB 3 又C=π-(A+B)= 2TB 3 0<B< 2 π 所以由ABC是锐角三角形得： 台 <B< -<B-< 2-B< 6 2 6 36 0< .二1<2simB-?<1,即b-c的取值范围是(-1，)， 19.(25-26高一下山东期中)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记 ABC的面积为S,若6'-a)sinB=2S,则b+C的取值范围是() a A.(2,6) B.(√2+2,6) 15/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.(N2+1,V3+2) D.(2,V5+3) 【答案】c 【详解】在锐角ABC中，由(b2-a2)sinB=2S及三角形面积公式， (b2-a2)sin B=acsin B, 而sinB>0,则b2-a2=ac, 由余弦定理得a2+c2-b2=2 ac cos B, 则c2-ac=2 ac cos B,即c-a=2ac0sB, 由正弦定理得sinC-sinA=2 sin Acos B, sin(A+B)-sin A=2sin Acos B, 整理得sin B cos A-cos Bsin A=sinA, 则sin(B-A)=sinA, 由0<1受0<8<分得-登×B-4受于是B-4=4, 2 2 即B=2AC=元-3A,且<A<开，5<cosA<5 6 4’2 2 b+c=sin B+sin C=sin 24+sin34_sin 24+sin 4cos24+cos Asin 24 a sinA sinA sin A 2sin Acos 4+sin 4(2cos2A-1)+cos 4.2sin Acos 4=4cos?+2cos 4-1 sin A 1 =(2cos 4+- 4e(W5+lV5+2. 所以b+C的取值范围是(W+1,5+2): 20.(25-26高一下.河北石家庄期中)己知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别 为a,b,C,若b cos C+ccosB=1,bcosA=1+cosB,若C=ma,则m的取值范围是() A.L,3) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,2) 【答案】c 【详解】因为三角形中b cosC+ccosB=a=1, 所以由bcosA=1+cosB,可得bcosA=a(1+cosB), sinBcosA sinA+sinAcosB, 所以sinBcosA-sinAcosB=sinA, 即sinB-A=sinA, 16/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又在镜角三角形中，受<B-1<受0<4<受 2 则B-A=A或B-A+A=π，即B=2A或B=π（舍去）. 因为C=π-A-B=π-3A 由正弦定理可得 sinA sinC' 则m=c=sinC_sin3A a sinA sinA sin2 cos +cos2in2sindcos+c-1)sinc sinA sinA 0<A<π 2 因为ABC是锐角三角形，所以0<2A< 2 0<元-3A< 2 所以元A<不，所以 6 4 2 cos4< 2 则m=4cos2A-1e1,2) 21.(25-26高一下山东淄博期中)在锐角ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对 边，且=a-bc,若0存在最小值，则实数入的取值范围是 【答案】(22,23 【详解】由题意， 在锐角ABC中，b2=a2-bc, 由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B, .c2-2accos B=-be,b=2a cos B-c, 由正弦定现，。C .sin B 2sin A cos B-sin C, ”A+B+C=π， .sin C=sin (A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, .sin B =2sin A cos B-(sin A cos B+cos A sin B), Esin B sin A cos B-cos A sin B sin(A-B), 17/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :ABC为锐角三角形， B=A-B,即A=2B, .c-ha=sinc-sin A sin[元-(A+B)-元sin2Bsin(A+B)-2sin2B b sinB sin B sin B sin 3B-Asin 2B sin(B+2B)-Asin 2B sin B cos2B+cos Bsin 2B-4sin 2B sin B sin B sin B sin B cos 2B+2sin B cos2 B-2 sin B cos B cos2B+2cos2 B-24 cos B sin B =4c0s2B-21c0sB-1, 0<A< 2 0<B< 2 解得<B<亚 0<C< 6 4 2 A+B+C=π A=2B 2 cosB 2 :c-a=4cos'B-23cosB-1 b 在f(x)=4x2-2元x √2 x< 中 2 -2λλ 4>0,开口向上，对称轴x=- 2×44 若函数存在最小值，则巨入< 242 ,解得22<元<25， :若c-10存在最小值，则实数元的取值范围是(22,25) b 22.(25-26高一下.安微阜阳·阶段检测)在△ABC中，角B的平分线BD交AC于点D, BD=2. (1)若BD=BC,B=T,求： 3 ①△ABC的面积； ②△ABC的外接圆的周长 2法B=否，求48+8C的最小能 【答案】1y03+5,②22元：《28 2 18/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1) D ①因为B=号，角B的平分线8D交AC于点D,所以 C ∠ABD=∠CBD=T,BD=BC=2, 6 、 6=5n,A=元-B-C=元-T-5r-元 所以C=LBDC=2=12 3124 由正弦定理得 BC。AB sin 4 sin，即AB=sin C, sin A 代入数据得 AB=2 ×sin5n-2J 6”4 6 64 2222 4 2 所以Sc=2 AB BC sin∠ABC-,×5+1小×2x5_3+v5 2 22 ②设aMBC的外接圆的半径为R,由正弦定理BC=1B=2R,可得2R=BC=2N2,所 sin A sinC sinA 以R=√2， 则△ABC的外接圆的周长1=2πR=2√2π (2) D 由B=2 3,所以∠ABD=∠CBD= 3,BD=2, 根据三角形的面积可得S。ABc=SABD+S,BDc,即 AB BC sin∠ABC=!AB BD'sin∠ABD+号BC BDsin∠CBD, 代入数据并化简得ABBC=2(AB+BC), 由基本不等式得A8+BC=4B8C≤1B:BC 2 22 即AB+BC≥8，当且仅当 19/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=BC=4时等号成立， 因此，当△ABC是等腰三角形时，AB+BC的最小值为8 23.(25-26高一下.四川泸州期中)在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边， C-骨，点D在边AB上，且8D=24D, (1)若a=2,b=1,求CD 2诺∠4DC-号，求an8: B求CD的取值范围. AB 3 【详解1a法-：西-子C+号0B, 3 a+西 3 CA-CB+CB 9 25 法二：过点D作AC的平行线交BC于点H, 在△cDI中，DH=CH-号，∠nC- 3， 由余弦定理：CD=√DH'+CH2-2DH·CH.cos ZDHC 25 D 法三：在ABC中，由余弦定理：AB=√AC2+BC2-2AC·BC·CosC=V万 又AC2+AB2=BC2,则A= Γ2 则CD=VAD2+AC=25 法四：因为C=D, BGBD,则CD平分角C 20/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由SHBc=SADc+SBDc, xlxCDxsin30+-x2xCDxsin30-x1x2xsin603 即cD= 3 (2)法：因为∠ADC=∠C=号，则△4DC与△4CB相似， 1 则答是年会兰所以6 3c, 3 1-2 , 2 则anB= 3 法二：设∠ACD=0,因为∠ADC=∠C= 则∠B=0 AD CD 在△ACD中，由正弦定理知sin0 ① sin 2-0 3 BD CD 在△BCD中，由正弦定理知 sin sin0② 3 sin -0 sin0 2AD=DB,∴.2|ADHDB|,则有 (3 2sin0 -0 sin →2sin20=sin o0-n0 4 9an20= 3 叉：0c0写mB=am0=5 (3) D-05+C,平方得0D:0丽+4C+4Ca.0丽 3 即9CD2=a2+4b2+2ab,又：AB2=c2=a2+b2-ab +2+4 9CD2 a2+4b2+2ab b b AB2 a2+b2-ab 令1=云则>0， ,9CD2t2+21+4 AB22-1+1 21/44 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法一： 9CD2-2+21+4-1+31+l AB2 12-1+1 t2-t+1 1+1 令x=1+1,则x>1,P-1+1(x-1)2-(x-)+1x2-3x+3x+3-3 3 25-0 ∈0,11 AB21+3.+1 9CD2 2-t+1 (1,4+2V3]. CD 1V3+1 AB 的取值范围为 33 法二：令k=+21+4,则方程化-1r2-化+2加+k-4=0有正根。 t2-t+1 △=(k+2-4k-1)(k-4)=-3k2+24k-12, ①若k=1,方程没有正根，不符合题意： ②若k≠1，且△=0，得：k=4+25或k=4-2√5此时方程只有一个负根，故舍去) ③若k≠1，且△>0，得：4-2V5<k<4+2V5, ⅰ若方程有一个根为0，此时k=4,方程有正根t=2,符合题意 k+2 t+t2= >0 ⅱ若方程有两个正根，则 -,得k<-2或k>4, k-4、 563=k-1 >0 面若方程有1个正依，一个负根，化-怎<0，得1<6<4 综上：k= 2+21+4∈4,4+2W5] t2-t+1 CD 13+1 的取值范围为 AB 3’3 24.(25-26高一下山东淄博·期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C, 且V3a=csinB+V3 bcosC (1)求角B; 2若D是边4C的中点，4=2，BD=9,求ABC的面积： 2 (3)若ABC是锐角三角形，且b=√3，求2a-c的取值范围. 22/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】a肾：a2y5:0,3 2 【详解】(1)由题意，在ABC中，√5a=csinB+√5 bcosC, 由正弦定理。 b sin A"sin B"sinC' .3 sin A=sin B sin C+3 sin BcosC, :A+B+C=π， .3 sin -(B+C)=sin Bsin C+3sin BcosC, 3 sin(B+C)=sin B sin C+3 sin BcosC, ..3 sin BcosC+3cosB sin C sin B sin C+3 sin BcosC, :(5cosB-sin B)sinC=0,又sinC≠0， :√5cosB-sinB=0,解得tanB=√3， （2)由题意及(1)知，8-音 a=2,BD=i9, 2 :D是边AC的中点， 8D=B+8C. 而-a+2c北2-29 解得c=3, >ae sin B=1×2×3×sinr=3V3 1 S.ABC= 32 B (3)由题意，及(1)知， 在镜角48C中，8=号，6=5， 23/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B=T 3 A+B+C=π 0<A< 解得<A< 6 , 2 <c<号 a b 由正弦定理，sin A sinC sin B sin交 =2 3 .a 2sin A, c=2smc=2n[-(4+]-2sm-(4+到2sm(经- -3sm4-5cos4-25sn4-} <4<040<m4 π3 < 6 62 6e(0,3). .2a-c=23sin- 25.(25-26高一下.重庆阶段检测)在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c. (1)已知sin4=cos'B-cos2 ,求∠C; sinA-sinB (2)若ABC是锐角三角形，∠C为(1)中所求，H为ABC的垂心，且CH=3,求 √3CH-AH的取值范围： BH 3)若b=√5a,令t= sinB 30osA+V3cosB’ 试求t的最大值。 【答案】a肾2a2:时 【详解】(1)因为cos2B=1-sin2B,cos2C=1-sin2C, 所以sin2A-sinAsinB=sin2C-sinB,由正弦定理，得a2-ab=c2-b2, ,由余孩定事，有cC-t心-因为C0动，所以C 2ab= 3 24/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (2)延长AH交BC于E,延长BH交AC于P,设∠BCH=0,0e(0写)， 所以 4cH=}-0, 在R1aCEH中，EH=Csin0=3sin0,在，CPB中，∠FrCB-子∠aFC=所以 2 ZFRC- -=6sin0 在Rt△BEH中， BH=EH ,同理可得在Rt△AFH中，AH=2FH=6sin sin 3-0) 6 所以√3CH-AH 35-sin √3-√3cos0+sin0 BH 6sin0 2sin0 V31-cos0),1 2 3sin20 2sine 2c0s2 所以tan 6eo,3, 2 所a5 即V5CH-的取值范围为2： BH (3)由余弦定理，可得cos4=6+c2-a2-2a2+c2 2bc ,所以sin2A=1-cos2A=1- (2a2+c2）2 23ac 12a2c2 由b=√5a,可得sinB=√3sin4, sinB 所以t= sin2A sin2A sin'A=asind, 3cos4+3cosB 3sinAcos4+sinAcosB sinBcosA+sinAcosB sinC c 版r-gl-mr4刻=g12a-o+4o2+ 12a2c2 所以1≤乞当且仅当b=V5c=V5a时等号成立，即A=C=石，B 2元时，tas=2 1 6 3 题型五转化为角的范围问题（共5小题） 26.(多选)(25-26高一下辽宁大连·期中)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b 25/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 。c,且。asin2'。=bsin4,下列结论正确的是() 2 A.B= 3 B.若a=4,b=5,则ABC有两解 C.当a-c= b时ABC为直角三角形 3 D.cosA+cosC的取值范围是 ,1 【答案】AC 【详解】对于A, asin2 4+C =bsinA, 2 2 由4+B+C=及正弦定理得，5 sin A-sin，=-sinB-simA, 2 2 由诱导公式得， sin4cos -sin B.sin A, 2 2B 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以 cO √3 2=sinB, ).,B2sin 5cos2 cos(v3sin-cos)=0: BB、 3 2 2 2 2 BB=0. 即cos二sin(台 226 所以m号=0或in兮名=0，即B=夏飞舍)或B=,故A正稀 26 对于B,由余弦定理得B2=a2+c2-2ac0sB,即25=16+c2-8xcx行整理得 c2-4c-9=0, 由△=(-4)2-4×(-9)=52>0，所以c=2+V13或c=2-V13(舍)，即ABC有一解，故B 错误； 对于C,因为a-c=5b,所以a-c>0, 3 两边平方得a2-2ac+c2= ,即b2=3a2-2ac+c2）, 3 由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-aC, 所以2a2-5ac+2c2=0,即(2a-c)(a-2c=0,解得a=2c或c=2a(舍)， 日解得4= a=2c,则b=V5c,由正弦定理有.a,=b 故ABC为直角三角形，故C正确； 26/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,cosA+cosC=coSA+cos( 2c0s 4+3 n4=sin(4+爱， 2 因为8=骨，所以0<A 2π 3 所以A+e(店传爱，所以si(A+爱e, 666 6 所以cosA+cosC的取值范围是 21 故D错误. 27.(25-26高一下·福建厦门期中)在ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,且 bcosC+ccos B=2a cos A (1)求角A的大小； (2)若a=√13，b=3,求ABC的面积： 3)若ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围. 【答案】国4-于：235：G 【详解】(1)因为ABC中，bcosC+ccosB=2 a cos A,由正弦定理得 sin B cosC+sin C cos B =2sin A cosA, 所以sin(B+C)=2 sin AcosA,即sinA=2 sin Acos A, 又Ae(0,,sin4≠0，则cosA=行所以4=背 (2）由余弦定理g-+e2-2cosA得1B=9+d2-6cos号即c2-c-4=0, 解得c=4(c=-1舍去)， 所以5c加m4=x3x4×sn昏=35： 3》snC=smx-A-8)=s(4+8=sn(行B s加8+snC=snB+sin(写+B=s如B+5cosB+nB-sinB+ 2 -cos B vs3 sin B+cos B)=3 sin(B+, 1 6 0<B<π 2 因为ABC是锐角三角形，所以 0< 2-B< 6 ), 3 2 所以<B+π<2, < 3 2 <sin(B+Z)s1. 6 6 所以s如B+smCe 28.(25-26高一下.重庆期中)如图，ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C, 27/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 行，2a=3b.点D在BC延长线上. C-π (1)若a=3,∠ACB的角平分线交AB于点E,求线段CE的长； (2)求sin∠ADC+sin CAD的取值范围. 【答案】(1)CE= 65 2(2 5 2 【详解】(1)如图： B 3 D 因为S△ABc=SAACE+S△BCE,又a=3,则b=2, 所ul4 C昏-34 CHCEin2+ 解得1CE=6v5 (2)因为D在BC的延长线上，故∠ADC+∠CAD=T 所以sin∠ADc+sin∠C4D=sin∠4DC+sin(g∠ADC =sin∠ADc+ 2 Fcos∠ADC-)sin∠ADC 2inADc+ co∠ADc=sm2ADc+} 国为4Dc引，所以∠c+）.得m(<0C引 所以sin∠ADC+sin∠CAD的取值范围为 29.(25-26高一下-辽宁沈阳期中)从①V5 bsinA=a:②as9inB-56c0 sBcosC=V5cc0s2B: 1+cosB ③1+tanB-2a tanc c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在锐角會ABC 28/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若 (1)求角B的大小： (2)求sinA+sinC取值范围： 【答奖】8-号a35 【详解】(1)若选①：由正弦定理得 3sinBsinA sinA, 1+cosB 即√3 sinBsinA=sin41+cosB), 因为0<4<号 ,所以sinA≠0， 所以V5sinB=1+cosB,整理得simg-=号， 62 又因为0<B<受，则名<B-名号，所以8- 6 若选②：因为asinB-√3 bcosBcosC=√5ccos2B, 由正弦定理得sinAsinB=√3 sinBcosBcosC+√3 sinC cos2B， 即sinAsinB=√3cosB(sinBcosC+sinCcosB=√3 cosBsin(B+C), 所以sn4snB-=cos8sn4,由4e0到，得sn40, 所以sinB=√5cosB，即tanB=√5， π 因为B∈0， ,所以B=刀 3 若选③：因为1+tanB-2a,所以cosBsinC+sinBoC_2sin4 tanC cosBsinC sinC 即sin(B+C_2sinA ,又因为A+B+C=元，所以 sinA 2sinA cosBsinC sinC cosBsinc sinC 又因为sinA>0,sinC>0,所以cosB=2’ 1 因为Be0, 2 所以B= 3 0<A< (2)在锐角 ABC中，由(1)得 `2 0< 2-4< 2 所以<A<刀 6 2 所以sinA+sinC=sin4+sin(A+B）=sinA+sin4cosT+cos4si 3 29/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 Cos4=3sin+ 6 由<A+<2n 63 所以sinA+sinC的取值范围为 30.(2026河北保定.模拟预测)在①(b+a)(b-a)=ac;②(a+b+ca-b+c=4 accos2A; ③a+c=2 bcos4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.己知在ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,且_ (1)证明：B=2A; 2)若ABC是锐角三角形，求1十1的取值范围。 tanA tanB 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析；(2) 4W3 ”3 【详解】(1)选①，b+a)(b-a=ac可得b-a2=ac,即b2=a2+ac, 因为b2=a2+c2-2 accos B,所以a2+c2-2 accos B=a2+ac, 化简可得c2-2 ac cos B=ac,即c-2 a cos B=a, 由正弦定理可得sinC-2 sin AcosB=sinA, 因为sinC=sinA+B=sin Acos B+cos Asin B, 所以cos A sin B-sin Acos B=sinB-A)=sinA, 所以B-A=A或B-A+A=B=π（舍去）， 所以B=2A; 选②，由a+b+c(a-b+c=4 accos2A可得a+c2-b2=4 ac cos2A, a2+c2-b2 =4ac cos2 A-2ac, 因为a2+c2-b2=2 ac cos B，所以2 ac cos B=4 ac cos2A-2ac, cos B=2cos2 A-1=cos2A, 因为y=Cosx在(0，π)上单调递减，所以B=2A: 30/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选③，由余弦定理可得cosA= b2+c2-a2 2bc 所以a+c=2 bcos4=2+c2-a2 ,即b2=a2+ac, 因为b2=a2+c2-2 ac cos B,所以a2+c2-2 accos B=a2+ac, 化简可得c2-2 ac cos B=ac,即c-2 a cos B=a, 由正弦定理可得sinC-2 sin Acos B=sinA, 因为sinC=sinA+B=sin A cos B+cos Asin B, 所以cos A sin B-sin Acos B=sinB-A=sinA, 所以B-A=A或B-A+A=B=π（舍去）， 所以B=2A; (2)ABC是锐角三角形， 0<A<亚 2 则0<B=2A< ,所以亚<A<亚， 2 6 0<C=π-A-B<T 1 1 cos A,cos B sin B cos A+sin Acos B sin(4+B) tan A'tan B sin A sin B sin Asin B sin Asin B sin(元-C）sinC sin(元-3A)sin3A sin Asin B sin Asin B sin Asin 2A sin Asin 2A sin(4+24)sin Acos24+cos Asin 2A cos24 cos 4 sin Asin 2A sin Asin 24 sin 24 sin A cos2 A-sin2A cos A 1-tan2A 1 3 1 tan 4, 2sin Acos A sin A 2tan A'tan A 2tan A 2 令1=1 31 ,te1,V5,则f(t=二t- tan A 22i 因为)在区同1、同)单调递培。y=一六在区同、单调遍增， 所以f0)在区间1，V5)上单调递增， 43 所以f)∈ 4V3 3 即 tand tan B 3 题型六有关角平分线的最值（范围）（共3小题） 31.(25-26高一下河南焦作期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c) 31/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin B （cos4-cosC,tanC n= 且mlln· (1)求角A: (2)若bc=4 sin B sin C,ABC是钝角三角形. (i)求b+c的范围； (ii)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 【学类14-子：)6+ee5.()A002 【详解】(1)由m=(2b,C),万= sin B cosA-cosc,ianC 且ml/n, sinB sinB 所以2b.tanC-c =0,2b.sinc -C· =0, cosAcosC cosC cosAcosC 化简整理得2 b.sinC.cos4=c.sinB,再由正弦定理得2 sin B.sinC.cos4=sin C.sinB, 1 因为sinB>0,sinC>0,所以cosA= 2,且4∈(0，，所以A= 3 (2)(i)由bc=4sinB·sinC,结合正弦定理b=2R·sinB,c=2 R.sinC,得R=1. 因此a=2Rsin4=2x5-5，且C=2年B. 2 3 因为ABC为钝角三角形，A=?,故钝角只能是B或C, 3 3 BcosB-23sin( 2 6: 医为8（所以8引89 所以b+c∈N5,3 ()因为40为∠84C的角平分线，且A=号，如图： B 32/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由面积关系SABC=S,AD+S,ADC,∠BAD=∠CAD= 6 所以多-csim号)4Dcsn夏4 sin天，化简得4D-5c π.1 32 62 6 b+c 又因为bc=4 sin Bsin C=4 sin Bsin =5sn8-cos281=-2m28+1=-2l-2smf8+81 =48+-1, 由()知b+c=23sinB+ 6 3 4sin2 π B+ 所以AD=V3bc 4sin2B+ 6 6 b+c 23sin B+ 6 2sinB+π） 6 所以t∈山，) 所以4D=-=1-,因为函数y=1-在山，V5)是单调递增函数， 质以1时，0=1-10，当1三6时，D=3店=3 所以ADE 23 32.(25-26高一下.河南郑州期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若√5 bsin C+√3 csin B=4 a sin B sin C,2 bsin B+2 csin C=bc+V3a (1)求角A的大小； (2)求边a的值： 3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围. 【答案】(1)，(25，B 2V33 3 32 【详解】(1)由√5 bsin C+√3 csin B=4 a sin B sin C及正弦定理得： √5 sin B sinC+√3 sin Csin B=4 sin Asin B sin C, 33/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为0<B,C< 2,所以sinB￥0，sinC≠0， 所以m4=5,又0<4分：所以4=号 3 (2)由正弦定理b=c=a-2 sin B sinC sin A 3 a,得sinB=V3 ,sinC=e 2a 2a 由26sn8+2csnC-c+50每：2660+2c6c =bc+3a, 2a 2a 即6+c2-a2-5。 abc, 3 由余弦定理得，b2+c2-a2=bc, 联立解得a=√5. (3) D B 如图所示，由1知4=骨，由于Sc=Sco+85m AB:4C:sinr=LAB:AD:sin亚+LAD:4C,sin 2 32 62 3=2'c.4D.sin1 ..b.c.sinc 62 AD.b.sin 6 3cb=(c+b)AD=3cb c+b 由(2)知b=2sinB,c=2sinC, 因为4-骨所以n8=4+c)=sm(C+写引 AD=3cb4 sin Csin B 23sin CsinC+ 2v3sin C sinc+ cos C 3 2 c+b 2(sin C+sin B) sin C+ 2 sin C+v3 -cos C 1-cos2C 3 1 sin'C+3 sin CcosC2 sin 2C 2 +sin2c-π】 2 6 2sinC+ 1 2 CosC smc+ c+ 令C+元=0，则2C-无=20-T, 6 6 Γ2 34/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为aABC是锐角三角形，则<C<,<日<2红，5 <sin0≤1， 6 2’3 3’2 1 1 则AD=2 sin2c-π】 6 +sin20-π 2-2 -c0s20 -1-2sin2 2 -=2sin0- sinC+π sin0 sin 0 sin 2sin0 6 令1=si血9，由解析式可知y=21- 单调递增， 所以2v3 <21-↓≤3，即25 -2 3 233 即AD长度的范围为 32 33.(25-26高一下江苏泰州期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为，b,c,且 n=(2b-a,cosA)与m=(c,cosC)共线. (1)求C; (2)若c=4,求ABC周长的取值范围： 3)若c=2V5,且ABC为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D,求△ABD面 积的取值范围。 【答案】ac=:28,12,3-5] 【详解】(1)在ABC中，A+B+C=元， :m与共线，.(2b-a)cosc=ccosA, 由正弦定理可得(2sinB-sin A)cosC=sin C cos A .2sin B cos C-sin A cosC sin C cos A, .2sin B cosC sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B, sinB≠0，cosC三)，又Ce0,,所以C= 3 (2）由（1知C-否又c=4,由余孩定理-e-2bco:C… 得16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 35/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即(a+b)2-16=3ab,因为ab≤ a+b 当且仅当a=b时等号成立， 2 所以(a+b)2-16=3ab≤3× a+b 、2 即(a+b)2≤64，则a+b≤8， 由三角形三边关系知a+b>c=4,所以4<a+b≤8，即8<a+b+c≤12， 所以ABC周长的取值范围为8,12]： (3)因为角4与角B的角平分线交于点D,C-骨，c=25, 所以∠ADB= ,设∠B4D=0,∠DBA=-0, 2π 3 在△ABD中，由正弦定理 AB BD AD sin∠ADB sin∠DAB sin∠ABD 23 BD AD 所以sin =4 2元 sin sin.D=4sin 3 3 所以SABD= 40a0m<a08-4m04sn5p小5-45sn8sngp =6sin0cos0-25sin0=3sin29+5cos20-5=25sm20+g-5. 因为C=了，A8C为锐角三角形， 0<20<π 所以了 2 即π<0< 2π-20< π 12 4 0< 3 2 3 6 则3-5<25m20+引-5≤5。 所以△ABD面积的取值范围为(3-V5,5 题型七有关中线的最值（范围）（共5小题） 34.(25-26高一下.贵州毕节.期中)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边， a=2V3且√3 asin C+acosC=b+c, (1)求A; (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 36/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】()4=于；(23 【详解】【小题1】因为V5 asinC+acosC=b+c, 由正弦定理得：√3 sin Asin C+sin AcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,所以√5 sin Asin C=cos AsinC+sinC, 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,所以V5sinA-cosA=1, 所以21-名-1.甲4-爱-分 因为4e0,).所以-天<4-天<及，所以4名名，所以4=号 6 66 【小题2】因为eas4:-号，a=25,所以6+2=12+e, 2bc 因为D是BC的中点，所以0-西+40，所以40-a西+ad+26.40 =4e+b+2ceos4-42+e2+c)-42+2 4 4 因为b2+c2≥2bc,所以12+bc≥2bc,即bc≤12， 所以=42c+12)s2+2×12=9, 4 当且仅当b=c时，等号成立，所以AD的最大值为3. 35.(25-26高一下福建期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 b=3,23cosC=2a-c (1)求角B: (2)若a+c=2,D是AC上的点，BD平分∠ABC,求BD长： (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 【答案】a受：25：5,3 6 22 【详解】(1)已知25cosC=2a-c,由余弦定理可得2V5+2- -=2a-c, 2ab 因为6=5，代入2V50+-c=2a-6中，得+-c-2a-e,化简得 2ab a a2+c2-b2=ac, 则cosB=a+c-b=1,，因为B∈(0，π，所以B=工 2ac 37/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2）B-号b=5,由余弦定理得6=c2+-2aco 3 即3=c2+a2-ac=(a+c-3ac,又因为a+c=2,所以ac 3 由面积关系SMABC=SSABD+SARCD可得， 2acsin 2c.BD.si B,1 2+2aBD.sin B 1V3 所以acsin买-BDa+c-sin买，即BD=32-V3 3 6 1 2× 6 2 (3)因为E是4C的中点，所以BE=BA+BC, 则E-a+2a-Bc+8c）e2+d+a-3+0c A 4 由正弦定理得，ac=b sin B sin 4.b -sin C=4sin Asin C=4sin Asin sin B 小 ac=23sin A cos 4+2sin2=3sin 24-cos24+1=2sin24+1 6/ 医为4e(0,C=-4e0网，所以40）月 3 所以2A-交∈元7π) 666 所以ac=2sin2A- 6 +1∈(0,3]，所以BE2=3+2ac∈397 4 (4'4 所以BE∈ V33 即边AC上的中线BE的取值范围为 V33 22 2’2 36.(25-26高一下.四川资阳·期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 V3sinB+cosB=2,且acosC+ccos A=4V3cosB,AC的中点为M. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形，求BM的取值范围. 【答案】1)B=；(2V7,3] 【详解】(1)由√5sinB+cosB=2 5sn8+5cosB-2sm8+引-2，得sm8+= 1 、6 又0<B<元，所以<B+<7π 6 66 38/44 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以8+名-号8-号 3 (2)由0C+cosA=45cosB,且8-号可得acsC+eo4=25, 又a cosC+ccosA=2 rsin A cosC+2 rsin C cos A=2 r sin(A+C)=2 r sin B=b,，r为a△ABC外 接圆半径) 所以b=2√5，又b2=a2+c2-2 accos B,所以a2+c2=b2+2 ac cos B=12+ac, a c b 25=4 在ABC中，由正弦定理得sinA sinC sin∠ABC√3， 2 所以a=4sinA,c=4sinC. 由AC的中点为M,得BM=(BA+BC), 所以BM-B+acf=(a厨+Bc+2a8c到=a2+e2+ae=2+2a叫 12+32sin Asin C)in Asin C+in sin =3+43 sin A cos 4+4sin2 A =3+2v3 sin24+2(1-cos24) -5+45sn24- 2 0<A< 因为ABC为锐角三角形，所以 0< 2-A< 6 3 2 则2A-”∈π5 所以sin 666 24副2,4m4e2 则5+4sim2-6 e(7,9, 故BM的取值范围是(V万，3]。 37.(25-26高一下江苏期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,己知 V5sin'B-sinBc0sB=5,4C的中点为M. 2 (1)求B; 39/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若acosC+ccosA=4V5cosB,求ABC内切圆面积的最大值； (3)若ABC为锐角三角形，b=2,求线段BM的取值范围. 【答案】a或g:②元， 3 【详解】(1)由题意可知V51-cos2B) 2 2 可得如2B+写=0，因为0<8<，所以骨<28+<匹。 3 33 可得2B+=π或2B+=2π，解得B=或B=5红。 3 3 3 6 （2)由题意可待a。+2-c+e+c2-a=45cosB,化简得6=45cosB, -+c. 2ab 2bc 所以c0sB>0,所以由(1可知B=,可得b=43cos=25, 3 可知cosB= 2+c2-25L,化简得a+c2=ac+12即(a+d=3ac+12.可得 2ac ac=a+c2-12 3 由基本不等式可知a牛S之ac,即a+e之ac·当且仪当a=c时取等号， 2 4 所以(a+d≥a+c-12,由b=25,解得25<a+cs45. 4 3 设内切圆半径为，则S之csin8=a+b+e, 1 21 a+h+c2a+c+25,因为ac=a+c-l12, 可得r=acsin B-V ac 3 所以 (a+c)2-12 r= 3 2 oc-12ae+25a)(oe-2 a+c+2W323(a+c+2523a+c+25 6 因为2√5<a+c≤4V3,所以0<r≤1， 当a=c时，内切圆半径为取得最大值1，此时ABC内切圆面积的最大值为刀. 40/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)可知8W=Ba+8C),所以Bdf=48M+BC-e2+d+2 Baceos8, 因为48C为锐角三角形，所以8=骨 所以则-e+2acm}-e++a小 可知cm8=-安可将+e=oe+4,所以e-c+1, 2ac a b C 43. 因为sindsimsinc’所以a= -sin A.c= 4 -sin C, 3 3 则 3 32 化简得B=5s 32 in24-cos2454sin(2 33 0<A< 0<A< 2 因为 解得<A< 0<C< 由8-可得 2-A 6 0 2 3 2 所以匹<2A-T<5 6 66 ,可sm241,所以<aws3,即<ms5 6 所以线段BM的取值范围为 3 38.(25-26高一下.四川成都期中)在锐角ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 已知a=5且sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C. (1)求角A; (2)求ABC周长的取值范围； (3)求边BC上的中线AD的取值范围， 【答案14-子a0+53可：)0e 【详解】(1)因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 由正弦定理得，b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理待，cosA二+C-口=放4乎平 2bc 3 41/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b C (2)由正弦定理得 =2, sin A sin B sin C b+c=2(sin B+sin C)=2 sin B+sin 2RB2, 3 0<B< 又因为ABC是锐角三角形，故 2 ,解得<B< o<c-js-a< 2 b+ce3,25,a+b+c∈3+V5,35, :△4BC周长的取值范围为3+V53V3 [3)由余弦定理得，cos4b+C-Q=。+C二三=，即2+c2=bc+3. 2be 2be 2AD=AB+AC,两边平方得4|AD2=ABP+|AC2+2AB.AC=b2+c2+bc=2bc+3. b c a 3 由正弦定理可知，sin sincsin万2.故=28c=2如c, 2 +8sin BsinC+3-8sin Bsin()+38sinc 1 3 2cosB+sin B)+3 2 4sin Bcos B+4sinB+3=2sin2B+4.1-cos2B+3=2sin2B-2cos2B+5 2 =4(sin2B. 2 -os2B2+5=4sin2B-3+5, 1 2 6 0<B< 又因为ABC是锐角三角形，故 2 0<C 3-B<元 2 解得2<B< 6 3, 2 故2B-元e(任，酒），sin2B-∈5，l],4sin2B-马+5ea,91, 6 66 6 2 6 即44DPe(,],则ADe(5,3 22 题型八角的正切值的最值（范围）（共3小题） 39.(25-26高一下江苏扬州期中)在ABC中，内角A,B,C的对应边分别为a,b,c且满足 c2=2a2+b2,则tanA的最大值为() A.6 B.V3 C. 3 0 4 3 4 【答案】B 42/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由c2=2a+62可得a2+b2-c2=-a2,由余弦定理，cosC=g+-c2 =- a 2ab 2b 又由正弦定理，cosC=- 2siminsin(B+C)=sin cosCinC sin A 代入整理得3 sin B cosC+cos Bsin C=0,因0<B,C<,cosB≠0，cosC≠0， 两边同除以cos B cos C,可得tanC=-3tanB, tan B+tan C 于是tanA=-tan(B+C)= -2tan B 2tan B 1-tan B tan C 1+3tan2 B 1+3tan2B' sin A 又因cosC= <0,则角C为钝角，则角B必为锐角，则tanB>0, 2sin B 则anAs 2 2 5 1 +3tan B 1 3， 当且仅当1 =3tanB,即B=兀时取等， 2 tan B .3tan B tan B 6 tan B 故aA的最大值为y 3 40.(25-26高一下.福建泉州期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a+bcosC=0,则tanA的最大值为() A B.2 √2 D. 4 2 【答案】C 【详解】因为a+bcosC=0, 由正弦定理得sinA+sin BcosC=0, 又A+B+C=元，则A=元-B+C), 所以sinπ-(B+C)]+sin BcosC=0, 即sinB+C）+sin BcosC=0→sin BcosC+cos Bsin C+sin BcosC=0, 所以cos B sin C=-2 sin BcosC, 由a+bcosC=0,则a=-bc0sC,而a>0,b>0,所以cosC<0, 所以角C为钝角，C©（爱小则角8为锐角即80引， 此时cosB≠0，cosC≠0， 由cos B sin C=-2 sin BcosC→tanC=-2tanB, 所以tanA=tam[元-(B+C]=-tan(B+C=1-anB-21anB' tan B+(-2tan B) tan B 即tanA= 1+2tan2 B' 43/44 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为B∈0,2 所以tanB>0, tan B 所以tanA= tan B 12 1+2tan2B 2x/2tan B 22 4' 当且仅当1=2am'B即anB=5时，等号成立， 2 所以tanA的最大值为 4 41.(25-26高一下.上海普陀期中)在ABC中， 1 a=bcosC-ccosB,则tan(B-C)的最大 2 值为 【答案】 3 【详解】由正弦定理得sinA=2 sinBcosC-2 sinCcosB 因为sinA=sinB+C), sinA=sinBcosC+sinCcosB 2sinBcosC-2sinCcosB sinBcosC =3sinCcosB, 即tanB=3tanC, 则tanB,tanC同号，B与C不能同时为钝角，所以tanC>0, tanB-tanC 3tanC-tanC 2tanC tan(B-C)=- 1+tanBtanc-1+3tanCtanc 1+3tan'C 3tanC+ 1, anC 1 因为tanC>0,所以3tanC+ ≥25，当且仅当anC=5时取等 tanC 2 所以0< 3tanC+ 3,则a(B-C)的最大值为y 3 tanC 44/44 专题06 解三角形中的最值和范围问题 题型1 周长的最值（范围）（常考点） 题型5 转化为角的范围问题（重点） 题型2 面积的最值（范围）（常考点） 题型6 有关角平分线的最值（范围）（重点） 题型3 求边长的最值（范围） 题型7 有关中线的最值（范围）（重点） 题型4 长度和差比的最值（范围）（常考点） 题型8 求角的正切值的最值（范围） 题型一 周长的最值（范围）（共6小题） 1．（25-26高一下·广东深圳·阶段检测）在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·上海·期中）设向量，，函数. (1)求的单调减区间； (2)在中，若角满足，且边，求周长的取值范围. 5．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 6．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 题型二 面积的最值（范围）（共7小题） 7．（25-26高一下·江苏扬州·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 8．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 9．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 10．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 11．（多选）（25-26高一下·福建泉州·阶段检测）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（   ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为 12．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 13．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 题型三 长度的最值（范围）（共3小题） 14．（25-26高一下·河南漯河·期中）已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______. 15．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四 长度和差比的最值（范围）（共9小题） 17．（25-26高一下·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 18．（25-26高一下·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·山东·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·河北石家庄·期中）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 22．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角的平分线交于点，. (1)若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. (2)若，求的最小值. 23．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． 24．（25-26高一下·山东淄博·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且 (1)求角； (2)若是边的中点，，，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 25．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c． (1)已知，求； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围； (3)若，令，试求t的最大值． 题型五 转化为角的范围问题（共5小题） 26．（多选）（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （    ） A． B．若， ，则有两解 C．当时为直角三角形 D．的取值范围是 27．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，内角对应的边分别是，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 28．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，角，，的对边分别为，，，，．点在延长线上． (1)若，的角平分线交于点，求线段的长； (2)求的取值范围． 29．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． (1)求角的大小； (2)求取值范围； 30．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 题型六 有关角平分线的最值（范围）（共3小题） 31．（25-26高一下·河南焦作·期中）在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 32．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 33．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 题型七 有关中线的最值（范围）（共5小题） 34．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 35．（25-26高一下·福建·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 36．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 37．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 38．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 题型八 角的正切值的最值（范围）（共3小题） 39．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，内角的对应边分别为且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 41．（25-26高一下·上海普陀·期中）在中，，则的最大值为________. 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $